Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 14
Текст из файла (страница 14)
В самом деле так как= --n 1nn+lТО ДЛС1l_} БССКi,НСЧНО мал lЯ. Если ni'лсдоватсльность { __n+1---иN+брать HOMi','изиусловия1N+1N~ {[,2)ДОКiiЖi'что Ш,,' ii'Дiiiа'l\'Ю,...х n = o,~:NTi,о достал (' !но110)'1'0\11'можно положить....1=--или1N- - 1.при~при> 1.,i,CIbХlНаiiРИМСР1,О,Х2 =3:3сходится и имеет своим пределом числоразисю'1/3.дробью0,333 ... , тоЗаВiiСiЩ','ГО,1БССiii ,Н\" !НОЙ ii'i'i1ТИ' !НОЙиз правила сравнения вещественных чисел,10,нт Е.С\О,2ЮВАТЕЪН(>СТИ3~0,33nзЭТИ':1l"аееравенс гвпол: чи,>N~<:_l_n :;/вия< ,получим Ix n2.,J:Y:юii:,м 1q 1< 1оЕ~ I < Е приВозмmкность выбора номераIN < Е:бо1<3л:'10:" 10' '10 N1ч гоТак':,мере:ае:Nиз у:при:0-? N.,уювлетворяю ::его условиюJТi"'l'аii:'ВШ'iiа1§ 1,Основные свойства СХОД:..:.iНИХС:..:. последовательно-стей.3.
Ттолъко nдннД о кзтСхо:I.я:ща,яс,ял ьт::оследователъностъ-Пусть а и ЬR!J..Meemпр:' "'лы сходящейсяпоследовательности {Х n }. Тогда используя специальное предст:.:в,:С!(:3.5) ,i,Ш ЭШ'\iСii'l'ОВ Х:;. СХОД\iщеiiся= а + ОО n , Х n =:ia,,:blx "''сл:' "н:ат:л:,ностеiiсти {Х n }, получим Х n:емен':[,1ii:':'КОii:'ЧiВычитая написанные соотношения-а.
Так е,:ае: ::се ЭЛ:'\i\'ii'lЪ1 ii:':'КОi"'Чi{ОО n- t1n} имеют:3.5 Ь - анайдем ОО n:iа,,:ой"''сл:' "',ваТ:'Лi,i:О:'ТИодно и то )ке постоянное значение ЬОт.Ьа. Т:,:,ремаа, то по-"'I\:а::ша.8. Схо:l,яща,яс,я nо::ледователы-ю::тъ о;:раюлена.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть {Х n } - сходящаяся последов пельность и а - се :редеИerю.:ьзуя ф:,рмулу (:3.5), имеемХ;:де ОО n -:емен: ii:':'КОi"'Чiа+ ОО n ,:iа,,:ой110:'.:едо :::те,,:ыТак е,:ае:бесконечно малая последовательность {ОО n } ограничена (см.
те:,рсм:'.тот::ко:'iИСШ',iрав:',:Ди :о нера :ене:::о 100:;.1 ~всех номеровД. ПО1'l'О\iУIx nозначает ограниченностьХ:;.} .~laln+:ДЯпоследователь-доказана.3 а м е ч а н и е 1. Ограниченная последовательность можети не быть :х:,,:,яшсЙся. Наприм:т, посш' ",ватсльность 1, -1, 1,1, ... ограничена, но не является сходящеЙся. В самом деле,:':'ДИ бы:о:' :едо :::те,:ысходинее'::,е:'РО\еУ числу а, то каждая из после1\овательностейЯВЛЯпоследовательностьбеСi::"Н:"iНО :iа:ойЛl{)БОiа} и {Х n ;а}Teop:',ii,1 :3.2,{( Х n -а)(Х n+ -а)} = Х nХ n + 1 была бы::'::оз,!\',Жi:О, т::к как Х:;. - Х n +' = 2 ,:,лЯбы ii:':'КОii:Чi::,мера:iа,,:оЙ.
