Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 38
Текст из файла (страница 38)
t;чtiКЛ - 202 (Л_l)(tt2 +02 j\-1рр;'tiтнуюtу+:2 ~~~=~~КЛ-l'(6.12)Убсдti.\;ЯН'М, что рек;рр; tiТНf;Я формула (6.12) т, 'l,i, tЯетвычислить интеграл К>,!ля люоого'3, . .. в самоы 1\еле,инл гра.! К ! t;ычti,tЯется Э.tеменK1 =J~=t 2 +o2-1'tf;!)!d(t/o)(t/п)2+1= ~aIctgtО+С.Пf ;'te Tf,rC' как RЫЧИСt;'l инл грал K 1 , tС;·tа!·ая(6.12)лыы без труда вы'шслим2. В свою очере1\Ь, зна}1 К,; иПО. tf;Гf;Я.te12) л3. ы б;' [Р\Д!; RычисtК:).llРО1\ол)ка}1 1\ействовать таким образом!альше, мы вы' шслим=интегра.t КЛ.tюбогоHf;TYi ·f;·tt,HOrOЛ.ГЛАВА7КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. АЛГЕБРАМIIОГОЧIIЕНОВ. ИНТЕГРИРОВАНИЕВ ЭIIЕМЕIIТАЕНЫХ ФУНIIЦИЯХв пре1\Ыl.уt tей глав(' было указано, ;то неОПрi' 1i'ленный интеlТJitЛ ОТtтарной ijiУНКЦИКгов( iрЯ,Яt;.tЯется эле-ментарной функцией.
Тем Н(' менее существуют довольно широкие ;,,,ттассы фунюrий, интегралы от ;"оторых Прi' lстаВЛКlЮТ СОl)ОЙtТЩIНЫ(' (jiУНЮIИИ. СГакие клi;ссы (jiУНЮIИП МЫ буд('Hi;.-зывать и~meгpиpye.Mымиu в эле.Ntе'НmаР'НЪfХ· Фую;;цu.ях.) ИзучениеукаЗi;;ЫХК.t;"'i'(iВф\ tКII1Йi'(iСt'i;t;.tяет1Овн;tаСt(iЯщей главы. Поскольку ср' ш указанных классов фунюrий 01\НИМи ..; OCHOt;HhIX кш tКlется nласс !Ю J!J.i;'налыiыx фУiin'И,иIi, мы должны пре.Ж:l i ' всегоуто' шить наши пре1\ставленияиi ,i;цtЮНi;ШЯЫХ ф\ tкцtlЯХ.
ДЛЯ этогоуточнить наши CBi' 1i'НИЯ о комплексных§ 1.о J\IНOrO шенах(iчередt,etiЯшслах.Кратн<ие сведения о Н<ОМ11лексных числахДва веШ.Есmве'Н'Ных 'Числа Х и У .мы буде,м 'На, 'iiBamb уnор.яnоро'Й,если уnозаiiО,nаnо ,из эrnих 'ч {сел .явЛ.FU [пс;!nepBыNt,' nаnое BmopыNt•. Упоря юченную парусе.! Ху буд"обе i 1начаt i[;О1О' (х,Bi" (ественных шывая Hi;. первоммест<' первый элемент парыКо,мnлеnс'Ны.м число,м 'На;iilваеmс.я уnор.ядоче'Н'На.я пара (х, у)вешесmве'Н'Н'!iсr 'Чисел.первое из nоmор'ых хСniв!J.rnеЛЫiО1'i 'Чостъю, а етnороеnлеnс'Ного-'На;iiiваеmс.я дей,м 'НИ Л!, ,!! 'Часrn'ью ;i!юго nо,м-числа.В слу' ;ае;"ОГ1\а ыниыая часть У равна нулю, соответствую-Щ\[ару (хДОЛiRариваЮt i я отождесТt;ШТЬ вещесt [;енныычислом х. Это позволяет рассматривать ыножество всг веЩi'с! [;енных чисе,lкак частьMHi i{t<ectДва nо,мnлеnс'Н'ых числа Zl =[;а КОМП,lею"(Xl,Yl)ых чtl' i'Л.и Z:z = (;г:z,У'J) 'На ,'сува-ТИРС' '\НИЕ В:r: '.IЛ?О,е!'"Л()jl,е lияве ii.ественныеjl,eCTBaю ,мплеЮ'llЫХчисел.iти:.HI' ,}кепичислаlЯЯВЛЯl<>ТСfOll"Р;ЩИИд'частью',l}Klli,'lil,IТLMH()~Ollpe~делены так, 'П"iiбыприменении к двум вещественным 'шспамонп приводили к ул;:е известтrьп - пам изL гл.
