Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 69
Текст из файла (страница 69)
ti :::::tj/2 ( Ti)'l=n::::: L(Mi - mi)b..ti - S гдеS и 8 -11.15)5,верхняя и ни:ж:няя суыыы функцииф' (t) для ра:биения се,ыента [а,. Такинте, рируемы на се, менте;роизнодп,;х rp'(t) иф'как функции jrpY2(t)Yf2(t) и 1j/(t)la,{ЭТО вытекает из непрерывностина сегу!енте;3]),ТО ИЗ о;инте,рируемости и из теореыы 10.1 (см. § 1 и §кает, что для любого [;о ыо:ж:но указать такоед (ь..
= шахВ!,;ПО;Шf;"ТСЯ неравенства><5Поэтоыу при ь..<,в силу11.15)и3гл.>иявытеО, что при< [;/4.(11.16),1.16)справедливы неравенства . Il(ti - 11 . .'-: II(t/) - 1{ti,Ti} + ~ ti'~i -,11::::: Il(ti1{t'l Ty}1 + 1 "'l} ,1[;/4 + [;/4 - [;/"" Та"и образо.справе. лив ость неравенства (11.13) юка:ана.Дока:ж:еы теперь, что cpe{jn всев(),! I,УiУЖifЪtх ЛО,м,(LiiЪtх,I(ti 'К:оторууу! удовлетвор,яют 'Нераве'Нсmву (11.13 " имеютс,я ло,м,aHЪt''К:oтOPЪtX i'тJш'чд.ютс,я mп дJШ'НЪ!ме'Нъше 'Чем, 'На '/2,. i ак какТО' ная нерхпfЯ грания:' сеГ:·.!е па [а,,1],"ножес! на{7Lдли}Lи отвечаю; !их BceBO:~MO:!;:HЫMто наие т* ,ТО-лоыань х, вписанных в кривуюго CCiГM(TTa, что д !Инадуги 'К:рn.вой(t'j)творяет неравенствамо(1 ) < [;/2.Разобьем теперь кюк.!ЫЙ и: частичных сегментов11.17)[ti-l' tiразбиеНЮf т* на CTOfЬ Мiлкие fасти.
fтоб!,; мar<сима;Ыfаif д !Ина ь..раЗi)иения т се, мента la.,полученно, о Оi)ъединениеы указанных разбиений, ()ыла ыеньше д, ь..Очевидно, что длина< .i)ан, ,й,вен, тв''ряет( 1 13)биению т*, являются т iкж:е вер iiИН,iЫИ лом !Ной, ;;твечаЮi <ей,тоСИЛ' леММ;,1[(! )С тук;е; В;;Ш;ZТнер шеНСТКiоИтак, мы: :; l -l(tiюказали, что среди ломаных, длиныудовлеТВОj>ii;Т неравеНСТБ'(1 . 3),неравенства11.1J)и(11.18)Il в СИ,роизвольностиЕl(tiкоторыхимеi;;ТСЯ ломаные, ДЛИ;;оторых удовлетвО1 > ";т неравеНСТБ'I (!11.18)<'/2.;,1(1 . 8).
Сопоставлю;получим сле ;ующее неравенство:11 < Е.отсюдавытекает,1.чтоТеореыаюка ;ана.3 м е '1и1. Ее,," фу'Н,nv,i'Uu '(t);,а п~гме;'m,е loo,огра'Н,и";е'Н,'Н,ые nроuзвод'Н,ые то nрuвая . определяемая урав'Н,е'Н,uямu (11.1',спрямляема. В <;;"мом дел,' в прощ.'сс'· д",;азат,' ,ЬCТi;" ,еор;'мы (11.1) мыустаПОШIЛИ 'по при "СЛОШIИ огра!iи';ешюсти ПРОИЗВО,;ЛЫХ фу;(иi; cp(t)идлпrы l(t,) ЮМ,ШЫХ, "пис,ш;кри"ую L и ОТi;е'lающи' всевоз,азб,;ен,;'"Т сег' ента [а 'J], ограничены.'12. ФОРМ;j"а (11.10)i",['Ч,iif "е'Н,uя д 'i',;;bl дуг!!у' (t)(t) PiipeaeA/CUbl u uюnегрi руе.мы паомду,.,деле.,;з интегрируемост,;ИХ о; 'Р,ШИ'lе; ;ПОСТi, И ПОЭТiiМУЭТИХ Щ Ю,;ЗВОДНЫХ слеси",у заМ;''lа; ;ия1,СПРЯМЛЯi'l\!ОСТi, iiРИ,;ой L.
