Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Свойства !!ещественных чисел. В этам пую<те мыубедимся в справедливасти ДШl праизво!Ьных вещественных чисел все1; OCHOBHъt1; своиств, !!еречисленныхп. 1 § для рациана,!Ьных чисел. "праведшвасть Двещественных чисе, свайства 1о уже устанавлена выше. 'I'аким абразам, нуж:на вы!lснитьш;шь вапрас а спра;;еДШlВасти для вещест ;енных ';иселcBai1cT;;20~130.егка убеДИТЬС!l в справедшвасти для вещественных чиселсвайств 2~5и 11, СВilзанных с паЮlтием суммы. Справедливасть свайств 20 ~Cнепасредственна вытекает из апределею;я сумм!,!;;еществею;;сел исвайств дш ра; ;ианальных чисел.;;з спра;;еДШlВасти;<азаюffCE'ШOiОпри дока:~а1елы1Bi'л' ммырацион ,льньu' ЧИСЛi,'1'1исла'шичисла'1кош'" П, чтотакИi,ЮЛОi1iитеШ,НQ)'ОраЦИОТТiiЛЫТi,1еСУ1СМиPi,1 на,().
>С1венного,И0i1а,'jj 1Ю1'Ота11Иfi,чтот'1ислатсм,2,сЕ(32 (см, утверждение, доказанное в п. 4 З 1),Пусть даш,п СУ2 инеравенствам СУ2 ;? а.;?чисел+,2су,;?алюбые l'ашюна'jj·1i'·Н' ',ис Ш, Донш'пюриющш'Тогда по определению суммы вещественных+с;?>>достаточно доказать, что СУ1 +~(1из неравенства ,2 -< СУ1~(1+ Т·++т,Дли доказаlеЛЬСlна того, 'ПО а- (32.+,2,,силу транзитИiШОСТ,З,1акано это неПОCi1едственно вы 1екае 1Заметим, что вопрос о вы'ч/uтnшн/uи вещественных чисел как)iiTHOMщ'йствии,(;е южснию , по'шостью исчсрпывастсяHi,iосновании свойств 20-50.
Назове.лi раз н о с тn ъ 10 вещестnвенных 'Чисел а и Ь вещестnвенное 'Число с тna7);oe, 'ЧТnО сЬа.УfЩJl;ИМСЯ в том, что такой разносты, , является чиCiТIО са+ =+Ь', гдс Ь'-Ч.f1СЮ, ffрО'ГИ13 i 'fЮЬ.В самом 1I,еле используя свойствас= (а + Ь')Ь= а + (Ь 1Ь20-50Ь)= +можем записать= а + О = а.Убешмся в том, что существует ТnОЛЪ7);О одно вещественное число,являющеесяраЗНОСТЫiiШУХfанныхПРСДПiiJlОЖИI,), ч'Го К!ществует еще 01l,HOCTOpi'HbI, (11+b)+(Ьве "ественныхчисел.+ука'liiННОГi, Ш"IШС 'IИСШ,i= аЬ' сучисло d такое, что dЬ = а. ТОlла, с О,шойс дi'УГОЙ стороны, (d !;)+Ь ' = d++ Ь') = d + 0= d,Из i'ПР;'дС'l1'НИЯ+т.
е. с= d.)iiЗНОСТИ И из СВi,йствавы тскаст. чг, чис-ло а' противоположное а, равно разности числа О и числа а. ЭТОЧI i(;ею i,бl,ГIНО заi нс ,шаю,13;дс -а.15СЩСС'Г13СН-Hi'liiHHblXЧ;тием произве;f8НИЯ.ч'Госслf'а-какиео,;ШОствам<СIЮНЯ-лишь в отношении свойстваПОШЛКИ'ГСJll"НОСрациональныеili'ЩСС'Г13СНР'ЧИCiТIа,а1 ~ а ~ а.,), г ' чисш,n.',а а1У1l,овлеТВОРЯI, ,,,;иеобратнос чи(;еlН90,а2-неравенi'ПРСЩ'ляется как е,;шнственное вещественное число, у;ювлетворяющеенеравенствам -1а'СУ2-1).СУ1СВОЙСТВii 60-90 ПОЗВОlЯют СЩ' lать вывод, что для любых1I,BYX вещественных чисел а и Ь (Ь '# О) существует, и притомв качестве числа а' может быть в:~ята точная верхняя грань множествавсех 1;ациона'1ЬНЫХ ',исел{ 12 }.'ГО (ькосЬодно,13сщ; 1"'Г15; ННОСЧllС10,УДО15усшшнючнс:сю с Нl1зьшас'Гся '{Ш [п!{ы,м 'lИП'Из опре1еления чаСТНОl о и из свойствавытекает, что чис-Ш,'lИСЛУ;,б;11 о.наконе1,Чl.Н1И"'Т;'IЮС Мl,lЧ'ГО на случай 13ещес'Гненныхнсел 11ереносится и после;шее 1:3 е свойство рат~иональных чисел, а именно:'/и'/иво бы 'J-lИ было веществе'J-l'J-lое 'ч/uсло 0..