2 определепиям3CiMMl,iИ прои:~ведеlШЯ веществе11чисел,Су.м.мои двух КО.мnлексных '!'Uсел zназовuл комплексное ч'Uсло z видаи:2 --(Х2. У2)(7.1 )П,iO'Uзведен'Uем двух комплексных '!'ш!ел Zl Х:2, У2!назове.М КО.МnШ·КСН{iiz=zч'UслоХ1Х:2 - У1У2, Х1У:2(Х1,)'U '2 -в'Ш.Ja+ Х:2У1).(7,2)ЛеiКО провеРИf ь, что сумма и произведение комплексных чиселО{iлаД;i.ЮТ темиса: iыми свойства:чтосумма и прOlЛ~ведение вещее венных чисел. Именно спра iедливы следующиеСВОЙСТВ;i:1о, '1 + Z2 20. (Zl + Z2)(пе! ,еместительное с iO [! е во суммы),'2+ Zз=Zl+ (Z2 + ZзВОЙiТВОCYMMl'l).30, +40.О) (особа'f роль 'шспа (О,Д,lЯ ЮiЖДОГО ЧИi"Ла Z =у) 'iществу"Т ilРОТИВОПО,1ОЖ~ное ему 'шспо z' - (-х, -у) такое, что Z +:/О)50. Zl .= Z2' Zl (переместителыюе 'ВОЙi'ТВО прои:~веде шя).60. (z .
Z2) . Zз . (Z2 . Z,) (сочетатеЛЬ110е свойство про lзведеlШЯ),70 . . (1, !) -Z (особа'f роль 'шспа1.0)).8', Д.lЯfюбого lШ:.iIIf' 'l,C1OrO Чil' ла11 улю ,существует обрат 1Ое ему ЧИСJЮfaKoe. 'fTO,Z(х, у)11е раВ110ГОCr2 : у2 , - ir2 у у2)- (1, !).++9', (ZlZ:2 . Zз = Zl . ZзIIJ ,оизведения относи f'ельноСвойстваZ110-90суммы).ПОШО,.lЯЮТ утвержf;iTl, .что. fЛЯ'шсел полнос fЪЮ сохраЮflОТСЯ все правила элемен fapHoi! аш еб~Pl,i ОТПОСЯffi''''''Я к ;iРИФ: i'тическим ilействия:к СОЧ"т; llЮi iраве11СТВ.Кроме того, iти свойства iЮ.ШОСТЬЮ решают вопрос о выl'u~~тании КО.мnлекснъи; "шсел как о действии, обратном сложению,и о деле?!'U'U комnлексны:г ч'Uсел Юi.к о .
