Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 13
Текст из файла (страница 13)
ОчеВИfШО. что ш, ;f;ая бесконечно большая пос lСДО15а'Г,'Я13ля,'тся iff',;граН!!ЧСНiН;Й. !ЮСКО'lЬКУ для>lюбого АО можно указать номер N такой, что при nN всеэле.ме1lтъt х N НЩШЛС'Г130РЯЮ'Г НСР,ШСНС'Г13УА, а СЛСДО13,1nтельно,ЛЯ любогоО наЙ1\ется по крайней мере О.fШН такой шсмснт ;Т n , чтоС Jднаю; Нi'огр,шичснная Пi;iЛСДОIx >I;Tnl >вательность может и не (;ыть бесконечно большой.апример,нсогран!!чснная !ЮС>н ДО ;a'l','1,1, 3, ... , 1 n, ...
н''является бесконечно fЮЛЫiЮЙ, поскольку при АнеравенствоА нссстсста д,;л ш·е;т х n С нсч р ·'·номсра;;Ixnl >1) Сколь бы большим мы его ни в шли.2) Так как номер .N зависит от числа А, ,о иногда пишут .N = .N(A).fOCTff!iобо;,о ffОЛО!!f' UП/,f' !'f;H/i?Oчu;ui1l3)!что nриNнсе!ле,! ,''Н,n/,!,] оп этmi Т!,оследонатеЛ'Ь'Н'осrnifi удонлетноряют Uepii'Heн,cТJ nуlonlЕ!! !lllис1. Докюкем, что последовательность q, q2, q3при I q > 1 является бесконечно большой, а прибссконсчно малой.=•••Iq > 1.
Тогда.используя формулу бинома Ньютона, получим I q IN == 1 + ,iN+ "; !f;Жиt;Ш.,НЫf' Ч.,tf". Отсю.':'Сначала рассмотрим случайдqff,Iq < 1 Iq I = 1 + д, где> О.(+IqlN > JN.Фиксируем произвольное число А(3.3)> О и выберемномерстольбольшим чтобы имело место неравенство> А 4). Из по'.. tСДiiСГО 'fтаВf'Щ'тва'fтаВ:'Щ'тва:'"п:ха:'Т,сраr:СНСt,ЮNА. Так как при n ?1 Iq In?IN (в си'лу свойств произведения вещественных чисел), то I q I > А приn ? N. Tf' ,'амы,;ЧТf' ,ри I q I1 рассматривасм шпоследовательность является бесконечно большой.раfт"аТРll"fif'ТСЯ СО,fСРШf',аналоги'iНО. В<этом случае тh = 1 + д где д > О (мы опустили случайq= О).Снова используя формулу бинома Ньютона, мы получим вместо..lСДi;ЮЩf';;'сра,СНС; fЮ:1NIql <илиIqIN>1БN·3.3*)О и выбсрсм номсрn ? NINиNиУСЛОRИЯlрИ I q I< 1,то из полученных неравенств вытекает, что I q I < Е при?? N.
Тсм саМЫ.\1 доказано, что ври I q < рассм iтривасмаяпоследовательность является бесконечно малой.2. ДОК\Жf';f,l1Of' ;fAO fiiTC,fbl1, 1/2, ...конечно малая.!Тому? Nсамом деле еслиЮ данному Е< . Например!f;СТiПОЧЮ; выбратьможно положитьто1/ nHOMf';'N = [ljE]1jn, ... бсс,~ 1 j . По-+ 1.ИУСЛОRИЯ1) Элементы бесконечно малых последовательностей мы, как правило,О;ЮЗНf,чаTf,Xка,··.HOfH'P N'. 'гоЗfff Иf'"ДОСТf!ТОЧНО П;О ю)китьчасть числа: ;'укваffИ.г: ",еСЮ·fСк;о ,ь ;,ы малым мыни взя.:iИ.ОN =Например,5) Достаточно положить 1у"ИС.Шf с[А/б] .j.1,то иногда ШfШУТгде f'ИМВОЛ [х] ;об ;знач '.ет Ш.'ЛУЮ138] = 5, [-172,91+ 1.J73.ЮСТ!f6есАЕ {, f!Л"я,тел'ьн,остей ест'ь 6еск;он,е'Чjf"Д О К а з а т е л ь с т в оП! сть {оп} И {По,}!f!CM.{ОО nжительное число,аиN2N\чтоl1Of'бесконечно,сдоватс,Ымала'l.lll'f'lЪ Е lРОllЗfЮfЫN 1 - номер, начиная с которого 1000,,<номер, начинаякоторогоЕ/2. Такис HOI\ICpa N 1найдутся по определению бесконечно малой последователь--Т.IKкак моду![на lИll через,'Л100"их модул!й, т.Nиполучим, что, начинаяОО n1<,РСlН,СХОДИl(см.
