Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 15
Текст из файла (страница 15)
;ЫХnее элементов имеет точные верхнюю(см. теорему2.1).Докюкемчто еслиfOCTffiЬHOCTf<T!aHHI1~<ff11ЯЮIШiЬ[H11~<tИЖНЯijГIННЬ:J;<,с<слt!ct<e {Х пт\' ее пределом будет укаЗIшная т( чпос:леДОВ11тельшУыtj!Тrаемограш!чt!Мf~ПОСJНiдсшаТ(iЛЬНОf<ТИ, поскольку для ШiвозраСТI1Ю ff(Й ш fЛ(iдоватею"тиlJaffусt<fпtия1l0СКоtЬКУХtаЛОГИ'lЫ<точная верхняя грань мно:ж:ества э< [ементов->юслел,оватеЛfяостt! Х n }, то для любоtо ЕО \южно [ 1Д'!ат!>элемент XN такой, что XN > Х-Е и XN :::;; Х (любой элемент Х п.
неБОЮlше точtt:ерхttей;аttи, ХNХ). Соtюстаt:.Шj~ 11 tla'!aHные неравенства, получим неравенства О :::;; Х - Х NХ n - неубывающаij послед,)t:ателыюстъ, т() п]< Е.Так какnN ctpa-~ведливы неравенства XN :::;; X ii :::;; Х. Отсюда следует, что при~ N выпо< шяются неравенства ОХ - ХnХ - Х . Выше\fЫ отме'tаtи, [тоXNЕ, юэтому tри n ~ N сtравеftиt: f 'nнеравенства ОI ;Т n - Х I:::;;Х<< Е,- Хnиз которых вытекает неравенство.
ТаtlИМ образом, IcTaHoB<teHO, [то Х -прел,е<поСtедоватеtьнОСТИ {Х п}. Теорема доказана.3 ае ч ае 1 Услов'uе огра1-l:U~lе1-l:/-tост'u .ftло1-tото1-t1-tO'Llnоследователъ1-tости представляет соБO'Ll 1-tеобходи.ftлое и достатO~Hoe УСЛО6ие ее сходимости.<nса\юм деле, если моtютоннаij юсле<ff<оватеЛf,НОСТf оt,аttичена. то в Си<tу теоремы 3. 5 она сходится; если :ж:е монотоннаяЮС<t( л,оватеiЬНОСТf'leСf<ол,ИТСij. тосtшу теорС'\fЫ3.8она оt,аttи[а.2.а м е ч а н и еiходящаяся последовательность может ине быть м(шотонной. Наприме]fli)ТОIЮЙ Х n = (_l)if/ n Сf<ол,ИТС1jпос tел,овате iЬH()CTЬ {Х n ,[!меет tрел,е<юм tисюШТак как знаки элементов этой последовательности чередуются,т() iша не яв<шется монотонн()Й.3авающаяеи е 3. Есtи последоt:атеЛЫЮСТ fаи ограниченнаяn Ct,aBe< f«tиtЮ[е]и Х,aBettCTBo-ееХNпредел,то дляХ.
Э<tе\fеtХ n } неубывсех номеровневозрастаf"ЩС:Йограниченной пос tедовате iЬности {Х n }, сходящейся к ;f, удовлеТВО],iПОТ te]1at:eHCt t:y;fХ n . Сttравеftиt:i)СТЬ :того jITBepCt<ffeния быtа установ< [ена в процессе доказательства теоремы 3.15.Следствuе uз теоремы 3.15. Пу,т!,f;,'ln1iif:'~ifЛЯ Cff-стема сег.ftле1-tтов [аl, Ь 1 ], [а2 Ь 2 ][аз, Ь:], ...
