Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 21
Текст из файла (страница 21)
rействительно, в этоы случае иоследовательности значений аргумента и функции тшкдественны,}1оПО';!у, есл(] l1Ослелователы1ОСТЬиоследовательность3;.Ф\'ЮIЦИЯ Дирихле,точках равныединице,}телеЛЫ1О10 ЗI}а'}еlIсход (] ТСI ка.10их n )} таю}ке сходится к а.{!значениякоторой в раЦИОI}аЛ,I}ЫХа в иррациональныхни-нулю,нео;щой то'}ке а бес}(онеЧНО(1имеет\(ой.Действите'IЬНО, для сходящейся к а иоследовательности рЮIИОна'1ЬНЫХ значений арг;'мента иредел СОCrтветств;'ющей иоследCrвате.'IЬНОСТИ значений Функщш равен единице, а для сходЯ! lейСIа l1Ослелователы1ОСЛ'(]ррациоI}алы1ыIx ЗI}а'}еlарl ;'ментаиредел соответствующей ИОСlедовате,1ЬНОСТИ значений ФУНЮIИИравен нулю.В далы}е(1Тпем мы б;·де.;ИСI1ОЛ};ЗОВЮЪ }1О1ОДI1ОСI0j)QI}-них иредельных значений Функщш.Булем с' (]тать,!}то1Ожество,на }(ОI0рО'; за;ЩI}а>ция(х), для любого сО имеет хотя бы один элемент , ле)IШЩ(] на}тервале (а, ас) (соО1 IreTCTBel 10 на интерrале- с,а ).Оnреде.ле'/-l,uе 2.
ЧUСЛО ное в ы М)пр с д+л3 '/! а'/!сeCiiU дл,я J/:юбоIl Сiод,ящеuс,я 'Х: а... , х n , ... 3'!Ш'ЧJ n'r(u арг'!r".rснmа х, ЭЛ; ',.rCHrnbl Х N 'Х: ;mорШС (МПl'ЬШС) а, СО ;mG{:mсmG'!j'Юща.:! nосл{:дОGаПU'Л'Ь'/lOсm'(;J(i2i'J-lО"iе'J-lUU фУ'J-l'Х:i!,UU Сiодuтс,я 'Х: Ь.), ...иравого иредельного значения функции исиоль;уетсяliш(х) = Ь и. шx-+а+ОДля леВО10 }телел,1101liшх-+а-О(ао ЗI}а'}еlлх) = ь и.ш Ла-О) = Ь.:Гв качеCi [;е прн.::: IH рс сем; ;тримфТiКЦН';; им ее [ в iуле ПРiшое+ния, причем ;..;gn(OО) - 1.ес:,;т; {:Г n }лю()а>i сх;щя[ Ш>iСi\'мен [ачений, 'ТТ"Н "\.,'..1-""'Л; в;;;О);..;gn(O -пой Фт iКЦНнулю1):~наче=Д;Л;.;":~Ha-уста[юв[e[ia.iюслед; вателыюс[5лементыliши('[''-''j'ыеSgll :Г;.n--+С'()образо\[, справед'[[юстi;paBe[iCTBa Sgll(O+=1Ана'югично доказывается, что sgn(O - О) = -1.3 а м е чае.
EC/iU 6 тО'Ч11:е а nрО.60е и ie60e y;pe;}e/i/bHble3iЮ/'iСi!!i..!if(x) ршп{ы, то rnОЧ11:С а С!П.iiгсrnG'!Н.т nрс;}e/i/bHoe 8'НrL'Че'Ние ;тои фУ'Н11:'Ции. 1Ю6'Ное У11:rL80'Н'НЫ.лл од'Носторо'Н'Н/Н !,; предельны !,; з'Нл'Че ТШiлоказательство\[;,.!.Этот наглядный факт мы снабдим.П\'СТi; {х!,} !!,ба>[ сход>[щаясяа пос[едовюе.'iЬНОСТi; значений аргумента функ [иих , элементы которой не равны а.П\'СТi; {ХАо тiЮ. нюслело[;ател ;[юсл по[;[ iюсле.
