Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Нетрудно, о,ако, убед!!'!ъся, чтообласть ИЗNlеiiе шя пара1\Iетра t можнора',БИТi на iасти таiiИ\", '1TO C!;!;T~веТСТВУЮЩiiе части СТрО'[,ы БУ'i.УТ про~СТi.1\Ш кривыми. И .ieHHO, ра юбi.е\' 'IИс.ло~прямуюIXJIXJ [а cerMeiiTbI[n - 1, nl, r.'i.e n ,(>бое целое 'IИс.ло, O'ie~видно, ес.ли \ibI будем рассматривать па! .a~вую\'ieTpРис. 11.2на TaiiOM с!тм!'нте, то соответств! 1о>щаi! 'шсть строфои, iЬ1tБУi.ет простой КРЮ!ОЙ.Мы ВОС i Н .ль, ,е \! С!! ЭТОЙ Кра,биения наi асти !)IЯ MaTe~матического определею!Я понятия Крi!ВОП, задаваемом параметРИ'1еСiiИ.Будем считать, что Мi!ОжеСТi!О{t}представляет собой либоcer\ieHT.
либо пол! сегмент, либо интерва,\iУЮ, либо ОТiiрЫТУЮ или замкнутуюiибо 'IИс.лов! ю пря~ЮiУi Рi!\iУЮ.BBe,'i,eM ПОi!Я'iие разбiiею!Я множества {t}. Будем'1TO коне'шая И,iИ беСiiоне'шаi! систе\iа cer\ieHTOB {Iti-lti] pa,~бивает множество {t , ес.ли: 1) объе.'шнение всех!тих сегментовпре,'i,СТа!!,!Я8'i собой все множество {t} иоб;;шми точками iЮбi.1Х !,В!Х сегментов систеМi.1 \юГ\т быть iЮН ИХ ;iОНЦЫ.Расс\ютрим примерi.1 ра:~бш!ний некот, .р! .1X и:~ у iа:~аню .1X BЫ~ше множест;' {t}.1, Система сеГ\iент<ш [О, 1/3], [1/3, 2/3] [2/3,разбивает сеiмею].2.
Система сегментов [О 1/2], 1/2, 3/4], 3/4,... , [2'2<3.1,2n+~ 1],. ..Систе.iа cer\ieHTOBразБЮiа8'i по, iyceiMeHT[n -1 n]iевк'шо, ра',бивает всю '1Ис.лов!10,,гдеn-прям! Н!.[евк шо,7/8],).iюбое целое iИСЮ,371fЛИlП( f)(ЙД(:\'1 теш рь к zюределеЮfЮ ш нятия КjИВОЙ, задаш1Z :\'юйпара]\IеТРffче( ЮfПу( ть фУffКЦИИ rp(t) и/,(t) непрерьшны на множе(теговорить,чт/f{f} 1)у/ю,т!/ 'J-шя1,3)заdают !'i!/ю,метрu'Че!'!,u !,]Juвуюстелю, се/! А/ент!ю8'J-tш'{.еНiij./'!/рав'J-tе'J-tuяuз !,!!,')fC/I020 дПННО20 Ci2,Meffm(] эmml ПLст!J\-tыопределяют простую nрuвую,(1Приmо'ч,!,'U х;ривойnорядnеJ'vl1с/с/стветств!ет :~на'Iению параметраЗf ачеfIИЮ-рш'!',',!!!тр'u!!шются в оnj!! !!еле'J-t'J-tОJ\-tcoom!!emcm!!Uu с во /растание,м nара,метра t.если т/с П\ДМ:.tе!'лu существует mю'JИЯ си{[t'j-l t,J}, разбuвающuх i!J'J-tожестJЮ {f}, 'Что< t2.t:.,ме!Ю,tlа то'п!ато М! считается предшествующейес.IИОТ!fетим, !то то'Ч!,u отве'Ч(]'Ющuе /ю,злu'чffыlм з'J-tа'Чеf/UЯ,i!! nараJl1етра, !!се2да с'Чuтаются ра,/лu'Ч'J-t!!/,i!/U,tlИными словами.!!рив!ю, :~aдaBae!!y!!' ара!!етри !ески.
