Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 57
Текст из файла (страница 57)
ПреДllС 1 ЛОЖИМ. lTO ф('НЮIИЯ Уf(x)< <ДИС!Н!fеренцируема на интервале (а, Ь) т. е. существует KacaTe.1fb~ная к графf!этоI,] фУНЮlИИ во [;сех ТОЧlfах, аБСШfССЫ которыхпринаД ' fежат интервалу (а, Ь). ПреДПОЛОЖИ!l!кроме того, что:3ТО31fИНуJ(:T) ffMfOfOT ОПрi' fСЛСННi)fO ,Ш! 'i·fiШ Нffi' BЫ~H,i кажДt м ff:~ ИН'f fOр i,iЛCiВс)(,)ОnРi"дiIЛil'Н,Ш". ТО'Ч'/);(}, М(с, J(C)) ёРПф'U.'К:{J фУН'К:'Ц'U.'U.то Uе р е ё и б (], ;тОёО ;1 f)(],фи}С()',J(X)н(],зывпетС>fЩiiствует та'К:пя о'К:р('стност;, то'Ч'К:и},m!!ОfЮ'UуОСН абсцисс, вnр; I!ел(]'ху-= j (х) слева и справа от сU.Nteem раз ible наnравле;}i" iibl~МОM~_ _nу'К:лости.На9. О ffзображен г! a~фик фУНЮIИИ, имеll'П'lере-гиб в точке М(с, J(c)).lfОiдаприоопределениихТО'lКИ перегиба графика Функ~Jции У(х ) дополнитель~но требуеТС!f чтобы у'К:азшi.НЫUРис.
9.10?рш/iи'К: BC10ily в nреilелах достато'Чно .чалоU о'К:р('стности. то'Ч~'!Си с ос!! а6С'ЦifСС слева!nраеа оп! с ле· !нал по разные стороны от 'К:асатеЛЪНOIl 'К: эточу графи'К:у в то'Ч'К:е }.;[(с. J(c) . Ilижемы ДOIiаскем, что это Сlю11ство будет liыIекагТ1опреде'lения в предположении,непрерывной вTi,'lKelfЗ данного НЮШflTO прои!водная г(х являетсяс.Докажем слеД\'ющиеЛемма 1. ПустъуJ(x) U.Nteem nРО113вод !1JЮв 60'К:рестности то'Ч'К:и с, nри'Че.i; эта nро'U.зво,!ная неnрерыенас.огда, если граф!!'!у =хи.чеет на 'U.нт('рвале (с, с6) выnу'К:.!шст;· направленную вн'U.з(ееерх) , п!о ii!юдупредела.! !Ui.п!ереала (с.
с';);тOfТ!. ;lрафи'К:ле:JICит не H'U.:JICe (не выше) 'К:асателъноu 'К: граф'U.'К:у. npoBeileHHouв точ'К:е( С.с) ) ..f' (х+11о к а з а т е л ь с т в+ассм т им п седовате ьн сть{х;;} точек интервала (с. с+6). сходящуюся к TO'lKe с. Чере; каж~Д\'Ю точку Мп(Х п . (Х п )) рафика Ф!'РУ = J(X) lроведемТiасательнт".этом.!рафику.. е. пр [мт, 1 )i-nхп= Jимеет на интер~ВЫПУК'iOсть, ню равле fН!'Ю i!НИЗ (Biiepx) то ДЛ!fТак как по условию граijшк ФУНЮf.ИИiiале (с. с+ б)лю()ого номерантерва. [а (с. сJ(x)nи любой+ б!и к с и р о в а н н о йТО'lКИ ХifMeeMУП =1) I\IbI iiСНО р.з,lеМ·"Рi.ШНГ"ИГ jj ря,.юЙ.
проход iЩГЙ ',ере да"н'"ю тОЧ); '1МNf(x n )) и имеющеii УГЛОВОЙ коэффипиент,ОРДiiнату ЭТОЙ jjрliМОЙ обо шаЧi,.ем ',ере У ...равны"f'(x n ). ТекущуюИ: Н:ЛОВ::HfO::PfOPblBHOCIPHfO::pfOpblBII< ПР:::~I('Л( нияв ТОЧКfO Си:п,!, чт(:!(,СТВУfOТ ПРfOДfOЛ1im и(:г - YJ n-+х1im и(:г) - J(:T n )-n-+хJ'(:Tn)(:I: -:г n }=(:гИз с\:щеС"I :ю:;ани теоремы3.13и:~!)юследне:о предела в силу нераве Iства§1х -г.::.с)3(*ПQ::УЧИМ, ЧТОГ с)(хс)ОО).ЕСJШ обознач::'!!, через У теf,\'ЩУН; орд::f,асю eJIf:HoI,i (9.5),прошдЯ! !,ей lepe: TO'lKY M(c,J(c)), то пос:еднее неравенство,жно переписать в виде:(х) - У ;? ОО).Итак перешдя внеравенстве (* к пределу при n --+ 00 иЮЛЬЗУ~I теорему3. 3из гл.х3,мы получим, что-У;?Одля любой фиксированной точки(:::;;01из интервала (с, счем У обозначает теf,\'ЩУН; ординатуlерезf,aCaTeJIf:HO i,+ дlприпро:;еденноliTO'lKY М(с, J(c)).
