Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 47
Текст из файла (страница 47)
ДОfryСТJf,'fTO[е являетсяОf'раниченной сверху на cel'MeHTe [а, Ь].Тогда ДfЯ любого[атура,ъного 'fИслаn (n = 1 2, ... ",СН хот,} бы одна точка х п IП cel'MeHTa [а, Ь такан, что f(x n )(иначебы. а бы Оfраничена сверх! на cefMeHTe [а, Ь ]).>nТаким образом, существует пос, [едовате, [ьность значений х пиз cerMeffTa [а, Ь] такая, 'fTO СООТЕеТСfвующая ПОСfеДОЕюе, J,ность значений функции {лхп)} ,!Е, ,JeTCZl бесконечно бо.ъшоЙ.силу теоремы Бо.ш,цано-Вer'\ерштрасса (см. feope\fY 3.17 J,fЗп.
4 § '1 l'Л. 3) из постrедовательности {х п } можно выделить подпос [едовате, ъность, СХОД,JЩyrосZl к точке ~, принаДfежащей, вiи.:~I·\iечаiШЯ 2\'i<а:~IННОЙ Т(У'РfOМfO, (fOrMfOiiTY [а.Ь] СН)'iша'iИМ )туЮ,Л(' ii'ваТ(Лi iЮСТЬ с i\iВОЛО,i {хл,,} (n1,2,) Вiи.i fOПрfOрьпi<ции(J) т(нiВУЮЩfШIП<>ДПОСЛfOДiiВ IТfOЛЬН'диты zl К,[ I),IШЙ фУНКТ~ИiiпаiС7<О-НУ' этi' НfOво:~м<>жно. и()(\ п, iдп' iСЛfOДifШ1ТfOЛЬНi'iТЬi)УiУЧИ вы iелена IП бесюшеЧНi' i)i'.JlЬШ<>Й ШfС.JlfOДiiВi1телыюсти {I(x n )}, са>.
а Яii.·шется беСiiOiiе'i ю бо.ъшоt'\ (см. п. 1§л. 3). ПО.iученное противоречие дока;ывает теорему.3 а м е ч а н и е. Для интервала (или юлусеiмента) утверждение, анаЛOl'ичное теореме8.7,уже несправедшвоiепреРЫiiiЮСТИ фУНКЦИii на Иiiтеj ,['але (ишт. е. изюлусегмеiiте) у:+ене вытекает ограниченность этой функт~ии на ука;анном мно-жеСТЕе.
Рассмо, рим. например.вале (;) или на полусегменте[а [а указаi ю>.· Иiтервалеi<цию(х)=l/х на интер]). Эта фУНЮ!Юi непрерывюлусегмеiiте)ю[е Яii.·шетсяна нем Оi'раниченной, ибо существует ПОСiедоватеiЬНОСТЬ точекх n = 1/n n = 2,3, ... ), принадлежащих указанному интервалуили юлусегмеiiТУ) !аi<ая, 'iTO СООТЕетствующая юследовательность шачений функт~ии {лх п )} =n} ZlВЛZlеТСii бесконечнобольшой.§ 6.Точные грани функции и их ;'1:0стижениефункц'Т!ей,Юf сегму'нтр1.
Понятие точной верхней и точной нижней ('ранейфункц'Тн! на данном МН4iЖf'СТВf', Рассмотри>.i<циюОГj,аiШiеi i\'Ю[а даiШОМюжестве {х} сверху (СiШЗ\' 1. ИсПОiЬ;Уii длZl множества всех значений этой фуню!.ии введенноев. 5 §1. 2 понятие точноt'\ верхне\ (точноt'\ нижнet'\) !рани,мы придем к следующему опреде.iению. ЧШ'NIЧu.с.Шifаiiываетсло ~! Н О й в е рн е й (rn о ~ н о й н и ж н е й)~ р10 Ф Уи u. I\xifa .·\t.ffO шеi'7nве {:г}, еу.т выn.f-ifeffbl СЛiд1j1Ощие дви. rnр' nиви) д.,fЯ f,.ii.ждui'О 3ffД'iеffия х u.3множества {х} сnраве;}ливо HepaifeHcmeo I(J) ~ М и(х) ;:? rn);2) ffДf,ueO iibl ffU бы.iQ nО.fuжите.ii,ifое 'iисло Е, ffii.йдirnся хотябы о;}но зна~ение х из J,лножества {х} длл nоrnорого cnpaifeaливо не 'и.венпnво>М-Еи(;т)<rn+в этом о! ределении требование1утверждает, что число Мfчисю(J) наI!раньZlв·шеТСii одной из верхних нижних) граней функт~иие {х} а требованиеrOEOjHii о, ЧТОfтаfi'шей ffiiибо.