можно расс ,!атриват! как объединение РОСТЫХ!!РИВ!,IРИ'Iе!! эти!росты(' кривы(' ш!с!едоват/' ,н/с !Р/fбегаются TO'I!!/!JJ J'vl, коор!,И! аты которой определяются соотношениямирамстр t !ЮН<!ТОНН<! пробегает !ш(»!!ество {t .(1ко! !.а паа м е ч аи е 1.Iростую кривую можно рассмаТрfШa-IЪ!!а!! кривую, ';аданн! е!! парамеТРИ'Iес!!и. В/тосл! '!ае системасегме! !тов, разбю!ающи,\ сегме!!т, СВО,'!,ИтсяК од! юму Э'f омусегмент!.!!а'!/'стве примсра расс!ютри!! кривуюL;a,'!,aBaeM!!'!араМСТРIРIес!и уравнениямихгДi't=IПМСИl!ется на сегмент/'],то!''Ie!![7Г 27Г] ,[2/{,3/{], [3/{,!я :~на'Iени!!системы ураf!!!е!IИЯtи:~(1у =cost,(11.4)sin t,О, 47Г], О, !/'видно, система сегмен] разбю!ае-f сегме!!т47Г], ЩН!-кю/к,!ка';анног/ссег!!ента!.анно!!определяют простую КрfШУЮ (по,!уокр!жность).
Нагю!дно ясно, !то в рассматриваемо!ри!!ерекривая L представ,!яет собой дважды об,\ОДf!МУЮ окруж!юсть.3 а м е а н и е 2. Рассмотренный !ри!!ер и !ример строфои!,ы по!!азывают,и!!ет!ТО'I!И!то крива!!, задавае!!а!!саМ/;f!ересе'Iенияи!.ал(/'ара!!етри'!ески,,Ie!ю!!!ет!астки сам/,на,!е-га!IИЯ.3 а м 'I а н и е 3, В слу'raе КРИВОЙ,;а,'!,аваемо!! !араметричесю! при помО!!!'и уравнений (11,мы будем также говорит!оара!!етри;ации у!!а:шнной кривой!риюмощи/тихурав!!е IИЙ,!ата же кривая L може-f быть параметри:ювана ра:~ли'IНЫМИ способами. Мы будем рассматривать все1)j\1ноже;:тво {t} пр/'дставляет ;:ОfЮЙ одно из !'казанных выше множе;:тв,, и lTlTPAЮГ,ПГИ Ю,<ЕНlllАВОЗNЮЖНЬН пщ <].Me'l ризац ш крИl рй L, ш .lучаю ,Шz:СЯлюбой даl lРЙ пщ <],мет)изаЦllпутеNI представлеюlЯ парамеl ра tв вид, ю"р' рывных, строп' во:~ра(тающих ф\.ню,ийГР пщ <].мег"ОТ]\Н1ТИМ, ЧТi' ЛИШЬ при таки':ванияхкривой3.,ара ,нтрасохран l(Т(ЯЮРЯДО1,следованиято"кнаLliонятисCTpallCTEe1пространстненнойllliнятие,ро-юи КРИlюй вводfПСЯ В полнойием1ЛliСЮ>Й.
ПеРВliна',а.lЬЮ> ВВ:"шТСЯ ЮНl1ТШ' прост:'" ,роCTpallCTEe1 юй КРllВОЙ как М1южеСТЕа {М} точек ПрОСI ранс ,ва,1iоор.'шнаты Х, у их =z,соторых ОllредеЛЯ1iiТСll уравнениямиtp(t),а ~z = X(t),t~(11(3,1рИ ус.ювии непрер"IВНОСТИ фую.циii tp(t), ф(t) x(t) и УСЛliВИИ1еСOlшадеюlЯ точек М1южества {\1}, отвечаЮЩI1Х различным:~на'Iениям параметраt.Понятие ,ростой ,ространственно!! кривой и понятие рюбие-t}ния ,'ШО>l<естваслучае, ПрИlЮ,'lЯIIпменеНИll 1apa:1eTpa: Ta1:к ПОНЯТI1Ю простраllСТЕе1как и в ПЛОС1iОюи KpllВO'1,за,'l,ава~е,юй ара"етри"ески \равнеНИl1'lИ (11 ..5) 1рИ \.GТIOВИИ ,юнотон~101 О Ilзме 1ения параметра,а м южеСТЕе {f}.}тмети",,точ:(ti-1) _____ ~?==~"\jI( ti)пре,'l,ЫДУ lш'тествеНЮ.Iюс lТСЯвсяTep~BBe.'l,eHHall'НIНОЮГИll,упу"ктахвec~:'бра:юм пi pe~а пространс, BeH~ные кривые.4,ПОНЯТИСдуз.'УЮiте1ИНЫM1.IвведемU'НllТШ''l,уГИ 1iривон,аданной па)iамеТ)Ш'IеС1iИ.ПУСТЬ КРИl:ая<p(to)<p(ti),Ра!II!!Рис.11.3хс"Lзадает~'ара"етри 1ески \.paBHe~шямих(1 .\)- tp(t),угде парамеТJ:tна сегменте [а,ПУСТЬ Т-- ф(t),из ,1еняеТСll(3] .,Рi'И,ВliЛЬ~юе разбl1еЮ1е ce1MeHTa [iJ,;5] точками- t;itlt2t n = (3.