п.N4§гл.N 2 , [,1выполняется неравенствоД"ух!l,MCPOll N 1",ваl!Л ,lЮСТЬ !ОО nЕ.БССl!l,НС'lНО !1а lllЯ.+ fЗn,а.3.Разн,о,'тътелън,остей ест'ь 6еск;0н,е'Чj!"IlO1-/,i '(н,о .мал·ых lfQследова/vшлал nоследоваmелън,остi,.теорема доказывается аналогично предыду llейllMCCT\\ !,таВ!'щ'твавенство 1000, 1~1~ loonl + lf3nlloon1000,1толькоСЛ!','!УС'!l!l'lЪ H!'1,f1-1·Следствие. Алгеf,раuческ;ал !'у,н.ма Л1О60?0 Il0н,е'!'Н,огола 6lхк;0н,l''Чн,0 /vшлых послед iватеЛИ-ЮС7nr'й - 6еск;0н,е'Чн,0 малалnоследователън,остъ.Теорема3.3.Беск;он,е'Чj!i /vшлал nоследователън,ост'ь ограHlPieHa.Д о кз а т с лследовательность и,!,аЛССN --т в О.
ПI'! '1Ъ ОО nii,'!'КО"!Чl!1а lllЯнекоторое полткительное число. Пустьномср, начинаяКОТОРОР,рез А наибольшее из следую llИХ,1!,ЖlЮ заllИсать Tal!: АОчевидно,ниченность1000,1Nloonl < Е.Оii!,lНачим ЧС1001 ,10021,···, IOON-11.E.IOO11, 10021, ...
, IOON- I} 1).чисел: Е,ill1lX~ А длл Л1О60го н,омераЮ!' lСДОRIПС,!ЬНОСТИ. Т,,!,рсмачто означает огра-",I\:alIIHa.3.4ПРО!J.3веден,n.е огран,!J,ltеl-mоЛ !fQследователи-юстu н,а 6еск;0н,е'Чн,0 /vшлу1О nоследователи-юстъ nредставллет!'06011, 6е, Il0н,е,!'Н,о,налу1О !fQследователи-юстъ.Д о кз а т с лт в о. Пусть;1: n- ограНllчен lllЯОО n } - бесконечно малая последовательности. Так как после,,,,"lал,'Л!,,ность :г п} Оlрани' [сна, то сущсе!llует lИСЛО АО такое, что любой элемент х n удовлетворяет неравенству~ А.IxnlВозьмем произвольное положительное число. Поскольку по[сдо lllTC [ЫБССl!"НС'lНО !1а lllЯ то ,!ДЯ 1l0,Ю'1!llТС"lЬ-1) 3дес"в дал, ",'"Ш,'!'"мвол а = lnax{o,число (1 равно максимальному и:~ чисел (11,3В.А. Ильин, Э.Г.
