Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 35
Текст из файла (страница 35)
в то вре>.икак приращение 6.у. вообще оворя. предстаВ.шет собой болееGТIOЖНУЮ функцию от 6.х.Имея в виду что приращение функции 6.у опре. ;еляется фор-му.ЮЙ(5.1 ,dy.а дифференциал'-.опре. ;еляется форму;ой(-'1':)мы придадим Щ ИО.шженному равенству}.;О+ 6.х)-(х) ~ Г1 + 6.х)~(х)(х(5.14:следуюшЮJ вид:6.хили+ I'(x)6.x.1!е (5.46);ЩЮ;дш; знш;ений аргу>.ента. б.ДШ ма.!ЫХ 6.х) приб. шженно заменяетсяшнейнойв частности из формулыизвестны:< ню.· из гл.1(У) = (11/714= О.может быть получен ряд уже(5.;рибли !;енны:< фор>,·пл. Так,юлагаяюлу'шм, что7)1 !олагая(х) =sinx.х = О.
получимSll!1 !олагая,1(:1;)= е 71 ,с:::::6.:1;.А8)полу !им+ 6.:1;.1Относительна!! пш решность равенства (5.45) определяетс!! отношени/Jy =~xo(~!r).dJ;i)тметим. ЧТО. по Щ}j,jдеЛСНИ}j·-dy =ПГОИЗВО . 'l.ЮоПолагаяИtиф,,'ЕГЕ'+(:r:) = 11,(In(lI(аж.[, ,еИl. равенств(,е, fЕО[fеч[ii'ЛУ!ИМ,:r: -+ ~x)(5.17) (550)малой более ЕЫСОfЕОГО~x(5.50)СПРfШ( ;лив', с т', !Н' ,стыоЮР;!ДfЕа,,см ~:1;Равенства (5.47) (550) в форме точных "ценок уже (,ылиУСlCiНUБJkНЫ ЮiМИ В конце ~ 7 Г1.1.'.н§,цГID>§10,и дифференциалывысптих порядков1ПОНЯ'I'ИZ' ПРОИЗВО/R,Iюii n-го ПОр:>I/R,Кi1,лось в п. 2l(aK уже отмечапроизводная г(у) ::~.нкции,§1(У) опреде.[ен-ной и шфференцируемой на интерва.[е (а, Ь) пре.
fставляет собой фу1-t'К'Ц'lt'Ю, та?,па иН?7 "рви(а, Ь.ожетс [учитъся. что этаруе\юй вточкесама является дифференциfеfЕОТОРОЙ то' [Еепроизводную.;1;давmорO'il nро'ltз,;од1-tо{!ипеРЕала (а, Ьуказанную, .е. имеет в это,!производнуюназываютnРОi{,зво,)nO'il 2-го nорлд?,а)у =J(x) в точке х и обо:шачают символом .f(2)(x) или у(2)I !Осле того как вве. [ено понятие второй произво. fНОЙ.
можноюслеДОЕатс'Льно ввести понятис: третьейfРШfЗВОДНОЙ, затс'мчетвертой произво. fНОЙ и т. д. Есш предположить, что нами ужевве. [ено понятиеВОД[fаят. е. имеет в(71, -l)-й прои:~во. fНОЙ и что (11 - l)-я произнс:которо,! ТОЧfЕС' ;1; [!Нтервала (а, ):той точке производную. то указанную производну[' , наз[ шarот11-'11nРОi{,зво( nо{1nро'ltз,;од1-tо{! 11-,'0 nор§,')'Ка).f(:Y) в ТОЧfЕС';1; И обозначают с f,§ВОЛО\ рn)(;1;) кш=у{n)(у).I.
аким образом. мы вводим понятие 11-Й произво !НОЙ индукт[шно.[ерс:ход;! от пеРЕО,! производ[юй кНОl.l.[ение, определяю нее11юслс:дуюши\Соотю производную. имеет виду{n) =(5.51)y{n-l)1'.Фу1-t'К'Цшо, 'Шvtеющую на da1-t1-tоJvt Jvt1-tо;JfCесmве! х} 'Ко1-tеч1-tую nроuзвод1-tую nорлд'Ка 71" обыч1-tо 1-tазывают 71, раз дuффере1-t'ЦuруеJvtm'lпа данnо!' .;,[но :н'есm,(:е. ПОН;fТие производ[ [ых [ыIшихx порядковнахо. fИТ МНОlочисленные применения в фи:~ике. 3 [есь мы ограни' ,Ю\IСЯ тем,,то укажем механический смыс[ второй производной. Есш функция у =риальной точкипроизво. fная.f'(х) описывает :шконю пр;! :юй ЛЮfЮ·ffEafEшижения матемы! же знае\'пеРЕая[ает Мl но венную скорость fвижушейся точки1) Гl.торую произвоДную функции/"(х) ИЛИ у"(х).то,/(х) обозначают также символом'iTO>ам(' lИ\i,поря}каBi,lМ('ТОШ},}lПРfOдполагастn}}lСЛfOНИЯумснш'flРОИf ЮТвычислятьтоBi,iCi}}fOi(\11;'));01М 1!во}'с' nО]Jлдj;f!ка,}fO(ТВfO ПРИ\ifOIЮВ вы }НСЛИ\l пр, '}l:~B()ДHЫ(''п-го порядка некоторых простейших элементарных функций.2.