Обо:~на'IИ" ]\.;10 ]\.;11, М2 , ... , ]\,;1n соответств\ l:iщиеточки кривой L (рис. 11.3). ВОЗ1 IlкаЮ111УЮ при этом ломаную... <373fЛИlБУД(:\,1 назыв;пъю:\,шной 1), впи( а; ff'Й[рму разбffеШfЮ('(Т]\Н ffTa а,!<а!<'тондлинато длиналом;]нонKPff~ТакР;БН;]l(ti) всеп этой юманой равнаnl(ti)L1i==L V['P(ti) - 'P(ti-l)]2 + Iф(ti) - ф(tiОnределенuе. Если .M!!O:JICeCmBO'К:РUiJУ1ОL лол,шных. оm6е"lа1О ,ЩХг.ментл а" f3 , ог/iШНii!"lе!! {. 'nос n р я{l(ti)}Л я ео и,)} !!ЛШ-l вписанных вiJсеiiOз,м/i:JICН!,i,,!' раз{!uенuя,м Тнз ыа mО"lная верхняя граньlа е т, сА'НО:JICесm,ю'Нлзы,юеm,'я д,,!,!,,!(!'й !!уги~ а м е ч аи еопре,!f,е,fе fИЯ КРifВОЙ1.,!еТРИ'fi'СКИ.
и 'лрсдеШ'НИi! ДЛИШ,Iчто,3(11.6)'i=l'l=(;1l)i 2fИ [аеаlf,уГИL,задаfюй пара-та<он кривой сле,f,ует,по, ЮЖiпеfЬна, l>а н и е 2. С\ществуют нес [р !'tJIяеМ!,Iе !<РИВ!,Iе. Вдопошеf f,fИ к этой[аве мы ПРЮiе,f,ем п!,имер п,юскоП КрffВОП,i',бая [аст! которон неСffРi!,!ляема,да/т,не [lllем М!,I будем[астоfеммоИ.Лемма, Пi cmi,-*l (t'i)-пол!,:юватьсядли/на лл,манои, 6nUСШfmои 6 'К:рu-6/!1О L u оmiJе"lа1Ощеи разбuе'l-tu1О т* се, А,е'l-tmа/J], а I (t;)дЛ1mа лом/тои. впui'a'l-t !ои в 'К:jiUву1О'Н,и1О Т", nО",'/,У'Ч/:'}-И--l,()МУ'113-*u оmве"lа1Ощеи 1юзбuет* 'Y'(j{JJeJCm,fU)M "Jобо,(lле f.?I}!-'l-tес'К:ол!,'К:uх 'l-tОiJblХ mО"lе'К:.
Тогда l)l (ti) .дк аа т ес т в о. О'fеви.ш<>, д<>стат"'ш<> рассм<>третьСЛУ'fа [, ко! [Д К i!азбиению т* добаВЛi!ется О,ша TO'fKa [. ЛомаHai! отве'Iаf"щаi! ра:~биеню" т, <>T,fIPlaCTCi! от "'i!aH"ii "ТВ,"fаю~щей разбиению т*, fЮН те,!, 'ITO одно звено M i - M i замею!ется') Будем называть nРЯ,М.!i'U линию" опредеiЯемую парамечшческими= atЬ. У = ctd. Постоянные . Ь. с и d заве,'Юl\!О можно,:ыбраiаА 'lтобы пря;,:аi' ПрОХО,'(Иiа 'lерез дне данные ТО'li'И(Xl, YlИ М2 (Х2, У2 У'еаСТОА !'l i'МОЙ ме ii,'(Y :'О'iками M 1 иестес:'неШfQ :а:з:а"равнениями Х++оmреЗ1.f!!,М, а ,'ОВОКУПНОifТЬ КОНi'ЧНОГО числа примыка ',"iИХ др ,т К друг! от-еЗi'О:: еСе ест::енно:а:л:аломаной.l'vIbl ИСiЮЛ;,fQна,iИ ФОjiМУiУ дiЯ расс! ш'ниi' '"е)кду дну"""и М" КООр,'i,Инаты которых равны ifOOTBeTifTBeHHO2)О'iками M,,-l;ругихтреу;эrnmJсnр,ям,л,яем,а,я 'Кр'Uва,я7-/,ого 'i'Uсла mO'ien .J'.;fo , .J'.;f1 , ...разб'Urnа nри nОМЛЩ'U n07-/,е'i-МП 27-/,а r.;07-/,е '[7-/,ое ч'Uсло r.;P'U-L,; '''пn,яА'' ';{\МЛ 'Uдтm l;' всех 'КpиBЪtX Li paB7-/,а дЛ:U7-/,е l r.;P'L~BOil· L.3;.
