Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 52
Текст из файла (страница 52)
РазлоvкениеHei"iOTOpbl элеТv1е 1TapHbIX функций. Оценка остаточного чле1 для произвольнойции. Оненим для ПРОИЗБольноij функ ши((статочный Ч.1енфОР\iулеакюрена(8.i'A)фор\ е Лагранжа(8.;)5).1) Колин lVIаклор;'н - английский математик (16 )8-1746).,) При этом ;;ре,ц;юлагается, чтоимеет в окрестности точки х= О (;; + 1)-;" ир ;ИЗIЮДII;для остато' юго iЛс;;а В фор".!с П;'а;ю окрестности то'х = О (n - l)-ю ИРОИ;;ЮiIIУЮ, а в са",юй то' Ее х = О n-юпроишо . ;н:ую.З) Ен,; раз ИОД'iСРЕ;то ЗlIa'iСНИЯ () фор .i.\Л;;Х {8.и .56).
вообщ!говоря. раЗЛИ'i;'(;].ПР<ДfЮЛОЖИМ,ра ; {м iТРИ уаем iЯ'fTOнамиФун {ЕИ!fj(:T)обл,щает сле.i.ующнСi\,ЙСfвеще i тве1!ное'lrnO для все'уiНii :ени!! iiPi'Y.}VU 1:пиz:гcnpii-и·!iiедш!! iO нера уенство(:г) I(85S)l'vl.ФУНКЕИЮ, о(;ла;lаЮi i.УЮ \казанным сво [ством, ;>Y;leM называть 1>1f'!!K'I~Ui'U, совокуп1lОсm,'ь всехкот !jlOU ограНИ'lена в окрестности тО'lКИ х = О.з неравенС'! ва (S.58) вытекает ,{тоМ.и fЮЭТОМУ нз фор>. уш,i (8.у)5) следуеfIR n1:0171+1 Ij(n+1)+ 1)11ро!!I~{nИтак, .чы nолУ'taем11020 'ч !С1Ш1>1/ !КЧИИ,УНИiiерсал'ЬНУ!{! оченкуocrnarno'l-в окрестности то'Чки х = О:( .г) IНarюмним, что ПРИfюбm.м Ixl n 1 .(n + 1);(8.60)фнксирова ffЮМT{,·+llim I. !=n--too(n+ )!п.1:0171+1{n+1)1'совок/т/носшь все.Г nроизвоi!1!ытr к nnоОi'раНИ'lена 'Число.!!(см.
пример(8.59),{тоО. ОТСЮ;lа вытекает. что выби11, мы можем сделать правую'{аст! (8.60) как угодно ма.ЮЙ. Это дае! нам ВОIМО!! fЮСТЬ ffP+3 §гл.рая достаточно БОfЫfЮЙ н!!мерменять ФОРМУfУ J\Iаклоренафункцнй,реобfадаi!!ЩИХ[ля при;;лил;:енного вычисленияуказанН!,iсвойство>.!,с!,бойHarfe-за;lанной точностью. Приве.iем примеры функций, совокупность все:<точки х=j(x)О:=Щ оизводньг<еСТ, j(n)(x)=которых ограничена ве/. Совm<упност! всех ffРОИ!ВОДНЫХэтоil функции ограничена наfЮ(;ОМ сегментело>.' М=2) J( х)окрестности[-r, r(Т'О) чис-еГ.= cos х или= sit Х. Совокупность все:! произвоньг! ка.жлоil из этихограничена всюна ;;есконеЧШiйпрямой чнсло>.
