Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Р:: :i,',ютри,.':i'.!Щf)fсестfЮ {х}вifЩi':твi'ififЫХ 'чисел х т::'К:ит, 'что nраuее 2) n:::)J(xlozo из :тих"lисел либо вовсе нет элементов nоследователъност'u {х n }, либо та'К:их эле ..':fентов Л'UШЪ nOife"lHOe "lffc.,fO. J\Iножество {х} имеет /:отя бы о;rю Э.iе:'fеiiТ [а! iИме] ЧИGАI) и о! :аiiичеiЮ снизу (любым числом, меньшим т). В силу теоремы 2. у множе1См. ::предел: :щ:' 2 пр:леДf, ЮЙ2 ]\Iыг,.2).о::ориы, ЧТО ЧИiЛО а i,ежит правее ЧИiла Ь, е: i,и аь§;[CB1'llCTBAР11И ПОЛЬЮ,}ства {:г} сущu:тв\ ет то f/на,я Н!! i1'Н,я,я'р(],н?"-1чим через хчто)ТО ч!t1 лр Х И я шя\:т)~)Л\:ДОКiтелью )ти {:г n } ПУi тъlислохз i!;едm. 1i 'при !1iДЛ\:ЖИТСТВУ {х}вее'ч/ислапреде.!к( iйлюб(i! поло:tкит( льное чшлр!РЖ\:-а поэтомухЕлеж'итбесконе'Чно J,лного элемен-Г))С.3.2..
1.н}овит)· .i'i,!10()muх n }.О о! ;еделеЮfЮ то')ни)!· lей грани най!етС5! 'lИСЛО х'из множества {Х}' УдОК lетворяющее неравенствам х : :; х' :::;; х(рис.. По iшре!еlению множества {;Т} nравее х' лежитие бол)'~' 'Че ..\! К, '!f1''Ч!fQ!' 'Чl[!.10 эле.1U·ifmов nоследо~;аmеЛЪifQсmих n }. Стало быт!" на юл\~се!ментеЕ, х'], а тем :'Ю.!ее итоиno~+Е-окрестности точки х содержится бесконечно много элементов.юс!е;!оватс·.!ЬНОСТИ.е. х 1!В1!етС1!!ре;н .!ЬНОЙ ТO'!KO!~!юс!едовательности {х n }. Теорема доказана.З а м е ч а н и е 1. Обратимся еще раз к множеству {Х}'!ше.;!.е! юму !ри. !.оказате !,стве теорем!!16. \Ты .!.оказа!и, !тоточная нижняя грань х этого множества представляет собойпрел,е !ьНУji'то' !куп, !с.ле-{:г n }.довательности!!аже(!,'lTOлоnр!:вос:гос},я'Щеех.До-ни одно 'Ч'ис-хх'х----о----ах.не ,явл,яетс,я nредеЛЬНO"Llто'Чкой nос 1.едовате.
lыюсти х n , т. е.1!еТС1!юс!е;!оват( .!ЬНОСТИ.г !С.!аибi! j,шейх-лю:'юе3.3!ре !.е!ЬноЙ т' !Ч! ой э! ой!ис10.!ре!lOС;О !1!Щ('f' х.Выберем ЕО столь малым, чтобы чие 10 х - Е также пре!)!!с:.;ол,ию ч!!сю(p!fC.. По опреде.!ению то' ,!!й ни)!· !ейграни найдется число х' из множества {Х}' леж:ащее левее х- Е. О опре;!елеЮfюжества {Х}' пра!;ее х', а ста. 10-Е-окрестности точки х лежит не более чем конечное число э.
!е-!то!; юс!е.;!.овате!Ь!!'!СТИ {х n . ЭтоДо!!Д';ывает, что чиехне является предельной точкой.Наиболь 'uа,явательности {;Т n }этоi;=nО'·.·l.н}овит!'nредельна,я то'Чка х последо-называетс,я·!'i,!10()muив еХ н 'и .М.п!,о )!lач.ае '(рс,япр е д е л о .М.!·и ..\;воломхlim х n .n--+хЗамечание1позволяет утверждать.
