Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 18
Текст из файла (страница 18)
чт"-00 являетс:: предеЛЬНffЙ ТffЧКОЙ ра::сматр ::fаемои пос,еДО:fатеш,:юсти.Если при этf fM Ш fследовательность не имеет ни f iДНОЙ Ю шечной предельно]:, то'fO00 Я1lляется е<':ИНСТ:fе:шои преде,ьноиfО'IКОЙ. а fЮЭТО,:У::вляетс:: и Bf'f :fним преДf'ЛОМ ра::смаТf!иваемой Пffследовательности. Докажем. 'fTO если после,n:овате,ьность, кромею\!еет еше хот:: бы O,n:HY конечн,ю предельн,ю точк,предеХа. то и в этом случаеТак каЕ 1Iсе э<,е,:е:теоре,<~ .f!. fO11силуХа удо:; ,еf:юряеf УСЛО:fИю Ха ~ М.
Фиксируем произ:ю,ь-3<13ное Енее с,ществует вер:<нийХ< удо:; ,ет:юряют УСЛО:fИю Х<О. Так как в Е-окрестности Ха лf'жит С:есю ,нечно много элементовпос,еДО:fател ,ности. тона се; менте [хале)кит бесконе'шомного этих элементов.?ы<':еш<:,<из fюсле'n:01lате,ьностиментов. которые лежат на '<егменте [ХоПОДfюсле'n:01lате,ьность тех ее эле- E.1V1].Выдел!'нна:: ПОДПffследовате,ьность ::вляетс:: ограниченной. Поэто:\!у в силу заме'fанияреме61к теонее сущеСТБ,ет вер:<ний предел. т. е. наиСюльшая предельна::то ,f!a Х.Ю, 'ПО Х j::. Ха и Я1lляется f:реде,ьной fО'lКОЙ:fсей последовательности {х п }. Оч!'видно также, что ПОСЛf'доватеЛЬНffСТЬ} неf:Meeff:реде,ьн:,:х то',еЕ. пре:юсходЯJ:'ИХ ,Г.
ибо ес'"бы некоторое,исюх. преВОС:f"дящеf' ,ЯВЛЯЛffСЬ предельной точкой послеДiшательности {х п },то ШfСКОЛЫ" все «шем!'нты послеДffвательности {х п }. преВОС:f' ,Дящие числffХа -Е. ::вл::ютс:: элемента:\!и и вы,n:еленной на:\!и ПО<fдосле,n:оватеfЬНОСТИ.это число с< <:влялось С:ы предельной точкой и выделенной нами подпоследо <атеш,ности,аэтаПОДfюсле Ю1lате<fЬНОСfЪ,еИf:ееfffре'fел ,ныхто ,еЕ.ПР!'ВffСХОДf:ЩИХ Х<Итак,,исю х Я1lляется,а fБОfьшей пре'fел ,ной fО'lКОЙ рассматрfifae-мой ПОСЛf'доватеЛЬНffСТИ.С, ществование у совершенно произвольной последовательности верхнег',предела ДOKa:~aНf{.Аналогично доказываеТСf: существование нижнего предела.5.Необходимоеипоследовательности.послеДOffатеЛhНОСТИдостаточноеусловиесходимостиiри выяснении вопроса о схо< ШffЮСТИ} :ри помо"ш определеШ f " сходимосТi!<шементов Х n этой после< [0-нам приходится оценивать разность[О !К! f'f~"if,Шi(ТИП!:ii'"iОДИТСЯИееiПрi' ii'ла а" Иными (ю рами,Прi' fП( лагаеМОiр,шеfПРiД\ i,iДЫfШТЬ"Tfiредел а эт( йюслед'(-К тельш (тиKpff ii'рИ!';сте( fтеш ю YKa:~,! [Ъ (в! [утр' "нний i"слеДОКi f'ею,но(ти,СХ(!ii)ШОЛЯl{iЩИЙ в ,i~f(НИТЬ в')п!)i нсти .Ilишь по величине"iлемеНТ(iВ{i fЛ\Ю(ТИп( (-сход iI\1(i-!аК(iЙ внутренний критерийи бу" ["ет установлен в настоящем пункте.