f.еЙствии, обраТ110: i YM110~женю<>.=Разностью двух комплексных ч'Uсел Zl = (Х1 У1) 'U Z2(:r:2' У2) называется такое КО.мnлексное ч'Uсло Z, которое вZ2 доеrn ZПОЫiJjjiЬЮ СВ' ,1.1ствэлемен i'ЩШ"10уста-нанли iается сущееi вонаШiе и единственно с iЪ разности двух сТ<>-IJblXпроверить,у=Z1)Ю ,мплею.ЛЫХ чн,1е! юJчтоiiазностьюдвухкоып.ieKcHbIXи Z2 = (.[2 У2) является)z - (:r:112,'!Иселчн,ло Z вида(7.3)1!1частныlM двух к;о,мnлек;сныlx i('Uсел z(х) 'U '2(Х2, У2 , второе 'UЗ nOffiOPblX не равно нулю, назыаетсяя так;ое к;о,мnлек;сное i('UГЛО " к;оторое щ)'U у,множен'U'U на Z2 даетПОМОЩЫ Ji С ю1.1ств 50-80 легко установить, 'iTO единствен~Z..
'i.BIЧiJ'плексное '!ИСНОIЮJ iаппых комплеюлых чисел явля, 'ТСЯ KOM~zвидаz(Xl:~ :~~Y2, ir,;~ ~ ~.~Y2 )=(7.4).В операЦШiХ с коыплексныыи '!Иснами особую роль Иiраетчисю пре,'i,ставимое парой (О, ) и оСю illача, '1юе с.уквой i. YMllO~жа)i эту пару самое на себ)i (т. е.
воз юд)i ееквадрат, полу !имчисел:). (0,1 = -1, О) =(ОЗамет lВ это, мы110ж:е1,т.е.Z·2= - 1.любое lЮ1lПлеiСllое число Zпре,'i,ставить в виде(;т,у)Z -1lыI бl1l0ГО чисна Z леllие ира'iO равенчис iilМИ ТiiЖZв;т7У.ШllрОКО И"lЮ,lЬюват), J1ЛЯ комплею(;т, у) f.lредставлепие Z'1ютреШl!'11) . ({ 1(х. О)(О,1)хliачестве МIЮ liнтеля,Это представliBa/lpiiTliOTOPO~позволяет ПРОИЗВОДИiЪ опе! ,ации с комплексными1lie, ЮiЖ опи прои:~во iЯТСЯ сa.ir' 'I.раич!~МIЮ~ГОЧШ'lIiiМИ.Коыплексное '!Исно Z - (х, -у) - хпринято называть co~nРЯ )!i'euHымM по оmНОШСНIl'!!) к; к;омnлек;сно,му ч'Uслу Z(х, у) ==-х7У.Очевндпо, что к;о,мnлек;сное ч'Uсло равно нулю тогда 'U толък;отогда. к;огда f!aBHO нулю гощ!яженное ему '('ш!ло, ибо равенствах = О. у = О эквнва,,)''lIТlll,' равеllства1ДЛЯ геШ,lетрического изображ:епия:Е = О, -у = О,11леliСllЬ х чисел удоб-1 ПРЯ1,lО>ТОЛЫЮЙ СИСТ"1ЮЙ liООР/1ИПiiТ.При этом коыплексное ЧИСJЮ- (х,изображаеТС)i или точ~-::-::-t110lЮ"lЬюват),' я д"1iартовокой}I,;!с liООРДНПi та1,!И (х, у)на'iала координатi'O'iKYили веКТОр01O}l,;!,Шl Jщим и:~Н.1) Это делается точно так же, как и , (ля вещественных чисел (см.
п. 3 § 2гл,2).<i'ИГ! )ij\НИЕ ВiaKobl способе из' ,бражения Ci, ,жение и вычитание KOЫ~'iисел СВiДИТСi к сложенш), и вьпитанш), COi\iBe i'CT~ВjЮЩИХ им В' 1iTOPOB (этi) Щ)llЯТ11O И1 фОР11iЛ) И)iJ:ПИ наряду с декарто юй сис )'ebli){) К(), тдинат ввести пi)llУЮ сист)'<li(ЮРДНTa1i< чт, ,()],1llаходился в 1ICiЧiiлеплексныхсистемы,< а полярная ()сь была направлена вдоль по~ЛOlт,птельного направления осп Ох, то декартовы координатых<И полярные КООР'ЩllаТ],i (р, ()) люСюй ТОЧ1iИ М, КiiК [Г~BeCT~но< связаны фОjмуламиу!'х"2-+у"2,агсtсу l{ь ,rх =pcos (),У =psin(}arct.g l{()=п,rsgn у7г2"sgnyпри х>ЩН1;Т<i1pH=.5)О.Формулы (7.5) приводят llас к m!iUго1-tо,меmрu"tеск;m'i фо! ,мепредставлеllИЯ комплеКiЛОГО ЧИСЛii< Z = (х, У):(х.