iii'шей) и уменьшена (увелиZlВЛZlеТСii1) ОпреДf'Леffие функ !.ИИ(снизу). бы'ю дaНf! в9ОГРi'fШЧf'НfЮЙ Нf, Д 'ffНfff"§2В.А. Ильин, Э.Г. Позняк, частьэтой ГЛiiБЫ.Ii',НffЖ'i' уве еве; ху'ffOffa)fИЖШj)ЬПЪ{fO м,ш{"! rpafjj йТДТ' fУЮЩУ14jj;i;j;ша fСНИЯИз доказанной в.5 §1.2бляютJ>1/1-tожесmве {т}cl,epxy.ji.ifuЖJствJ}j-теоремыкает С"fедующее утверждение:этО.А!ifpjjИМВОЛИКУ"тnиаffOЙ ИMff'не юсредственно вы те-НиjjX)'С(СНUЗУ),!(Хсу'щесrrц,уетто uш,я,~pa и,."стестленно. f'ОЗНf·fкает ЕО! рос. ,я,вл,я,е !fС,я, Л'Ll то'Ч,на,я, !,ерхн,я,,я,(mо~l1-tа,я, Н'LlЖН,я,,я,) гран'Ь ФУН1\,V;LlU ,}осm'LlЖUJ>iО'Llли среди точек множества {Х} така,! точкаfЮТЩ)Qff рапю;той граЮf.
Следующийчто точнаZL верхнн"и точнаifНИЖНZLifю{{аЗЫЕаеfграни,воu !щеговuря,,я, ,л,я,юmс,я, ,}ОС !f'LlЖUJ>iii!М'Ll.Рассмотрим наcefMeHTe [! 1г /2] фУНКЦИ14!оприприЭта ФУНКЩlif о! раничена наимеет на эf0\'y=sinx1 --------4I(рис.cel'MeHTa [О, 1г /21 эта функт~иZL неI'о, 1г8.6).Ю"·/21Такимобразом,фУНКЦИЯ{е имеетрассмотрена сег\!ентени максима")ЬНОiО, ни минимальюго ЗffачеНЮ"f.ХОбратим внимание на то, что рассмотреfшая{а\ и{{ЦИЯрывной на cef'MeHTeтельство не является сюше\' ;ункте.{{ЦИЯ,в1г /2] и сверху и снизу иПРЮfИмает Зf а'fеffИЙ . равных этим граfШ\!fая1tДОСТИl'аетХ = о и Х = 1г /2.cefMeHTeной точкеQ2'Я.6/2,сег\ енте то'! f\"ЮfЮЮ гра!М = 1 и то'! f\"Юнижнюю грань т = О.
Однако ни в одуо1гХнекоторых{е Яf "шется1г /2].{е!ре-)то обстоZL-ибо. как мы дока:+ем в следу{е! рерывная {а Cer\!effTe, обязате"fЫЮточкахЭТОf 'осе! 'ментасвоихточныхверхней и нижней граней.2. Достижение il?ункuией, непрерывной на сегменте,св!!их п!чных !'Р1fнеЙ. П\"СТЪ фУНКЦИЯнепрерывна нанекоторомcel'MeHTe [а.да в силу теоремы8, эта функт~иZLограffИ'fеf аа!том сег\!енте и сверху, и снизу.
Стало БЫТf. всилу утверждениZL. сформулироваННОiО в предыдушем пункте.ЭТОff{{ЦИИ сущеСТfj\"ЮТ {а сег\!енте [а, Ь] fочная верхняя,раньи точнаif НИЖНZLif грань т. Докажем, что эти l'ранидостижимы.25 i )Теорема 8" 8 (вторая теоремнФУ1-l1\,v,u,я f (г) непрерывна на се~,ftле1-lrnеиа этО"А!Cf"'"me1-lrn iсваи"!Еr:Лijпи~aeттОЧ1-lЫ.:![а ссг\ снтЕО [а" Ь ] f Y fi я Т,iКИ(" i!iЧЮ"f:1:и :1:if,(!i) =дказльla,твЧf!iфУНКЦШет на CeTI\IeHTeЬ] своей ТО'1ной' верхней' гранитачнай нижней грани даказываетсZl анаЛOl'ична).iредпалаЖffраТffВfюе,. е. предпалаЖffд'>стига~ДОСТИJкение, 'fTaфункция(х) не принимает ни в аднай тачке cefMeHTa [а, Ь '3начениZl.paBHaf'a М.
Таfда д.;я в;'ех тачек cef'MeHTa [а, Ь] справедливанеравенства)NI,и мы lVЮJf<ем рассмат! ,етъ на сегменте[а, Ь] всюду ПQ·ЮЖf·f [е. fЫfУЮ функциюР(;Т)1=11-1'nr)'"laK как знаменате.Ъ NI - f(x) не абрашается в Нi."Ль и непрерывен на cel'MeHTe [а, Ь та па теареме 4.2 ФУНЮfШf Р(х) такженепрерывна на cel'MeHTe [а, Ь]. в такам случае. саl'ласна теареме8.7, ф\'нкция Р(х аfраничена на сегменте [а, Ь] т. е. наt\детсяпа.южительнае чис. ю В такае что.
