Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Ш ..'нлзыiетсяя nе д е л о'U 'I-t0.1т е г р а л ъ н Ъ! Х С У м м1 { Xi,воси аб~абст~иссОчевидно,0.1).интеi раЛi,анепре~ордина-11 {Xi, ~i} nри ,6,есл'U для любого--7j;40JIC'I-tО уnазuтътаnоеnОЛОJIC'UтеЛ'IJ~'l-tое 'ЧIli'ЛО 61), 'Что для любого разб'Uе'l-t'Uя Т сегме'l-tти,la, Ь , "";!a',~с'Uмалъна,i {)лшta ,6, 'Част'U' uыlx сег.ме"тов nопюрогоменъше'l-tеЗui,'U! имо отmO''lin ~i 'l-tа Сiгме'l-tт,х, Х,] выlол~~1t.,Ien;c.,;uepaBencmBo11{Xi, } - 11 <с.Для обозначения предела интегральных сумм употребляетсяСИМiЮЛiiка1=Оnределе'Н,uе3.I СТФУНn',,'U,,;р У е м о 'и (по Р'U.мш;;.у2)называется'Uн т е г р ина сег.ме,;.те [а, Ь], есл'U сушесп;ву~ет no'l-tе'Ч'l-tыii предел 1 'u'l-tтеграл'IJ'I-tыlx {'умм этоii фу'l-tn'Ц'U'U nри,6, --7J/nа,щ,щъ,;u nре,iел 1 называется оnре{)еле,щыM шm;е~гралом от фу'l-tn'Ц'U'UIiXпо i'ег,Л!i'l-tту [а,Ь]{)ун;щ'Uм обра,юм:'Uобоз'l-tШ'lаетi'Я i'ле~ь1=НЮЛЯДiiые геО:,iеТjiИ'iеСiiие/лхclx.,редстаi:лени";,юказывают 3чтоопределенный интеграл численно равен плошади криволиней1 Та", ,'",К '!Не ю 5 З,НiИПIТ '.iT Е,ИШiГда пиш, т 5 = 5(СI.2 Бершард- "е",; Ц,',ИЙ ма i'маiИ,', (18Й6-1866).3 См.
§ 4 г.,. 1.32')Иlf [ЕГРА'юй Т) ,;;ш'цю [, ОЩН'ЩЛ;;ЕОмой f'ра;I,ико' ;liУНКЦi fИ .f (:г) намЕО![а, Ь] В f'Л. 11 мы д' ,;;ажсмЭf" ,ГОДЕОнияПРИRСЩ"фУНКЦffiрИМЕОрuнтегрuру'ой Ф jН'Х:'Ц'/J,fi. д, ,;;ажЕОМ, что(Х)интсгр'J'ЬГ![а, f!d = с ('iJJ,. сгпричt:.\l-\..Dа;.'а на лю(ю:' с;',' СНТ"самою дt:лt:, ТаК какt \J'(\<"i;апри лпбыхI{xi'~i}=,то(6..Xl+: 6..Х2 + ... + с6..х n =C(6.. Y l + 6..;Т2 + ... + 6..; n)с(Ь-а,и ЮЭТО,fУ li~oI{Xi'~i} =c(b-а.Выясним вопрос об интегрируеыости неограниченных на сегмеfпе [а, Ь] ф:Докажеы сле:fующее :твержл,ение:неограff'U'Чеfща:f на сег-ментефую:'Ц'U.я .f (Х) не интегрируем\!. на этом "егменте.Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть ФУНЮfИЯ.f(х не ограничена на сегменте [а, Ь . Тогда она не ограничена на некотороы'fаСТИ'f ю:' cerMeffTe [Xk-l, Xk] ЛI,:t?ого л.анного раз(:иеffИЯcef'-~{:;~i ~a, ~l'B~I~~~~~ ~;~~~;~J~~(fиеf fИ~Х;', ~~;)~;~~а~~~т~~,Йc~~~:~~как угодно большиы по абсолптной величине за счет выбораточки ~k' {)тсюда вытекает, что интегральные с:'ммы I{;Ti ~i}отвечающие fЮ(ЮЫУ раз(:иению Т не ограничены ) и поэтом:не существует конечного предела интегральных суыы.Соо; 'разуясь с дorfaзанным утверждеЮfе,f,раСС,fатри-вать лишь ограниченные на сегменте [а,функции.
