Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Отмс'тим, что есш функция ](;Т) инте;рир ;ема на любом сегменте, содержащемся в интерва'1е (а. Ь) тоинтеграл с перемеШlЬЕ1 веР:iНИ\1 предело') предста1шяет собойнепрерывн'vю на интервале (а, Ь) 'Уню;п и от верхнего предела.Чтобы убеДИll,СЯ это ,1, Д01,юке,1, Ч10 П]'аще1 l1е 6.Р = Р(х++6.х)-Р(х) ФунюР(х) =J]dt С1 ];ем 1Тся к ну 1Ю П]с) Прир ;щеi1ие ~; {",ыс(а, Ь).12В.А.
Ильин, Э.Г. Позняк, частьIо lЬ{"",а lЬН,оl;le 'ШСЛС11,fff<ЦfШ(ТF(:T):г:пключенс ме:rкду точш)йхна Cef\feHTe [х, хНЕжней гранями+ ь"х].послеДf fей формулывытекает" что и b..F -+ О fрИ Ь..ХО.3 а м е ч а н и е 4. IIнтеграл с [еременным верхним fределомчасто исf юльзуется для определения новых Функциi"f. l\lbI ужео! \fе'fалигл. 6, 'fTO пеРfюобраЗffые некоторых элеме парныхfИП не выражаются через элементарные функции и не являются ю:~тому :~лементарными функциями. НаiЮМНИМ, что кЧffСJIУ fеэле\fентаРfф\"НКЦffЙ ОТfЮСЯТС~f, например, ф\"НКЦffхх.Г е- t2'.Г cost 2d,t.оо2.Основная формула интегрального исчисления.
МыДоказали, что любые двеотличаЮТС~f на ПОСТО~fтеореме10.6fервообразные данной функции лх)(см. теорему 6.1). ПоэтО'р" соглаСfЮи замечанию1к ',)той теореме, можно утвержДать,'fTO люба~f первообразная Ф хши f х\feeT ВffДfепреРffюй на сегме;[а, Ь]хf(t) dt + С,Ф(х)а[де С-fеfштора~f постоянная.j Юлагая в юследней формуле сначалаа, а затем х =используя CBoi'tcTBO 10 опреДе. feHHbIX интегт алов, наiдемиЬФ(u.)(Ь)С,.1(х) dx С 1.аIIз этих равенств вытекает соотношениеь.1(х) dx = (Ь)-(а),(10.18)анаЗf ff;аеюе осн.овн.оU ФОРJ>iУЛОU 'ин.тегральн.ого 'исчислен.ия 2).1) в этой форыуле переменную интегрирования мы обозначили буквой .Х.Ш)Сj;о.jЫ;У верхш)й') Этуjр'·де.j имее;''1'jjja'j' jjЮ' Ь.jjШЖ" фор.мулоiJ. Нъюmона-ЛеiJ.бнuи,а.lECl355В()ВАНllЕ ПЕГВ(), НУ .ШС)Иегрппъ11,,)'иД/С,)))[3))[11,пегрipЮШ)!'/},Л.,OTKPЫB;H~Tныхчто1ai!ОС1широки!'интегралов.лаи!! ))'1ра.
!!,ног!)в(х~м!<жности!Яюсколькузадачавы' 1И!18НИЯвычисленияисчислеН!!ОПР8!8.18Н011ределенного1!Нтеграла СВОД1!ТСi!задаче раЗЫС!Ш1!ИЯ пеР1юобраЗ1ЮЙ ф\'нкц:ии. l\1етоды разыскания первообразных были достаточно полнора,работа1!Ы наМ1!главах G 7 ЭТ010 к\тса.Так как 1Ю М1Gтrучаi!Х разыскаН!!е первообразных представляет со()0!·'1 трудную задачу, естественно поставить В011рОС о1риближенных методах вычисления 011ределенных интегралов.В 1Л. 12 б\дут Yliазаны некоторые \!етод!) ПР1!БЛИJiiе1 Ю10 вычисления 011ределенных интегралов.Формулу(10.18)иногда за11исывают в иной форме. Именно,разность Ф(!)) - Ф(u) о()означают символом Ф(х)I~.Гогдаьli- Ф(х) Iа'лх)(10.19)аРассмотрим нескоЛ! ко примероJьsi11 Х dx= - СО,) Х1= СОБ аСО,) Ь:а2111 Х 11 =d.'E21п 2 -1112;111 11- _e-xl - 1 -3о~;е1J;) J -агСSiпхl ~ ~.J~ (х +V1 + х;) I~dx4\--21+.'Е=arctg х 11О7г-4'О/2у!1=- х26'о36)=о12*111=111 (\+ГJ).lН ,ГИ гШТElТ'~~al\leHa lepel\leHHoi%теграла, Пусть выш\шгеггы1)2)Ю)llliаН:'~ом опреде, генного ин~l.Ие \'с.