l'vl = 1.Разложение по формуле IРlаклорена некоторыхэлеме!!тарных функций.А.= е:Г • Поскольку ;(n)= е:Г , j(n) (О) = 1 ;l.iЯfЮ;;О-гоn , f a Маuюрена (8.;А)2~!<ieeT видn+ ... + х + R n+1(.Z)(8.61)пет ,точн{< < 1)(ОН;! люБО\1[-Т. +Т(ТО)2Ю1ЛЕНА'10в снлуlOri1, чл'<е'.полу !им следующую (Щ1 llКУ для О(Т;l111ЧlЮГО чш lla~гпiIRn+l(X) < (11 + l)!е.Б.1= SillX. ПОСIЮЛЫ<У 1(n)(х) = Sill (г + n~){О1(n) (О) = siп n2форму.S11где(8.1;2)МаlOIOреllа (8.;А)laХ = Хх3-х5х{+ -:::1,-3.~"-1--Т-{.n,n,при нечетном\1ее] вид+ ... + (-1 )-1нечетное чис1Оn -при четномn-lп-l х-;-;т'"2+ Rn2а остаточный член в форме Лаг} анжаравенХn2•, Slll2) .IJиХ+ n-2 + 7г1i< е < 1).ОчеВИ;lНО, ЧТС1 наlЮ iOM сегменте [-Т, +Т] (Тного Ч~lеllа СllраЕеднва следующаilО) для остаточ-онеllка:п2IRn+2 (x) ~ (1)1'n+.,.....В.
1фор ,1У= cos Х.Поскольку 1(n) (Х)(О) =n~ = {о-1)Ма iлореllа (8.;А)laХCOS2:r;le n -cos+Х4!= COS(Х + n 2 )при нечетномn,nпри четномn,\1еет вид6,+... +6.1)n Хnчетное чис 10, а остаточный ч.leH+(S.65)в сlюрме ЛагранжаравенRn12= (;"+:)1 COSn+ ., . .любом сегменте -Т, +Тчлена (>ненку (8.64).(еХ + n 22 + 7Г)(Т(О < е < 1).О) получаем ;llЯ остаточного(nус(х)1)акл)рttrа:з2~+~(1+х)-х2)3I)_1.];"-+Rn + 1 (x).nОстаточный Ч.iен Ю1 этот раз запишt м и ОЦttrИм Иг} u1-tжа, и G фо} .ме Коши:_фор,ме Ла6(_1)П х П+1R n + (х) - (n+1)(1+8х)п+1 (в фОро1е Л;1граЮЮ1),хR n +1Для оцею;(1 _= -1функцииО ~~О)"1,(1 + х)ш1удоб1(в1)(1+8.];)п+1'3.67)Коши).значени8.66'3.68х.
iiринадлежащихисходить из ОСТ;1 10чtrого члс'trааг)анжа (8.67). Пере>ош в фОРJ\Iуле (8.67) к 'Ю.1.УШiПОЛУЧИ,1 ДШi все"х из сег '.1еНТ;1 О ~ х ~хИз оцею;нп +х---+(8.69) очеви.шо,'jTOОценим Teiiepb фl'ЮЩИЮИСХОДИТi1 + ОХво< 1'lil1l R n + 1n-'tc:o1.ЛЯ всех х из+ х)111 (cel'MeHTa Ох1для оrnри'ЦurnСЛ'Ь1-tЪtх зна-< Т < 1.Для э 1ого бу 1.е\'= -1внимание,'jTOчлен в в iдеС;:];)дляпереходя в'е'Так как ОЧ 108.69+ l'остато'шо) о члена в форме Коши (8.68).хрин iмаяn1та -Т ~ Х ~ О, где' ОПереiiИ "ем )тот остато "Нi'1- 81<_1_П при nХ.чс'trий х из1<-< 1то OЦt 11Ю1рассмат) ·иваемых(870).71)(/3.70)1 + 8.]; .значенихмод;шм, буде;' иметьпозвол 1ет у 1ве'рждать ,О.1) Еще раз отметим, что в формулах (8.67) и (8.68) значениявообще говоря, различными.являются16ыI \1 Iкларf'ПРffЛ:[:)- (1+,веще<твенное[деj(n)(x) _ \v(п - 1)(п-n1)j(n)(O) _(п1),- 1\1 клореН\1- n[А'lиело,оекольку1+1)а-n,И\lеет вид001.00- ) ...