n-е производные некоторых функций. 10. Вычислимn-юЮИЗ}ЮД}i'Ю степенной фуню~ии= х й (хО. а - любоевешественное число). Последовательно дифСf!ереющруя, i)удем>И\iеТhу' = ах'-I,у(2) = а(а -1)х"-2,= а(а -) а - 2)x(V-З, ...Отсюдаiегко уяснить Оi)щий :шкон(хй)(п) - а(1' Строгое доказательство1)а -+ l)х Й - П .- nзакона легко п] ЮВОДIПСЯ методомCJToroиндукции.В частном с.тrучае а-т, где т-натураъное число, получимО приnт.Таким образом, n-я производная МНОГОЧ,iена т-го порядка приnт равна ну.ции у1) .Далее вычислим n-ю п]юизводную показательной функ-аХ (О< а i:: 1 . Последовательно дифСf!еренцируя,у' = аХ ln а, у(2) =i)удемlп Зln 2 а, у(З) =Обшая формула, легко устанавливаемая по методу индукции,имеет вида.в частности,еХ )31.НСЛИ\l n-юеХ •ЮИЗ}ЮД}i'Ю ф'sinx.
Пе],вую- С01' Х -производную CJтой функт~ии мож:но записать в виде у'= sin (х + ~).ТЮ,И') обi',азом.2"- SiIlX if]J1lбавллет 'к; аР2у,менту этой(!тсюда fЮТ чае\l фо]лух)= SiIl!;е 11l"шr-tу 1Г/2.:г + n ~).1) При этом мы используем еше следующую очевидную формулу [Аи(:с) ++ вu(х)](n)= Аи 'П '(:с)+ Bv(n) (:с),где А и В -постоянные.П;аКЛЮЧ('i1iЫ'ШiЛ 1М\ЮЙУnю-юис!Хсх;1;011I\Юназы.с' iД(' а,i.iifOн( iШ-тарые пастаянные.
Паследавательна дис[ ферент~ируя'iТУ функт~ию будем И\iеТhу'_a~(c_x_.~~__~__~=у(2) =-2)у(З) =('х+-2+ d)(-2) -3)(1 х+, ...Легка усматреть и аб "ий закан-( а.;Ь)cir+d= (u.d - Ьс) (_1)n-l п !(сх+ d)-(n+1)катарый маж:ет быть абаснаван па метаду индукщш.3. Формрла Лейбница для n-й производной прои::шедения двух функций. В та время как устанавленнае вышеправила Вi,PfнслеНЮJ пеР1ЮЙ пранзваднай ат СТЛ,iЫраЗ1Юсти двух функт~ий (и±'и)' = и' ±v'ierKa перенасится (например.па метаду индукт~иина случай n-й праизваднай (и± v)(n)н'± v' , вазникают БОiЬшие :~атруднения при ВЫЧИСiениип-й праизводнай ат праизведения ДВУХ функ шй И'О.С 'аатветствующее прави.
ю насит на:~вание фор.мул!,! ЛеЙбн.uЧUИ\iеет стrед.' юший вид:+ с:зn ,!(n-t)+ ... +Легка падметить закан, па катараму пастраена правая частьЛей()ница (5.52 : она совпадает с Фор.мулоЙ раз!!о:ж:ени:!(и?с)n, Лn:Ш'Ь вЛI{сrnоиi'Тi!iiлrn n1ЮuзводнЪ!е соответствующuх nорлдnов. Эта сходства станавится+еще БОiее палным, если вместо. самих фуню;ий и иписать саатветственна и(О) и 'и(О) (т.
е. если рассматривать саму функт~июкак праизваднуюHy.ieBaraпарядка).Дакаж:ем фармулу Лейбница па метаду индукции. При=1,па фаР\iуланмаетет с устанаВiенным вышевП]Ю1;зведеНЮi Д1i\Х ф' [к iНЙ.справедливасть фармулыказать ее справедливасть(и'о)! = и!+ и'о'.iiTanсавпадаправилам ДИj[iферент~ираванияa+iaMY дастатаЧ1Ю предпалажнв(5.52 для некатарага намера n. даДШ следующего. намера 11 + 1 .
