Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 42
Текст из файла (страница 42)
на\!и 1:1.тчисле1 1.Т интегралыiробей2+всех чесii.rpexПIЮС'i ейптiXи юказано. что каждый из этих интегралов преставляет собой эле,ме1-tmар1-tу1О фу1-tк:'Цu1О 1 . Те\ самыi.T приходим К следующей теореме, исчерпывающей проблему инте; рираЦ!jQi1ЮIЫЮЙ дроби.Теорема; '1ем,!Врах7.6.Всяк:ая ршцuо1-tал ;1-tая дробь итnег! uруеmся вnrnap1-tblХiаi\ЛЮ'iei шевычисления.эл ;гс; параграсI1а мы с;ста]неопределенныхВ1.тчисли\!интегралов(7.55),1·:азаННhIМИ тремяи1риме-рат~иона.;1ЬНЫХ1е011ределенные Иllтегра. 1.Т от трех дробей,рассмотренных в пре. !Ьщ)'щем параграфеПольз'1аот(7.57),(7.49) (7.50)и(7.53).а та1·:же1ем иметь:1) Точнее, выражается через логарифм, арктангенс и рациональнуюфункцию.8*I31п I:r=I+ .
;[;'2 + 1 + .dr+ 2 arctg :Е + 22IX -J(х3.х+l1)х(х.- -§ 9.-J~~~2(Х21+ 1) +J + .I ...)dx-2х-2--d:rх1111 1Х+ 1)'1+ arctg;r -I_у) drх11+ -12' х - , d:r =1Х 1+-1Х -1+Метод ОстроградекогоJ\I.1;. Остроградским ) пре южен остроумный метод Bыдeлен ту! ршцuо1-tаЛ'Ь1-tоu 'Частu Иt ;тег\ ,ала: т прю;ию,ной рацИt наю,ной;роби Р(:Е)Анаmпируя ;;ид интеграл;;;;;етыре>< простейтпих др: бей.54), можно сделать следующие выво. ты:1) Интеграю,тдробей ;;тща I и HI, знаменателиде! с,+шт двучлен или с: ;у;ветст;е;кол рысо-трехчлен в первой степе; Ш"яв lяются 1-tершцuо1-tаЛЪ!!ЪtМ,U(они равны логарифмуаркта;;ге;;с"2)Инте; рал от дроСш вида>II,знаменатель которой со. [ержитстепени,':!1 является щювUЛ'!,1-tо'Ll ршцuо1-tаЛ,!,1-tо'Ll31-tам! пате уем, рпв1-tЪtМ ПШМУ :J/cr: д !у'Чле1-tу в cmr:ne1-tUfJ3)Интеграл видапо. [ынтегральная функция которого со-[ержит в знаменателе трехчлен в степени А, в конечном итоге 2)рпвr:1-t СУМ,М!прш;uлъ1-tо iiси 31-tпм,е1-tП ТЩ '//'(;М"рав1-tыl'' mO"iY же трех'Чле1-tУ в cmene1-tuк; Щ к;та1-tге1-tсу u1-tтегралаВыводы1), 2), 3);'OHst.u nрuводшцегосяdx+ ч)'позволяют закл;(;чить, чему равна рюшона.
;,ная часть ;;сего и ;тегра.;а от прю;н;,ной ЩiJ,бих/Q(;r),котору;;; мы, кроме того, будем считать nесок;ратuм,оП, Пустьmаменате.Q(;r) им; г'т ;ШДQ(x=х-Ь 1 )З 1...х-...?х- +р ;;Т+Чп(7.58)1) l'Лихаил Васильевич Остроградский - русский математик; 1801-1861).2) С учетом рекуррентной формулы (б.полученной в конце § 2 гл.
6.'ТР()ГГА.пр, i;ил ,ной р, цис нТогд,( (,,(цион,(, (,ная часть ин'егр, ,(аной Щ с,биP(;r);Q(xре(:"('умм(22')()ih-(ра (илы (,ТХ рациона, (,ныiроб( й, знамею тели которых соответ( твенно р,шны-1, (:1:2+! 1:1: + (12, ( :гРационаш,наяставляет(;r)/Q(acТi,со юй,(;Т)интегралаочевидно,отР(хпраВИЛЬНУ14!Qзнаменатель(х- (:г 2Q1 СУ) =... (:гС'Подсчитш'м+ Рn'," + qn )А/Q(;r)(редрю шональнуюдрm\ьимеет вид+ Р1:Г + q1)Alрn:гqn)1(7 ..59)те,"" щ;t;стейши\ др;;беЙ.