10В!!ФУН}Г'ЦU,Л f(x) неnреры{гн(], н(], се?J,леmп,е [аг Ь]сег,;,ленm [а, Ь] шгллеmсл ,;,лножес T!BOJ>iроиiU(t),'/},g(p) =11.) =т!их условилх справедлива фОРJ>iулаЬJхf.3Jdx =J[g(t)]g'(t dt.аФОРIlI\ла 10.20) юказывает, что если вычислен интеграл, стоящий в левой части ',!той формулы, то вычислен и интеграл,стоящийнаоборот. Указаl la,l формула lазываетсяза if.гiГЪГпод З!ШnО,/lГ ОП] ,деде fifOZOlmmеграла.Рассыотт ИIlI некоторую первообраЗН\1 iГ Ф(х) функцииПо18f(x).!,lee1ьJf(x) dxФ(Ь=10.21)Фа.аГак как функции Ф (.г) и хg (Т) дифференцируеIlIЫ на соответствую 1 l.ИХ сегыентах, то сложная функция Ф (g (t)) диффереЮlИр\'ема на сегме;[а, ;1].
Поэтог)" ПРlf!'lен lЯ прав lЛО Дlfфференlирования сложноil фунКll.ИИ,(g(t))ЮЛУЧИIlI(t))g'(t),=(10.22)lричеIlI производная Ф' вычисляется по аргумент\' х: ф! (g' (Т= Ф'(х), где хПО,l\'lф'(Т))=Поскольку= ЛХ), то lрИ Хg(t)=(п). ПодстаЮflЯ Э1 о Зllаче lие ф' (g (Т ) вlравую часть равенства (10.22), получимg(t).f~ Ф(g (Т ) = f(ТСледовательно, фУНЮlИЯ(g(t)), Оllредсленная и Ю'llрсрывнаяна сегме;[а, р], ЯlfляеТС,l на ЭТО!,l сегме;llеРlюобраз юй ДУ,1llЩllИf(Т)g'(t),и поэто!'!'СОlласно формуле.3f(g(t))g'(t) dt -Ф(g(р))-(g)).(10 .lEClТак= Ь,g;.1ВОВАНllЕ ПЕГ Ю'; Н,;Г \ШСiИ=,т;;(Ь)- (а)(g(t))g'(t)dt=Сраннивая пuследнюю Фuрмулу с фuрмулuйеlСЯ в справеДil lЮСТИ форг.·ЛЫ (ll!.20(lU.21 , мыуfiеждаf lпх-. Положим2При М еры.хеi.Гак какРассмотрим интеграл1= О iрИ Х =1112при х2.то111 22.11,хd:Elп('= .1 t d[' = 21111 2 1 2о ="2 111О11Т 22\.1 SillyX v'x' Пусть Х'ассмотрим интеграл+2Тогда1Т 2 /4Х=7Г 2 /4щ[!t= 7Г/2 х =7Г 2Щ[!t= 7Г. ПОЭiОМУ2COij1;=24.