Во:шикаетво: рос: BC:f'X:a:f Л'U огршш'Че1tfIa:f на сегмеmпе [а, Ь] фУff'Х:'Ц'U.я:f.6л.яетс.я 'Uнтегр'Uруемml на этом сегменте'? Следуюший примерюказывает, что это, воо(:ще говоря, [е так. УбеДffСЯ, что заведоыо ограниченная на сегыенте [а, Ь] фун'Х:'Ц'U.я Д'UР'U!Лi, значения которой в рациональных точках равны единице, а в иррациональныхнул-не 'Uнтег!f'Uруе.лш на сегментеla, bl.Действ ителыю, если ДЛ;f ЛI,'fЮ,'О fJаз(:иеffИЯ т со с'Х:олъ угодно малым6..выбрать точки ~i раffиональньвш, то, очевидно, I{Xi,n2:= .f(~i)6..xin2:=разбifеЮf= Ьа, ест·!i=lТ точки ~i выбрать ирраffиональньвш, то I{Xi'~i} = О. Поэто-==i=l1) Чпfдить';; В Э'fM.до; iаТОЧi;О фиюиро"а';'""и ~, на вссх 'еа-стичных сегментах ра:збиения Т, :за исключением сегмента,Xk].
Тогдаинтеf iJJ' ibH"i; с' f,'fMe 1 {fi, ~,} бf де изменять';; лишf" ,Л; rJf.f'MOe .f(~ f!::,.fk,. ';тор""';жебыть е',;'К УfОДi;ОfJ ,iЬШИ·f ПJ; "РС 'iЮ i;ОЙ i,еличинf'.lE01М\' Дф\'ТММ,lщии10ГН(' : ТЩССТВУfO1эт:' сl:УНКЦl1Яв УiЛЫпр: дсла иМЫИ lТ:ТРИРУfOМОСТЬПоняхиерfOрыв-ФУlнижн(:i:iФунКllИЯ f(x)разбиение ЭТOl'О сегентах п = Ь.
Обо:шачиы чере:~ 1\1i и Шiol раllИ'lеllа на сегенте [а, Ь] и Тсоответственно1,НЫХВерхние и ни:'F\ ше суммы§ 2.точками а = ! ОlTCI'pa,lT:TPlIPYfOM:lиlПирокоп' l:Л:lсса ра;рыв!ФУllКl1.lН1,1И 1ШТ1<< ... <х1'0'1-l\'Ю верхнюю и точнуюфунк lИи на сегыентеlИжнюю Г! ,аШlЭТО1l,х:]. cyMj:4ыn+ ... + Mntlx n =В=nSn!ltlx1+ Ш2 tlХ 2 + ... + шntlх n =L Шii=lна;ъtваЮПiС:! сооmвеmсmвен/ю в е реuи н и JIC Н е й, с у м-для данного разбиения Т f'егменmа [а, Ь].ИffmеграЛЪ!ta:j суммаXi' ~iдан/югоразбu' ния Т сегj:4енmu, [а, Ь] зu'Х:лю'Ченu MeJlCayи НИJIC10, '!тоней, су.ммами S и s э т!ого ра ;6иени:!.! !Онятия верхней и НИJICней суыы становятся особенно яс.
еслигеО:lеТ!lИ'lеСl;ИМрелста шеllИЯ:l. дляпростоты рассмотрим положительную и непреРЫВНУ1:: Функт~И!:'Г (х) и криволинейю'ю трапецию, опрелеляеыую этой Ф\ нкцией (рис. 10.2 и 10.3). ЕСЛll- некоторое разбиение cerellTa[а, Ь] . то числа M iредставляют СО(1Ойслучае [е; рерьшной функции (х) ыаксиыальное и ыиниыальное значеНИЯfТОЙФУНКllИи на частичноы сегыенте [Xi 1, х,] разбиения Т.
ПоэтоыуfверХllЮl СУ' а S равна fлощади заll1Т!lИховаl 1Ой на p1lC. 10.2ступенчатой фигуры, которая содf]iJICиm криволинеЙНУ1(\ траfецию, а НИ?l:; lЯ'tl с\'мма Sрис.10.3[а площали, заll1триховаl1Ой[аступенчатой фигуры, которая f'одеРJICиmся в криволи-1Ой траffеции1раffеция[аIHlcYllKax 10.2и10.3о('ведеllажирной линией).Как уже говори. 1Ось, из наглялных геометрических прелставлений вытекает, что интеграл численно равен площади криволи!1Ой траffеции. С ДРУI'ОЙ стороны. очеВИДl1О, что если разность между верхниыи и нижниыи суммаыи может быть сделанаl;аl; УI'ОЛНО малой тос;'ммы MOl'YT стать l;аl; УI'ОЛНО (fЛИЗl;Ими к плошади криволинейной трапЕщии.
