Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 31
Текст из файла (страница 31)
ф\ ШiЦ Ш У =тепла 1),катариега тела ат О да.f (Тiужпа п юбщитьфизики, разпастпа,'юшеi1(5.5)iiрИ[i!!pCaэлеi[ентарнайср! днюю rniin-лоеJt.t'Х:ос n'ь тела приатела.,'лу для {а; ре;;апияагда, [ia[i известна из,'луча!' пi Юи ,падпаji,,'Катар,;; аапределяет [iаличестпаiИт.,6.Тiiредельн,;е зпачепиеапределВыраже ,ное, н, ,;рИi ;ер, В ка юриях.'ie. В";стеnлоем'Х:ост'Ьакамашелаl!пн,110'!! Ш~Jct j~!, ,тур!"Падчеркнем, что. эта теплае.! iiacТf,ваа1\' ее гаваря, l,еняется с ИЗ.!iенение.! те.!шерат.i"РЫ~\1ы i ,аlI'MI,iики"чита"Пi,иыеi'Ы Пi,ила:tкепия пiiпятия ПрiiИЗi ii 'ФИЗЮiИ, При изученииВ тре\ разНi,Т\lЬпсРi'ТИI'ЯсiРУГИЫИii.i"pCa 0.1\'ыпаГiiЧ!iСi,'iiЫЫИiей фиПРИJ\Н'ра.!iИ прилажения панятия праизваднай,34. ПРОИ"GВОДН5iЯ СТОЧКИ зрения.
I3:2гл. 1 ыы рассма рипаш за,iiiЧУ а пахаЖ:,!i'!касате"iЫккривай, являющейся графикам ф.i"НiiЦИИ уна неката= fриы ип ,'pnai" (а, Ь ). Там ыы ,iiШИ iшре,iелепие касателыуказаннай кривай в та' iie l'vl(1, f(1)) этай кривай. (ЗдеCi,е,хатариеiач,'iаiJГуыеп а изiTeii!ia.na (а, Ь ; сы. рИ1Если Чi'Р'" ,6.х 1,бl ,зп~ч'и Ь ПрiiИЗiта, а СИ.!iвала.!(х+ ,6.х,лхCaTeJIifH.i",iр",1,чкумыР а(iазна'jИТf, та'+ ,6.хна iiривай с каардинатамиучеiiшпай крипай,sапредеJшеыii ,епри5 .. )lЬпа,' iiРИi,ащепие арГУМI 'ii-), та ка-пра\адящуюМiiкпа, юж:епие,6.,зчтii УГЛiiпай ка[ткущей мр (Т.
е. тангенс углаiiiКЛOiэтай сеКУЩi'Й кal'i'Ох) iiапеп раЗIliii'ТПiiМУiеНЮi! (5.5).з этага фаiiтаI,га, что.пр""\ТI"охприО iiтал наклана се i .i"щеЙ", iж,'i Ili'рi'Хади ь yr1' iклапа каса елы юй, мы n'не.5.1па§2гл.ГЛя'iiiЫХ саiiбраж:епиях iiыii!'' а1сделали ас! юпаш iЫЙ па"ы, что. nРОUii60д!!аян,а У 1 ЛО60МУ 'Х:оэффu'Цuен, nу 'Х:асател'Ьн,о{lf'(x)[аpa6~точ'Х:е М 'Х: графu'Х:уфfiн,'Х:'Цшt у = Лх).В настаяще.!I,бражепия.п\ НiiTe liЬ! утачним l'iiазаннчнаГЛЯДНi,те са-i!iУПКЦИЯ У =ia!мы ,юкаЖi'М: 1) чУ = 1(1) И.!iеет касатеJIifН.i"Ю в даннай та'угшшай KI, 'фijШЕиеп указа!касателыЩiOИпа,шуюБуде.!даiiазывать утвер +дения1и21,-l!iУПК ши!Та(1))'iiапепf' (х.аднавременна. О(уаiiiЧИМ угал паК,iiiIIa сеКУЩI'Й мр к iiси Ох СИЫiii,ЛiiЫ <р(,6.х).ПаСiiаЛi:iil углавай iiаэффи шент секущей l'vl Р (т.
е. tg '11(,6.1))::::'уравен атна! iению ::::'х' та= агсtg ::::'у(5.7)::::'хпри любiiЫ,6.х,I'Т! 1 'iiiiПИЯт.е.личпам ат пу ш. ИI'ущеспапа!i1'ущеiiредель-OC::!1jibIного зна' :енияг (:г) и из непрер j,ТВНОСТИ функцииЕш~:[:---+oн=пр!'arc!.g Д ш всех значений арг!! \!ента Bj,HeKaeT существование." iЬ юг:: зпачения функпни (5.