ФОРi\lула интегрирования по чаСIЯi\l. ПУСПiЪ фУН1iчии и(.т) и v(x) и.\!.iюm if;npepъt6ifbli njiOU36oJifbl,; на c;Z .."it.eifm;[а, Ь]. Тогда иJ,лееm меспо следующая формула ин iiегриРО6анияnО':Шim.!!м Uл.!! оnреU;л; ifif'ЫX иifmеграЛО6:.1 u(x)v'(x) dx -Ьu(x)v(x)]I~ -.1 v(x)u'(x) fix.(10.23)аГак какiiaiiv'(x)fiv'т еще слеДУЮЩiiи и'(х)об! азоь.1 и fivаьи\'] I~ -.1fiu.(10.24)ас! iраведливости :лих формул убедиться нетрудно.
Действительно, ФУНЮiИЯ U(.T)V(X) является первоо(jразной для функцииlН ,1И lШТElТ:г/ (.1) + '/J:J:(.г)(10+[u(.1 )V' (:Г)(:Г )u' (:Г)!!!.(:Г)!'(:Г)]d:J:аИСШ\ ff"i\"Я СВОЙСТ!,i"I!ПРI де "'нных iштегралов3"ПОЛ!"'"(1и1).2:\р и м еры.2221)111 ХХ 1пх-Х - [х 1п х.];1-х21- 2111 2 - 1.'1222),/;Х dx = (Х х-1J3)1arctgxdx=хxl o-JlX:~2о=О[х arct,g х - ~ 1п(1 + ) 2)] ~~ -111 h.4Остаточ;чле; формулы Теилораинтеграль~нои форме. Применим формулу 10.23 для вывода5.fТеuлора фу1-t'х:'И,шtх с остато'ч,1-tы'лл чле1-tом в lmтегралъ1-tоuформе. Пусть функция ЛХ) имеет в некоторой Е~окрестноститочки а непрерывную iРОИЗВОДНУЮ (nl)~гo юрядка, и пусть+хлюбая да;-iaiiто [ка из Эi ОЙ E-ШiреСТНОСi ii. УбеДИМСii, ЧТОчислоR n+ (х) = ~1)(т)(х - t) dtf(n.(10.25)аявляется остаточным членом формулыГei'шора для фуню i,ИИ[ентром разложения в точке а.
ТШiUМ обра.ЮJ'Л, фОРJ>iуладает nреJсmавЛI1-tUI о!татО'Ufого ЧЛI1-tа формулы TIUлора длл фу1-tfi'И,UU f(x) в lmтегралъ1-tоu фОРJ>iе.f(x)С(10.25)Для доказательства заметим, чтоJХ(:г) = (и.) +{(t)dt.аХК интеграл!f'(t) dtЩ именим формул!(10.23)интегт ирова-ания по частям,юлагая!!.(t) - {(t)иv(t)= -(х- t)(так какlECl))рова)тоlEВ()ВАН35))ПЕГВ()1 Н1Г \ШС)И'1/ df - dt)хf'(t)dt=-f'(t)-t)!:+{'(t)(:t-t)dt=={(а)(х - а) + /f'l(tХt) dt.ахJ f'(t) dtПодстав.11Ш 1айденное выражен 1е Д 111приведеННi')i1авыше формулу для(:г),юлучимхf(x)=f(a)+ {а ха +/хf"(tt) dt.хК интегралу{'(t)(x -Т)также можноiрименить формулуаинтегрирования по частям, полагаЯ!i,(t) - {'(t) и v(t) - - ~ (х- )2 (так как х фиксировано.
то v'dt = (х- dt).110сле несложныхiреобразованиi'i наi'iдемхх(х -/t) dt =i'~\(I) х - а)2 + ~ /аиf(3) (t)(x - t)аю:~томухf(x)=f(a)+ i';~) (х а) + i'~(,a) (х а)2 +~, / f(3 (t)(x -/ dt.адаЛ1яейшее Иf1теlРllрова11ие 1Ю '1аС1Я\1 бiдем ПрОlIЗ1ЮДИТ!тех пор, пока не придем к формуле(х)=до(а) + /,;:(1) (х - а) + Г2~a) (х - а)2 + ...... +х а)П +1 /Г П +1)(т хt)ndt.аЭта формул аюказывает, чтося ocтaTo'lНЫM Т1еномR n +1(х)действительно являетТейлопацентром разложения в точке а (см. 13'гл.гральную форму 10.25 остаточного членаф\'нК!1.fхсИС1ЮЛЬЗУЯ интеформулы Тейлора.lН!п, ,лучи 1ЪИме;го 'iНiiЧ' 'нияiiiTi .точ; ;ый,1 И1lНTK ГТi·Й.юра в"fi'Hп" iiб, ,бщi'ННОЙ форме,],-форму.;ы ере(10 15);е-!iiЛУЧИМIХХ.,+ J(t)f(t) dt:г=.1 (х71'а- t ;ndt=аjCn+1)!~) (i_t);;+1I X =n!j(n+1)ш х-!n+1(n+1)! (По;\'ченное выражение и представляет собоР остаточный членв форме Лагранжа 1(см.