(оо-n+ 1.)1'... + ---'------'----'----'-'-х+ R n+1 ():[:n;Гl,е ОСТ\11С 1 Ч IЫЙ член(х) -R00(00 -фОР\lе Лагр l11жа р 111ен+ ()х)а-(n+1)хn+11) ... (00 - n)(n+ :)n+1(8.72)(8.73)R n +1(.T) = О, иВ чаСТI1Q\1 случае, юта = n -мы ffOJП 1 Ч [м известн\ ю иНьютонаэлемента!шOl'О }«тса форм\лу iiинома(11 +!!.-+х1! х+цеюс' ЧИСЛСI,(0<()<1).n(n - 1) 2'2:х+ ..
. + х.n(8.74)+Если НУЖ110 ПG.fУЧИТЬ Р\IЗЛОЖС'l1ИС'шучЛtl1а (1:[:)12Д11Учлена (u+х)n, то мос}(но вынести 0,11 ;аи ВОСfюльюваТflСЯliюрмулой (8.74). При э 10\} ПОЛУЧИ\1о,+т)п(1+~)no,n[1+~ ~ +n(n-1)(~)+ ... +(~)n].Та}(образом, оiiщий cfTfaii iiинома i iьютона яв, шется частIЫсфор\}улы ,~Л\lклореН11.Е.arctg х. l\10ЖI1Q \/бе 1ИТЬСI1 в то ,}, чтопри ЧС }НО,}j(n) (О)n-l---Т-N1) !nнечетно\'n.\IКИМ оБР\IЗОМ, фор\}ула\IКЛОрtl1а (8. ГI4) с остаточным члеНО\1в форме Пеано (8.57) имеет видarctg х - х (Зд; сьn -§ 16.1.х:З3 +5IС'ЧС'IНОС' число.)Примеры приложений формулы МаклоренаАлгоритм вычисления числа е.
В п.4 §3гл.3\1Ы В11ели чис1Q е как предел lim (1 + -) и пол(/чилиш е гру \(/ю12--+00формуюоценку(3.7)3).!жем, как вы чиi ЛИТЬ чиi ЛО е3.Мitклореюtii)чt юсти Воспользvе\tСifостаТОЧН()fР члена (8.6:~),ТепеРfмы[<а-интере i \iющей нас ct еffенью(8.61)иtКОЙfЮЛОЖИВ в этих формулахПОЛУЧИ\i1+!+ n!+ 2!i(1),7Б).76г.t.еIдiI < (п +lt!е1 (1Выбирая в фор . tулах (8.Ту) иможем оцеНИТfРС'СУj{)щей2.tac:::;;3(n+1):досту! t(iЧ 10 БОfЬШС 1i'(8.76)стс·ш·ttыо точности.Ррализация а.тс'ори'н Тi'Тii вычислрлия'ниелатроннойВЬГiислен fЯtыйпрс'ДыeferKoЧИСfареа,Шfз\'етсяHii элрк-пунаtKTe itЛгоше iЧЮННО\iiiШИНiii.приведе\iпри nрез\fЬ ат ВЫЧИСfеitия ЧИСfа е ПОfену! ЭЛС'КiрОi Ю вычислителы1ОЙ \iiiшине=БЭСУкаЗit iмашине.ВЫЧИСШТС'льньг<J\lbIмыс помо fff,Ю этих формул 'iИСЛО е с лю()ой инте40061).
