Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 30
Текст из файла (страница 30)
е. S(x')S(x"). MOii"TOiiНOC Ьфункт~ии S(x) на [ d] "оказана. Лре:жде че.м перейти 'J';; дО'J';;азателъствунепрерывности фУН'J';;'I~ИЙ S(x) и C(;r) Уi<тановим, что 'iредеЛ'hные знаЧ'iния ,j"!H'J';; щй 'i,(') И С (в тОЧ'J';;ах .мно:жества {8} совпадают со значениями эти, фУН'J';;"ий в 'оотв,iтiтвую1ЦИ' rпДЧ'J';;а, мно '"е,тва {8}.Р"ссм"трим "'ю"звр ,ь,,' ,е <,ислр8'" ,жесва{8}И две с" 'дящиеся к8последовательно(ти {8~} и {8~} эле]\!ентов множе(тва {8} таких, что 8~ << 8 < 8~. В силу "Юii"ТОiiНОС И '!;;нкц"и S(81 на" ""жес в« {8} справ,щливы ,,(р,шеiiСТВ,' S(8~)< S(8) <S(8~ 2).
Та,<, ,<",к liш S(8~) =n-+ 00указанные пре"елы равны предельному значени," в точкеliш S(8~)n-+ 00функт~ии8"< ;твер;"д,'НИi.' ДOKa:~aHO. ~бедимсяо функц"и S(x) И С(х) Henpez"w "'1 в 'J';;а:ждой тОЧ'J';;е сег.мента [О,ТО толы<,о что сфирмулириваНii'этого доскехaTo'iНo усуказаННОI<Оанов iТ',<, ч;(ег]\!ента(леваэт"исправа,непрерывны(непрерывно(ть (пра"а и непрерьп,ность8~} -l\lножеСТi,;;а {",,::}..
ДлянепреРЫВiiЫ в"ч-справанещ,еРЫВiiЫ с;;ев" В "'iЮ' d (СМ.,аМ«<"'iiие в п. 1 § 3). Докажемделенно(ти непрерывно(ть функпииточке х cel<MeHTa [;ст,«теш<рь,доказывает«,юр,'(левааналогично).i ,е,<,о "р,ш сходящ,шся х с ;ев" '" 'с ;еДивательнос Ь ч"се,;Так как lilll.'М;,< .. ' == S(x), TO~' ЛЯ Лj'",;,,',~ого е > О МО)КНО ука/':--+00заТЬiЛ'('iеiiТ<8k этой посл,щоВi' ,< ;ы,,,сти< Д,Ш китОР"Г" ОЕ.
Рассмотримеперь произвольну"сходящуюсяS(;r) - S(8~)<х слева ,ю(ле"овательность {х n }.2У - ном«' < Н"ЧИiiая с ,<,О "рого В'«iПОЛНЯЮ СЯ нерав,'нс ва 8~ << х n < Х. силу возра(тания функт~ии при n ) N "ыполн«, 'fТСЯ неравен-nn-+ 002\Ц,Ш[S(8~liш S(8~)=S(;r)S(8'числ"<>О- S(8')] = S(;) -'ади определенно(ти ]\!ы доказываем это уп,ерждение дл«, функS(x).55ст',а<',( J<<<"опоставл·'·' ихнерав,'нствами ОS(:/;)справеi!.ЛIН'Ы нера"енсп,а О',,(,г) ,ыми С,ЮВi'МИ,ша',е"иев точ,~~е :/;S(:/;n)S(8~)- S(:/;n)S(:/;) ,слева ра',но частному ее значеНIН"в это" точке ТаКИJ\l 06ра ЮМ, непрерьп,но(" ь S(:r) в ,,',ю·с"евс,iпределим теперь фунюшиС"'ТНитттений S(cd) = C(:r~ иина сегыенте+ d\[d, }d]ПОJ\lОЩЫ'-S(c).
ПРИJ\lен.~,~' эти ф"рмулы'",спрос ''''''ИМ э И i'''НКЦ"и "а сег,с,е"т r 2d, 4d]. Пов "ряя ЭТ" расещесу)кдения, мы определим эти фУНЮiИИ i!.ЛЯ ',сех пшю)кительных значени" х.Для отрицательных значени" х ыы определим эти функпии с ПОJ\lОЩЫ'С"'Тi,,,ше,,ий= -SIи= СIл'т,~,о ,б,щ"Тi'.СЯ, ',то в р,'зультате ыы получим функции, непрерьп,ные на ',се" бесконечно,i прямой.il"нкции S(x) И С(х\ ,Довш'творяют реБОВi"ШЯМ 1о. 20иутвеР)Кi!ения, сфОР'i,ул"рова"ного в начале дО'J{;азателъства существо-вания. 3с,мет ,о"~, ',то ее,,, в'сегыента[в"в'+ в"s при"адле.1.1ii"MHO.1.1,eCTB'сто.