MO:JIC'J-lО 'Число 1 nовтора;, чrnО n !J;УЧ,'!{1lUЯ ;'у,м.r"rл nРl'вюuРИ!i!Ьдет о. ), Докажем это свойство, В случае о. < О 1I,0казательствонб;, 1 > 0.. ПНСТЬ:? 11: о. = п,о,силу TOlO, что опре.;18ление суммы вещественных чисел в приНСС ра11 ll ;,наШ,НLIХ'lИП'СО13Пl1да;''Г с ;'llрСЩ' (СННС;'суммы рациональных чисел, повторив числоCcтraгaeMЫMnраз,получнм T~C ,ЮС чнс:сю n. Тl1К11;,бl 'l1ЗОМ, д;"' га'Гочнр дока' 111.'Г1."Ч'ГО ДЛЯ ЧНС:Сlаlfl'ЛОС чнс:сю n 'Гl1К; ,С,n0..
Ноочеви1l,НО: 1I,0статочно взять n0.02.Такнм обра'1;" , 1lП ;'ЛУ'f.аtt вl'lЦl'сrnв,'! {1lЫХn, ''''! {осяrnсяОс1l0U1lЪk CGOttcmau, сФор.r"r.улuроuа1l!{f,{е liля РШЦИ{Jf{аЛЬ1lЫХ'Чисел в n. 1 'J-lастояще,'о пара ,'рафа. Следователь'J-lО. для вещеcrna, !{1lЫХ ЧИ; ел ;'охра1lЯfl'n'силу вс,' пппвила алгебры,от'J-lос.Я'щиеся 'r;; арифмети'ЧеС'r;;ИJ\i действиям и 'r;; со'Чета'J-lИЮ=>+раuе1lствН,·, Э'ГОМ \'Ы закаНЧll15асм "'1Jl!ЛКСlillС Э'l!"';'Н'Н',13 'Г;'ОР"щественных чисел, необх01l,ИМЫХlЛЯ построения курса матема'Гннза.ра'1 ;НТНС л';'рин13;'Щ;'i'lЪСННLIХчисел читатель может най:ти в приложении в КОЮ1,е книги.В закш<>чение заметим, что мы построили теорию ве"lествен';ИП' ,а11;' lИРНЯ к НХ 11Р;'Дl'га15 l!'ННЮ13НДС БССКОНСЧlil,1Хl,1X1I,есятичных 1I,роf;ей,Совер!!!енно ясно, что мы могли (Ъ1 апеллировать и к (;есконсчным дробямлюбым ДРНlИМ (Нl' ;,бязат;' (ьНl' Дссятичным)основанием.
В этом отно!!!ении системы счисления сразличными;'1"НО15аННЯ;\1И ЭК15И131.1l,1 мсжДн 1"обоЙ. ОднакоНСКО'ГОР',1Хвопросах приближенных ВЫЧИСстrений и, в частности, при OKPYlлсн;'';ИП'ДО заДl1ННОГ;,ЧСС'Г131.11!l1ЗРЯДО15ния С четными и нечетными основаниямиBe1l,YTно по-разному (см, по этому ПОВО;fуюполнение'Л'М1,1Н1"ЛСсеfш су",ествен2к этой лаве).Некоторые часто употребляемые соотношения.Докажем справе1l,ЛИВОСТЬ 1I,ля любых вещественных чисел о.
и Ь4.Ccтre ТУ' l' '"lИХ1I,BYXсоотно !!ений:Iо.Ь I = Iо. I . IЬ IIo.+bl ~ 1001+lbl·1)Заметим, ЧТО ЭТО СВ fЙСТВО наlываfii' a1.~cиO.MOЙ Аl хи.меда.(2.14)(2.15)!!СЕ.'!чuсел,2)нро ,ка Э'ГIIХ соо'Гнош{'ниij такова: 1) ,М()двух чu,ел раие"Л'1,одулеuиХ,!\'toдулъ CY.AiMbl двух чuсел не nревосходит CYM.Aibl .AiO-эrniu,т ''l1fСГЛ"оотношениенепосреll,ственно вытекает из опреll,еле(2 4)"ЯДВКХ ii,'",СС'Г13СНН"IХ ЧНССJl Дока}ксм СОО'Г, Нс1 ОСНОК1Нии ОПРСДС"lСНИЯ ыодуля И прави'Тасравнения ll,ЛЯ Ш' ,ffblX вещественных чисел а и Ь справеll,ЛИВЫНС! 'iШСНС'Г13а1Ь 1,в силу основных свойств.