что у ,!с,якой Оi!i!!1l'Ч! иной последовательности Cf/i !ест6!;ет верхни'Й предел.1)ЦелссооGраз ЮСП оGозтт<!nсттия э,:;й 'Н')!·!ттеЙ гра))н с !)ШОЛО'" х GYf\e)Бьшснена ниже.fOCTf!шо,!Н,!,'ЮIШ,! f'f~Ю,Н(i,ai,(ти'ньшая предельная точка' !той п()(ледоВf тельН( (тиНC'Iпр, лел,! и(i юлнаиНИil·11\'ется осю Ш,! "'ни!'"!'Н,~ёOnо-Д()Кil3ЫR<1СТl:Я впилной ilН<1JЮПТИ]!<1ССУil1деНИЯ1,lИ теоремы16 и замечания 1 клой теореме. Толькона эте)т раз следует paccM'.iТpeTЬ 1,lножество {:Т} веществеНн(,iХиселтаки·.,левее i,аждого из этих чисе.'i лежит [е болеече1l конечное чисюИтак,1:lbI. !.'iемеНТОВfТОЙПОСiедовате'iЬНОСТИ.прихо.
iИ1,l К сле. i)'ютттему утверж:. i.ению.у вСЯ1i:ott огршн'U'Ченнои nоследово.телъност'U существуютверхн'Uи 'U Н'U;JfCН'UИ nредел'Ы.ИЗЕле'lем еще РlfД следствизамечания 1.Следствиеиз расс\'ждеfШЙ ['еоремы1. Есл'U (а. Ь) - 'Uнтервал, вне 1i:omopozo ле;JfC'UтЛ'UШ!, r';OHe 'Uf!i~ 'Ч'Uсло эле.;\лгнтов огран'U'чгннои nоследователъностиа'U хН'U;JfCН'UИ 'U вер:тн'Uи npeaei!.bl ,/тои noci!e--'!оватгл!,ност'U. то 'Uюn~рвал(а, Ь)'U-nоэтОi!I/ х:.'2~ Ь-(;f,. х)со !,Р;JfC'Uтся в 'Uнтгрвалеа.Д о к а з а т е л ь с т в о.
Так как правее точки Ь нахо. iИтсяне более 'leM i,оне'шое исю элементов послеДОЕатею,ности['О ЬпринаД'iеж:ит YKa:~aHHOMY в юка:~ательстве Teope1:lbI 3.16 1:iНожеств\' {:Т} И поэтому Х ~ Ь. Рассуждая ан3.ТЮI 'ШО, убеДИМС1f 'lTOа;f,. Это и означает, что интервал (а, Ь) со. iерж:ит интервал (;f,. х).+2.Для любого nОЛО;JfC'Uтгл!,ного 'ч'Uсла Е интсрво.л (:.'2 - Е..
ХЕ.) coaep;JfC'Um все эле,l,fент'Ы nоследователъност'UХ n }. на'Ч'Uна 11 с He1i:omopozo ном.ера (зав'UсЯ'щего. 1i:оне'Чно, от Е).д о к а з ае лс т в о. Тш, как Х IfРЛlfется ТО'l юi.] нижнеi.]1, iНожества {Х n }, YKa:~aHHOГO при доказательстве теоремы 3.16, то для любого Е. > Оисло,меньшее х ++ Е и принадлеж:ащее {Х}.
НО . !то о:~начает, что направо от x l ,граньюа стало быть.ле;JfCатъЛ'UШЪнаправо от 'Uнтервалаt,оне'Чноети {:Т n }. Анале)l(:.'2 -,х+'ШО ДОi,аЗi,шаеТС1f,может лежать лиследовательности3хnа м е ч а н и е2.(:.'2 -,х+ Е.).MO;JfCem'Ч'Uсло элем.ентов nоследователънос'lTOiалево от интеРЕалаконе'шое число Э.'iемеfiТОЕ по'.ВЫЯСНИ1:l вопрос О том, сколько предельных точек мож:ет И1:lеть ограниченная последовательность {х n }.ОГюзначим через;f,и х соответственно ни l1НИЙ и верхнийпределы этоi.] послеДOfiательности.ные точки после.