;l,ля формулировки этоО i<рите!i"f~f ВЕедем ПOfiЯтие фyrщаментаii ,НОЙ послеДOfiательности.Оnреде.ле'/-l,uе. Последовательность {iT n } называется Фа м.Н т а лН-Н о 'Й. Гсл'U i iля тобого nОЛО;)fCшn~л'Ьного Енаuдется НО.мер N таnой, 'Что для всех HO,iiiepoe n" удовлетворяющ'Uх услов'Uю n ? N, 'U дл!! всех itaтурал'Ьных 'Ч'Uсел р (р =,2 .... "сnраведл'Uво неравенствоIxn+p - xnl < Е.Основной задачей настоящего пункта являетсяство след'\"ющег,) i<ритерия сходи:,юстиюка:ште"iiЬi')G'iедовате" ihНОСТИназывае:,юго критерия Коши 1 ): для того 'Чтобы последовательность была с:тодящеuся, необтод'U но 'U достато'Чно, 'Чтобыона была f!iУНilа.;\лгнтаЛiiНОU.Преж:" ["е чем перейти кДОi<ажем неСКйiiжоюказате" [ьству критерия Коши, :,1ЫВСiюмогателыпредложени,имеюп~исамостоятельный интерес.Теоре,м,а 3.
8. Для того 'Чтобы последовательность {i,,}бi.ма сходящп'1ся, н~оБХОi f'UM.O 'U достато'Чно. 'чтобы, она былаогjюн'U'Ченноu 'U 'Ч !!обы ее eepiTH'Uu 'U H'U;)fCH'UU пределы х 'U 22 совnадал'U.Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Н е ох о д ио с т ь. !устьпоследователыюсТi} СХОДfП'G'f. Тогда она огjюн'U'Чена (вСiШ\' ['еоремы 3.8) и имеет единствеНН\'i' предельную ['О'!К\' (в3 п. 2). Таким образом, ;f =2) Д о с т а т о ч н о с т ь. Следствие 2 из теоре:,1Ы 3.16"' f'верждает, что ДЛ~f JШiБОiО> О интеРЕал (22 - ,Х + Е) сосилу леммыiерж:ит все i'iементы ПОG'iедоватеiiЬНОСТИ {х n }, начиная с неко['орого номера. Так как22 -Х['О т:азанный интервал СOfiПа-дает с Е-окрестностью точки х, т.последователыюсти {Т n }Установи:, 1 теперьслед,шатеюяости,е.
число х является предеЛО:,1см. замечаниеваiliяоесвойствонепосредственноп.1§'Унда:,1ентаiiЬНОЙвытекаю ттееизеепоо! [ределения.любого nОЛО;)fC'Uтельного 'Ч'Uсла Е MO;)fCHO уnазать таnой "iле,iiiентФунда,iiiентальноu nоследовательност'U, вЕ-оnрестности nоторого наiтодятся все эле ненты nоследова1)OriiiCTeH!уи КОiiiИ-фраНiiУ:~СКИЙ математик ( 78 С)-CB{111CTBAР11И ПОЛЬЮ,!I/Ш'l'Uf.(],Я,т N+ Е)H,(),M~l)(],И'Н,'ы,,1'!1' СШ{1(J"М'/}"'Н,О год!, т{"я не болееfijfJ''Ко'Н,е'Чное 'Ч !,{'лоЭФ ,нент, !ОНВи:~ опр" 11'Л! 'нияВс' j"f~ш,ю (ти tлеД\f~Т: для ,'fюбt ГО ЕЮ ,мерN'УНДf1:1]('нталью й ш (Ш'I\ЮЖffO \'КС' :ать Tf!KOf,!> ()= 1 2,3,чт(i для всех НfiТУРfШЬНЫХxNI <няется неравенство IXN+p Е-Оf\рестностиэле:1!ентаXN)выполЕ которое и означает что внах"fДЯТСЯвсеэ, [ементыпоследовате'fЬНОСТИ, начиная с НО:1!ера N.OTMe'fef !Ное СЕОЙСТffO ЮЗffOляет \'стаНОПfТi, ограШl 'feHHocTh'Унда:1!ентальной после, fовательности.
В само:! деле, пусть Е некоторое фИf\СЩЮЕаююе Ю'ЮЖ пе,'f ,ное f,fG"Ю и :TN - Э,'fемент,вЕ-окрестностикоторого['е,' f ,ности, начинаJf снахо, fЯТСЯюмера.все'1лементыпосле fOваТ! f да вне: -окрес"! f юсти:1! огут нахо, !иться только эле:! енты Х1, Х:2,А - шах{1 Х2,···, 11, 1,1сеГ:1!енте [- ,+А] наХОfЯТСЯ числа Х1, Х,... ,ХN-1.ОЛOlfi'иМ+}:2. ТОfда наXN-1 XN - Е,XN+E, а G"fедовате,'fhНО, и все точки ::-"!крестю!сти эле:1!ентаОтсю, [а вытекает, что все эле:1!енты фую fаментальной ПОСЛ1' foватеш,ности наХОДJfТСЯ на сегменте [-А, +А] 'fTOозна'fает ееограниченность.Переходимдоказательству основного утверждеf,ИЯ этогопункта.Тf:оремп,Кош'n сходимост'n.
