Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Так как при (-1Г/2)хО справедливы<<;--+0+0<Hepaf;eHCTfiaX:;iliX02),раССУ;i<даяанаЮГИ'fНii, ЩIIУ'Ш\'lim siп Х = siп О. _Чы установили, что в точке Х = О ФункшIЯх--+О-О- :;iп Х не! рерьшна с! pafia и Cfefia, т. е. ifRfifется fепреРi,iНiЮЙв указанной точке. Для доказате,IЬства непрерывности функции= :;ii Х НfЮ; Ji ,й TO'fKe Х iiесконе'fНiiЙю i,зуе\iСЯ~.форму,юи Бm х"х" + х'.- х'2 СОБ - - - ЮП - - - , которая может( .5).{Х n } iРiШЗf,iiЛЫfая CXii-.Бm х' =-бi,iТi, юлтчеifа из формулдящаяся к Х последовательность значениij аргумента. Полагаян ;iiследней фОРМУ,fе х"li;p71--+00(siпх n -:;1; Х)'правеДШВi ,сть этог"довательность{ ;'ОБность {siп х n 2-},- Х n их' - Х, ЩIIУ'ШМ=+ххn2 li;p:;i ; х n2Х-О.2заКfючения вытекает из тог", чт"хn+х}23)ограниченная',аШiсле-последователь-в СИfУ доказанного выше, бесконечно малая.Hгnpepъt6;Ocm;.у = СОБ Х устанав, швается с по-МiiШЫО анаЛi ,гичных рассу +:дениij ИЗfЫСОБ ХПi'ьiI-= -СОБm!iЛ'Ь'Н2 .юпх"+ х'--2-,-'ilX rnj i'U20HO,Ai, m;.юпхи _--2-,-.'и"I,ГС ,'ихХ,х, :;ес х, СОБес Х) н ка +:дой тi ,Чfiе "iiласти и:': задания следуетиз теоремы4,2.,) Например, равен"тваsill(-;Г' = -SillХ, cos(-x)=cos ." ) Эти неравенства получают"я и, неравенств (4.7) путем :.!амены х на -хифор;':У':Ы ::in(-x)Из :РС:Ы'Йif"'PM::ыочеВИil:на ограниченност"= -::inx,(4.5)СЛСД\С:, что I cosxl ~по,'леilрвател"ности1 и I :inxlХN i Х}{ cos --2,~1.Отс"д:31ПГО!1tху-пхy=ctgy=tgРис.Рис.4.244.2:)уIIIIIIIIx1ty=secРис.5*cosecх4.26Рис.4.27,·····тьf;IНИЯделя\'У=f<ажд.
\Йу fастки8111BO:~P;I\ та, ти убымо!Н;1Шf·f{IJункция[.к1·)[{f<аЖ.·f.О\·2юм2[те21)11",2k11"]ffЩЮfция У = ctg х убывает на каждом интервале (,1 тш<пий= :сесх и= СОБесх 'ff·пате.+ ~2~ , k11"k11"х Rозрастает на ка +:дом интеРfШ.fе. Для1)11".-Убез тртда тстаfЮRИ'fобласти возрастания и убывания.триг, \[юмеТРff~На рисунка: 4.22-1.27 ffзобра +<енычески:·: функций.7. Обратные трю'онометрические функции.