Заметим ;алее, ';то для ШШО,;а пера"епсТi; (11.14), (11.15) и (11.16),следовате"ыи пер""епсТi;" (11.13) ДОСт,пО'ШО ли!! " сущесТi; 'jj'ПИЯ иинтегрируемост,; ПРОИЗВО,ШЫХ у' (t) иФ'так как отс;' ";а,, согласно 10-по,лrе!iИЮkeгл.остальныеавытею,ет и ;,егрируеМiiС ь фупкции,асс' )KieH,;" такие ",е какефунк:ции уаИ еЕгVrp"(!)+ ф'2(t).вюказательстве теоре' ыК:{ uвал,11.1.л,влл,еrnсл,j (х), им,еЮ'щей 'Нл сегм,енmе а, Ьj' (х ,i,P1ti}O' L СЩ'i.млл,е АU иHenpepъtвHYH;дугим,о шеrn 6ъtrnъ найдена по ;.fJорм,улеьJ}1 +11.19)1'2(; ) d,!.аДля юказательства ;аметиы, чтоф' НfПИИ предстаЕШiет собойрическими уравнениями х = t, У =О'iевидно. ;;ы;рафик рассматриваемойопредеШiему;;' пара;;ета :::;; t :::;; Ь и при этом,;;се'с.ЮЕИ',; тео;,ем;.!1.1.Поэтому, по.;а-ая в формуле (11.10) '(J(t) - t, ф(t) - /(t) и заыеняя переыеннуюинтегрирования t на ,ыы получиы форыулу (11.19). Отыетим381та <же,что(О)если~к!~()пйнепр( рЫВНУЮдугиурав {(пнмим( (т на сегеюс'()ШУЮ, т'; крикiЯ, ();]спряыляем;; и длинаLlф"рму!еможет(11.2n)[01Дляюказательства восполь ;уемся формулами пере ш,!а от полярных коор шнат к!екартовым= Т(()) SiIl().cosх=Таким о(iраюм, ыы ви шм, что криваяLопре, !еляется параыетрическими уравненияыи, причеы фунюши rp = Т(()) cos И Ф =SiIl \Довлетворяют УСЛОEfiЯ;! теорем!,! 1,1.
ПодстаЕ iiЯ(11.ука;аю!ыешачения rp иф, МЫ ПО'fУЧИМ формулу (11.20).Сфорыулируеыдостаточные,iC ювияСПРЯЫ,iЯемостиПJостранственной кривой.j',слиrp(t)ф(t) иX(t) (( ',,(юrn'На ceг('('Нrne [о:,HenpepC,i6Hble nроиЗ60д'Н "е, rnо r.;РU6а,я, L, оnредел,я,емдя ура6'Не'Ни/г,ми ( 1.5), сrЧii,мл,я,е\uее дуги \,(iжеrn быrn'ь НОйде'На по форм,улерl =JV rp'Чt) + i'Чt) + Х'Чt)11.21)dt.Дш;азате,fЬСТ ю аналоги шо дш;азатеfЬСТЕУ теорс,м!,!1.1.3 а м е а и е 4. Если ф' пю,яиФ(t) иимеют ограПИ'lе,пые па сегме ,je [а,;]] ПрОИЗiiUД ,j,re, т'; кривая L, опреде"шем,ш ур iшrе"и11.5);ямляема.