, [а n , ь n ], ... , nажды'й nоследую'Щ'uu из nomopblx содержится в nредыдfj'ще.ftл 1) 'ипуст!,[а n , ь n ]-стрем'uтсяа n (бус}е<:'fifаЗЫ6fi<т!,дЛllif. ,й ff"г<:,;еifтfi1-t!jЛЮ nр'и n -t ос (систе.ftЛf! сег.ftле1-tтов.обладающую эти<\;и своЙства<\;и.1-tаЗ'Ы6атъ стягff6fi.IOщеUся). Тогда существует, и nр'uтО.ftл ед'U1-tстве1-t1-tая, то~ла С,nP'U1-tадлежшщая всем сег.ftле1-tта.ftл этO'Ll системы,1) Это означает, чтоan-l~ а n ~ Ь n ~ bn -1.fOCTffока тльсвС, П]iИНl;r.л(жащаjf ВС(·о.letMeHfI1.\f,озаме fИ\f,В 111·М( М деле, (сли бы нашлась е н.е ('дна ТОЧКl'-ЧТi'Мlш.ет :с,ЫТf.
то.ъко[а.ПРИНIЩЛ( жа;"ем с(тлttТI1М,весь С(Т\fпtт 1) [с, cl] tриt 11Дfе +.11Л :с,ывсем 1(тментам [а n , 11n ] Но тогда для любого номеР"1выполняЬnаncl с> О, а)то неВОЗМ(ktiбfin --+ 00. Дока1t<емIЬ, чт(i С!j'щесmвуеm ТО' [ка с, принадлежащая всем сегментам, Ь п ]. Так как системалисьне]Ьn - а n--+Cer\fettTOt;О П]ЯiшяеТС11CTjfивающейся, тоюс.ледоt;ател;tЮСТ fлевых конц(ш {а n } як tЯется неi!(!ывающей, а ш)с.ледовательностъправых концов {Ь п} невозрастающеЙ. Поскольку обе эти посtе;r.оватеЛf,ностti ограШiLiены (t;ce эле\fеttты юсtедовате f,ностей{П п } И {Ь п} находятся на сегменте,b 1 ), то по теореме З. 5 обеони СХОДЯТСjf.
Из TOtO, что fа·;tюсtь Ь n - а n ЯiШЯ(;ТСjf :C,eCKOHe'tно малой, вытекает,что указанные последовательности имеютобщий [реле.. ОбозttачtiМ 'тот [реле. чере'; с. и·; за\fечаниtfвытекает что Д tЯ любого номерасправедливы неравенствааnсЬ n , т. е. Т(iчка с прtшаf.tежtiТ всем сегментам [а n .
Ь n ].Некоторые примеры сходящихея монотонных после;r.ова'тельнос'теЙ Расс.fОТРИ!.,ftри!.fерыtосле.;f.оватеЛf,ностей, для нахождения предела которых будет ИСПО.ъзована теоpe\fa1. о пре;r.еле !.ЮНОТОtпос.ледоt;ате.mtюсти. К]того, в этом пункте мы познакомимся с одним общим приемом3.tа:.; ожде tttЯtреле.ювюс tеловате ъносте ;U,.
';адаt;ае \fbI :j,eKY1i-ре! [тн;·! \fИ фО]'\Ii!ла\fи.о! ).Пи м е р 1. f!ассмотрим пос [еловате fbH(iCTbх n } э. [ементх n которой равенХ N ~ ja + ja + Ja + ... + v,i а> о.Эт\ It<e пос te;r.OBaTefbH(iCTb МОЖН(i, О' tеви;r.но, задать с.ледующеЙрекуррентной форму юй:х n = уа+ Xn-l'tЯ ТОГО что:!)н \!стаtЮВИТf, существоваШiеtpe;fC;taЮС·t( ловательности {Х п}, дока:tкем, что эта ПОСtедоватеъность вО3 ii !fсmаlOiuал И ограН'U"lеннал. Первое УС\fюриt;аеТС1f не! [!icpe;r.CTBetЮ.10кажем, что последовательность {Х n } ограничена сверху чисюм А, .;f.e А - наtt:!().ъшее из ДВiХ tiсел а2.tи ;Т nа, тотребуемое доказано. Есш же Х nТО.