инт;траTeiieph CYMl\iI'лы от которых предстаВЛЯ14iТ соСюй нерат~иональные фуню шИ.И;) и ;1) iыIекаетT '(то эта сумма(а прю;ию,нойрат~иональной дроiшP2Cy)/Q2(:r)знаменатель(:г) которойравенмы приходим К следующей формуле, впервые.В. Остр; граДСi(И\i:J,}иХ-(х;-(-)j;+Jформуле Остроградско; о мно; очленыЧх) dп-:-)' ;Т.(7.6 )Q1 (.! ) и(.У) определя-(;'2(Хются ,IЮj!I\ТУiами (7 ..59) и ; 7.60) и могут бiПi, iыI шслеНhI без разЛО:J/Сf nНОЯ м,'н,uго'ЧЛ(('На (](х) па ПРОНЗ6f ')е'Нием,'НижurnелеU.В самом деле, в силу результатовмногочлен Q х предстю:л({ет собойтель (вух многочленови(:г) и может быть вычислен при!';f;с;щи алгор п\!а Евклида (см.
§ 4).J\IHo; очлен(х), в силу формул (7 ..58),..59) и .60), преставляет собой частное Q(:r) / (]1 СУ) и может г\Ыть вычислен посредствс;',деленияQ(;r)наQ(х)<ст(!ЛБШ(f;\f\;.Остается вычислить мно; очлены Р1 СУ) и Р',!(х). ПосколькуР1 Х /Q1(;r)~(;r)/Q2 х (fRЛ({ЮТСЯ ПРЮ;1f (,ны. многочлен Р1 СУ) естественно задать как мно; очлен снеопределенНhIМИ коэсl;фициентами степени (а единиц' ниже, (ем Q х,а Р2 (:г) - как многоч;ен С неопре, (еленными коэффит~иентами стеiiени (а единиц'ШJJ;е, ';ем Q2 х . д'исления (азанных неопре, (еленных коэффю шентов сле, (ует про, шфференЦИl;с;ватьОстрограДСi(С;ГС; (7.6 ), привести ре;ую,татшфферею шрования к Оi\щему знаменателю и сопоставить коэффициенты при одинаковых степеняхв числителях.<j'ИГ! )jj\НИЕ В\)ет! д0\ тр!граде <ого предет( i)<ШГинтеПjjjрованияприе\<Q(:r)с,еобеiрацИt наm<нойJс,бойбсзш()рительно, о разложения зтой iроби не) сумму про\тейшихijjjjeMюкогд()в основном яв«,яютсяТРУДНZ:Нij)др! биЮ рниИ Ш когд() вызывс (т занаJ<ождеiшеПри 1\1 е р.ВЧЧИС1И'lЪ----,--:--;:--,---,.,-----:--..,.
dx.+1IIMeeMQ(;r) - х 4 - 2;т 3 +- 2;тQ'(,y) =- 612 + 61 - 2.+ 1~Ищем Ql (:Е) как наиСюльший Оi\щий iелитель мно, очленови Q'(;r). 3аlVН<ТИМ, iТC' iаибс, i~ШИЙ общий де<штеЛh U.me1-t1-tО эrnихшух многоч«,енов уже най<в кою i<e§ .ieHнами в примере~ рассмотренномОн равен(.у) =Q2(;r):Е=;Т2+ 1.Х-Р; (х) и Р2 (;т) ;адаем как мнс,го шеi i~T iер;ой степ! ни С неопреiеленными коэффит~иентами.ла Осл){'градс <с,го 7.11 при Ш\ ает6х4 ---«,-il:2х 3+3х 2-2А! + вdl2х+1х2 -хJI~ля опре<iеления коэффи jИентов А, В, С,(7.62).