!',слиэто' ПрОИЗВО,шые указанных ф' НКЦiiЙИ!,jе,'рируемы па CiTMeiije [п.,. Ти Д нпrа l дуги КРИiiUЙ L мож(' , бытьвычислена по формуле (11.n !, за\,ечаю, " 1-6. Дифференциал дуги. Пусть= rp(t)ф(t) имеют на се; ыентенепрерывные произво шые, В10:,этом случае, втеорем!,!1!еремендуга!редсавляется CJlедующей форыулой:Jу'ср'2 т: + ф,2(т)tl(t) Так как(11,22)юдынтегра fЬная функт~ия внепрерывна, то функция[' (t)l(t)= у' ср'2 (t)dT.11.22)!равой части форыулышфферент~ируеыа, причем+ i 12 (t)1Зг.JaСТИ,П,i,i;Y l'(t) dtранен, ТШliИ:"[ф' (t) dt]2[l' (t) dt]2По' i;ОЛп, ,СifщнеГ,idl. 'P'(t) dt - dx.ф!(t)dt.2:.\)dy,.23)и:~11.24)Нз форму. ът (11.24), в частности, Сiедует, что ес ш за паjаыетрвыбрана переыенная дуга [, т.
е. хg(l) и у l'L(l) , то(dr) - 1.11.25)Отыетим, что при УCJIОВИИ непрерывности проишо. !.ны:< функШIЙ х= 'P(t), у = ф(t) и z = y(t) для дифферешщаiадуги пространственной кривой, определяемой параыетрическимиуравнепfЯ\:Исправедлива формула(111.26)Нз форыулы (11.26) следует, что если за параметр выбjанаременная :yral, то,е1 .27)7.Примеры вычисления jЕ.ЛИНЫ j[,;УЛ'И.Т~iклоидыl)=аиsint),случае 'Р' -=рассыатриваеыомю форму.iе 1 . О)l-Jа/(1-cos t)2+t1-2"sin 2а (1t dt -2аJ2"Sillонаcos t) ,~ t=asint.-4а!dt -дуги~ 27Т.
ВПоэтоыу-t12" -8а.оо2\.Цеп/нойг].называется=а с11 х 2).:лину участка т~епной линии, отвечающего сегментум! с'м по фор\ле( 1.J)1 + у\Ч~)d~ Jхх/1+ s11!оО1 Цшr;лоuда ,а,шусафункцииаНайдеы~d~J, id~х11а=а::11-.оплоская кривая, котору'!' ОПИСЫ \ает точка ОК) VЖ'Юстикатящейся без сколь\,\ен\", по Пр""ОЙ лини\'.") Н<шм,'Пова"ие цепная ,ЛПIИЯ Сi\Я<'НО С ,ем. 'по форму р 'ссмаТРИi\мой кривой имеет тяжел!ш щ'Пь, ПОДi\,'шеiiIlая за ЮН!!!.;'!.38330айде'дугсчитываемую от точкиия Э.ш(11.22)!ИП, а х=.LV[o(O, Ь)>Р:,ссыотриысоваsiп.t,tЬ, отпар:, ыеТРИЧf ;СКИ;У7ТОП;; форму-иыееыt=1[(+\' ,);[;20.2.;лли [С,=1оsiп; TdT -о1t)1 -Чис.юуо. 2 -еЬ'!V1еопреде. iенныЙ интегра.t-d!=эксцентриситетоы,t)см. Зэ.!Иiiса.е 2 siп' tdt, обращающи21 г..
7).О, называется эллиптическим интегралоыда и обозна' ;аетсяаЕ(е, t).оназываетсяануль прие 2 siпо ро-§ 2. Площадь плоском фшуры 1 )1. Понятие квадрируемости плоской фш'уры. ПлоЩДi, квадрируеГ"iЛЙ плоской фигуры. I10нятие площа. шiЛОСfШЙ,,,;щейся многоугот,ни;ш:' 2). известно изкурса элеыентарной математики. В этоы пункте ыы введеы понятиеющади Т!ЛО('Х;;;U фЕгуры Q - част;'юскости. ог! ,ани [ен-нойростой замкнутоЙ кри3). При этом кр;' '''юб\дс;мназывать грающей фигурыlVlы будем ГОВОРИТi" поfЮГО'ТОiЫff.fК ;;'П.1Ы(Li(+;rгypy QеCJIИ кюк. iая точка этого мно; оугольника принадле:ж:ит фигуреQ или ее границе.