Функция. Расс\ютри\ на= агсsшх ОffределяеТС>f слеДУiОЩИ\сегментеет,'fTOfепреРf,fRffа[-1,1].функцию у[-11"/2,11"/2]мы \нмеТИfИ,[апредыдущем пунктесе; \'е;\.ее!Rf<ачест,е[-1 ]ып х Rозраста-южеСТRа Зffа'fеffИf·fВ СИ.fУ Сfедствия и:~ леммысегменте-ff<ПИ.f1 длясеГ.'еffТфункпии У = si11:r; насущестю:ет не; рерьшна\f RОЗf ,ас fаiощая обрат~у1t11tРис.о-1-'21arcsi"у=ап спs х4.28Рис.1) NIOHOTOHHOCT\,функ \ИЙSlllХ И"OS4.29Х на соответствующих сегментахуста: ЮI3И ь И·, ,f11'PM' ЛSШ-.S111Х,2 cosx~.= - 2 Slllх+2.Slllх" - х'--2--'+х.-х22- - - Slll - - - .2) Здссь юд k мы п ':\И\ ::ем .лобо\' цс'юе '\иею.33ПГilЕЛЫна>!М: ШfЯiШООliоз;чениеа рисf,lTb,lprYMeHTa у на Хши н,' у, мы получим функ шю уГJ'lфИК ЭТf:Й функции.(10R1ртпеню: а;1,lЛi if'ИЧ; 1006.1б\дем ::БОШ,l: :ПР111Л>1ется фт;[-1,1],=у::тью:а 1,ШИЯ служит сегмент,1ТСЫП01:: ::~;,1ТС8111arcc08 :r:МНОЖ1ствомшачений сегмент [О, п].
Указанная функция убывает и непрерывнана се; \:е;пе=J, 1]. На рис. 4.29 изоБРЮ:iен график функцииаГСС08Х.ф\ i11\ПlШ= arctg Х и= arcct;:: х 01 , едеЛЯЮТС>1 какные ДfЯ тангенса и котангенса. Эти функшIИ опреде. 1ены. монотонны и непрерывны на liесконечю 1{) прямой. На l'ИС' 4.:Ю и 4.:>1изображены графики }ТИХ функций.Рис.4.ЮРис.4.31ПIJедельные значения нею)торых функций§ 6.1ЗЮiIе'·:ания. В ;Л.
1 iiыю Т11азаю"что для вычис 1ения ПРОИЗВОДНЫХ функций У8il1 Х И уlog(j хнужю 1 ЩiКазать сущеСТВfшание предеlЬНЫХ значений (иш пр е-=делов ) функпии;ри ~X---+sin(~x/2)~x /г.лu-X---+О и функпииюм Х>Этомупри=(1~x)X/[:,,\RO;;Pf:CT и ПОСШ1-щен настою 1,ий параграф. Нам понадобится предюжение о пределыюм знаifении функции.
за11.1юче; юй \1ежду дн\'"функциями, имеющими общее преде.lЬное значение в данно{) точке.:,lт: 1 преДШ.iжение представляет собf:Й <j)\ нкпшшаlЬНЫ{) ана1] 'гтеоремы 3.14.Лемма 3. Пусть в 1-tеf,Оmорm'l15-0nj естности m·оч·'Ки аI(x), g'(x)и/':'i,lmb .MO:JICem, (л,.МО?!а: зо,Jii1-t·ы, nриче.м фу1-t'К'Ц1..Ш I(х) и g'(x) имеют в точ,'Кг а OdU1-tо,f,овое nредеЛЬ1-tое з1-tо,ч,е1-t1L1lЮ61-tое Ь.
Если в у'Ко,зо,1-t1-tойо'Крестности точ.к;и аза ис'Ключ,е1-tием. /':ыть мо.?/сет, самойm·ОЧf,U1-tерОiif1-tСrnво,({·i'lT!i:\}·1-t\iЮПUдеЛЬ1-tое з1-tаче1-tие фу1-t'К'Ц1..ШД оа з ае лh.(x)с тI(x)~ !:(х) ~g'(x),тов точ.к;е а су'ществует и равно Ь.О.{х n } 1ii1ИЗ}::ШЫ1аясходю 1ДЯСЯ К а последовательность значений аргумента х.шементы :r: n КОТОРОЙ1ежат в YKa:~aHHo{) б-окрестности точки а и не,·····ть1(:r:.o ) =fи1iш }/,(гСИJГ'да,gn>("'(1{х n } - праи шальная сха. rящаясяа паследавательнасть ша [еий аргугге [та, та юс [ед [ее равенства азначает, что. liш h(x;т--+а= Ь. Лемма юr<а:ана.2 .