Из у,~,аза"ного выше способа "РОiЮЛ.1.1,ения фУНКЦ"Йсправед",ивос ь э И' фирму." Д,Ш з"а',е"ий арг'd].принадлежат сегыенту [О,S(T) иd+ в'в"ПрЯ'iЮЙ видарd/2 n , где р игумен, а образуюв"беСКинечнойЛi,,6ые пелые числа. Так Ka,~, эти значения ар-n-всюду п""т""е MHO.1.1,eCTBO точе,~, бес,~,о"еч""й ПрЯi ЮЙ )силу непрерывности фунюш,j S(x) исправ,щлив""следуегде sПо',тор·.,'" эти раССУЖi!.ени·,', ыы докажем, чтоС" 'т'" ,ше"ия (4.51) справ,щлив '., Д,Ш вс,'Х ЗНi'Ч"Н"Й арг,то,sd], то i!ЛЯ этих значений ар,'уыента фОРJ\lУЛЫ (4.51 имен.1Т ые-Д,Ш вс,'хсоотнотттени·' (4.51будутша',е ,и" х.Поскольку требованиеС(х), истс,.е СЯ20+',ыполнено в результате построени'" функци,jВ справ,щливос и i еБОВi'''ИЯ 3.
Отм,'Т""что если в', в" и в'в" - элеJ\lенты мно)кества {В} сегыента [О, d] и спраВ'ЩЛИВ"" нерав,'нс ва ОS(s')Ls'ОS(8"\L8"в си"" пеРВиЙjji'Рiшеш;тв{4.5)+ в') <Ls'+ Ls'и нерав,'нс ва<<(4.20),= L(s'(4.20)и+ в'выш, шЯЮТСЯ'''',,,,ве,,ствс, ОИспользу.·, это замечание, фОРJ\lУЛУШТ,~,О ,б,щиТi,.СЯ, что нерав,'нс ва О(4.2,:;"Ls справеi!Л"ВЫ для все' s из MHO.1.1,eC ва {В} сег",е",а [ d]. Так'~,i'КЭМНО.1.1,ествовсюд' ",Ю Ho"a[O,dS(x)-"епреРЫВНiШil"нкц"я,то i!ЛЯ всех х из [О,ИJ\lеют ',ыесто нера"енсп,а< S(x) < Lx. Спра"ед,"ВиСТ '.
тр,'биван"яустс '" ,в"е, ,а.S(s);амеТИJ\l теперь, что числовыбрат'.ЧИСЛизависит от "ыбора· IS(sn)-_ 1' ... ,.8(вn)11ll",·· ,и ПОЭТОJ\lУn-+ИJ\lенно, если ',ыестоd' = d/k, то тогда B~ = sn/k. П" ,,,,стр"'Н"Ю S(8 n = S(8 n )B~n-+(4i СМ..ibI) ,ира'"ыы определим на сегыентетакие функции S(x) ивы,,"шЯТi,.СЯ< х.Г, "",е,Н'Рiше"СТВi' О',еские с" ,БРi'.1.1i'·Н"Я пока:~ЫВi'.Юd = 71/2,/ "ЧТО будут2S(sn)-длина стороны правильного 2 n -угольника.
"писанного в окружность радиусс' 1, 2в n - дли"а дуг" "'~,PY.1.1iHOC И, С ЯГИВi,.емиЙ'''рдиЙ Д шНЫ 2S(sn)и 2t(sn - дли"а с оро"ы "равил""юго 2 n -угол ,."ика, описан"ого вокругэтой окр'Неравенс ва (4.2,:;) в эслучае "",ею В"д S(Sn) <<Sn< t(8 nПОЭТОJ\lУуказанном случаеДOKa:~aHO..1) "а с. 146.L1.УтвеРЖi!ение ПОЛНОСТЫ'ГА В А5ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГОИСЧИСЛЕНИЯв этой главе вводятся понятия производной И дифференциа-1a, устапаПЛИ1;ею l'Я 11рапила , lll!'фl'Рl'1 Щllр' lllапия, 1ыIис,тшюю ся ПРlll1шиДПЫ1' псех прис l,,'ЙШИХ lЛеыеп аРllЫХ фупкциij y:tKeвыписанные нами в гл. 1.