.итак,lSCДШfЮ\ftoРf'nЩН1,fУЛ'Ф 'РМ\Лf'об,Гlр<>диф-',2)нм слагаемые'1тоящн,'вправ, ,й Чf ,ти, тс\к, Ю\.К это YKa:~; Ш' НИil;to·(uv)(n+ )и(П+ )'с'+C~и(n)'и'C~u(n)v'I с 2 и(п-2),u(:З)C~и(nnLn[C~и(n+ и'и(П+С f и(п-2)v(:З 1n)(5,53)(При '-)том мы восполы~овались тем, что 1 - C~ . Из'шементарного юрса известно, что для любого номеращего71"kне превосходясправедлива формула 1C,~+Пользуясь '-)той формулой, мы мож:ем следующим оi>разом переписат,'ю:е,fСf ,:О ( ".(и'и)(n 1) = и(n 1)+1 и(n)'и'+ C,~+l и(n-1)'и(2) + ... + u,(/ii+1).Тем самым дока:шна справедливость сlюрмуfы (5,52 для номера(n 1), Вывод фО] 1МУЛЫ Пейбнrща заве]шен.При м е р 1.
Вычислитьпроизводн,Р' функции У =+- х 2 СО8 х. Воспользуемся гlюРМУ.ЮЙ еЙбнrпа. положив в нейи - СО8 х, 'С'х 2 . В таком Сfучае дш любого номера k u (k) -= СО8 (х + k1Т".), 'и' = 2х,== ... = О, Получим=2, ,(/3)С' 18 ( Х + n ~) + 2nх СО8 [х + (n - 1) ~] +-) СО8 [х + (n -+2) - ]При м е р 2. Вычислить 71,ПРОИЗВОДНУff; функт~ии У :[;3 е Х , Воспользуемся формулой Лей(>нит~а, полшкив в ней и == с х 'и = х 3 , огда для любого номера k u(k) == 3x~,'и(2) -6"'и(3) :[;36,,u(Б)+ 371,(71, -О. ПОfУЧИМl)х71,(71, - 1)(71,2))е Х ,Рассмотренные примеры показывают. что гlюРМУ.
{а Лейбнrщаособе, ю '-)ффеt<т,шнастг 'fae, когда ОДifа из двух пере\шожаемых гliУНКЩIЙ имеет лиш 1шJ-tе'ЧJ-tое 'Число отли'ЧJ-t'ЫХ от J-tуляn1ЮЕ36', ,дн'Ы:т,Дифференциалы высших порядков. В рассуж:дениfаСТQlfщего ПУЮiта{.! буде,) НСfЮfhЗОВЮ'· ДШf обозна'fеНИlf4.lfXДИlf,ференциа.fа наряду с символомdтакж:е и симводем писать там. где это удобно вместо dx и1) Впрочем, эта формула элементарно проверяется.r5(т. е.симво {ы ;)х и.fГОИ:ШО 'l.Ю87иt.ИФ'I'ЕГЕIчто фУЮЩЮI УI-НС'}ШТ<>РiiЙ OiiРСi(ТiЮ(ТН ТiiЧКН :TiiТогдаал (Zy этой функции ИМfOfOт впд1) (ZyТ~ИfOj!ПfOРfO\ifOННЫХ: ТОЧ}iИ:Гщ+j'(:T)(Z:J: п ЯВЛЯfOтся ФУНК-ВfOличиныПРfOДПОЛОiiаIМ ДОПОЛНИТСЛЬНiiЧТii Г[iУНКЦПЯj' (:г такж:с яв-Лii i ' iiЯ iнффi'iiЦi1iто'!Xi) и 'iTOd:J:ОДНО П тофиксП] юванное значение дш всех точек х рассматрпваемой окрестности точки хн.i iРИiiТИХiеДiюложеi нях сущеСТi:iет днффереiщнал ФУЮi1'(т~ии (Zy =в точке Ха, который мы будем о()означать спмволом 8 ((Zy), прпчем '-)тот последний ДПфС[iеренцпал опреде.шется фОР\iУЛОН8(dy) - 8[j'(x)(Zx]lx=iO- [j'(x)(ZX]'li=X08x - j//(xo)dx8x.