ювател ;[10-fсостО>[щая нз всех б6.'iЬШ[;Х аСПI {х n }, ашементов iюслело[;ател ;[10-подпоследовательность, состою [ая из всех{XlmJ -меньших а элеыентов последовательности {Х n }лу п.ка,1 §4тои:~Г'[.подпоследовательностист [ествованияправогоилевого2). Так как в си{XlmJ сходятсяи}предельныхзначений ;!i\'НКЦИИ f(x) в [очке а [iыIекает •. что ПCiслело[;ательности{f Ч т )} И {л:гz,)} иыеют пределы, которые по условию равны. Пусть Ь - предел этих ПОСlедовательностеЙ.
Для любогоО ыожно указать номер N такой, что все элементы после-[ >;[ юсте[[ J( ХАо т )} и f)}, лдя которыхN, \до[;лет[;!'ряют неравенствам Iлхkm)-ы << . Слело;ател ;[10, ЩШ n ;?[;ыпо.'[ i>[eIлх n ) - bl < [, т. е. iюследовюельность(Х nло[;ателk rn ;? N[rn;?иТе\ самы\ .ii.оказано.iTOiiреде.[i;HOeI.f(Xl m)-значение[;0К(Х) вточке а ст [ествует и равно Ь.определе[при стремлении аргументаопреде'[е[10[0iiредеш;ного З[iа'iе[ФТiКUi;к бесконечности и к бесконечностиЗ[iю;а.Б\де\ считаТi;.
ЧТОюжество;сia>котором задана[ия f(x), для любого АО иыеет хотя бы один элемент. '[ежащнй [;Не cer\[e[iTa [- ,+А].ОnРf,дf,.ленuе'н rL 'Ч е 'н и е м3.Чu! Л() Ь iШ3Ы !асrn!Ф у 'н 11: 'Ц и и1) Определение функции у = sgn:c ·;.ано в п. 12nрсдсл'ь(х)ри1.Мы "сключаеJ\l из раССJ\lотрения случай.{:сn} ЛUWЪ 1COHe"tHoe "tuсло эле.ментов лежи! прав'uслучае сход"ыость f(x n )} очеr;;щна.х---+оо1J!(или1{){;,·····тьел.ЛЛФ у'ц:г ----7Uес!!!' дл}!беС'КО'J-lе {но бо i'b'ILlO'l'1 nосле,}овотеЛ'Ь'J-lостu i'J-l ) 'Чени'I'l Оf!2у.лле'J-lто!'!юrn(!Сrnгrn !·!!·!!!ща}!.
nоглсдо ю,rnсл'ь шгrn'ь З'/lШ'iс'!!!шil фУ'/l'К'Ц'Il'f! г:гоЬ.Дл!! оБС!:~начения !телеш,!3!!ти----7исп(!ль :ует!я сшдую(шя СИЫВi лию!(х) = Ь.Х!(Х)Наконец, булем счи (ать. ч (о мнС!)кес(!"fх>на ю, (ороы задана фуню(иях , Д'!Я любого АО имеет хотя бы один элемент х, уловле(ворян!щий услов!!хА-А).Оnреде.ле1-/,uе!luсло Ь 'J-lrLiывоется пре }е'!'ьным 8'J-lrL"iе'J-luе.ЛЛфУ'J{.'Х:'Ц·U·!'(.г) nР'и стр! ,,·!ЛС'J{!Il'fi аргп ',·!!"{{.тnаполо !!Г!!!!!!'Л'Ь'/lO'Й<4.f(отрu'Цо.тел'Ь'J-lО'Й) беС'КО'J-lе"i'J-lостu, еслu для любо'и беС'КО'J-lе"i'J-lОбол'ыu.о'Й nОСЛ!iдО(Jат!iЛ'!!'!!ЛСm" , з,!ю,"!С'!i.и'Й арг'!jМ!i'/lта, эл! ',·!с'!гт'!,!'Которо'и, 'J-lrL"iU'J-lrLЯ С не'Которо!'О номеро, iю.!ожите'!'ь'J-lЫ'ЦаrrUiЛ'Ь'! гы), !'!юrn(!сrnгrn !ПЮ'UЮ}! nоглсдо ю,rnсл'Ь'! шгrn'ь З'! шФ• '!!'/l'К11и'u"";1"" сходи!!!!""Jl 'к Ьотри!!"!!'!i.'Й.имволические обозначения:limХ-+(Х)Лх) = Ь( limХ-+-(Х)л,г)в качес( (!е пр!!!!ера рассмотрим(ия имеетравное нулюс( (!И (е.'!ЬНО.