заменив в правой ча1) РfiДИ опрс ," лснности мы считаf м. что d > С.2) Гекурр, fПf"iЯ ФОР);УТIfiЛfiППТСКОГО СЛОВfi «l'ССUПf'l1S» - возвраЩfiющийс;) - Фот му.;;а, по!;ю;;яюща); выразить (n + l)-й Э. ;емент пос.;;едо;;ате.;;ЬНОСТИ черезначения ее первых n Э.;;ементов.fOCTf 1сти не]:г~число (], П] ,ев( 1ходя ff.ИМ<СТО числ')"мы П'ШУЧffМДfiкаЗ;IЛИ, что пос:леДОВ11тельштеорг1, OffaОчевидно,}имеет пределХn2 ИТ1Н \fbIограничеН;1 1верху ПРfИМfР(f(Л чере', с,О Из рекуррентной формулы им( (м 100тношенИf=a+Xn-l,кот')рое означает, что послед,шательностиждесп:ешПОСfе;r.оватеfЬн,)стеЙ имеета+ с.ПX~} иих П] ;еде'аfШЫ. Так f<af'предел с 2 , а вторая аОтсюда, поско.fЬКУ си м еа+ Xn-l}fepf:ai!+ С,О, находим. что с =тотоffЗ этихс2 = =1 +vl + 4а2.2.
Рассмотрим теперь пос.лед,шательность {;Т n ,С помощью которой обычно вычис fЯют квадратный корень изюлож!,те. [оНОГОэлектронныхс.леДУf<>ЩС,Й·lИс.ла ама нинах.,екУ1ы:,COBpe\fefбыстродейсп:ующихПОСfедовате fЬHOCTЬопределяется'ею fЮЙ Формуюй:Xn+l =rf.eа)та2( Х n +-)Хnn1'2 ....
'=f'а'fесп:е Xl MOCf<erf:ЗЯТО 11,:''Ое Ю·ЮЖf' !C··fЬHoe fИс.ю.Докажем, что эта последовательность сходится и имеет своИ\f fре;rс,.ЮМ чис.лоja. Прс,ж;r.е вссто ;r.oKaCf<eM с\'щеСТfЮf:аffиепреде. fа пос.ледовательности {Х п.}. Для этого достаточно установить, что пос.ледовательностъ {Х п} nf', 'fiifll''l,ifa Сifизу и, ifa"lи'Ндя, СО второго 'Н ОJ'Л ера. является 'Не возрастШOiuе'ij. Сна' [ала докажем, что пос [eдoBaTe.fЬHocTЬ {Х п} ограничена снизу. ПО>\Т·ЮВЮ'· XlН,) TOf;r.a и', ,екУ1 'е!ЮЙ ФОРМУfЫ.
В'f)ЛОЙпри, вытекает, что Х2О, а отсюда и из той же форму[ы, взятой П]n=2,вытекает,[то Х;раССУ1ж:дения, мы дока:ж:ем, что все Х N>О. Про;r.о.fжая;TffО.Докажем теперь, что nри n ~ве'Нст6!! Х n ~Хn + =v:; (fa2 все Х n удовлетвор 1ют 'Нераереffисав pef' j'рреffТffУЮ формуf:идеja.~) ,воспользуемся почти очевидным неравен-ством t+~ ~ 2 ), спраf:едшшым дш! !юt'ОГо t >=C.fbI'ем t =.~). По. !j'ЧИМ, что ;Tn+l ~ ja при !ю:'Ом n ~ 1 т.