! !оэто~у можно ожидать, что для интегрируем ости функции необходимо и до ста-331г <llИЕ и НllРис.1'0'110.Рис.10.2что',ы раЗlЮСГ10.3lей ису:'ами:or.laбыть как угодно малой. Строгое дока:штельство этого будет дано в сле1ующеы параграфе.СВОЙСl'liа liерхних и нижнихДокажем справед!ИЕОС1Ъ С.lеД\!ЮЩ1l1о.свойсг' Ее! 'ХШl!ИХ су:'Дл.я любого ф'U'Х:СЩЮ!Ш'Н'Н020 jiu.збuе'Н'U.я Т 'U дл.я любого> О nро.меJICУПЮ'ЧНЪfе ПЮ'Ч'Х:'U ~i на сегмеmпах [Xi- , Xi] MOJIC1tGвыljiатъъ тап 'Что ш-tтегjiu.лъ'На.я {'умма 1 {Xi, } будет удовлетвор inib!iepaBei!cmBaMS - 1 {Xi, ~i}. ТО'Ч'Х:'U ~i MOJIC1tGiiыljiuтьb mu'X:JlCe 'U mu'X:'UM образом.
'Что 'U'Нтi',!рал!!'Нu.я {'умма6удет удовлеПiвор.ятЬ!iеравеi!ства.м О1 {Xi, ~i} - sПусть Т - некоторое фиксированное разбиение сегментаЬ ].докю!!е'аПР1l··ер. ЕОЗiЮi!i юсть Еыбора10да;ЮilУчек ~i так, что будет выполняться неравенство ОЕ. ПО определению точной гранисегменте. Xi]Miтолдя лднного Е>О<[аможно указать такую точку ~i чтоО(~i)!j(b-a,множая ,ти неравенства наСправедливость>- 1 {Xi. ~i}i = 1 2, ... ,LlXi и затем:( S - I{xi, ~i}свойства 1о установлена.складывая, получиы2. Есл'U раз6'Uен'Uе I сег.меi!та [а, Ь] nОЛУ!iеifO nYnieM добавле'Н'U.я 'ноiiыlx mO''li'X: 'Х: то'Ч'Х:а.Лi u.збuе'Н'U.я Т эт, ·го Сiгме'Нтu, товеРХ1l,!' су.мма В' pait?'UeH'U'!!ie больше вер;т! еи су.ммъ! S paiб'Uе'Н'U.я т, а 'Н'UJIC'Н.я.я сум.лш s' j азбuе'Н'U.я т ' 'Не .,'Ae'НЪ'iиe H'UJICHe!!Iсу.ммъ! S разt?'Uен'U.,!е.SIs,! 'а!! !!а!! разбиение'о'!!ет ('ЫТ1, ПОЛУ'lено из разб1lеШl Т путеы последовательного добавления к последнему новых точек,1'0.
О'lеШliЩО, СФОР,lУЛИjЮЕанное СЕОЙСПЮ достаточно .i1.оказатьдля случая. когда к разбиению Т добавляется одна точка. Ilустьэта точка х ' располагается на сегменте, Х!] ра:~биения Т сег-lE01lН1,1И 1ШТ1lJ] ,Об,' ,';1 С1'lИМ 'lfOPfO'; м','!фуню fИИ j (:г на с\'гы\'нтах,'-'''''~'M ',;,,,'[(1, "10ГИЕ('РХ11ИfOrPffH!lP!:~ fl:г; и fl!~'длины зтих с!ты\'нтов И ч\'р\':~ 5 ив!'рхниfO (уммы ра;би\'fИЯ, ЮЛ/!>!f01 1ОП; добаВЛ\'Нi1i"fИЮточкиОТМfOТШ\I, что fl:Гifl:г~-+ fl:г~'КруумfO того, fOiЛИточная ВfOрхняя ГРflНЬШffЧfOНИЙ Функт~ии j(:г) Hff с!ты\'нте, х,], то 1\1, ? Л1} и Mi ? м[" поскольку очевидно, чтото''!/ндя в, jfХНЯЯ ZjfffHi' ФУНff'Ц'U'U на ''lш'т'U ceZMCHmff,,х,] н'Minревосходит то"lНУЮ верхнюю граньэто'й фУН'К:'Ц'U'U на в/'емMiceZMe/Ime [Xi-1 Xi]' ПОЭТОf1У, УЧИТЫЕаf1 что СУ'5 5' различаются лишь слагаеыыми 1\1, flx, и м: flx~1\1}' flx;', получим+55'м"" flx" - (м:,flx'Z+ м" flx"},(Miт.