Пусrn'Ь ;,!;'Uш;,я LrUi]Ю',;;Л;Р!{'iес;,'U !!?ЮВif.е7-/,'U;;,М'U11.3). ОБОЗ7-/,а'iим l(t) дЛIт.у дуги Y'iacrnna L t 'Кривои L, rnO'ir.;u"ЪtxL,;.Lтnо 'Ко,жда,я !J.8nmJ.BЪtX,'J'{\M'U ;;f(J'i;;7-/,'U!i,М'U 'па; 'о,меТnIН;,явл,яеrnс,я возрастаюшей и 7-/,enpepЪtBt. Эту функци= l (!; буде наз ;,1-'Котnорогоме7-/,rnа [а, t]. ФУ7-/,r.; щ,я7-/,ои фif7-(,i,'И,!J.еиl(t)на кривойL.,мож, '" быn;ъ;';{'7-/,;/{"nора-м.еrnра. Этот параыетр называется 7-/,аrnуралъ7-/,ЪiМ nарамеrnром..Свость свойства 40юсредс; венно выте;,ает из. В самоы деле, так как перемею;ая ;уга ll(t);араыет! ,а t.видеOHOTOHHOi,f;епрерывной функции tпереыенной дуги l, и поэтоыупеременная дугамо [:ет быть выбрана в качестве па! ,аыетра.является возрастающей и не;топара'может бытьtiie! ,ывной функциейfДоказательствосвойств10_30.1о.
Пу; ,Ъ имеют;я Дii;' ш',рам;' iризации КРИii; 'й L,t и s - пар;"мет;ы этих паi ;аметризациЙ. Oi;; ;е,i.еленные соответственно на сегментах [й, /3]и [аЬT;i; ю;i; t пред;тавля;';;,б!'й стро;'о мо;iПУЮ И пепреРЫВ;iУЮфi!ПЮ;'иЮ от .5 а .5 - ст;ю;'о МОПОТOII!iУii' И пепреРi'Ш iУЮ фi!ПЮ;'иЮ От t токаждому р;,.збие; iИЮ Т сегмепт;" [й, jJ] с;! 'iEeTcTByei опреде ;е; iпое разбие-Р сегмента] и Haoiioi ют.
ОчевкiНО, что впотвечаЮЩ;iе соотвеТСТВУii';ЩИМ ;азб;iеН;i'"сегментовRiieвLломаные], TO)Ki.e-iве;iПЫ. и П!'ЭiОМУ ИХ ДЛПIЫ lи;) и l(в;) paB;",I.,жеСТii;;;} и {I(.5;)} ТОiiiдественны. Отсюда вытекает, что i.Лiiна Д' ги Юi ;iВОЙ не:;; iiИСИiш',рам;' iризаi (ии этой КРИii ,Й.20. О';еiiК;ЛО, ciioi';c "о 20 юстаточ;юва'";азб;;та точкой С наше Юi ;;выедоказать для СТi!чая, кО; ;,а кри2. Обознач;;~(значен;е параметр;', t, к 'iOP!'MY ОТii;'чаетС. Т!'гд;', т!'чки КРИii ,йзначен;;',;параметра t ;;з ceri,;eHTa [й ,] а точки юр;;войiIIa';;'ПИЯМ пар;"метра t и;азб;;ен;; " указанных сег'L ;;! 'iEeT; iВУЮiL 2 соответствуют;;TMe;;iajJ]. ПусТi, Т1 И Т2 - прои",Ieентов, а Т - разiiиение ceri,;eHTa [й, jJ] получен1 Этот геомет! ;ическиi'; фаЮi ле; 'ко мо)кет быть доказап ЧИСтО апалитическим спосо;iо ';.") При ЭТОМ тО'''iИ lvfo М;, ... Мn СООТii;'iСТiiУЮТ з;;;;че;;иям to tt, удовл; iВоряющим усл 'iiИЯМ й = to < t 1 < .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