Но ТОеД::, в СИ,:уn.1) См. также неравенства (2,5) и: п, 4 § 1 гл. 2.i,окаж,'":J;одн'щtJ.хс,я,{:г n } u {Чn} ест'ьтi"I,осн,он'н,'ь/,{' теореT(iopeManоследонuте рь'Н,Осrn,'ь, nР"деipmi ранен, су,н,ме nре(J'шн '!JослеUонатеJl:ьн,осте{j'д о к а з а т е л ь с т в о", ПiСТЬно'' !едо!iiTC,!blf, ,слЙ(],И Ь:г n }ко-Уп}соответственно,огда+ t1n ,деСУпfЗnбес!',-",вал'ю,но, (х п+ Уп),iie' Ю м iЮ,Iе Ю!' {едо !iiT"- (а + Ь) = СУп + fЗn.'Таким образом последовательность {(х n +Уn)!{ы+. C,le-а+ 'i)} беско-i,'Ч!малаil,Ю1'l'О,lУ "''сл'' "',вал'Л ,!юсть Х NУn '''''!';'!llТСЯИ имеет своим пределом число аЬ.Теоре,м,а.10.
Разн,о,\тъ ,\ход,я,щtJ.Х:С,я, nоследователи-юсте1'l+{х n } U {Чn} естъ сход,я,ща,я,с,я, nОСЛi'доваm!'Лi,н,!)стъ, nр,'дел кmnорm'1 равен, разн,ости пределов nо,\леilователън,о,\теЛ ! х n и Уn.}.До к аз а т ел ь с т в о этой теоремы аналогичноюказаТi'"peMЫ 3.9.Теоре,м,а 3.11. Проuзведен,uе сход,я'ЩUХС,я, nоследователън,оTC!bC'l'!,y"тей {х nиУnестъ "ход,я,ща,Я1\,я, nоследователи-юстъ, nре,Iел котороЛ равен, произведен,шо преilелов последователи-юстей{х n }{Чn}.UДааь свЕ"аЬ-",сю' ",вал'ю, ..ностей {г: n } И {Уn} соответственно, то х n = аСУп, Уn = Ьи х n . Ynа .Ьа .ь СУп.СУn.fЗn..
ею, ",вательно,х n . Уn - а . Ьа . fЗnь СУПСУп. •+ .+В силу теOl)('МЫ3.4 ипоследов'i.tтел~ность {а .т.+v+сю' if'ТtlИЯ И,"мы+ ь . СУп + СУП .носдедоватедыпоэтому+ .. Yn -апоследовательностьшсл" а. Ь.+.i,'Ч,схо 1Итсяи3.1iшая,имеетсвоимДЛЯ доказательства соответствующей теоремы для частного1\ВУХ последовательностей нам пона1\обится слеiующая лемма.Ле,м,Мf{\/;сли nо,\леilователън,о,\тъ Уп} СХ:Оilит,\,я, и !J.,Meет отлu"lн,ый от н,цл,я, пределто, н,а"lш-t.а,я, с н,екоторогон,о,нера, оnределен,а nо,\леilователън,о,\тъет,\,я,"f.{J....}.Уnкотора,я, ,я,вл,я,o?paH1Pf.eHHm'1.Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть Е = I /2. Тш( как Ьо, то> О. Пусть- номер соответствующий этомуbl <Вi,IiЮiНil,'ТСЯ HepaifeHC,!1O Уn Е И !ИИЗ этого неравенства сле1\ует, что при?? N выполняется неравенство'1) в самом ,еле, так как Ь = (Ь1 + 1 1 < 1Ь 1/2 + 1 1·( iЬ -!fn+>и 1ЬIь Iоэтому при- уn 1 < 1Ь 1/2 то 1Ь 1 (ЮВАТЕЪН(>СТИ2NN.1'1'01на !Иная смы 1J)1Ж1'рассматри 1аТ1Н01' 1СДО,1'1СЛ1' ,1";)1аТ1 "Л"ность1,а3, 2,11()д,я,1j~UХС! уп}нул,я,{~}11tTCпри У1'ЛОiiuи11Тru! nР1'дел1'ход,я,ща,Ю1,я, последовательность, nреuел )10торm'1 pa~вен часmНОЛ1" nр)'делов nосл)'доваm)'Л,!;'Н,iiстей {х n }Д о кзтл ь СИU)сммы, элементычто, начиная с некоторого номера{Чn}.'сл)"уст,последовательно~,1} ограниче~сти уn} отличны от нуля и после1\овательностьУnна.