Ле:l:lа доказана.а м е ч а н и е. Аналог::чно форму.ш:р\'етсядor,азывается леf:lf:lа 1 и для С:У'lая, когда график функции имеет определенное нас :равление вы : \'кш сти не на интеf ,вале (с, сд), а наинтервале (с - д, с).3+Лемма 2. Пустъу = J(x) !!.Nteen! nроизвод;f1jЮв не'КотороП о'Кр("стности то'чхu, с, nри"ч'ем эта nрои,zводнал неnрерЫ6iШ вс. Тогда, если граф!!! фун'К;!и!! у = J(x)и,чеет nер("гиб в тО"ч''Ке 11:1 (с, (с)), то в nреде./шх достато"ч'НОJ'(x)Jмалоu-о сuестности п!о пси с)топ! граф!!'!: слева и ;nраеа от сле:JICит по разные сторонъ! от 'КасатеЛЪНO'Ll, nрове;!еннои "ч'ерезто"ч''КУ М(с,J(c) .д о к абрать д>а т е л ь с т в аО настолько малым,',:той':еммы с:едует выlтобы на каждом из интервалов(сс) и (с,С+д) граф:уJ(x) ::ме': о::ределенноенаправ':ение выпуклости С'!ТО направление будет раЗ'ШЧНЬЕl наинтервалах с - Ас) и с, с д)).
После этого для доказательствалеf:lf:lЫ 2 остается ПР:VЕlенить1 к функции у = J(x) по+f,aflfJIOM\' из нтервало:; с д, с) и с, с + д).leMMa 2 позволяет нам установить неоБХОД:VЕюег::ба граф"f,а дважды дифференцируемойусловие переданноli ТОЧf,еции.Теорема 9.6 ('Н.еобходzсмое условие nерегzсба графш,,-адва:.нсды диффf'ре'Н.циРУf'j1/!.ОЙ фу'Н.'К'.ции) Если фун'Кцил у =U.Nteem в точ'Ке с вторую nро!!зеодную и графи'К :ППОUфун'Кции им; ("т nере/иб в тО"ч''Ке 1I:1(с, J(c)), то J(2'(c) = О.:3д:~ОРД1!то3131ИНтfOл Ь(\!Щ;l!!!!с!(!аТСЛ1!Нl!!!чсрfO:~lKY графИКl .М(с, f(c))Рассмотрим функцИi!!!) (:гу=!)f(c) + f'(c)(x - с).lfMeeT в ТОЧllе с lГО·ПРОlfЗlЮДНТ!'HellO-равную раности f(x) и линейной функцииЭта ф\ ПЩlf Р(х),функция (х,р\!юlРОИЗВОД 1\!Ю (аютомуlfMeeTпеРВ1!Юторой окрестности с, ПРИ'lе!!! ;!!та первая производная непрерывна в ТОЧllе с).Clf lУ леммы 2малой Oflрестности ТОЧК!f сграфик функции= (х) лежит слева и справа от с по разныестороны от касательной, проходящей через TO'lKl М(с г(с)аClepOBaTe!lbHO; функция Р(х) в !!!алой окрестности то lки с имеfcllpaBaет слеllаот сраз н ы ез н а к и./!1ало БЫТ1!, фун/х;'Цuл Р(х) не мо !нет U.Ntетък;алъ1-tо;;,ос ло·эк:стр! ;чу;ча.ред ЮЛО/КИМ те!что f(2) (с! #Р'(х) =(х)Г с), F1 2 )= f(2) (х),Р'(с) =р(2) (с)о.