е. Х n ~начиная с номера 11 =2.Докажем, HaKOHeT~, что nОfЛ;fдовfiт;fЛ ,ifOfmI, {Х n } при 11 ~'2~иeвпзрасmае'n.И.з рекуррентной формулы получимX,,+lХn1 Д.тш до!!а,ате.::ьства это; О нера::еш.Т ,а до,таточно заметить, что приО оно эквИ!;алентно неравенству t 2 1 ? о.Tf[О !от! IОЛ (!и.(П]r;;11,fаидем--Так как ш)следо i,lтеЛ;fЮСТЪ2)n~уа,jiТfИТЫi! :!n} приi,н:тающая и ограШi [еН,1 СiiИ';i ЧИСЛС)i' уга,nим( (т пр(дел. н( меньший;аОбозначая этот предел черезnl~~ {~(xn. + xaJ}теор(му[аи теор(му3.153.13\и учитывая, чт(!~ (c+~) получими~ (c+~)'ле1).;r.оватеЛfiНО, с = ;а.З ае С! аи е 1.рассмотренных iРИ\fера:i исполь'ювался следующий часто употребляемый прием разыскания пределаЮСiе;r.оват( .iЬностеЙ.
Сiiачала устанаiШiшается СjiщеСi iЮiiаiiИС'предела, а затем находится его числовое значение из уравнения,[<отс)рое получаетс!в ней х n И Х п[!з ре [!jippe i i тнойискомым значениемфс)р<! \iлыjiTeMi';аменыпредела последовательности {;Т n .З а м еа н и е2.РеЮiррентные фОРI\IjiЛЫ[асто iiСПОЛЬ-зуются в современной вычиспите.iЬНОЙ математике, посколькуихiри.fеiiеiiиеiРИiЮДИТЮiОiiраiiЮМУПОiiторениюоднотипных ВЫЧИСiительных операт~ий, что особенно удобно приюве,:rС'iiИИ iifГfислеШiЙ на БЫСТiЭiеiiТ]Юi юВЫЧИСТIИте.iЬНЫХ машинах.Рассмотренная нами рекуррентная формула определяет, как\fbIiИСЬ.liш Х nn--+х<)ритма.ВЫ'iИСiеiiИ(!i\fbI;r.оказаiИ,[то=ДОiЮЛ [е iИИнастоя пей гла (е ИЗУ'iаетс! вопрос о скоро2сти сходимости последовательности {Х!;} к ;а.>что;щя ЛЮ('ЮiО а1iИ Oiipe,:rC:ieiJ\IbIюм iiн:'юредоказываем,iС:рiЮГО П]бли:ж:ения Х1 уже четвертое прибли:ж:ение Х4 дает нам число ;ас ошибкой, не превышающей 0-10.При м е р 3.
Докажем, что ПОСiедоватеiЬНОСТЬ {"n}, ДiЯкоторой сп =(ХN1~)" имеет при люоом фиксированном Х предел,n+ 1.равный нулю. Так как при достаточно большомn< ,то начиная с некоторого номера. имеемЮСКО.iЬку ICn+11 = i~~I.~:ll = ICnl' ~xll'{I сп1"n+И<n 1< cn.l,'ледовательно, начиная с номера N, последовательность} будет монотонно убывающей и ограниченной снизу например, Н\лем). Пс) теореме;r.итс1)дробь{.С-ipe;fC':тойпосie;r.OBaTeibHOCTb 11cnl!схоЮС·i( ловате iЬHOCTfi. Из соотно-рав! :1СТВО вытекает 1:3 рекурре 1ПЮ(; фор<!улы Х п+l=2' (х n + ~:).шешtЯ С n +l1 -I спfЬHOCTft~,{I С n +l1} раве!Чтi' С = О,T;l·K KIKпределС, а П1 ,едел iiНЛ(f([ваf ел(яоравен нулюПрименим т( ([рему З. о о существов;шии преfамоf[, !тонн)Й Шiсле;rо i;lтелы Ю! ти;rокаЗ;lтелн:тва iУЩС!-fа послею fiaTe.m fюс (и {Х n , 1.Лемент Х nствовашtЯ[!ото-рой определяется формулой;Т n(1 + ~)=nДокажем, что эта последовательность возрастает02 )fi.H'U'Чена сверху.fиti фОР\fi/fУ бft /i\fa ] ]ыото [а, [а '!ДемХN_ 1+1+ n( n -71--1) 12!n2+n( n - I)(n - 2) 13'.+ n(n -1)(n - 2) ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