Начиная с этого номера мы и будем рассматривать после1\О~)))tTC )ы{~: }. Пусть а и Ь - нрсдс)ы ii)СЮ' ii)ваt)ю,ностсij{Хn _ ~} бсс~уп}.1))СМ,Хnсамом деле так как Х n = аконечно малая.тоТак:Г n(1УnЬкак'(1Уn1последовательностьвательность {й nность {у1n (й n-( йn-+ йn+ t1n,Уn =ь fЗn.) .ограничена,а последо~бесконечно малая, то последователь~-~ t1n)бесконечно малая. Теорема,а.З.Предельныйчто выяснили, чтопереходвнеравенствах.р:юI1МСТИЧiТКИСiсрацииl\)IbIHai,толькосходяп~ими~ся последовательностями приводят к таким )ке арифметиче~)'Kllчто)fllсрациям нанеравенстваих,р)'которымв'"',р)',YiiKTClitМИ.
В)Т01'уювлетворяют,,111OкаЖ)'\1,элементыiiЛС НСРС1)\,Щlсходящих~ПЮТВСТСl ))УlOЩll)'неравенства для пределов этих последовательностей.Теор!:.маНО1:тихn ,!ЕСJШ эле/vu.'нт'Ы сход.я,;j~еЙс,я, nоследi)ватель~'ГШ\!!J.]-ш,я, С неnоторого но,нера, удовлетвор,я,ют3.13.неравенств!! х n ?х n ~ Ь), то u предел а этой nоследова~теЛЬНО1:ти У110влетвор,я,ет неравеl-и:тву а ? Ь (а ~ Ь).д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть все элементыначинаяхn ?что аHCKOTOpOГi\ номсра,Требуется доказать неравенство а?<Ь. ПОСКОЛЬКУ а,р)'='по крайнейу ,)\влстворяют НiTai1)'HCТi1YПредположим"ностито для полткительногоЬа можно указать номеркой,nN Bi"IllO iНil)'ТСЯ ')'рав\щ'тв)\ х n Ьнеравенство эквивалентно(Ь-а)а<al <х n },-Ta~а.слеДУЮlllИМ двум неравенствам:а. Используя правое из этих неравенств,fOCTf'',1НОчаi\1О"ию ТСОР",",1док tзана:[;1'ч'МО{х п }[егвор,тьмо(J,х 1'О, однакоn,ераccrporO iPЕт :[;1'"ако,eHccrii'yоказаt ,'ся рав, ,,1М Ь',iCtНа,''лиОn~~Следствu(!1.Если элемент!,/,ватглъно' тг!' {х: п}{Упи УП сгод,ящихс,я nоследо-нш'шна,янеnоторого 1-f,O,Мгра, уу}о-влетвор,я! ,т неравенств!! :[;п ~ !fn, то их пр, дел'Ы !fдовлетвор,яют таnо.
АУнеравенству:limn~',хп ~lim !fn.n~',в самом деле, элементы последовательности {Уп :[;п} неотри',ны,!Оп'о\,у нсотрицатс.JlСН и СС нрсдсlim (у1' - х п ) =n~OOНУ!уп -n~ooНУ!х п ' Отсюда следует чтоn~oolimn~xСледствuе2.хп ~ЕСJШ всеlim !fn.n~x'ле.\\!.енты, сход,я f~ейс,я n iСШ'дователъно,:тn {х п} нах:о\l,ятс,я на ,:ег,ненте [а, Ь]тоее пределman:JICe находитс,я на этО/vЕ сегменте.В самом деле, так как а ~ х п ~то а ~ с ~ Ь,Тf",pCMaрас;рольра,.JlИ' iНыxприложениях.Т(!оре.ма3.14.ватглъно,:тnнш'шна,яПустъ {х п } и {zn} -сход,ящи,с,я nоследоlн!е1ОЩ!Jе оiiЩUЛnро.не тогонеnоторого 1-f,O,М ера , эле,нент'Ы "оследоватеЛЫ-f,Oстu{Уп} !fдовлетвор,я'Ют нерав,'нстваАЕ х п ~ УП ~ Zn. Тогда nосле-!,iоватглъно,:тъ упДокатсьСХ:оt}uт,:,ято, Наи,неета,if',СТftТОЧ,"доказалчтоif',сл(,а} является бесконечно малой.