П редельноезначениеФ ункции sin х 1) В точке х -_ Ох(первый замечательный предел). Да <а:ж:ем следуti1fffуt(. теарему.Теоремах=4.4.ЫП :"ПредеЛ'b'l-tOе зна'Ченuе фУЮ;;'ЦUUвО с 'jщесmвуеm u равно едини'Це:· sinх11Ш= 1.:1;--+0Д а<а з а т е(4.8):"ь с т в а.l\·IbImо'Ч'Х:еХ.':ж:е аТl\Iе'rали,<[та при Осправедливы неравенства О < sil1 Х < х < tg(см.6 преды. r.ущега параг рафа). Де. fЯ ЮЧ.fеf ю эти неравенства< 7r /2на sil1X. по fУ'ШМ1<хБlП :"<1cosxПас.fед ше fepa[effC'f ра су ювлетва! 'i,ЮЩИ;; 'слаВИi1этам.са:·<хкш<< 1.[равед ШВf.' так ,·;е и Д fЯ Зf ачеf ий х,- ~2<хЧтабf.' убешт .ся в<sin хsin( -:r)юстата'ша ЗaJ\.fетить. что.
са:·<х = са:·«-х) и - - =....абраза.'-,ххTat< t<at<-непрерывнаях--+,гФ нкцийfЯ'тачки х = О[ую< !Ия, та liш C(iS х =юcas х,иГ·Пl1.Таt<им..внекатарай д-ак! ,естнастихfЯЮТСif рсе услаfГffЯ ле .,. ыI3 (ДЛif тага чт~быубедиться в этам, абоша шм 1(х = casx, g(x) = 1 и h(x = sш:rХ.. Сfеювате [.на, 1iш'ШпалOl,< им (j =:1;--+0Хliш cas х = 1.·--+0даказана.1):r,Выше мы говорили о функции Б< ~~;{2) . Если обозначить L::,.x /2 черезsiп хто мы и получим функцию --о УсловиесюДитсяусло шю-+:"L::,.:r -+О при этом обозначенииiiЯЮЮПГilЕЛЫЕ,е,нз],а',ле],и(; функциизаме'ла'Rе,jR4.
.ТеоремаХЫЙ пред(;л) ).сле,r.ующ' ю1(,1) =fре:)елъ1-tое 31-t(]'''lе1-tUеС'!j'щссrnн;сrn 'и рпlimеь с т(1i1l0'---7',д о к а з а"ри+ -1) ,Т --(4.91хо.НужноюказаТ1"что, какова б1,'ни была беС1,оне'lНО большая последовательность {Xk} значений1 хaprYJ\IeHTa функции! Х) = ( 1,соответствую llая после, ю~+-вательностьюм{! Xk } ша'1ениii этойiYНl' ши имеет своим пре <e~ШGТIO е. Рассмотрим С1е, 1.уiГiщиебо, [ыЮСiеДОЕате,1о.[етыре группы ',eci,oHe'lНoюстей ЗiiачеНlfЙ apry\<eii'1a Х:БеСi,онечно бо, 1ьшие ПОС1е,ювате1ЬНОСТИ{nk},Э,1емента~ilВЛi1ЮТСЯ r.елые ПОЛQjji 1лелы 1,1е чис а.