Тогда, юскош,куЮЛН!,!i!!ТСЯ УСЛОl!ИЯО И ll,УНКЦИЯ Р(х) в силу теоремыимеетТОЧllе с ЛOflаJьны11 экстремум. ПО!lученное[рml! lюреЧlfе pOflaо является невеРНЬЕ!, т. е.зывает, lTO предположение f(2) (с) #f(2!(c) = о. Теоре!!а доказана.Тот факт; lTO o(ipa! !,ение в нуль второйпрои:~водной яв;!шетсяишь н еб х о д иыусловием lерегиба графикадважды дифференцируемой функции! вытекает! например, израссмотрения граllшка ll,ункции у = x J .рая ПРОlfЗlюдна!1 у(2)=12х 2:пой фУНК!1ИИ вто,обращаеТС!1пш! в точке хTO'lKe AI(O,=О,но ее график не имеет перегиба вВ силу теоремы(f.6для отыскания все; точек перег:vпiа графика дважды дифференцируе!!!t!й фунК!!Ии уf(x)ю!жю! рас·смотреть все корни ураllнеН!!Я f(2) (х) = о.Поскольку равенство нулю второй производной является лишь..неооходимы!!!довагусловиемlЮlllJOС о наШfЧlfперегиоа, то нужно допо'!Ните;'!ЬноlереГlfба виссле·ТОЧllе; д'ш 110ТОРОЙf(2!(x) =проведения такого ИССlедования следует уста·HOBlfTb достаточные \!СЛОВlf переiиба; чем\ мы и переХОДlfМ.Первое достаТО'lное условие перегиба.ТеОРl!ма'''( Пустъ фу1-tк:цuл = f(x) и;\ !!т вторую про·uзвод1-tую в1-tenomopm'lгда, есл!!пределах у'каза1-tIIОU оnреСПi1-tОСf!!!! f!f!;орал1-tалu;чеет раз1-tые з1-tак:u слева u справа от с.
то графuк:f ('2! (х)ок:рестности то'Ч,к:u сэтоu ;/iу1-tк:цuu u;чеет nер(гuб в то'Ч,к:е д'1(с.uf(c) .(с) = о. То·ф\1<а1 ;lтеЛЬНУfi'условий теоремы вытекаетнеНДалее, из т(;:)разны:'знаки,ВЫПУКЛО 1 тииизслеВ;1)10.точкесу веСТВ1 Ш;IНИ1' Ю)Н!что(х) слеЕа ите )ремыи;;Ш;1м,от;1ется:fTчтоС им:':'тн шравл:'ни:'1;'0];;IЗЛИ'1Н1;:ДOf<а:ана.При м е р. Найти точки перегиба графика функт~ии у = х 3 -- 4. Эту функт~ию мы неоднократно рассматривали выше;афик ее и ю(:ражен {а шс. 9.1). ll:fСЮШЬКУ l' (2) СТ) = 6;; - 6 =ш которого= 6(х - 1 , то е,шнственное значени;' аргумента,-3х:f'ОЗ\1Ожен 11ереГ1{б, есть х =зна'{еНИfi' арг\1.;jeHTaCOOT~ветствует точка графика М(l, -6). Так как 1'(2)(х) имеет разныезнаки при х> 1 и при х < 1переги(:а графика3.является точкойВторое достаточное условие перегиба.
На сл\ '{ай,когдаВто точка А1(1,;ассматриваемой ф\ {кции.нежелательно:fКреСТЖfСТИТОЧ1<ИИСGтrедованиезнака второйс,шруе;:вто] юепроизво, нойд(tстато{H(teус{овие перегиба, предполагающее существование у функт~иив Т(tчкеконечно!! третьей прои:водно!!.Теорема 9.8. Если фун.'КцияHe'i u;'Ю трет'ь'Ю nроиз :nд u;'Ю=1'( х)и.м.еет в rnO'ine с 'КO~в эти! mд'"условия.м. 1'(/: с) = О, 1'(3; (с) =/:: О, то графи'К эmИl фун.'Кu,ШL и.мe~перегиб в mд'"октеореМ;1аз8.91атМ(с.1'(;)).ельство.1;пекает. ,{ТО 1j!УНКЦИ;1у:';ывает в точкеТак 1<а1<(;:) =в(tзрастает, либоО, то и в то;,Идру;о;,Gтrучае найдется такая окрестность точки с, в пре,lелах которойр2) (:;;) имеет разilыc зн.u'Ки снсвасправаl'..
Но то;да попре,lыдущей теореме график функт~ий у =х имеет перегиб вTO'{KeII(;, (с).3 а м е ч а н и е. Конечно. теорема ij.8 имеет более узкуюсфе]действия, чем теореJ\Ш 9.7. Так,. теорема 9.8 не решаетвопроса о на. ШЧИИ перегиба для Gлучая, KOr,l.a у Фуню ;ии у =не сушеств\ет коне'{но!:!ДШ Gл\чая..(с) =т]:е;ъе!:! ПР01;:ВОДНОЙ.а такжеВ пос;еднем Gл\чае ДШ;ешениявопроса о наличии перегиба нужно изучить ПОВ:',lение В точ~ке с ПР01;:ВОДНЫf'ысших 1ЮlJЯДКОf' ,{ТО б\дет сделано {аш в§ этой Г.;авы.Позв]:аТ1.;;je];асс ,10; ]:енно;,'в f1]:едыдуше;,пункте, и покажем" что вопрос о на.