Обозначимч'наиная с котор,',го1',,1110ff,ТСЯ"'т"а.указанные в условии теоремы. Тогда начиная с этого )ке номерабудут выполняться также неравенства х па ~ упОтсющ СЮ';УСТ, что iрИ n ? N* ЭЮ',11'ii'1Ъ1 10" ,сдоа ~ Zn,ыа.,ft'1'"{Уп - а} удовлетворяют неравенствуа ~max{lxn-alIUnа,:,:а,:Ет х паn~Xпри?аЧli ,ас,:'1'0,N,ZnN2al <'"мсра, имсс;Итак последовательность1\оказана.а}.Дш, :бо,Еn~Xi11,ЖНО указа;" но ,"'ра< ,а'пlimаZnта,·:ис'р;:а}-<,NJ.< Е.n ? N, I х n -аЕ.
Пусть N= тах,11',''1'0ОнсраiiСНС;:1ОУп-абесконечно малая. ТеоремаIOCTI;\;ОIЮТОIШUЕВ!(ОНОТШШЫ4'§ 3.ОпреД4леНИ4' монотонныхОnР(lд(lле'/-l,uе. После,.lон(н,юсТ4'Й.'i'.Я,, еслиН,еуK!{JlCablil nон, /ИМ' (11,;' бо !'! ,е. еrл?! дл,я исс;г iш.мерuu n rnра6едЛU6UГП.11,ераве11,ствоХn ~ Хn+Неубываю иие иневозрастаю иие послеювательности объе 1Иняii;тся ;,iiщим Нi.ШЕе;номеровто,;,ваНИСМ,НО11,отО11,11,ые nОi;ле;}ователъ11,О' тЕ.ЭЛ,',J{';;'lЪ1 МО;;;';;;',нной;,ностиiОСШ.',i/,;;аi\'Ш.,НОСТLIхпХn<удовлетворяют неравенству(г nДЛi;;;СС'!>!n),наЗi,1;;аСiСii возрастающеЛ (убывающеЙ). Возрастающие и убывающие последовательности назы;, i1 ii ;тся та;!строгО,НО11,отО11,11,Ы.МЕ..~Лонотонные последовательности ограничены либо сверхулибо сни:у . .иМ;ННО: 11,i'возрастаЮЩЕе ЮСЛСДОВiПСЛЬНОСТИ огра11,иче11,Ы сверт!''J-lъt СН'tJ.зу {"ВОИа неубываЮ'Щ1U' последовательности огра11,ичеllСРВ!"IМИjCMCHT;'.Пс,эт€",му'('1';ОЗРZAС'l"1 j,)-шая послеювательность БУ1\ет ограниченной с 1\ВУХ сторон, если;,на ;,гра;·,граич;;;а сни:уllЧ,';;;',Й С110;';,'убы;; !iiiЩi.Ш,'i,BY"; С;;',ро;,;СДО ;с;тс.
;Ыiiудс;,';'ЛИ ;',на о;раничсна п;срху.Рассмотрим примеры монотонных последовательностей.1.1 1, 1/2,... ,;,';юз-растаю иая. Она ограничена сверху своим первым элементом,;,1Mизуllll"ШСЛОМ:уш.,.Последовательность 1, 1, 2 2 ... ,неубывающая.Она ограничсна сни:у СRОИМ [ср;;ым элсм;нтом, рiшныI\I ",i.,ИНИ2.це, а сверху не ограничена.3. Посш' ;;,ва"'Ш.,НОСТL /2,2/3, ...(n+1), ...
в;,;р;;стающая. Она ограничена с обеих сторон: снизу своим первым;смснТ1,Мп;срху,наШСЛОМица.Признак сходимости монотонной последовательности. .имеет место следуюшая ОС11,ов11,ая теорема.2.3.111,еу6ывающая (11,евозрш тающая; (;оследоватеЛЪ11,остъ {Х n } огрaJ-шче11,а сверху (с11,UЗЦ;, то О11,а схо;iuтi:Я.Согласнопредыдущему пункту последовательностьудов ;створяющая УСЛОRИЮ т,';,рсмы3.15,{Х n },Я;iЛястся ограничснной.оэтому теорему 3.1 мmкно кратко сформулировать так:еU!!J,НО11,отО11,11,ая nОi:ле;}оватеЛЪ11,Оi:тъ Х,,} 0?pa11,1Pie11,a с 06еихсторо11" то О11,а сходится.Дк аограниченат с лсо. Такто мнmкествои нюкнюю грании J;ia;i 110;';сдо ;с;тс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