п точке,6.х = О i!апепс поЕш <р (,6.х )D.!f1im/\х---+О.f' (х )/\:Т!ОРавенство (5.8) доказ ,шает существование п: , едельного значе(при ,6.х --+ О) УГ1!! паКЛi)па секущ('й М Р, т.Дi)KaiЬH аесуществование !<асательной к точке М. Кро!!е того, из равенства(':.8)ч:р!",iыI !ха('т,<Роесли: :бi)зпачи.f' (х , т.<Роь у,::л,аклш ,а каса"iЬпой<Ро = .f'ПРffВ5fЯВ полной аналогии с по!шыи :!:!ап::г:: иле, ::,0 пр:' !:'ЛЫIЫХ,ий фу!П, ::-5.дятся понятия(,! да!точке х).Оnределенuе.
ПИ лево{l nроизводнъlТ ф!!н <ЦИИ у =.fа в о {1(л ео {1)nо и з в о д н о uу = .f (х) в даюt.оU фи'Х:сированноu то'Ч'Х:еназъuю.етС>f nршюе левое) nределы-юе Зl-Ю'fение разнос ii1Ш20отНОШfiНИ.я\:) в то'Ч'Х:с ,6.х = О (при условии. 'Что :то nрсдельное значение сущесrru!уетlЛх)Прапую "рои !ПО.шую фу!: :бi)зпачают , имполом .f' (х О), ле,символо!- О).Еслиу = .fИ.мсстт: :чке Х : :быч!ую щюи !подпую П точке хв то'Ч'Х:! х nрmtifводну1О .
тоона И.меет в э nо{1 ШО'f'Х:е и nрш!у1О, и ле!!у1ОдШЮЩШi Мfi:ж:дi! собоU. Ес,ш фif!!'Х:"ЦИ.яи nраву1О: исовnадшютnрmtЗ!Юfjнсо!ща-!'т в то'Ч'Х:с х=.fи если у'Х:азанные nрmtЗ!Юfjныесобоu, тоnрmtifводну1О 1). Выесданной точке,fe-у =!'м "ущес пую.f(x)И.мсст в тО'Ч'Х:fi хфу!им('ющиеи праву:", и леву:', производные, но не имеющиепроизводной в этой то' !·:е. При! ером та!·:оЙ функ iИИ \!m:<ет сл!!жиь.f(:r:) =111{+Х'.'.'{)та ф!!Н<liИЯ и! еет в то' !·:е1im~T 1,леп!!!! про ,з, од!х.!""ЛИ Х ;? О,!""ЛИ Хправ!!!! производн!раШl!,Ю/\:[;---+0+0 D.:rим: '!'т П точке х = О щюи ,подпой.6.< О.!!!.равнуюlimD.x = - 1D.:r'6,---+( -!:Понятие производной векторной функции. Вич,'С!',ОМанализе и е!'О приложениях часто встреча,· ,тся понятия щ'кторной функцииИпрuи.:водноii.1 Это .:твеРЖДi'Н!!f· СШ-ДУ"Т и: СОО В,'ТС! вующ,'л, :твержДi'Н!!Я ДЛЯ прав! ,1 § 2 г.,!.
4).г!, и,!евого пр,щельн ··:х :~Н::Ч"Н!!Й фу н·лии f CM.f!M! . ,,!ние !!:~ п.61'h;П:JICдо.м,ун{ПОсоо;;;1МJ/'М;Н!И() пер .. ;;е то;!';еmс;;';nепо'11,;·;а';есmно.м,у а;.•· .. Н ..р.I/,{n,иа. МНО ·;,е;rnн' i t,ш/(шМJ ,;е; вектор взаданнон декарто;юниД;;' ,:~н;;чно uпр,ще,.JЯ,·ТСЯремя ".оорд;н;,';"Так как каж; ы;;;еторнон функт~ии;r(f)=il;аи) эк fИ"алентно за"аню"!tiиПuня ие ве". "р;;"й фуи,,то:~ад;,;;ие век-трех скал',;рных функт~и]j"сuбен;;"О"ратитьс..,; к так называеМОJ\lУa(t),ПР',;]\IOУГОЛЬНОн ею те;;аг,.JЯДНЫ;'ес..;"фуню;ии.''догра;Jюм н;, ""ша,'ТСЯ геом,'трич,·с".ое м,'СТО ".о;;цов вс,'Х В,""ровприложенных к началу координат О.