е.5'.1MI)fl<-+ (Mi -M:')fl;r~'?о,Доказательство для нижних суыы про водится ана-ЛОП1ЧНО,30. Пусп;ь т''Uлюбые два ра,;б'Uе/I'U,;! сегмеmпа [а, Ь].T/i -То г Jff, Н'UJlCняя /'умма одного 'UЗ эт'Uх рffзбuен'U'й н' m;евосходитffерхнююCYjAMYдругого, Именно, е/'л'U8','U 8"ветствеп! IOff'UJIC/ I'Ue 'U верх/ I'Ue сум,мы ра;б'Uе/ I'U'U8'5" ,5" -сооти", то5' .8"Выше мы установили, что нижняя суыыа данного разбиения нереЕОСХО/fИТ Еерхнюю с/'мм/' ЭТО!'О раЗГfИе1ШЯ. П!,ст!;- разби-е1ше сегента [а, Ь], ПОЛУ'lенное объе,ff,Иf1е1шемШЙ 1) т' иа 8 и- верхняя и нижняя суммы разбиения Т.
Так какт"шеможет (,ыть ПОЛУ'lено из разГше1ШЯ'1е1шемк нему точек разбиения Т", то ПО свойству 20 и отыеченномvшжней и вер {ней СУ' 'ы ОЛ'нОГО и !'ОГО же разбиени"яимеем8'Ноше58'Q}!feT бы!ъ!'aKl!feПО,lучено из разб1e1"добавлением к неыу точек разбиения Т'. Поэтоыу8"8Сравнивая !'становленные вышеченньвш, убедиыся, что "/ :(равеД,ШЕОС!Ъ свойстваHejaBeHCTBa5", ,,/'с только что полу5'.30 !'CTa1fOE,le1а.40, M/IOJlCeCn;BO {5} верхних сумм ;iшmto'йj(x)для ffсеffOЗМОJICН'blХ разб'Uен'U'й CeZM!'Hmff, [а,О'"lЮН'U''lен{) сн'Uзу.М/1ШJIC1Ш;!' су,мм огРШШ"lено свер:;;у.з(шенийиучиы;;аюСЯ один Р! З.333г <llИЕ и НllЭтош п, "PfO;l' l'EfOl10,lВИТ;';иров шн' ,йiюi 'i;яв; РХifЯЯнижнсй'ТММС;;уммы,СЛfOДОВi;ТfOльш;ЕСрХ! iИХ 'ТММ ;;г! ,iШli {СН;; сни:~у, "1юбаяВ' ,;ходит Кi;кую~либо BCPXНl',Ji;HYl"{S}а НС ПрС~;УММУ, И П, ,,)ТОМУ МНОЖfO(твонижних суыы ;ТРiШИЧСШ; свfOрХУiИЖНЮЮ l'paiМНОЖfO(твоiИЖН>iЯ су:'Обо:~начиы чfOРfO:м i 1Ожества {В1 Еерх i iИХ СУ'1точную1-а' i ерез{8}точ~BepxНl' ,Ji; грань ынmкества НИ:iКНИХ суыы:1=1 = inf {S},ЧИс"lа1и1 называютсяSllp {;;}.соответственноI;;PXH'Uj;! 'U H'UJlCH'UM иH~тегралам'U Д;;рбu от фуm'ЦIШ f(x).
Докажеы, что 1:( I.1 > 1. Тогда ра:шость 1 - 1 есть положительное число, KOTO~рое мы 04"1Означи' 'iерез Е, тат! что 1 - 1 =>Из о; релеления точных граней1и1вытекает, что сушестВi;ЮТ числа S'и;J', представляюшие собой соответственно верхнюю и нижнююс;'ммы некоторых разбliеНliЙисегента [а, Ь] такие, что1 + ~ > S' и 1 - ~и учитывая, чтоiepaBeiicTBo50.1ШЛ8".1- 1Вычитая второе iepaBeiicTBo из первOl'О= Е получиы;J'!1ОТИЕоре'iИТ> S'.Но;то ПОс"lеднееи Нl!30iИХ С;'ММ.Пусть разб'Uен'Uе т' сегj;4ента [а,nОЛУ"lено 'Uз р;;збuе~добавлен'Uе.м к: после, JueMY р новых тО"lек:, 'U пусть 8' S'соответственно H'UJlCH'Ue 'U верхние ;;YMMblт' 'U т.
Тогда длл разност;й S - S' и;) - 8 1) j;40JICem быт'/J nолу~'Чена О'!J,енк:а,iав'Uсл'ща;j от мак:с'Uмальной дЛШlЪ! 6. "laCn}'U"lHNXсегментов р;;збuен'Uл т, "l'Uсл;; р добавленных mO"lex; 'U mO"lHblXверхней, 'Uu'UJlCfJeil граней, J\;1 'U m ФУi;К:'Ц'U'U f (Х )иа сег.метпе'U 8,ia, /'Именно,S-S'(М- m)p'"u',8; -8(М -Iр6..Для того чтобы убедиться в справедливости;того свойства, дo~статочноДOl'iaзаТl,РИЕеденныенераЕеНСТЕа:lДЯСЛ;"iая,КOl':щк разбиенИl" Т добавляется одна точка х' .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