Позняк, частьI0,2, . . .осп} озн,!ча",' , ч[О!Nвыполняется неравенство1 < / А Тогда приN 1:г n 'Оп 1 =IXnl< сЕ, По !TO\IY li,следоваl'Л .но! '1'1., :Г n оп'!,го Чll! ла'!,мсрNТ[!та,!!,!·]. что llрИ1бсс,!!,нс'шо малаilдоказанаС.лfiдсmвn,с l1Рiiиаu, ден,ие iiiiбо' ii К:!!'Н,е'Ч:Н,О20 ЧUС!.!i, беск:!. uечн,о ,малых nоrлрdоваmрл'ьн,оrmР1l nредrmавл,н,рm соnой nеск;он,еЧiE()/vШЛУЮ nОСЛ!'доват!'Лl,!!iiсmъ,3сн ИЧа! тно,' двух ii,'!'КО'li'Ч'маю.,Ю!' !сдовательностей может быть последовательностью любого типа и,Щ ',<С <li',жетШ"1'1., смы!'Если, ,аllрИМСр, йn1fЗn ==то все элементы последовательности {,3n} равны едиЕсли йn == 1/ n',i .• ность {аn.
. },э,бесконечно большая, и наоборот, если йn = 1(!2, а1/n,то последовательность ~~ } бесконечно малая. Если бесконечно много элементов последовательностиTfiopeMa3.5.равны нулю{t1n}Еслu все эл,'мен,mt,/, беск;о'Н,е'Ч,н,о /vшлойравн,ы оу}н,О,МУто,мутоnоследо-'!!iСЛУ с. то с=i:-ь СВДОiiУСl'"СПоложим Е == 1 с.,О.
Начиная с номера N соответствующего этомувыполнястся нсравснство< Е. Так как йп С, Е 1 Е 1/2>lanlто последнее неравенство мmкно переписать следующим образом:1 1 < 1 1/2, от,<ущ 1<что предполmкение сПолучснно,' щютиворс'шсО не мmкет иметь места.,а.['[та,<',iД,',Ж,"B:iiKlмежду бесконечноустанав.':И ,ii10Щ"!'и бесконечно малыми после1\ова-тс.':ЫТеоре.ма 3.6. Если {х n } - беск;он,ечн,о болъша,я nоследователън,Оi:тъ, то, н,ш'шн,а,я с н,екоторо?о н,о,нера n, оnределен,а nоследователън,ост'ь {1/г n }, к;оmора,я ,явл,яетс,я б"ск;он,,'Чн,о /vшЛО1'1. Еi:Л!J все эл: "нен,ты i,е(жон,е"tн,о ,малm'1 i,оследователън,остu! йn}н,е равн,ы н,улю, то nОi:леt}ователън,Оi:тъ1/ йn}i,рсжон,е"tн,обол'ьша,я,Д о кз а т сьт в о.
ОтмстимiСРi:ЫХ что у ii,','конечно большой последовательности лишь конечное число элементов<li,жет быть рав,ну!В ,'iiMO<'И'РСДСЛСНИilii,','KO-нечно большой последовательности вытекает, что для данногоli·'ЛОЖИЛ'Лi . НО',исла<li',жно у,<а:ii'1'1., ТiiКОИ ноIx >,li'p N*,,ачи-ная с которого выполняется неравенствоА.означает,n1что при? * все элементы х n не равны нулю а поэтому по-ЮВАТЕънr 'СТИ211сДоваТС1Ы,,]сл, ссли,CMCHТi'триваТi на iИНiШНО1"l)а N* Д,Н1а'i1СМ TCiiCPL,бесконечно малая последовательность П ,сть Елюбое полоЖИ,J Л 'но'' Чll1' Ю Для Чll1ла 1МО1i J:il'1Ъ '"мср NN*такой, что приN элементыпоследовательности {:г n }'ДО:';;:'1' нсра :сне, ::уПО)'l'О ,i), ,ачи ,ас} с у,':а-IxnlIl/xnlзаННОl'О номера N будст т:ыпо"тняться нерат:енстт:о< Е.Таким образом, доказано, что последовательность {l/x n } беско-1iaJ,'Ч,:ilЯ.Доказательство второй части теоремы ПРОВО1Ится аналогично.§ 2,Сходящиеся последовательностиосновные свойстваПОНiiтие сходящеЙСii ПОС,jиедовательности.1.Оnределе'Н,ие.