Кривая L на рис. 5.2 предста-в,.JЯесuбuй гuдограф В,";l;;нкц;и а=a(t).Понятие ;'о;юграфа ;,екторной функции предста,ляет собо"ПО;JЯТИЯска,.;ярноЙ ;l"нкции.о' ю, "jfениеВведем по;;я ;е производной ве". орнойа{ (; в дан;;, 'й фиксирuванНОнточкеt.aprY;J.;e;;TYЭТОн#т~ели прида"нм.'прираще;;ие+о и раССJ\lОТРИJ\l вектор /ia = а( t/itia(t) (на рис. 5. указанный ;,ек-/it+Дл',;"PO;:~B"тор сов"аДJ.;е с В,"указанный ;,ектор на число""ВЫй В,"/i"1- " = -[;;(tL"ром 2\!IP). у;, ,..
,ж,ш1/ /it,ыы по-"ро+ /it)у(5.5*;;(t)],х;,ляетс..,;анало; омразностного'ис.5.2отношен;я (5 ..:;). О ;,;е ИМ, ';то ве". "р (.:;.5*) предс ав,.JЯе сuб"й сред;;юю с,.ОриСТ;',+изменения векторной функпии на се;'менте [t, t/it].BJ.;nrnnpHOU фун.n;,ии а = a(t) в да.юМ\U фиnсирпва.н.н.оU mо'Ч,nе t на.зыва.J.;m;.я. ;;реде' при .itПроиз;юдна',,;иливекторной--+ О разн.о· rnн.ого "mн.ошен.и.я.
(5 ..:;*).функциио' юзначаетсяСИ]\!вОЛОJ\l(t)da/dt.Из геоме ричес,'.;х со06ра;{J.ен;Й очеви; но, ч о производная векторной;l;;нкц;и а =ЭТОЙ функпии.a(t)предс ав,.JЯесобой вектор, касате ;ьный К ГОДUГРJ.;.фуТа". ".J.'K Ю" ,рди;;аты РJ.;.з;;"ст;;"г" "т;;"ше ;ия (5 ..:;*) с'" ,тве стве;;норавныx(t+ /iti- x(t)y(t + /it) -·,Т.itz(t+ /it)- z(t).itТО ЯСНО. что координаты произво; нон(t) равны произво; НЫЫ функт~ийх'y'(t)Т; ким uбр;, юм, вычисл, ню' прuи,шодной векторнойц;и св о; ;н; СЯ К в',;· ;исле; ;ию произво; {ных ее коордю ;ат.3а м е ч а не1.Т;;,к ".;'К ве". ,,;;;;аязакон движения материально;; точки ПО криа=a(t),юреде JЯетсобо""PO;:~B, 'д;;ая а' ({; равн" скирос и дви,,;,'Н JЯ погuдограф; ;"щейYKa:~aНi;,За2.И:~ курса'шые т;пы прuи шед, ний В,"6В.А.
Ильин, Э.Г. Позняк, часть';ескuй г,',,;,;е ;ши извес Н;,,, pa:~-"ров; ска JЯрное прои:~в, де;;ие, В,"I"р;;',.'lИС.'iEНИ>lПРОИ.Ш' "ение и смен,анное прои.:,е::ение), Выра)ю'нИi' щ:ех этих ПРОИ.:,е:,енийкоор"инатах дает 'ЮЗ]\IO)кность указать правила, по которыы вычисJЯЮ СЯ ПР"И.ШО"иы'· соо В,'ТС ВУЮЩИ' щюи:~в,ще"ий векOpH;'.iX фу,,;, ний: скаЛ"iРНОГО,it), (нО)и T'i(t) =В качестве ПРИJ\lера ПРIн,едем правило вычисления ПРОИЗ'юднопр"ишещ'иия ДБ:Х векторных il"нкт~ий аО) ={ЬНt),Ьз(t)}{a(t)b(t)}' =+ аи)ь' (t) = ',(t)b 1 +++ а~(t)Ьз(t)} + {а (t)b~(t) + a,(t)b;(t\ + аз(t)Ь~(t)}.а'Аналогичное пра"ило справе"ЛIНЮ и "ля векторно:'о произве".еНИ··i двухВ",,,;iYiiЫХ фу "',ПИЙ:ia' (t)b(t)]=§ 2.1.О)].ПОНЯlие дифференцируеI:ЮСТИ функцииПонятие дифференцируеМОСIИ функции в даннойточю:.