ювательности {х nлежат на сегменте [;f,. х].{)чевидно. что рсе[реде'!(сколько 1'ыI их ни у'ыIо))CB;;llCTBAхН\'Р11И ПОЛЬЮ,!),ТРП(<л;'пр; лель) lУЮи\;'т)()рат, льност;,Ж;'пр крайнейр;'шетолы);;рд-';iследо) ,;'тел ,но' тьпр;'От-'lTO юследок' l'ел ,Нl <ть М( Ж;"бе<кон';,чно;' чи< Ш' пр;' "'ЛЬНЫХ точек,2, 1, 2,Рi\ССI\ютр,ннаям;' lЯМ.те, имеет ТОШЖО двевlредыд\'щемlредешяые т' iЧКИ: ни 11ЯИЙ;YНl)~lреде";IОи верхний предел х = 2.iриведем пример после, ювательности, И\;1ею пей "есконечно много пре, l,ельных точек.
Рассмотрим,наllример,';iС"lедовате'ъность, элементыбез повторений про{';'гают все рациональные числа сегмента [О,О'lеВИДIЮ, Ш1iба11l'O'lKaЭТОlОcelIlIeHTaб\дет пределыю111 2).l'O'lKOIlуказанной ПОС"lедовате'lЬНОСТИ.4. О выделении сходящейся подпоследовательности.РеЗУ'lьтаты преды [У пего пункта приводят к сле, lующей ОСНО6НОй те,те\;1е.Теорема 3.17 (теорема Во.лъцано-ВеUеРШПI.рШ1(Д ) .Из любой огран'U'Ченной nоследО6ателъност'U ,HO;)fCHO 6ыдел'Uтъсход,ящуюс,я nо;lnосл~дО6ат~лъност i,.Д О К а з а т е л ь с т в о. Так как последовательность ограничена, то она имеет хотя усыI О, [ну пре, lельную точку Х.
В таКО\;lС"lучае из этой послеДOl,ательности МОЖНО Вl,lдели пЮДlЮС"lе~ювательность, сходящуюся к точке х (см. определение2пределыюIl ТОЧl)3 а м е ч а и е 1. Из любой огро,н'U'Ченной nоследО6ателъно~сти MO;)fCHO 6'ьulел'Uтъ монотонную nодnоследО6ателъностъ. Всам,ш деле,сил\' l'eopeMhТ БО'll,цаНli-Dейерштрасса из любойограниченной после, ювательностиподпоследоватеЛЬНliСТl"замечани',' п.1этого\;1011ЯО выде';ить схо, lЯщуюсяа из этой подпоследовательности, в силуlараграфа, М'iЖНО Вl,;дели пМОШiТОНШ\'l'"по, ;лосле ювательность,1) Ниже мы докажем. что равенствоЯ1lЛЯЮТСЯ необхо,ц'l":r,цОС'J'аТО'Шl,'= х и условие ограниченностиусло lИЯ;'СХО lИМОС 'И после,'ю~вательности.2 Рапиональные числа сегмгнта [0.1] можно рас юложить в I!ОСЛi'доваTelbHocTb без повторений, наПРЮ\lер, так.
Рассмотрим группы рационаlЬных чисел этого сегмента. причем в первую группу отнесем числа О и 1, ВО1IТОР\'Ю - 'шсло 1/2.l])ел,ю - 1Iсе несократимые 'lисла p/q со знамена~те 'е1' 3lюобщеn~Ю группу - 1Iсе несокра' имые рационаlЬН;,lеи:~ сегмента [0,1] сошаменаТi'лемПОilа,цает 11 O,n:HY '])ymlY11 каж,n:ойОЧi'видно, каждое ра"иональное числобу,це, 'ИЩЬ коне'шое КОЛИ'lеСТ1IОrpYilileрапионаЛЬНЫl< ЧИСi'Л. Выпи "гм Тi'перь подр:rд ',шемi'НТЫ Пi'рвой группы, :~aни:\1И Эl€:\lенты второй группы.