Для того 'Чтобы nосл~дО6ат~лъностf! {Х nбыла с:тодящейся, необтод'U,1'Ю 'u достато'Чно, 'Чтобы она была3.19 (np'nmepuIifГ:УН1Iа.м.гюnалъноЙ.Д О К а з а т е л ь с т в о.1)Н е о б х оио с т ь. ПустьпослеДОЕательн"!спсходится и- ее !реде'f. ТребуеТG"fдо!\азаf", '!то эта послеДОЕательносп JШ.Шfется Фундамента,'fной. Возьмем любое ПОЛOlfi,Ительное ЧИG"lО Е.определения схоДJfТт~ейсяЮG"fедшате,'f!,НОСТИ вытекает, что ДЛJf положителыю!оЧИG"fа Е/2 най, fется HO:f!ep N такой, что при nнеравенство/2.n - ;ТNIxЕсли-етс"! f"а!\же илюi'юе натуральное число, то при- ХfeparJeHCTffOТак !\а!\ М"fДуль сумм!"nВЫПQ.'!НяетсяNвыполня-Е /2.двух ве'!не БО'fC\'I\II\IhI ихn:1!О,fУ'fей, то из ПОG"fедних двух неравенств получи:!, что приNи для всех нат\ рал fНыX чисел р-хnl-I(т n + р -+(Х-I~1+1 Отмети}',!. что указанное свойство эквивалентно опре 'f,e ;ению фун,n:а1'е, ,та,ьнои после'iOlIате "ьнос"! И.2 Гf'ометрически это о:~начает, что А равно максимальному и 1расстш:ний- Е.
XN + Е."т начала отсчета О до точек Хl. Х2 • ... ,XN -1,10СТ1 !} ус! {'~ДоТ а т О ч н Оп( слеД( ВfiТелыюсп"но( ть сходитсяД(н<аЗ1 f '"IYCTb {Х n };1fTh, '11'0т ьТреб\'f~ТСЯ ДОК1 !СОГЛfн;но Teopf~О[ ра1fИчеНfЮСП318'УНД1fнтальнаяЭТ1l п( СШ~ [\,!'атеЛh~для,тог\' достаточноюслеДОВff 1'ел[,Нf'СТИиР1ше1[СТВОее верхнего и НИlТшеГСf пределов х и :f, ()грани '1енность фунданта.'[ЬНОЙ пое[едовате'[ьности уж:е установ'[ена на:\ш выше.Для доказатеЛhСТЕа f)aEeHCТffa верхнегоНИЖ1[его предело!'х и .:.f воспользуемся юказанным выше СВОЙСТВО:\1 фук [амен1'а.'[[,НОЙ последователыюсти: д.'fЯ Jш)60[0 Ю'ЮЖ1пе.'[[,ного чис~ла-[ мож:но указать эле:\1ент[.XN+ [)XN такой, что вне интерва.)1а (XN нахо;ится не 60'[ее че:\1 конечное числошементовпоследователыюсти.а ОС1юваниинтервал (XN - [, XNх-+ [)е[едствия3.16из 1'eopeMhТсодеРl11fИТ интервал (.:.f.
х).:.f ~ 2[, оп<уда. в силу ПРОИЗ1ЮЛhН,)СТ1'х. Тем ca~-:'1ЫМ схо. ;и:\юсть пое[едовате'[ьности установлена.и поэтомуleopeMaпо.'[НОСТhЮ до ·:азана.Прир.IРИ:\1еНИ:\1 критерий КошиСХОДffIlЮСТИ=ХNгде o,j,;ля установленияпоследователы юсти(k = 1,2.3, ... ) -произвольные ве пественные числа,удовлетворяющие условию Io,k 1 ~интеРЕала 0 1 .Пусть n -. [юi'юй но: 1ер-,а q -некоторое число излю60е натура'[ьное чис ю.lor. [а.очевидно....