можно почленно склаll,ывать неравенС'Г13i.i 'JДH',ГO-1аИспользуя в случае а!ЮС>li ДННХ н{'рав, Н{а маи е,+1+Ь~ а1)13 КО ЩС п. 1§ 1).+Ь~Ь.1+П"О правое, а в случае а+ЬM'.,I ii'JlУЧНМ н{'рав, Н1' пюОтмети~ О левое(2.11, .еше дна '1асто у ioТР' б.·ше"ЬЕ,el,aHela-bl~lal-lbl,(2.16 )(2.17)la-bl~lal-lbl,Для получения неравенства(2,16),стна:достаточно учесть, ч, о а(а -+Ь)+ Ь.и, О'iИl,аzlC1. на (2. 5), записать Hel,aHe1,CTHO: 1 а 1 ::;; 1 а - Ь 1 1 Ь 1, Нера,н'нст,iO(2,17) является следствием неравенства (2,16) и Hel,aBeHCTBa 1 Ь - а 1 ~ 1 Ь- 1 а 1, КОТОlюе ПОЛУ'1а,.'ТСЯ из (2.16), если по:\!енять :\!ес,а:\!и '1ис;а а и§ 3.1-Некоторые конкретные множестваВ{{Щ{{{'ТВ{{I{I{I,{ХДii !Ь !СЙШСI'чz,{{'ел'1ас'Го I!рИДСТСЯЩ'50С'1НЫ-ми множестваыи вещественных чисел. БУll,ем оf;означать произво,!ьнос множсств" всщсствснных чип'ВХОДЯЩI1С 13'тав Э'ГОГ"ми или mоч'Х:амu этого ыножества.симво,юм {:т}, а ЧИСJlif,б;дсм на' {"ШiiТi эле,меuтuOYll,eM говорить, что mоч-'Х:и Хl !,,!.uo:J/ce, ,Г! па {х} orn,tu '{ии ОП) гп ОЧ'Х:U :Т2 эrnого ,М! {.!' ш"сrnвu,еслu ве)!ественные чuсла 11 u 12 не равны друг другу, Ес.т[И приэ'Гом С' l!iШСДШШО нсра13СНСТ13,,:Т > Х.! (:т.Х: , то б; дСМ ГО13,'рить, что mоч'Х:а :rl леJ/Cuт nравее (левее) тОЧ'Х:Ui 2'<Рассм,'Л!IIМн! "'Тi,pыCНiiиБОJlСС:'ffо'Грсб,)'Гс·!ы!мн,,}ю'-ства ве",ественных чисел.1'.
J\1HOf+fi 1''Г!5Онеравенстваы а ~13СЩС1'Пii'Н !ЫХЬ. гато!,,!. и "бозначать 1'иывош,ыназывать'ранuчныlАiuumоч'Х:а.АiU<'iИП':т, НДО13JlС'Г13,'РЯЮЩIIХЬ,!еы называть се,'мен-Ь]. При этом чисили'Х:он'ЦамиJlюбос чнсю х, НДО13JlС'1'130РЯЮЩСС Hcpa13cHcT13ifI,называть B'J-t!jmреннеu mоч'Х:оu се!ыента [а, Ь],се! ыента:т< Ь.Мl2,УДОЕ i1"Г1Ю! ;ЯЮЩf1Хнс! ;iШСНС'Г13а,;;ша'Г';сег.лiе1-tmО,kt и оfюзначать СИМВОЛОМ30la,МlюжеС'Г130 l;cex 1;е11,еС'Г13е 1H101X 'lиселНСРiШСНС'Г13а,;1 аполуилиУ ЮRле'ГRОР ,ЮЩf1ХЬ, бнд;'м Нiiзьша'Гьи ,;бозна-чать СИМВОЛОМ (а. Ь)40.JIюбой интервал; СО о ;lержа11 ии точку с, бу1l,ем называтьm{50. Интервал (;Qj; nесm1lосmъю'f{ocrn;;JJ' rno60.Ч'КUс.с, С+с), r1e с> О1eMназывать с о'Кресm-с.Мli!;ЖСС'Г13!< 13ССХ ;Zi'ЩСС'Г13Сl;;i!,IХ '{iiссл бндсм наЗ1,шаТiсловой (бес'Ко1-tеч1-tой) nр.я,м,оЙ и 01 ,означать СИМВОЛОМ (70.Мl ';}Ю'С'Г13!<;Zi'ЩСС'Г13' ;Пi!,IХ "ИП'неравенству ха или х,;б';зна'о01а'Гь Сf1М1Ю'ЮМ [0000,чu+(0).Х, УДОЕ JJ'ТlЮjJЯЮЩ';ХЬ}, бу1l,ем называть nОЛ!fnР.я,моЙ и{И'1И (_о;,оо;,Ь]} ..