Далее расс; атрива1<>ТСЯ ПРОИЗВОДНl,теДИфlI,е; ,епциа1Ы пысших ПОРК1КОП.§ 1.иПроизводная. Ее физическаяГl"ОМl'ТIН?"Чl'СКЯЯПрт?"ращею,н'1.ИНТl'рпреТllЦИЯllPrYMl'HTa и функции. РаЗНШ'ТНllНФОРlwШССЛОВИЯ непрерывности. Пусть фУllКЦl1'l УllПi)еделепаЗ11аче1,("Котор' lbl ип ('pna1(') 1<аза1 101 О Иl ерпала:г изi)ке х приИ31 (l lЬпо(' Щiирашепие .6.х такие, чтаlllie= f(x)(а. Ь ). ФИКl llруеы любиезададиы аР1 яыеп у nочх+ .6.хпринадлеlliИТ и"нтервалу (а, Ь ). Пр'uршще1-tuе.м фу1-t'К'Цu'uв точ'Кс х.1-tаз, '((емсоотвстствующuм nрир iЩПШЮ=!Так, ,lЛя фУ1У =ствуюшее приращенИf'.6.уlIыее= sil1ыесfapZf!,,нснта'!UСЛil(х + .6.х),sil1x.6.1) - f(1).прирашепиеаргументаlllЧКl' х,пе-Т, равноsil1 Х = 2 l llSслl ,lующее УТ1 ('p:tKll"'Цш! У =лвллласъдостаточ1-tо, чтобы nрuршще1-ti е .6.у(5.1(х + ~x)sil1~x.(5.2 )д,ilЛ того чтобы1-tеоблн)u.МО 'ивточ'Кех,1) Выесто интер"ала (а, Ь) J\IOЖНО раССJ\lатривать Cel'J\leHT [а, Ь], ПОЛУПР',l',ю, всю беск"нечн,ю ПрЯl'lУЮв""бще люб",' плотное в ,ебе l' ,,,жес в"{х}.
ОпреДl'"еllие 11'Ю ного в Сl'бl' MHO;lll'CTВll, {;r}в § 3 гл. 2.НС'/НО Jct,I'ИJlJct пр'!!В само.! деле, по определению, функция ув Т,I1K(',еС,lИ сущ('ствует Пi)е, e"lЬHиeнепрер l,ТEHaшач(iНИi'~x)=силу . 3 § 2 гл. 4 сищеСТl опапие пределы !Ого Зllачеl(5.3!эквивалентно то.! и, что фУНКliИЯ [J\:г)- f(1)] аргумента ~;"Я б, "КOll"Чlмалой ЩJИ ~x ---+ О.Диказаlii lе YTlI('p:tK,l("пиЗl,1шеllыIаillтьь!(лр"-Рl,ТВНОСТИ ФУНКliИИ У = f(1) В то' lieв новой фор.! е, а именно:фУН'Х:'ЦШ! у = f(:r) непрерывна в точ'Х:еесли nриршщениеэтоu f/Jff'Н,'Х:'ЦШl в то'Ч,'Х:с х. COOrnBffrnCrnBfn I'ЩСС nрира'ЩffНШО аргуJcteHrna ~; лвлле nсл бес'Х:оне'f'Н,О JctaЛЫJct при ~;if, т. е. если=1iш ~y"':',т--+О1iшIf(x"':',т--+О~x)лх)-=О.(Б.4)Условие 5.Ml,T И бnдем наЗl,тват , разносnmо{l фо! JcЮ'U УСЛОii1lЛнеnрер'Ывности фУН'Х:'ЦШl у =в то'Ч,'Х:е х.