Ilолучим6-7х-хА(х -хх 4 -2х 3 +3х 2 -2х+1С! + Dх2 -1DХ1dl(7.62)продифферен jИ1)-«lх+В)(2х-l)(х 2 -х+1)2+'х+(х 2 -х+1)Результат дифферент~ирования приводим к Оi\щему знаменате-7:у-=А(:Е 2 - +1)-(А:ЕВ)(21-1)+(С:ЕСравнивая коэффициенты при:Е,иуравнен иС=О.+D-C=-1~-IIB-D+C=-7~+ +=6.:Е 3 ,D)(.y2_:r1).получим системуИНТЕГГlf10ниP()BAl231АРСТРоб1J6 -77х' - 27:\+- 27+1+d:r = ----,----1,2J----,-_d_!l_::г'+1Вычис ;ИВ инт( грал в пр( вой части, оконч( т( ,ьно нi Й ,см2хх2§ 10.-+32- 1Х + 1 + vз агсtg vз + с.Интегрирование некоторых ирра щональных1'рансце 1/1,PHTtтВ преДi,ТДУЩИВJiкражеtт(араграфат мы устаю'(;или, чтоJE ::'юй рат~иональной(теграл(роби представляет собой элементарную(астоящем параграфе м(,т рассмотрим 'Нenomopъte;ipupyeMblxмы,;Л(;м,е'Н !!ПРffъсr(;средст(юм(;дстюю(;-ки сводить инте, рал от рассматриваемой функт~ии к интегралу.(;т рац!н ;((алымы будемсмат}()тнС!сителы«азаннС!й(;дс та(оворить: что она рат~ионализирует интеграл от рас;11 (;аемойфункциИнтегрирование некоторых тригонометрическихВJiкртъжеtт й.
Договоримся ВСIОДУ В дальнейшем символомR(x, у) (;боmачюъ любую раЦИОllалы(' ю функцию (;т двух ар-1.ГYMeHТt;;' тУу1).',;том пункте мы«циях ("юбойюкажем интегрируем ость в элементарных«ции вида(7.1;3)N(sin ,cos:r).(тоtэтой функци(тегралрац!н ;((али 1ируетС5(х= tg-.х2tg sin х = ----=2'-сх;о-:1+1 - tg2tcos х =1 + ("----,х"1+2:Е =2 агсtg t,d:r =х1d:22 ,') Рациональная фуню:ля от двух аргументов опре, еляется следующимг;БР1'ЗОМ. ]lЛНОГОЧiенг;м п-й Jт,'пени от дв;;х 1'РГУМ"НТГ;В Х И у Нi1зыва,'Тся выражение вк1д Рnу) = аоо+ О10Х + ОО1У + а20х2 + аllХУ + а02у2 +ооnуn. Г,1,е 000.010.001 ....
,ао n - неЮ;10рые ПГ;С10';;;;НЬ11' 'Н1Jла.циональной функцией от двух аргументов называется отношение вида(х. y)/Qm(X. у). УД"~ Гn(х, 1;) - ПРГ;l1З;ЮЛЬНТ,;Й ;;г;гг;';ш'н от дв;;'!тов степени n. ау) - произвольный многочлен от двух аргументовстепени Пl..1R(:,in:r, СО:, :Е) dr1 - t2, 1 +t2)2 dt+Поско;ьку р,:)шою: ;ью)Я функ ШЯ от ра шональной Фунюши)1:(Д( тавляет собой т,)кж: Р,ЩiЮ: {{:лы:' Ю)<цию,. то инт: грал.сгnящийnПрdЛОЙ части ПnСТТРДПРГn РdлеПСТnd, являе'Л.Я интегралом от рат~иональнойП одстановка= tgх'2fроби.~хотя и является универсальнои подста-Н(:вю:й, раци::нали :ирующей интегралприводит кромоздким выкладкам.несю: ).ю: частныфункци7.63),част::связи с этим мы укажемслучае):,кол :ры)теграл ::т функци(7.63) может :"ыть рат~ионализирован с помощью fРУГИХ болеещ ;::сты\)::дста) ЮВОК.Пр:·жд:· ВС:Т:: ::тм:·тим.;В,; э:еМ:'нта! ных :войств:: :;::циона:ьн::йци;; д;:;;х ';РГ;;М:'нт::в R(H.c'):1О.
Если рациональная функцияне меняет своего значения приИЗМ:'не ши зна:;:'изн). . е. :'с:и R( -Н,R: tJ). то :-па рациональная функция может ; :ыть приведена к виду=R; (Н .С'). :д:' R 1 :;::циона н,ная функция СВГ:И': :::ухаргументов. (Эта функция содержит лишь четные степени20.при ИЗМ:'не:ши зна ;:: Н ф;;нкция R( Н,т,:кже ;-:еня:' зна:;.R(H.c')R(-Hot')-R(нot'). ТГ: Г:Н:: ;;р:;:юд:;тся к вид;; R(H,c')R:(H2 ,20 сразу вытекает из свойства О.