Множество всех вещественных чисел х, у;ювлетворяющихнсравснству Х > а {иlИ ;Т < Ь}, бндсм называтьпол ;nр.я,моЙ И обозначать символом (а (0) {или (Зач аи е.оmрезnом или простоОтметн,':ТО с;оо'гмент юю, ,а на;ьшают зао;,r,i уm 0'0;'оmре37<{ОМоа интеРВ<L-Т-оmnрыmы,моmрезnо,м.Пронзнолыюе ;;но)кестно {:с} БУ'1 0 ем наЗ1,шаТ1ош ;(юй окрестности каждой точкивеслнэтого множества содержится хотя быо ша ТОЧ;olа М1Юol;olеСТiiа, ОТЛИ'1наи от :с.
Пр ;;;еlЮ'О плотногоства может служить ЛЮ(;;1е И; ОПlolеделенных выше множествсебе10_80.Пlolимером по'ютного в с;'б;' мно)кества мож;' о служить :\!ножество всех "olациональных чисел, ВХОДЯЩИХ в состав Л1 1(ЮГО из множеств 10_80.Ш()ЛНЕНИЕ1О ПЕРЕВОДЕ ЧИСЕЛ ИЗ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫСИIИСИЕИИЯДВОИЧИУЮ И ИЗ ДВОИЧИОйСИСТЕМЫ В ДЕСЯТИЧНУЮв э ;ом дополнении мы остановимся на алгоритмах перевода чисел и:~ деСZlтнчноii систе"ы С'1ис',е ;;ошсис ,емы в деСЯТИЧНУ1;;ОШОНЧ1ЮобраТ1ЮГО iiер;',юда нз днои той1Иеревод чисел из десятичной системы счисления в двоичную.lolаЗРИД1ЮЙ сет olе ':) ,еКТРО1ШОЙ маш '1;101Дли заданнZl десZlТНЧНOiО чнсла :rlOИС,ЮЛЬЗolюттакнаЗ1ша;'мolЮормаизонаЮФОl;;;узаписнэтого числаXIO=qlO .
] ОРI0 .(2. 8)в эт 1Й ФОlolме :~аписи величина(2.19)1) и шагаемые ниже алгоритмы реаЛИ;У1 нся, в частности о на электронн 1Й машине БЭСl\I-4."СЕ',оймтр,шным НУШ!' прис с о~IO,о числа,"1и',е.i·И равным единице при Ч,ОCJil~< ()аст,'пе"р(2 2(] 1(1 - 2.на:~ЫБi,ет"я д' "ЯтИЧНЫМ пор Я Д К О М Д.i,нного числа, прич' мра Ш'·IМ "улю при р,о()р,ш,"ди шце ',риРI0л;Р2Sq SpОРlаlРис.2.3agа2аl,{31,CJi2, ...
, Gg00041з12112.3'iазано, ка,.; деСZLтич,юе ч ,слоРЯДНОЙ сетке электронной машины.,ЬЕ чиселС,ерет"яQlP45 44 43 42141 40139138137 361351341зз 32131 130129На рис.S"<1(:>.17i)-(2.:>0) за.,а"тсZLаз-f а и юбражение каждого и, десятичОТ,ЮДИТСZL 'ю чеТ"Чiе 'шоич{)·IXраЗ1ш,а, такчтО каждое и:~ YKa:~aHHЫX чисел может принимать л, ,Сюе цело численное :~Ha''''НЮ.' от О до5.а,а изобра.i,<ение ',ислаОТIЮ ,ИТСii нсего дна раЗ1ш,а,так чтоможе, приниматьшачения о, 1.
2, З).Стан ,apT1iaZL "lЮ'раМ.i,а н"ч,абатьшает по "'СiiТИ'1JЮМi ',ис',, (2.18)(2.20) COOT~eTC ,вующее ему двоичное число ,r2. Эта программа реали,уе ,сяслеДующимСначала вычисляется величина тi=(i-:>S'1)(Gl.10 g +G2.0 8···+Gg)·2 68За, е}\! указанная величина i у}\!Ножае,ся на вели ,инуk = 268·1)-10(пос"еняя величина задается в машине ,акже в нормализованной ,jюрме, причемоб"г,но с изб"IТКОМ Н''дИ1ШЦJ,I млад""'го раЗ1ш,а ,'аНТИСС"I).i iрои:~ведение k:i отвечает, очевидно, десятичной ман,иссе (2.19).Далы,еii1ПаZL "lЮЩ'дi1'а зак',ючаетсZLм,ю<,<е ,ии k· ,а 101/10 н занис!! ,'ости от З1iака РI0 (т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