если хследовательностьl/х1/Х2,'"(:с) =предельноешачениеХ2...значенийх!' ...-при хбеско(!8'аргумента,1/х n , ... бес!!онечноЬ).=ю болы!юто последовательностьала!!!юпо,ty и,(еет предел. равный НУ'(ю.2. Арифметические операции над функциями, имеющими предельное значение.
~'-бедиыся, что арифыетическиео!!ерациинад!!е(I!ЩИМИ!!редел!!ноезначениевточке а, приводят к функциям, такж:е иыеющим предельноезначениеэтой(оч!!е. С!!ра(!ел.лива сле, !,!'ющая OC'J-lов'J-lrLЯтеорема.T!iopeMa .1. Пуст'ь зада !'!ГЫС на одш)!,,'том :У/ССстве фУ'J-l'К'Цuи fи g' (х) U.ллеют в тО"i'Ке а пре!}е'!'ьные i'J-lrL"iеЬс. ТогдаЛХ)х , ЛХ)Х,ЛХ)· (х)!! !,·!сюrn (J тnо !'КС а nрсд!iЛ'Ь'!i.ЫС з,!ю,ЧС,!, !гячаст'}!!!! nр'и пслоС, ЬОа з а т е л ь сjЮ(!З(!Qлы!аяf( х)ности лх ), ЛХ2)""С, Ь· СЬсво. Пус( ь х ,Х2, ... ,Х n , ... (х!,сход!!щаясягумента фуню!Ий-ка последовател!!ност!!а) -з(!а'!е(ар-и g (х). ('оответствующие последовательлх n ) ...g'(Xl) g'(X2),'"g'(x!,), ...значений этих фуню (ИЙ имеют пределы Ь и С. НО тогда, в силу(еоре, 3.9-3.12, !юсле,!,овател !(юс!!! {.f(x ng(x n )},+f)-U7+liш [I (:г)x---taliш и(:г)- g ( :г )]g(x)]С,Сх-+аТеорема дm;азаffа.Применим дока ;анную теореыу Д'Ш отысканпя предельныхзначенийЮfО'ЮБfесо;ратимых ашебраичес;их лро-бе(f 1).
Имееf место еле;; ;'ющее \' fБерждение.В '/И ;;гдо'Й то !'Хх; а бr:С'Х:О?l! 'Ч {()'Й nРJlМО'Й пр! дСЛ'ЫiЫ!.лл'Ного'Чле'Нов и 'НеСО'Х:fiати.ллы,т а iгебfiаи'Чес'Х:ит ,Jробеси существуют u рав'Ны 'Ча('т'Ны !,' з'На'ЧеiСШi о' этихв '!i'Х:аЗШ!i'НО'ЙmO"l'X:e (в с iY"lae 'i;:еБРiiU"lес'Х:о'Й дроби а 'Не дОiiЖ'НО быт'ь 'Х:ОР-сил!' теореыыдейс f f;И [е,' fЬЮ'liш= liшх-+ах-+а4.1. х = liш х . liш х = а 2.хх-+а;аАналогично ыожно убедиться, чтоliш= аn .х-+аС'fе;;ОБЮ e'fЬHo,многочлена ьох nполучим (используя теоремуliш (ьох nх,а+ b1x n4.1ьn - 1 хxn- 1. ..+ _хдля пропзведения п суммы)Ьnслучае несократпыой алгебраической дробп, когда а не являеfСЯ кор!'3f;аменателя, ;юл\чим (прн;;еf;iШ fеорем!';;дячастного)ьо,Ьn-lЬ_O_x_+__1_'r_...,-+_._._._+_i____т;а сох+ С; ,,;m-l+ ... + сеЬоа nliшх+ b1a n - 1+ ...