К указаннойKO'lOP1,'группе относится, например, пос 1е,ювате lЬHOCTЬ2,1,3,2,4, ,... n+ 1, +,n,Бесконечно 'юльшие после, ювательности, 'jлементы 1,OTO~20.1аЧlf1ai1снекотороговеществе1Чlfсе,Юi"iера,СОСТ0i1Тизююжите,1,НЫХ.Бесконечно большие после, ювательности, 'шементы 1,OTO~30.1аЧlf1ai1свещественных1eKOTopOiO HOi,iej ,а,СОСТШ1Тизотрицателышсе,.40. БеСК011еЧ1Ю БОЛ1,i 1ие ЮС1е,ювате 1,НОС'1И, соr.еj,j+iащиебесконечно много l,al, по, южительных, Tal, и отрицательных Be~щественных чисел 2 .Заметим,'то совершенно ПрOIГВО,lьная беСl,онечно большаяЮСlе,ЮЕатеlЬНОСТlгрупп10 20,,40.значенийпроведем ДОl,а:атсльство дляУШ'МЯНУi'а'"(1>+ /::"T/T)x/L.xОСВО!Л'i'С'"aprYiie,та ОТlЮСИТСi1Поэтому теорема б'ранеезадачаl,аждон группыок одной из(ет ДОl,азана, ес ш мыпределью,м10 20 3значенииифункцииПf И /::"х, С'i'рем','щемс,' к нулю, и фиксИf "ваню,м хКуказаННОМiВОПРОСiДействительно.если40.>ПОЛОЖИ'iЪ= 1/и, то 'iрИ /::"т --+ О u --+ 00 и (1 + \x/x)x/L.x(1 + 1/и)и."'i'a фi"нкция О'! !ичаi"i'С'" от фi"нкции (1l/х)' только обо:~начением'af'rY\ieHTa.а2)Та!, ка!, функция (1+ ~) х не ,;пределена !Ш сег "iе!пе [- О] (,юсю'л!,кудля значенийиз этого ceгcvreH'i'a выра)кение(1 + ~)хлибо О'i'РИ1!Д'i елью"либо ю' имер" смысла), '1'0 eCi'eCTBeHHO счита' ь, Ч'i'О элементы пос !е,ова!ЬНОСТi'Й 20, 30 и :,10 не Пjшнадле)ка'i ,'егмен' у [-1, О].'i'e,·····ть(При,уледовател"у уу}стиПуст",йруппывспом.
н атсл,,ПА;}!у'дО1 ату'Докажу 'У, чту}"ног1+liшеум.--+"10 указат" такои но !ер iv , ч, о'!4 933), то* выпо.лняетсянеравенствооскольку после.1Оватсльность.элеу !ент"уногоцелыешсла{nk}1Оложите.1Ьныебес <ОНi'ШО большая и еечисла.томожно указать та,<он номервы,ю 1Яетс>, УС1О}i},еи? N*. Но1яN,1я так ,х ,е1Оложите.1Ь-что приk ?'пА; как;",;еУi<аiывалось, выполняется неравенствоСiе.ювате1ЬНО.=е.ПереЙде.· теперь к1ОСiе.ЮЕате "ностя"второйруппы.усть {Xk} i(,бая пос iе.ювате1ЬНОСТЬ второй группы и N начинаяс которо!о все Э.iеi<еiiТЫiьше единицы.
Считаячаст;·Xk.'пА;= [Xk],Тогдаk ? N,этои1ОСiеДОЕате.обозначимiepe1О~'пА; 'Целую!4.10)Отметим. iTO последовательности {nk} исобой после. ювател ,i1ОСТИ iеjВОЙ гру!{nk + 1}пре i.ставляют(4. О). Из iepaEeiимеем_1_<_~Т!!1++1_1_1:rkТ!!< 1 + ~ ~ 1 + ~.:rkОтсю щ, используя е не раз неравенства,полу шм~Jipei.e.ibIПОСiе.ювате.1ЬностеЙ {(1+ nk+ 1 )}(4.11 )и {(1+ ~k)i!k+l}равны е. Де iствительно, первая из этих последовательностен37ПГilЕЛЫЩ;Жi"iтейбы ,Ъ представлена какi;i,ИЗВi'1)' +1} {( 1 -'"1- )~1} ,{( 1 nk+1ины со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