Пуст:,у =лоы+ [аО)Т,f(x)ilailи в пп.,2опр'"преДi,ТДlщего параграфа, функ-"'Котор"ыобозначено пеilО орое фиксиро;;а;ука ::шпог, i;те!';::ila,сиы;" "ibl;теj';::iле (а,Ь);ое значе;СИЫ;"-аргумента.6.х обо:;люб. ,е приращение аргумента, та:ое, что зна'jение аргументатакжепрннадлеli<ИТ (а, ЬОnределенuе. ФУН'Х:'ЦШ; у =называетсл д и Ф Ф еР е н 'Ц и Р у е .М ов данно{l точ'Х:еесли nриРШiцение .6.у эmлi1фi н'Х:'Цшt в точ'Х:с х, соотвстствУЮЩi" nрираЩi нию арг!!.
рнтаf\1', .можеjji быть nj еi)стш:леновиде.6.у = А..6.х+ о:.6.х,(5.9)где- не'Х:оторое 'fUсло, не завис:!щее от .6.1', афун'Х:цилap'f/MCHrna .6.х, лвЛЛЮiцалсл бсс'Х:онсчно .малоU при .6.х ---+ О.0:(Заые им, ч о фу;\т) может пр;;;;;;ма ь= О 'Х:а'Х:ос угодно ЛЮ:Ч.снис (ЩfИведлиВi,:представление"iЖИ Ь 0:(0) = О ).Tail как произпеде;(5.9) .nОЧilеL:J.:r"ыэтой точке "с ai'Tcf; спраРади определенности можно по-д"ух (уеско; ;еч;;о малыхo:L:J.:rяпляетс;беск"печпо малой более пып)к"го ш,р ;Дка, чеы .6.х (сы. п.§2гл..
т. е. o:L:J.1' = o(L:J.z:), то формул" (5.9) ,'Oli<HO переписать впиде.6.у = А..6.хТеОЕ!е.ма+ о(.6.х).5.1. Длл тогофУН'Х:'ЦШ; Уf (т)лвллласьдифф!р!н'Цирусмоu в даннои точ'Х:! х, н!обходимо и достатОЧJ!(),';тобы она имела в эmл!! ШО'j'Х:е 'Х:оне"tную nроизводную.',аст",,·· :~H,; ;"Ии" фу ,,',ПИИС"ВП'iДать с ее "ред";;,·"ымша';е ;ием Во бущ'тПОНЯТИЕДоказатеПУСЕ фУНКЦИЯ у = jт. е.
ее Ш.JИi,аi iепие 6,.ут в о. 1е о бо д ио с т ьдифференцир,ема в данной то' [<е :гточке Щ.Jедс апиыоподелив равенствоПредпол~ж~IВ, что 6,.j:п· i iУЧИЫпи. е Ci.9)на 6,..Т(5.(510)И, рапепс па(5.10)[ыI ('Ка, т сущес П·'па;предеJl!.ного зна' iения liш ~y.;а;itт.=6:[;---+0 LlXн о с тП\сть ф,н<ция У =Д О С Т а т оnПР;;ИЗi'Р",й точке х ко ';;('чную щюи 'ПО.шую.И\iеетj(1)СУЩ('СТi уепi ,е-деЛi.ное зна' iениеliш .liy =.lix---+o д.хj'(x).(5.
1)в сил, определения предельного значения функ iИЯ ауыеп а 6,.х-j'(xт.,'Я б, ,'КОн' ч;е.6,.у =j'(x)6,.xыа;;,i',(х---+при 6,.х+ а6,.х,О.(5.12)гдеliш= О. Представление (5.121 совпадает с представле.lix---+o!Нем (5.9), если обозначить через А пе записящее от 6,.;т числоj'(x).руеыаТ(,м ,аыым дока,апо что фупкция уn= j(x)диффеj,епци-точкеД;;каза; ;;Ш теОР('ма п;;зi;;' шеlалы " 'йшеы mnо !i:aiiСnUiЛiirnъ nонлшuе !Juфферен'Цuруе.мос nи фунn'Цuu в {}анно!!rnо'Чn: с nонлrnuсм Сfгщссrnвовшн,uл ув даннои rnо'Чn:nj ЮU3iiQ{jно{1.ОП('рацию iах;;ждепия ПР;;ИЗi;;'"lа.nЫi' йшеы ",гопор iМСЯ паы!iii ь дш/J;.fJсрсн'Цuрованuсм.СНЯ'<Ь между понятт!ями дтнlzфiiреИЦТ!РУiiМШ'ТИ[иенрерывиосnи фрикции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