у)хСО" ()<sin(}) -smВ тршонометрической форые представления(7.6).6)'шепоназы~ВiiЮТ ,МОi)УЛUЛ а угол () ap,'YMC1-tmОhL1i'liС1ОГО чисApгy~ментопределен неоднозна'шо: выесто зна'iенияыожно брать111iiче ше ()+ 2пn(r<ii,e n = о,± ,±2, ... ).в iригоноыеТРИ'iеСКОi1удобно производить опера шиУМl1Оi1iе1ШЯ и ,lеле1ШЯ комплеКiЛЫХ Чi1'Пуст], да1],1 два произвол] 11Lii\ 1iOI,шле1iС l]Пi чиепаZlZ2===(.12, 1/:2) =(.У 1, У1)(Р1 COS (}1 Р1 sin (}1),(р\ COS (}2 Р2 sin (}\).<Тогда.
по опре,ii,еле1ШЮ УМllожеllИЯ (в<и.]) ФОР11iЛi,i(7.2)),ПJоизведение этих чисел иыеет видZl . Z2 = (:Е1:Е \ - У1У\, :Е1У2 + 'у2У1 = (P1P\OS (}1 COS ()\ - Р1Р2 sin (}1 sin (}2 Р1Р2 COS (}1 sin ()\ + Р1Р\ sin (}10S ()\) == [(Р1Р2) COS((}l + (}\) (Р1Р2) sin((}l + (}\)].(7.7)Аllа.1ОГИЧl1О и:~ форму. iЬ1 (7.4) :~iiКЛi' ,ча)'<что ча'<т 10)'Zl,lВiXZ2комплексных чисел <I Р2[(~~(Х1SlnР1 З 1 () ) И)=(}2)(Рlsin(!l1) При этом предполагается, что комплексное числот< е< р' =j=. О.<=2иыеет вид 1(}2)]'Z2•8'Jне равно нулю2U7АТEl:ГАИ'СКИЕ МНОГС''!2.7)(7;'.,)изаклю",,{,(;е{л;ж:(1i!y,m,'H-{)Im,(;}!',с ел 'iJ'Мiшюm,ся (пр,I! СТВО''''реIЮСИТ,·ЯНЯп"равных r;:от,шлеr;:сныхn)Му а 6fю.1(.011' 'Ч1li\ГОе, еетш комплексное число возво-чисел;,iл Оп).Slnпри(7ЛЮ1Н 'гото1·0;,Из формулыJy,{//J,последо на"В частности,.