если применить его к функцииR(H.C')/H.(СвойствоРассмотрим теперь вопрос о рационализации интеграла от функции:я нек:торы': ':ас: ны;., С :;;ча:·в.(7I.Пустьсв:й;тв;;R( ." tJ).меняет зна-к; при изменении зна-к;аJR(sinx,ci:sx)dxJR:(sin x.ci:sx:sinx dx =JR 2 :1Таким оГ;разом, интеграл от функцииt(7.53)cos 2 x.cosx)d(co:x).рационализируется ПО.:.станов:ОБ Х.П. ПустьJТог.:.а. согласно20..:алее, фуню:яя R:: ом;; же свг:й;тв;;R(sinx,c:sx)dxJRз(siпх,,.).меняет зна-к; n; и изменении зна-к;а20.х) Ci:S ХR;;Х.-•SHl2т. е. интеграл от функции (7.53) рационализируется ПО.:.становкоЙ[;;сть.
на;;о;""Ф :нкция R( н.с')сво;;го:;Оновре.менно.м иЗ.менении зна-к;ов 'и ит. е.R( -", -;.) = R(u,t = ::i ; Х.ИНТЕГГlf Р()БАl10233нио!тг!подс !!!!!!в!!о"'и !о) = R!о) = R1с'R( -1I,с'RrНо тог, а, согласно свойствуR1tJ)U~, -с)1",1I( -,с'1I( -,с'R,tJ,2).1IR(n, tJ) = R 2"ОтсюдаJR(S.i.11 ,cosx)d;J: ==JR2 (tg;г,со,2 ;г)dхJ (t х, +gR2tg2хdx)=J (tR2dt;;rctg t,При I\1 еры.11=+t2 ') Вычислить интеграл 11 =J 1 + dx'со, , Г,!,е а> О, а # .ПРИI\1еняя универсальную тригонометрическую подстановкуt =,по-ЛУЧИI\12(а1 - t221ft= 2 ;;ritg t,х1 + t2+{"+ 1) + 12(1;;)'2,ltа+11 + 1 - аt2+аДалее нужно от, ельно рассмотретьс !\iч,!е О=11=а>va(tJ1-+ а) + С = ~a:ctg (J1-+ а1+t/-1< < , 2)> .а' 1-;;21аt g ::')2+ с.112) О1ha:ctg1 ;;2в11а, ва случая:111a- 1_ _,-=а=+=l/а - 1+ С = ----::== 111-tv~21 l;:ЫЧ!1ГЛ!1ТЬ ИНТiТР;оJSi11Si11 2Х dx .Х++с.ТИРС' '\НИЕ Вш,лушмI.(l!t=3)IВычислить интеГI>а." 1з.'~:JП Х' 08 Х8iп 41---lп2V2по. ,становкуI1;=.з"аковt = tg х.х(·08Х.С.v2COi~Хd''co,~;4Так как по,цынтеграс-тьная функция сохраняет"",шом J,змеш"""ICOSX+ V2шачение при о.
ШОВ ре-го. СOl'ла' ,Ю,е,цует' ,елат,.111,В ре:~ультате полу'шмIdt1t ' +1 =2".d(!2)12.2(t 2)2+1 =2"al'ctg(t )+C=2"arctg(tg х)+С.2. Интегрирование дробно-линейных иррациональност(;И. В этоы пункте ыы докажеы интегрируеыость В элементарных функциях люб, iй фуню '.ИИ BH'f"R[де а, Ь, сЛОЖИТi'ЪНОi(х.nах +Ь)сх(7.64)+dd -некuгорые fЮС'ГОс; ные. n - л ("1Ое целое поЧИ i ло. Функцию Т,]ЮiГО ВИi\а мы БУ'f i м называтьдроб1-tО-Л'Ll1-tе'U1-tоu ·Llрра:цuо1-tаЛ·Ь1-tос'fn'Ь1О.Докажем, что интеГl',Ш от функции\.Ион ]ЛИЗИР\~i тся ПОi\становкой t =а:"+Ь~,х.;Т-Jax+b\cx+d)dx =С·(7.64)V'.'.'Х+li."x+dЩШ(ad - bc)nt n (а - ct n )2J(dt n -Ьa-ct"оВ "']·1\IOМ1d;T = -'--,--------'-----,--,:--t"i:ad -d ."t) (ad-bc)ni n - 1 dt.(a-сtJL)2Поскольку рациональная I,ункция от рациональной функцииП),i"'т,шляет i iiбой таКЖ i рациональную фуню ,.ию, то интi гl "яЛ.С'ГОС;ЩИf1ffpaBoll'1асТ1'fюследнегоГl',]ЛОМ iiT рациональнойiрал01'равенства,Я;iляеТС1fштеТем самыы i\оказ,]но, что интедро; 1fЮ-Лf1неiiной f1ррацио, ;ал .fЮСТР с;)рационаЛИЗfi-+а:"Ьст +d'пре р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