;ИЧИИ перегиба у графи~ка фуню jии У=х 3 - 3х 1-может быть решен и при помощитеоремы 9.S. В самом деле, 1'(3; (х) =M(I,6)=/:: О, стало быть, точка9.8.являетс;; то {1<ОЙ пере;и(:а, со;ласно теореме'10шруемости "!}ункции},ЛИ!!'окрестности слева и с"рава от сдл>'точек,",)кит" сун ('с, '''''''''!ие коне',ю>й пр,>ишоД!юй Г[о"азательство теоре>,ы,а,,'}ает с доказательством,9,7,е)ка''',,''н"'''}'тор'При этом следует дополнительно пре", Ю~с у"аза"ю,r"(")измене ,ия" июсло "но COB~приведенным выше.да",ее, м(')кю> договор'" ",'я пр" ОПl"'дею'ю,ипе "'гиб,,ипс,ю~Ч;IТ;, ,'лу'й", когд"ГР;lфику В ,}ассм ,тр ша,'М('Й т}, ще парал-л}лън,а }",и Оу 1).таю,ii д!>Г}Ш('l"'ННОСТИ в т,'орем(' 9.7 :\н>жю, },тю, ",ть-ся даже от требования о,шократной ;юj,Ференпируемости функции f(x) всамой точке с и счюрмулировать эту теорему следу;"ншм обраюм.Пуст'I' Фун,>чия= f(x) шлсст l;;Он,с'Чн,ую вторую производн,ую всюдубы''''', MO;)fCem,то",>иПуст}" дал", Фун,nчия у = .f(x) н,спрсрывн,а в т,; 'n' с и графиn этой фун,nu,ии иЛI' 'т nасатСЛ/I'н,ую 2) в то"21;[(, .f(')), Тогда, 'слив пр}д}лах уnазан,н,ой о",рсстн,ости вторая производн,ая ,tC2) (х) иЛlсст разв "еnоторой ол~рес "nос'''''',о'Чл~и С, ,;ан,ыс зн,аnи сл}ва и справа ,;т то'Чnи С, то графиn Фун,nчии у= .f(им' 'т';ыПри М е р.Наiiти точки перегиijа гра,,!шка функции у.
Эта "!}ункция имеет вторую ПlЮИ ""'дную всюду ю, бе};коне',ю}й пря}юй,за исключением точки х = О. в точке х = О рассматриваемая функция не; 'рерывна, но уже перваяПlЮИ "'" ';юля },б,}аТТ~;lетС/, в бе};коне 'н' "'т,,. ОДЮIКОгр;}фик фу" (цю; У = х 1}3 "';еет В;ею,ную, паР;lл"ею,ную оси 0}1как втораях,(е (О, О)9.11 i.
Т,к3)'роизводная29Рис.19.---ии,,('т С ,ев"и };пр;ш', от Т' ,чки хУ = х /3 "';еет Ш ре; ,,;б§ 4.Оазны(' ЗН;IКИ. т}, ГР;lфик функцииТретьеТеоремау ==точю' (О, О).;5}3jиба9.Пует'ьn~1 -'Ц} лое 'Ч,U} лОnует'ь фЛ-{,n'ЦUЯ(х) имеет npOUJBodHYi n ТЮРЯ" !na n в HenomopO'il опреет-+еnрnuзводну1Оnв еа,мuu mо'Ч,nеПуст'ь, "fалее, справедливы сле,,)Уi пцие соотношения:j(2)(c) = j(3)(c) = ... = {п) е) = О,С/'УЧ;IЙ соо; ,,,етс; '''у(''j(n+l) е);начениюi= О..f'2 Х,>т>, б"r п 'l,а"ю' 'ы'ую0!1.') Это вытекает, например, из того, что график о!jратной функцииимеет в этоii точке касательн,\'ю=О.(9.S)= уЗг !бМ.являетсяувлОi;;'Нее . U.!;!ее!у;ЛО!iUЛ'h'Нъzilс,pnl) (i) >ипри Рn+l) (с)1/Д о к а з а т еь с т вч е т н ы м чис!Ом.
При n =дает сnр/;С лm;а.н'Ь'Н'Ы·L'i2Пусть снача. [а n являетсядоказываемая теорема совпа9.8. Taii}i'Je дсжаза;;н )й теоре .!i)ЙНУЖ[Н)i'ести.!Оказательство только .iЛЯ ч е т н о г о nПусть четное n у.!Овлетворяет условию4.Из условияnj(i l)(c)"# о и из теоремы (3.9, примененной к функции jH(x),вытекает. что,;та Функт~ия j(n)(x) шбо возрастает.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