+ bo,-la + Ь,+Clam-1i ... +c m_ +С т6i'!'КПКi'ЧНО 60,;;;,3. Ср;шнентн' 6i'i'КПКi'ЧНО !гта, ;;,IXШИХ функций.У = f(x) iШЗЫИШ! те:! бr:С'Х:О?l! 'тп ма-!О'И в mO"l'X:e х = а (х---+а), есiiДТЬСЯ, напрпыер, чтс, ;1 !'нкцияfiUf (х)= (х-. Легкоа)гдеm -!бе-це' [; ,еПОЛQ)кптельное чис Ю, яв,'шется бесконечно ма, юй в точке х= а. В само.; деле, Б преды;; ;'ще.; пт ;кте мы \ттано;или, ;то1) HiO iжраТИМ;;"iиме;ощи;; о;ли';Н!,,'i'бр;;rг;еская др ;б",'i;;C;Roe дву;; МНО'" , "'нов, не'iТ ПОС; iЯННОЙ общи;; ;';Rожи;;'леЙ.,·····тьгочленаI (:г)юй пря\юй С\'щ;;твуеiмю гочлена в этс й точю(:га)-ТРi-реш ю частнс,;'У :~начениюIIоэтому liш(:га)тО-х--+а.)тмел;НОС3'1lачсt.'llC'Л с, еслu фУ'J-l'К'ЦUЯ у = л:г) u./vteem jюв'J-lое nредел'Ь(j fПОЧ'КСтn():г =(:г )Ь, и ;Л}f,сrnгяIбеС'К()?f.е·i('J-l{i ми !л(1n;П'i('Кения кажл.оЙ из фусилу теореыы 4.1iKUiЙliltf а(х) =Ю,Iи Ь в то- 1» =Iiltfх--+а!",IСполь ;уяiKeпр!Д! льны!а раВ[iЫ(:с)liш-,т--+ах--+аполученныйрезультат,реДС[Юfление ДJП[чение в точке х=[ениеполучаеыимеюще!! рюшое Ьспе[шальноередель 1Ое зна-а:а(х),I(x) =! ;редставыы:~H; ,че~поэто\'" В{;,де liш а(х)х;а=(4.1оказывается весьма удобным при дока(4.1)зательстве различных прел.лшкениЙ и б\'дет неоднокраТЮ i использовано наJ\Ш ни)ке.ар;[д\' с i1О[беСJ;онечноалой фУ;iКЦНчасто нсполь;уется понятие фуню[ии, бесконечно БО,i!ЬШОЙ в точке аciipa!fa или беСJ;онечно болы[ОЧJ;е а c[e!fa.
Именно, ФУ'J-l'К'ЦUЯIх'нл3ыlаеrnгяя 6еГ'КО'llеч'J-lО бол'Ьшоii в rnо'Ч'Ке а справа (сле~ес fU д;iЯ lюбо{1 сходящеuся 'к а iioC;ieaobarne;iib'J-lОСrnU х", ... , х n ... 3'JШ"lС'll'U';i ар2'!! ii,ff~j{,rna х, ЭЛС ii,ff~j{,rnbl х n 'J,iOrn()pO'fiI(Xl , Iа (MeHыee а), соответствующая nосле;}ово,теЛ'Ь'J-lост'ЬХ2), ... ,х n , ... 3'JШЧСНUU ф'!j'll'К'Ц'llf! яплясrn;бi:С'КО~Iнечно БО;iiЬ'ILlОU iiОС;iедовате;iiЬ'J-lост'ью опре;}е;t.е'J-l'J-lого ,i'J-lО'КО,.бесконечно больших функ [ий используются следующиеоБОЗ[iа'iе[Iх--+а-Оliшx--+а+Оliltfх--+а-О(х) = тООл,г) = -00(:с)=-00О) = +00,- О)I а + О)ЛаIПИI-=тОО,О) = -00.Познако\ся с методнко!! CpaB[ie[функций и употребiiЯемой терминологией.беСКО[iе'10алыхIIYCTb а(х) и Р(.г) - две заданные на одноы и тоы ж:е мншке~стве <!i\'НКЦИИ, ЯВ,iiЯющиеся бесконеЧНС i ыалыыи в точке х = а ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