(5.54)Оnределеuuе. ЗНЛ''lе'J-luедuфф!дU8 (dy),}uффереЮJ,uала от первогоdx,n1и 8х =Ф Ф'ЦUа л оjf.аз'ЫвЩii'iРфif'J-l'J(;'Ц!J.Uв'ы м(х)Uобо,mа'Чают CUMBO,j.OM d 2 y.фо]ЛЫ)и из определеНЮi'Ого днффере ii}налавытекает. чтоd~y =(ха)Заметпм, что так как мы считаем ве.шчпну dx фикспрованiедеiеiю}о днффереiщнала сраз' же вы-НОЙ, то нзтекает,чтоюj! днффереiщнал независю,юйсеме;юj!равен нулю.Сове] 1шенно аналогпчно последовательно определяются диф([!ерент~палы БОiее высоких порядков. Предполагая, что производная порядка (71, - 1) функции уj(x) ДЮ[iференцируемав точке х,) (т. е. предполагая. что функцпя у =точке :го ПРОИЗВОДНУi!; порядкар еуаT~а л 71,-г оокак ДЮ[iферент~иа.ю.'cTaiiai:фующии у =8((zn-1 y )от ДПфС[iерент~палаВ самом деле, при71,-1)точке71, - l)-го(zn y методом ИНДУКЦИИiшеj(n)(хо)((ЬУ.11 = 1 п 11 =формула5.56)(5.56)iедположнм, что '-)та фОР\iУiа справеДЛИi:а Дномера(х)нваете; фОР\iУiа(zn y[:а.Д и Ф Ф е-я Д к аПОРiiдка'у, i:ЗЯТЫН"х = {jX.Для дю[ ференциаiа 71,-го порядка\ieHTa]Г(х) пмеет вмы определпмт.
е. предпоюж:им. чтоогда. coriaCHO опредеiенш',1) См. п. 1 § 9, формулу (5.39).2) Мы опускаем индекс О у точки Х.(zn-1 y -справедш[екото] 'о}оj(n-1)(х)((Zх)(zn y , получим 2),-1lSS= I(n) (:гт,с Т,)[iС[ЛНВОСТ1, форм' Л1,1И:~ г[юрмулы(5,56)И [[ЮД[1"Й Пiр"та ю[;л(',выт( ка( т сшщующ(',' выр, i[,ЕОНИЕО для про-N'j(n)(х);!n у(5.56')(d:r)n'Очень важ:но отметить, что приетсян е з а в и с и м о йг[юрму,1Ы1nсправедлИf;Ы. вообще ГО[ЮРii.(5.56)ито! да. }Ю1да х iШШi-пер е м е н н о йт.
е. второйи пос 1едуюшие дифферен 1Иа,1Ы не обладают, вообще гово] 'я,свойством инвариантности г[юрмы .Чтобы убеДНТ1,Сii'-JТO\1. рассмот]В0!1]ЮС о [;},l'1ИСТlе[второго ДИфС[iереющала (дваж:ды ДИС[iферент~ируемой) функт~ииГ (х)предположении, ,[то,еме[ 1aii х является д[;аждыДИС[iференцируемой Г[iункцией некоторого аргументазуя 'а!;е[1С[ [Ю(,}.391фо]лу= 'и;)и+d2 y - д(dу) Iбх=d,- д[j' (x)(lx] Iб,=dх {dхд[j'j'(х)д(dх)}lбх d, [сlг.j"(х)дх]lбх d,+(х)ПОСТlеД[1Яi[ фо] 'м' ла о [л нчаеТСiiдопошительногои.вооб неотговоря,(5.5'})неt.Испо}Ь-, ПОЛУ'1И\l{х)(Рх.налнч )емравногонулю1ейчлена{(x)d~x.§ 11.фУ))Н<ЦИИ, 'з:аданнойпараметричеiКИв '-)том параграс[ е мы остановимся на методике вычисленияпронзводных ф', заданной 11араметри'[ес};и.Пуст}, х и у заДа! },Iф' 1КТ~H не};оторого 11араметра t: х =- rp(t).
У - '1jJ(t). При '-)том мы предположим, что функт~ии rp(t)И '1jJ(t) И\1еют I\жное чнслоЮИЗ[ЮД[1ЫХ по пере\1енной t,ассматриваемой об1асти изменения'iТОЙ переменной. Кроме того.11предположнм, что ф'1КТ~НЯ Х =В окрестности рассматриваемой точки имеет обратн,Р' функт~июС1ед[ 1еепредпо,юже[дает1Ю,1 возмож[ ЮСТht - rp-l(x) 1 .По-,аСС\1Ю] 1И[;аТhкак функцию аргумента х.1) Это обi:СПС' ,ипастсяш'рпой ПРОlГЛЮ/l;ТТОЙ ер' (t), отличHoii ОТ нуля в некото] oii ок] естности рассматриваемой точки (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