Эмыб; дем неоднократно ИСПОЛl,зовать в дальнеЙl le.!l.С ПiIЫОЩЬЮ(5.4) ещ" р;сз убедиыс(} том, что фУllКУЮl1:Г fеflрерьшпа n Лl"бой оч,:е:г iiеСКОllеч}прямо}.сам, IЫизpa!I!'"из формулы C'1.2)·11Ш.[н8111-=ОуТ !ОПИЯ IC08 (х + ~x) ~пеfl' I,'Р('"':':[:--+0"'Tfl("liш ~y = О..2. ()пре,!iеление ПРОИЗВО,!iНОЙ. Сихрапиыфупкцииу = f(:r) предположения и оiiозна'lения, сфор.! nлированные в"':'х--+О;;,чалеf1реДЫ,l.ущегипупка.i-1итая, что ~;О рассмотрим в данной фи'Х:сиjЮffан'НлПточке х отпощепие прира! (епия ~y f!iУПКЦИИточке кответствующе.!'" приращению aprY.!leHTa ~;::::'.1} _ЛХ+ ::::'х!лх)::::':"Отпощепиебу,н м паlЬша ь разностн'Ы)(Б.5)отношение)(пданной то' lie :г .
ПОСliОJIlili;' значениеMl,T с 1итаем фи'Х:сщ 0ванныl1,' р;сзпостпо('ii Iщ("ПР(' "'та 1 ше собой'Цшо аргумента ~;T. 'f)Ta фу}Оflределепа ДJП} псех з fачешйуыеп а ~x, пр шадлеж:ащих iiXOTOP'I", до,'та ,IЧПО малой Оliрестности то' liИ= О, за исключением самой точки~:гО. ТаliИЫ образоы, ыы иыееы прапо рассыаТРШ1а ь f!ОПрОССУЩ"СТf ,lfl,ШИИ щ)едела указа}f!iY}при ~x ---+ О.Оnределенuе.р о и з в о д н о U фff'Н,'Х:'ЦШl= лх) вданнои фи'Х:сированноu то'Ч,'Х:с х на:fыlшfтслл nрсJffЛ при ~x ---+ ОOC,,!1iibIiИСiЕНИ>i(5"5)ра !Н ,гтНО20 от/но jU~'Нi!iЛпр?!''li,,о Эii отrrUiyern}П!юи ,паДПУ!!i фупкции у = .f(x)iiчк,' Х будеы аба ,н"ча ьПiмпа юы у'(х)(х) И ак, Пi' апр,' '" "'ШiЮ,гуще:.f'(:r:)Отые им, чт,; ,"'Ли фУiУ = .f(x) iшре,i.елепа и им,','т ПрiiИЗваднг "; для всехиз интервала (а, Ь), та эта праизвадная бiiдетпр,'о"~ Ь са бай пек,;"'Tai'фУНКШiЮ iiе!;еыеппай х,апределеННii'" на интервалеIНН!З!ЮДНi!Я3.акж,'!; ).фТ!ЗТ!Ч!'СКОЙ ТОЧКИ ЗР!'НИН.
Панятие, исхiiдяПрiiИЗiii' "ыыизещ"в гл. 1. Здесь м!,т еще раз астанавимся на фИЗИ'iеС,iИi{ прила!iе-Пре:tК,i,'iiредпо,юж:нм, чу = .f(x) апи, ывает зшх;он движеНИ>f ма nериал'Ьно'il ШО'i'Х:И по nрлJt.ю'!! линии( .пр, ;{l,iеПlIOГ,;,агда,,'р"мени атдашЮЮкак+,;чк,известна,,'кар,;сь!;!чала атсче;[',разнастнаетачкизаатнашениеПРiiыеж:утакВ такам случае праизваднаяпредел разнастнага атнашения5.5приВiieт. е..f'(T)апределяетМ2новiiННУЮ с'Х:орост'Ь то"l'Х:И в ,мо,мснт врС,МiiНИ х.
Итак, Прiiизвадная ф!!н iЕИИ, аПИCf,твающей за[iан движения, апределяетм!iУЮ ски! а,'ть,;чки.Ч ,;бы пе со' i"ЮiЪ пр,' "'та,,изваднайтттира <аиспал[,з!!етсяа там, ч"тал[, <авПрiiМ!'рЫ щшлаж:епия шшятияфИЗИ!iИ.П!!сть фУiу' пр,;мя.(При эта мВто'Х:а,,'КШ еy.fiЮiпр,;{ie <ани ,:е, п! ;иведем,iPyr {Хапределяет каличес iю электр iче-а Чi'рi'i Шiiiеречпа!' сечепие щюпадпика{iaMeHTВiiеi[ени :гакам' iуча,' щюи ,паДlIajiпрахадящегачерез=О берется за на'iала.f'(xпаперечнаепреaTC'ie-бу,н,т ii!iредешть сил!!сечение п! юваДНИ!iа вмам,'нт преыепи х.Ра,тм,; рим,дан','пагр, 'паiПредпалаЖiiЫ, что.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