формулу (8.46 изДОПОЛНЕНИЕ14 гл. 8 .1НЕКОТОРЫЕ ВАЖНЫЕ НЕРАВЕНСТВАДЛЯ СУММ И ИНТЕГРАЛОВ1. ПЫВОД одного предварительного неравенства. Пусть А и Е !ii!ible Н'·'iТР!Щiпе.!Ыji.'"арр' - люб!;,,' шаоба пр' !"iCXO11дящие е iИницу и связанные i'оотношениеJ\l - + - = 1 (такие числа будемрр'АРЕР!AE~-+-.р0.26)р'iай {ем максимальное значение функ (ии I(x) = x 1 / pх? О. ПОСКiJl;Ю!'~(Xl/P-l~(i-l/P-1)рна ПОЛУПРЯJ\lОЙ--1).то j'(x) > О щшр< .Х < и< О при х > 1. iоэтому фУНЮiJIЯ имеетх = 1, при (ем ее !'iаксимальное зна'1ение I(l) = 1 1J\lаксимум в точке1.р'Итак, для всехх.Х1РР--~-По.! iЖШi В ЮС.!' Дii' М ! ,'раве (ствеHepaBeНi тва на Е;= АР ЕР'2) И!юживполу'iИМ неравенство (Ш.261) Оп. "тим, '1 при .. Кii:~iШШiМ !iывд'' 'iCTai"i'1Hii! '1.!,'на в форме ЛаrpaHiiia на произвоДную (71 + 1 )- го iюрядка накладываются несколько большие iiграЮi''''НИС. ''''М в § 148.
О.'i!ii.шО. ес,!" ИС!Ю'!Ьi'iiiii'lЪ Дii'iазаННУ!iiконце гл. 9 теорему Дарбу (о прохождеНШi производной '1ерез все про межуточные значения); то получим остаточный член в форме Лагранжа лишьпри условии существования и интегрируемости ICn+1)(x).2) 3д'сь м!;!И!;!' iрИ ЕCi!pii! .... . !ИВОСiЪ iiepii "!'Нс(10.2С) "е вы361'ёльдераНеравенствокакиеугодноСУ','М. Пyr ть а1неотрицательныечисла,ааn и,1[2,иимеюттотlо;д;[ снравеДJlИi;; с,;с ду;с;щее нс'раве;;ствоl'рnакоторое называется '!;ер ;в,'НС пв;;м Гё [,[,дер;; д,;;я,iокаже;; с;;а ;;ша,С'СJlИ'1,А 2 ",: В1 ,-;;ак;;е уго;-но неотри;дтельные числа, удовлетворяющие неравенствамnnL~ 1ДJlЯ этихCHl',,;се,;(10,28)~ 1,=11,::::::::::1авеДJlИi"нс'равенствоL~(10,29)1,=1са;;ом;исьшая ДJlЯТе;·;;сс'х Н;;;'раве;;ства 110 ;;сс'мсум;са; ;ьнн; раве;;ство(1{),29)iо'1ИСС.'Jl1инер;.[";;с(10,2С)ю 71, Н ШУ'1ИМд н;аза;;По'; ;жим ;'е;;ерьА,а=[nLВ,;JIP'а,i=lь,[;Ln ь;'.] 1/Р=1Ле; ко ви';е;ъ, ,;то ';ИСJ!а А,В, у'юв ;етвор;;;;ст ;;ераве;;ства;,поэтому для этих чисел ;'праведливо неравенствос';'.;·;ож;;с;заш·;са;ъ),(10,28),(1; ;,29)с которое в ;анноы;'а;сnLа ь;i=l[.