ВЫЧИСЛtitИif tiе.ШСЬ с 600 Зitакю.ш ПОСfе запятой.1) .д 'я чит"Тi"ей, ЗНi1Ю1МЫХ со стандартным а'горитмическим я)ыкомАЛГОЛ, приве,iем записанную на этом языке программу вычислений:ОuсrnеА1JL Алгол-БЭСМ6, варшшrn 10-12-69begin integer i сn т: integer аггауЬ, е [О : 601];m :400; шаrg50, 39, 10, О, о)·=[О][ога[огЬ [О]: = 1;: = 1;i : = 1 step[i] : =until 601 do[7]: =с[7] : =О;n : = 1 step until т dos1.ep 1 ппtiJ СОО: = Ь [i]' с : = [О];= О i1t,·P 1 uпtiJ СОО[7] : =с:=(с-n)хр:[ог=хO+a[i+i : 600 step - 1 untilс : = ф] + b[i] + р;р: =Н'ОdoО<beginend10 1h,.·П с [i] : = ,·li1'·е [i] : = с - 10: р : =endеПiЛ[огn := 1stепuntil 6 doЬеgiп i1utput ·ри/,.
'zcl.'. с[О]);[ог i : = 1 step 1 until 590 doопрпendendendО('zcl', i'[i])16ыIПРff\11кларf"[А287Уч fТывая В1)зможные сш ибки округления, МЫfИ [1О1ледние 10 знакоtj и приводим реЗ\1льтат вы 1иелен fЯ е 590 знаIOtми после запятой2.718281 132/345'! 04523"11 3(Ю28J 471352 6(;24Т J5J247'J6696J 62J7J4 OJ6630 :15:1547 594Ы1 :1821J8 "112"11 664(Ю;191 9;1200;1 0599Л 81741;1 59(Ю:l9 04357:l 9003;14 :l9521Ю738 з:~ 3:~8627 943490 763:~33 829880 753 95 :~5 О 9 01 573:10702 Е 1089 119'ЛI 8/3 1167 509241 76146066/30/322648004 1853 742345 44:~437 107539 077744 992069 55 702 76 8383Ч:184 5/33000 7"112041 'J;lЗ/326 560297 606737 11:1200 709328443747 047~30 69(;977 209310 141692836819025515 108657111252 3/3Т84 42"110"116 'J~136'J6 bl07/3514'J969 967'J46 /3641"11193163(; 889:~30 098793 1:~7736 178215424999 229576 3514828951'j:I 66803:1 182"1128 86'J;I'Н 4'J616"11 105/320 9392:I'J 13291\;836 ...ОtJ\1етим" что093()\!942742!5951;30834 87168477606:~670Л274(;37Р'105987208269793:120[а ПРОt1е tение {1сех t1ЫЧИСfений ушло околоОДНОЙ l\IИНУ"Тf:J l\IаШИННОl'О Вi>емеи 1.3.Исполь:ювание формулы Маклорена для асимптотических 1) оценок элементарных функций и вычисления преДРЛПСI.
Формула l\lаuюрена является мощным средСТВО11. 1ДII1!по.fучения01\tСИ11.!П"tОТИЧС·СКИ:<юкЭ.fе.tент\tрuыхфункцийвы 1исления fтеделов.В г.1.tbI уст ttюt1ИЛИ Сfе.t.УЮfffЛС· аси.!Птотичс·скис· фОр11.tулыДII1! шеме fTaptfыf< ф\ tfКЦИП:si х-х+о(х)\11+х- +о(х)=1ln(l+x =:r:+u(x)еХ =cosx(8.77)1 +:r:+u(x)х21- 2+ о(х\).')Формулы77) дают пре.t.СТ1tt1fение элс·мс·tftjtрнЫ:< фуtfК "ий при1.ta.fbIf< зuаЧС·UИ1fХПс·рt1ЫС· чс·tырс· из фОр11.tул (/3.77) оцс·uиIxl.вают соотвеТСТВ\1ющие \.шементарные Ф\1нt)цис ТО·ШОСТf1Ю дочшuоt1 1-.\0 nорядк;а Оtноситеъuоюй t1еличины х. а посшдняя и(8.77) -с точностьюЮfенов 2-го nорядк;аотuоситсльно х.!цеиок(8.77) оказьпается достаточuо ДJI1t ВЫЧИСfе шя простеЙШIГ< прсдслов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