ПО1:лесlоватеЛЫ-lО1:тъх n } 1-шзыаетслл С1': од л щей С л, если существ!fет тшх:ое 'Число а, 'Что nоследоватеЛЪНО1:тъ {х n -а} лвллет,:л (:есnонечно .малm'1. При это.М Ч1U:ЛОаназыаетJ'ллр ее л оол ео в а т е л ъ н о С т и{х n }1).()РС!СШ"СХОДilщсi\ся 1l0с:сдо::аТС:Ы\ji,ж,ю,'СЮl'-но сформулировать тюоке и следующим образом.ПО1:Лi 1iоватГЛЪНО1:тъ1':)} назыагт,:лл 1'ходЛЩi ПслСУ-ществует тшх:ое "шсло а, 'Что длл 1.106020 nОЛО:JICшnеЛЪН020 "шсла/vЮ:JICНО уnазатъ НОАЕер N тапой 2)'Что привенствуПриэтО/vЕвсе?элi,ненты 1':) этоii 110следователы-юсти у!}овлгтвОРЛ1От1-(,;раal < Е.'Числоахn 1-шзыаетсллпределомnоследователы-ю-1'т!! {х n }.l::сли последовательность {х n } сходится и имеет своимпре-делом число а, то символически это записывают такliш х n = а,n--+хили х n--+а при17,--+ 00.1) в соответствии с этим ОП1'е'1елением всякая бесконечно малая последовате"ьность является сходящей,,'я и ИМ',,",,'т своим прещ,'лом чис;ю ну"ь.2) Та",_ ',,_::кзав"си от Е, О,'ИШУ N = N(=).3) Отметим, что бесконечно большие последовательности ино,да на1Ывают после'!Овательностями, сходящимися к бесконечности.
ПОЭТОМУ еслипос,Ш'дова е ,ы,ость {Х n }сыва:;;т'ютак:n--+=то 1'"мволи'" С,,_', это з::ш,-=00.Если элементы бесконечно большой последовательности, начиная с некото-1 огоИ1iеют о, 1'" ,"' Н'Н ",IЙ з"а",_,, ч пос,Ш'дова е"ы, 'сть{Х n } СХОД,iТся К бескоНi'ЧНОСТ" опрещ,''ш ,!НоГо зн::ка. сиi" ощЧ, 1'",Я 13записывается след' ющим обра:юм:lim х n = +00,, -+=3*limхn=00.IО!зсчi"lTiaM-Евенства)< ХN- Е-означают"Ч11iла а (ia11oi'интервал (а ,аiСДОчтоэлементTliiКiiИiiii (снт!< :г n < + Е:г ni-ПОi' iСДНИСнаходится'iTa-в Е-окрестности,что Е~ОКР,'i'ТНОС'lЪ1ii Чlliла а наЗ1"Iвасл'"ОЭТОМi определение сходя llейся по~+iii,ЖНО СфОРМУЛllТiIКЖi'СЮ' iiiiiЩИМПОСЛi,доват, Л1, (ость {:г n } называетс,я сход,ящейс,я, если cц~щес:твует '!!iСЛО а такое'/то в люi"юЛ E~OKpec:тHo,:т!! '!!iсла ана:г:од,ятс,я все !ле,llентi/, nоследовательностu {х n }, на'Ч,uна,я сНi''JитОРО20 НОАира ).011рСДС,iСНИС СХОДi1щсi\ся l1Oi' iСДОiiilТС"iЫутверii,ЩСТ,что разность х nа = а n является бесконечно малой после~ii,ваl,Лi,iЮС'l'Ы,i.
С 'iAO iilTC"ibl<1СМСНI Х, СХОДi1щсi\сяпоследовательностиi'таiiИТЬ вГДС а,-имеющей пределом число а" мmкно пред~ii}Ci"элемент iii'i'КОНi'ЧНi', малой Пi',СЛi' ii',iiательности.а м С32.очевидно, чтоИiillРСДСiСНИi1 11РСДСii,СЮ' ii,ваl,Лi,~"i',нсчное число ЭЛi',ii'iiТОВ нс iiЛ11ЯСТ на1\ИIlIOСТЬ этой после1\овательности и на величину ее пре1\ела.Рассмотрим примеры СХОдЯl1lИХСЯ последовательностей.1)Последовательность-n- } сходится: предел этой после~n+lдовательности равен единице.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