Ln а; ] 1 I Р [nL ьР. ,] 1 I р'1,=1,=1Изюс,;с' ;ш"3м е '1 анер;.[ '.С';;Сивытек [С'Т ш'раве;;ство Гё.;ь';ер;.[В '!аС ;·но;.(1{),27),СЛУ'!ае р = р' = 2 н;'раве;;ство Гё ;Ь ..';ер;[переходит в ;'ледующее неравенс; во:(10,3{))1) Гёш,дер (1:;59-19:17) - немец;;и" ;.;ате;.;атик,2) Мы считаем, что хотя бы одно из чис ели хотя бы одно из чис ел0;'JlИ'1Нbl отне' ;·ребус.'т,;;бощю;;.;в юм с';'.ФОРМУJlа(10,27)щн;а;а;'СШ,СlН,,1 И1lНTK Т.на' (ыва('тсяlepaB('HCTBO/(у'uл((: "'C'h;()('()Нераввн, ((ВО Мин::((ов ((кого 2,ь nС111 авеДJlИi:;д.((}! сум.(((сумм. Пуст,: al, а2,какие угодно неотрицательные числа, а числослед; ющ:'"",а nТОГ.':.ан:'раве;:ствоj(а, + Ь,рр( 03 )называе,,:ое'::равсnсп;вО.АА A1un'J{; ;вС'J{;ого д.(/}! сумм.зуем сумму, стоящую в левой частиnlрежде все; о преобраМожно записать0.11).nn+ Lb,(a,. +1,::::::::::1к:ШЖДОЙ"зс: '··:м.стоящ (Хlри этом: так как (рl·ёль . ;ера.n(ра,!!'/:':;;сти.11риме,:,,"'!!'раве,:створ-- 1)1" = р ир'= - - , получим.р'.]l/PnL a;[ ..+nЬ;] l/p [ n~(a,{Ln+ Ь,)(Р] l/p+a;l)p'] l/p'""'Г'}p-l/p(а:lоделив обе части последнего неравенства на [;~ (о + Ь,)Р ]+ Ь,):р-/р:.юлучиынеравенство Минковского (Ш.314, .
И..нтегрир,:емость произвольной поло~ительной степени мо-дуляфункции, Док;.;же,след; ющ; ю :"';ре,Теорема 1i!iУn'J{;;\ил Л.х );;n/псгрnрусма 'ua ссг.А;п~т/' [о Ь],то и фУН'J{;чи.i!!. где r - любое поло '/!ителъное вещественное число,n;:;'J{;:JКc 1JiU ii ':'гриру/'.м,а, на Cr'гмсn/пс [о Ь].Доказатибо если rльство.
Д;;стато фунюшю1/(x)ITд;:шза(ъIT-[T] Г.:.е [г] - ,,,елая часть Т, а r - [Т]f(x)1 ,ште; р"р:н:.; се;f(x)I[T] ,ште; р"р:1/(x)I[T]1 f11. 1 ~ 6то; О жеС,,:т<1,мО!\,;но пре.':.ставить в ви:е произведенияВ силу замечания 2< 1.ЬIШЭТО!\:·';м се;в СИJlУН;; то; д:.;И "нте; Р':.р;е,':;;СТИ фУ;:КЦИ" f(x)IT-[Т], ФУНЮ:',и:.:.так:.:.:.е интегрируеыа на сегыенте [а. Ь]. Итак: докажеы теореыу для<1.П;;JlОЖ,.:'··r =l/р И за,,:,'ТИМ. ':то рр:.;руе,:а на се; ,··:енте [а,]:то(1804-188;)) ') Герма;: Минк ;,:.с:шii (1864-1909) -1.любо; о ЕТак к:,;:·! ФУНЮ:',и:.:.>О най :ется :..а:шер: сск :'Й ма:.' ма:.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