д. ш всех х из сегмента [а, Ь1Р(х = м _ .f(xl ~ В.Паследнее неравенствас учетамTafa,что.NI -(х)> J)мажнапереписать в видеfНаписаннае саатнашение справеДfивае для всех тачек х изcef'-[а, Ь], ратююреЧИf та\'"' что. 'шсла М ЯВ.шется fаЧfЮЙверхней l'paHb[41 (ifau.A/e1-li,Шfй иЗ в;'ех eejixif1lXфункт~ииf(;r) на cefMeHTe [а,Ь]. Палученнае iютиваi,ечие даказываетMeffTaтеарему3 а м е а н и е 1. Д.ш fштервала и па. f\'cer\ieHTa утверждение, аналаfичнае теареме 8.8, не имеет места.
В самам де[е. в заме'fаюштеареме7 (C\i. § 5) ы привеШf примерфункт~ии, непрерывнай на интервале палусеfменте) и не (fВ. шашеf',СЯ[а[емагра Ш'fеfтака!,ф\'1 fiЦИИfач fая вер:,н(ш или НИЖНZl(f)рань не Ta.fbKa не дастшаетсZl на дажене с\ шествует! .3 ам еч ан иеПаСfе тага как даказана. что. функт~иZlf(J), не; рерывная на cerMeffTe, дастигает aiTaM сег\'енте СЕаих тачных верхней и нижней граней, мы мажем назвать тачнуювер:,fЮЮl'paHbгра; Ъ,лла1\,сu,ллаЛЪ1-lЫ,ЛЛи сфарму.
fиравать теарему9*;;1-lа~lе1-l'Llем,аfачнуюшжнюю.\/u1-lu.Ащл'ь1-lыlА!! З1-lаче1-luе.А! функ f.ИИ f(x) на эта м сегменте8.8в виде:ifеnРfрывiЩЯifа ;'ег.А!; mnе{[,АлеетН0е ::1-lа~lе1-lил 1 )Ччислу ДР)'l'их3ни: войствфункт~ии, нспр: '-:;тн:;:ится свойств:;, Ha:~ЫB:!: '\ЮfOifenpipblB f:!Crnf,lO, )ТО свойство мы и:~учим вМЫ ЛИШf, :':MfOTf·:М:! :fOри:ш ПП.1и§2 §4гл,гл,10оыть прочитан не: юсредственно вслед за материа.
юм нас: ояще:0 парю'рафа.§ 7,Во:\раст::юТ"е (уfiыш:юТ"е) функцииточке.Локальный максимум (минимум)1. Возрастание (убывание) функции в точке. Будемпредпо. а: ать, что Функт~иZl 1( х) определена вс!, :ду внекоторойокрестности точки с.'!т:!Оnреде.ле1-//nе.е т(у ба е т),.: :еl rn I Юf'7n rn:!о1(х)о ~!1\;ев3 р а сmас, еСЛ'Ll наиде 'nслта1\;ал110т !рои 1(:г) > (i'иI ( с) при х> r:<при хс (Jи 1(х)с)> 1(1)пр'н хНарис,8.7изображенафункция, возрас:аюшая в :оч-охсРис.8.7тO~1\;e с и I'(с)>убыв!!, т) в т:!'">ке с ив точке d.Установим д:!ст!!.то !iюе услов'Llе !:о:грас nа1-lил (уб ,!!:a1-l'LlЛ)Функт~иив точке с,))'еоре.мн 8,9. 1',СЛ'Ll ФУ1-l1\;-1fiило (Г'(с)0),(х)диффfр' IffiЩfуеi:!"вто эта фУ1-l1\;'Цил !:озрас пае:!,с.Д о к а з а т е л ь с т в о.
Дока + е::. :eope::'fY д:я случая Г(с) >случай l' (с) < рассматриваетсZl совершенно ана. югично).Поскош:куlil11 лх) - I(c) ,1'(с)ч!"х--+сИ разрывны"хсна неко! '!ром сег!,н'нт"Фунюi.И!! !,югутиметь на этом се:менте максимальное и минимальное значения, Так, на-Прнн'р. уже изв":' !ная нам изу=разрывна1.еслиО, еслиг.!,4д!рих'!"рационально.ирра; i.Ионально,любой точке любо:о сегмента [а. Ь], но имеет на этом сегментеМI.:Ю fjf·.,алыю'·,на',е ше.нулю,{§1р:.:ВiЮ:.'едшшЦ'·,шн.,алыю:'зн:.:ч:.'ни'·равн::еТОЧЮ'261iiПРfЩfOifO !ИЮ!!сго :~ iaiifO !ИЯ функц !И, (Ju{,найд< ТСЯ !!iЛ, 'Ji<ИТСЛi iЮ(' ;; iC1iiOC:, чтiij' с) - Е <,,--.f(,---X,---,---,--,---,-< j' с) + Е при 0< 17 - ('1 <Визьмем в K<l'leL:TBe Е lЮЛО;'КИТСЛЫlUС чис.lU,Тогдас) > о ,ста. ю быть, из(81))1\ICHblllCCI'I i (с).ПО.iУЧИМлх}.f(cl> О при О < Ix - cl(8;!.'"rи.-сИзд-О1\,рестПрИ:1: >и1(7)1(; прис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