Если все точки п.юской фИ! 'ры И ее границыпринадле:ж:ат некотороыу мно; оугольнику, то бу [ем говорить,что указанныЙ многоуго.Ш,нИ!< ;'rи!со'Н вокруг фигурымно; 0Ясно, что площа.;Ь любого вписанного в фигуруугот,нИ!<абот,шс; п.ющади тобого описа [ного во <р'тры Q ыно; оугольника.Пуст;{S'j} -п,юскую фигуручис.ювое.ножеСi вомногоуго IЬников, аiлощадейScZ} -в! исанныхЧИCJIовое ыно:ж:е-1) В" BT"poi: части паст"ящего "урса чи;ате ;Ь паi:дет шир ,;;ое примепенщ" пон"1Т;;Й ;;лощад;; ;;лоской ФИГУI'Ы и произвольного мно ;.;ества точекпл"с;ости.2)мы будем';,IБап,часп, пл"с"ости,"гра; ;и';, Пi ;уюпрос; ои зам" ;утой лома;;ой ли; ;иеи.3) Отмет;; ,что щюста"; замкнута'.·; плоска'.·; криваяраздел··;ет плосд";' ';;;СтИ - шrутр, rIiiЮЮ и шrешпюю. 9т;; у;вержд;ши;' бы,ю д"-;;осп,"аза;фр;ш i.узским мпемпи"ом Жорда;; 'м1922)..ногу то.
fЫfИКОВ.ПЛ·iщаДf.f"о fИ' ;]нно!вокру!МНРfО\Т('·ff.НИf<.1'iнраничен •• 'lfиер, числом нул.)S.!рсзтоттн''Ц'PXНt, ш. грань МНРЖС" Пiа {Si},ную нижнюю грань ыножесша {Sd}м]Обо iН;]ЧИМ чеiС'РСЗТОТТ-Р 'И РоопюеПii тпаешю lШ:JfCне'Й n/ющадыо 'И "ерхне'Й n/ющадыо Ф'Uгуры Q.ттто нижняя площаДf. Г фиг ры Q не больше1верхней площади Р этой фигуры, т. е. РiРСДiЮЛОЖИ:i, ттто ве]Тогда, полагаТlЕ-Р2:::;:Р. в сююм деле,iРОТИВ JiЮЛОЖНОС' неравенство Р=[ >[<ото] юго iiудет iюльшс,iлошадьР+Р<2,QЕ+РР-f·iCfaQ . 'ного-fШТОР Jro м( Н f.шс'т.ыногоугольи такой о fИсанныйуголР.о и учитываТl определение точныхграней, мы найдем такой вписанный в фигуруник.>fИсла Р+[Е; Р.
Сопостав.шLЯ по. [У [с'нные два Hc.paBCiНcTBa, найдс.м, ттто Sd[СТО не можс" быть. такtЛощаДf. 8 d любого описанного ыногоугольника не Аtеffъше площади Si любоговписанного многоугольника.Введем понятие квадрируемости плоской фигуры.Q 'Называ1:тслОnреде.ле1-luе. ПлоскалО й,Р эт сс ;:С'сл'U веl/i!'НЛЛ'Н'ин('Неii nЛO'lцадыоnлощ!!дъ1О Ф'Uгур'Ы.ПI 'u эт'М 'Ч'Uсло Рк; в ар 'uсов па. JaJ:m с-Р-Р 'Называе тслQ.Заттание.I3Д'JiЮЛ Н (ТИИКЭТОЙпример неквадрируеыой фигуры.С iраiiсДлива слеД.'·.1.шая1Иfi(ДС'РTC'O]ie:.ia.Т/'ОР/'МД 11 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