+~7,[,.fTblBa,1:'1аJЮЙ {е\1.+···+(Г Р+1"--q' +1 _ q,,+l+ p1- q1q'!то последо,атеЛhНОСПявляете1 6есконе'шопример 1 и:~ п. 3 § 1) :'1Ы мож:ем утвер 11.дать чтодлл любого{ч n }>Онайдется номер[(1 СталоTaKoIl,чточ)дЛЯ Ш,\60[0нат! рал ,ног,) рqn+lр.е.юе[ед,шате'[ [,НОСТЬ {Х n } ,ШЛ' fется ф!jнда.менmаЛЫ-tо'Йштся СОГ' [асно теореме6.cxo~3.19.Некоторые свойства произвольных числовых множеств.этом ПУ1раССI'О' РИI'мно;нсесm6. Частьдова тельНi fстеЙ.fef<OTOf",е СllОЙСТlIа пр 'i'.ШniЫ'ЫХВ'1J,СЛО6ЫХ111 "тих свойств аналогична свойствам ЧИСЛОВЫ\l после~CBi 1 11CTBA"'1И ПОЛЬЮ"2ПО1ШТРРДогонори.1 ся 1еперь1азыо~ра'Ниче'Н'НъtJvt,"Н1снизу,ес 'и н 1ЙДУТСЯ 1а1<иеК.1.1ждый ',шем1'НТ!но 111'СТ1Ю {хот того,''''ли эт,' мн, 'жеств"ша Н1'ще1 1Н1'Н"ЫХограничеНi' и,аи'ПР{1Г} удовлетвор"ет Н1'р,шенств 1М n ~~ lvI1азьш '1Ъ r.;i,'iеч'НъtМ или бесr.;i"iеч'НъtМ н заН1,Пi\iОСП'являеТi я Л1' число ЭЛ1'iiеii 10В,входя "ИХ в состав "того миm1"ii"конечным или бесконечным.TO'i,r.;y х бесr.;ii'iе'i,'Но"ii nря" ioiiiiiO'i,r.;oii "iUO iiiecrnва {.1i}, если в Л'iiifоu E-о'{;;рест'Ности точr.;и 1/; соде] iJ!CиrnCJi бесr.;о'Неч'Но JvtUOZOэле'""irnii"' этiiгii , "iiiiJ!CiiC11'Ba.TO'lKY Х (то')кестна {хно ни "днаэтого;r) назо;;емioесли эта то' "1а я;;ляется Пj ,е,n:ел ,,,ой 10'lКОЙ мно 11ест;;а {х ,точка, 1iольшая Х (MeHb"ia11не ЯШI,i1'ТСЯ предельной точкой,мно)кества.Дослоi01<азатеш,стно тео;;емы"ioутнеf'ждеi шю:в1пи'Не"т хотя быДослол\ чим,с заменоi:!{а «по-"iOZO"!'НО!iiecrn,!aС1jЩi Си, ву-тiiчr.;а.1"0что3.1i,{х}», мы придем к слеДУi!,шем\следовательностьпонторяя рассуж,n:ения за.11е'iашшвсл'{;;оео,'ра'Ниче'Н'Ное1\есr.;0'Неч'Ное1к1eOpe.1ie 3.16,JvtUOiJ!CecmBOимеетпо-вер,! 'Н1О'\р11, 'i11,!" 'i101Oтп 'п11,.1'тся !'леДУi! 'щий факт:из :7леме'Нтов вслr.;ого огра'Ниче'Н'Ного 1;есr.;о'Не'ч,'Ного"'iiiiJ!CiiCii, ва МО!"'ледстнием указаНi {ых у,не} ,ждеiянлявыдiiЛ11,т'Ь СХiiдящу1ОСЯ niiследовi"тiiл'Ь'Ност1"НаР11ДУ с понятием множества часто ПОЛЬ1Уi! 'ТС11 ПОН1iТием nOJMUOiJ!CeCii,Bi".iO)кестнонаЗi,шается 'пид,' "iiiiJ!CiiCii,BO ," M'iiiiJ!CiiCii,BiiеслиВС1' '!лем1'НТЫ МНОЖ1'ства {х'} В11"ДЯТ в состав МНОЖ1'ства {х}.
Наприм1'\:\!но)кествовсе11'1етныхцеiЫ11чисе1ШЛ11еТС11по,n::\!но)кество:\!:\!ножествавсех цеЛЫ11 чисел.Дна мно 11ест;;а {хментами"тихмн,'жестве1 ;;ие 1).можноустановить{то 'ша коне' iН! ,iXв 1аимноодн,'шачное"оответ"iO)кестна э , i11шале"т"ы 10гдаTOib"ко тогда, когда число ЭЛ1'ментов у "тих множеств одинаЮiВое. Приведемпримеf' 'n:HYX Э1< ;;иналеi {т! {ЫХ бесконе' iН! ,тхiO)кестн. Ле1'КО ни,n:еТi '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