еепи перемножаются'шепа ю'мплексных чисел..'iИТ'·Я в ·тепе11,пргу,м,е '{П/iЫ'Ч:Ш:СЛ I {,Х ,м,опргу,м,("н,rnыТ".11,11Oш("н,!f."1полу'шмiaK назы lаемую фор,мулу1)(cos о. sin о)nФОРМУЛ\(7,=(cos Оп sin Оп .О) :юж:rю :~,шисаТ1,в.(7.10)iPyrO: пре i,ставле ши:.11)sinun.в заКЛiочение замеi ИМ,. что комплексное число. записанноеiригономеТРИ'iескоI!е1\ч,>е,ранно нулютом икогд,> р,ше11 пулю его мо,l.уль.перемножениикомплексныхчиселi'ОЛЬКОтомH:~ того, что приихмодулиперемножаются,выт, '1(дет, что nро'Uзвi:дсн,'Uс неск:олък:'U:r к:о,мnлек:сны:r ч'Uсел рав"но нулю Л'U fJb в том глучае, к:огда !ювен нулю хотя бы один 'UЗCOht'НO;)fC'Uffi( лей.§ 2.1.Алгебраические многочленыАЛ'е. 'ра:uчеСК:'Uht htногочлеНОht n"й ст," "'Ш1 П"раж:еШ1"ви.11 ,Ш,,' 'тся В1+i,a+ ...гдеСо, С1,(х....,Сп;Т11ере:,lепное 1Ю: шле1lС юе11}11еКОТОР1,1"по' тояппыеное из которых отли'шо отический М110гочле11 ст," "'Ш1HYJTi..12)Ч11СЛО . аЧ11' ла,пер"ак известно, любой алгебра-МО 1lПО по, iеЛИТ1, «СТОР IИКОМ»11а,'iРУГОЙ "лгеl'lр,;.ическиЙ :ШОГОЧ"l''П 'тепе1lИ 11е выш" чем 'п.
Т,>"ким путем мы приходим к следующему YiEe! ,ждению: к:ак:овы быни был'U iJBa ht' {лгочлена 1 z) 'U чJ( z) так:шне выше, '!ем j ( ,сn!юведл'Uво !iaBeHCmBoj(z) -,) . q(z)+ r(z),чт{) стеnе?{,/) чJ( z.13)в к:отором 11( z) 'UZ - нек:оторые m'H-огоч ,{,ены, nр'Uчеht сте"nенъ q(' равна разност'U стеnенеи много !ленов j(' 'U '(z) астеnенъ т (z) H'U;)fCe стеnеииz) .1) А, де Муавр (1667-1754),английский математик, по национальности французТИРС' '\НИЕ ВОТНО' ,ению к (fШГУРИРГ((ЩИМ в равенстве13) MHOri( шеrp(z), q(' и r(z) i(бьпно применяют Вiн,лне пон,тные,< ,l.елит' ',Ъ», i<чаi'Т11OС(>({О' 'TiiTOK»МНОГ' ,'(лен l(z) дели ( ся на мн, 'lочлен ср(' , еслинам1в П'',1 (ЧСНIЮЙПО' р"'ТВОМ д" "'Пня'тол' 'ИliЛ;ФОРМУ"l" (7,13)остат, 'к г (z)~оговори; "я lla:~blBiiTL М11Oгочле11O; н ,левой ст," "'Ш1 ,1юбуюкомплексную постоянную.
Тогда совер' ,енно ((сно что люБO'Llмн,огочлен, дел'Uтся '!!а отл'Uчн,ы'й от '!!уля ht' {О20член, '!(улево'йстеnен,и. Изучим вопрос о делимости много'шенана MHO~ГОЧ,l' 'П ''''рвой ст," "'Пн Z - Ь .Оnределенuе. Назовем к:омnлек:сн,ое ч'UслоnopHeht1 ,)н, О г О ч л е н, аhtТеорема7.1.двучлен,Ь) тогдамн,ого'/лен,а l(z).Д о:~т еь'(z)Ь-есл'Uf(z),f(b)равн,о н,улю.iН'Ногоч ,{,ен, 'Ну ,(,евой, стеnен,и'Uz дел'Uтся 'Натолък:о тогда, к:огда Ь является nopHehtт в о.фор;,;улу13).3апншем ,lЛя ;ШОГОЧ,l''ПОВ l(z) иПОСКОЛ1,КУ степе11', остаТ1iД r(z) вэтой фор;; (ле обязан,а'tt'U:J!Ce стспсни делит' ',lЯzЬ, ('О r\ ,) - мн,ого'/лен, н,улевоu стеnен,и, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