затем третьей и т.получим Н1 жнуl,'результате мы инам последовательность.з l Бернгард Больцано - че",ский философ и математикКарл ?ейерщтрасс le11e ший математик (1815-1897),(1781-1848),fOCTffмm Ш,;;Ж; га ~ ;Ik n ~ Ь, т\' В <илу след<твияся неРfшеш TВf!~~'910 И \':~Нf)Чff"Ч'П'сНf)ХОДИ'l'СЯнаЬ].чтовотде, ff,HhТXTaKl1jeпосле, ювательностисл, 'fаяхмож:ноизвыделитьнеограШРfеннойСХОДЯ1fТУЮСЯподпоследоватеЛЫЮСf ". Наffример, ,fiследова1'еш,ность,1/2, 2,1/3, ... , n, 1/(n1)неограниченная, однако ПОДПОСfедовательность 1/2'1/3....
., ... ее элементов с четны:;ш но-+:,!ерами СХО, штся. Но не и:~ каж:, юй неограниченной посш' юваf'еШ,НОСТf.f можно f"ыдеЛl f П, СХОДЯ;;ТУЮСf подпоследователыюсТf,.Например, люГ!ая подпос [едовате [ьность неограниченной последовательности 1 2,, n ... расхо, штся. Поло:;!у теорем,' Бош,цar ю-DейеРШ1'расса,rOBOP!f, нельзя lJaCf [ространить на неограниченные последовательности.Аналогом э1'о11 ['eopeMhТ Д'fЯ нео! раffИчешпослеДOffатель-ностей является следующее пре, fПО ljение.Ле,м,,м,а4.Из'{;;a:JICJou неогранuченноu nоследователъностu,MO:JICHOбееr,;m ;е';,но б;;лъшую п, ,f}n;;Ci,efl, ,Bixmi' ,ъ' и 'ет",.Д О к а :~ а т е л ьт вПусть {Х п } -тельность.
Тогда найдется элех'е;;т Xk,ТВОРХfЮЩИЙ условиюIXk,1 >влетворю"щий условиямIXk21, элементi 2, k 2не; iграниченная Пi iследова-этой ,iOследо;;ател ,;;ости, у.п:ОllлеXk?этой пос,е'ювательности, У'юk1 ,... ,элемент Х;'П этой после>>до;;ател ,;;ОСТИ, удо;; ,ет;iOРЯЮЩИЙ усло ;ия;' IXkn In. k,k,,-l. д.Очевиднн, ПiiДПОiiледнвательность, Xk n • ... явл f"ТСЯ С;есконечно бо,ьшоЙ.П:~ л"ммы4ии; теор! мы Б, 'ль Iaно-Вей"р !!трас, а выт"кает следу,';ще"УТlIе['ждеf ,ие.Ле,м,,м,а 5. Иэ совери,енно nроuэволъноu nоследователъностu ,MO:JICHO,11,б;; СХ fдя.щуюея., Л11,боб;; и,шую Uifдn;;след"вu,тfiЛЪ-ны,}е и'тi,ностъ.3а м е'1ае3.'езу,ьтаТbl,астоя "его пу;;" ,а fiOЗfiO ,яют нескош,-ко рас",ирить понятие предельной точки и верхн"г н и нижнего пр"деловfiOc,e'f,o;;a fеШ,;;ОСf И.Б\дем говорить, чтн +00(-00) явл ,,,тс;] предельной точкой последоlIательносп'есликоне';но бо,ьшуюпо';досле.п:овате,ьность, СОСТOifШУЮ из поло)кительны;хэтой пос,едо;;атеш,;;ости ;,ожно ш,щеiИТЬ бес(отри"ательных) элементов.При fаfЮМ раСШ"fiе ,ИИ ПОНЯf ия "fiе';ел ,,,ой то ,ЕИ У пос,едо;;ател,'ти,кроме конечны;хпр "дельных ТОЧfICмог' Тсуще,'твовать,"0-ещ" две пр едe'ЬНi,;e ТО'1КИ +;'"-00.
В такох' с,у',ае ,eXfMa 5 ПОЗfiOiЯет У' ;;ep)K'faf '"что усовери енно nРО11,эволъноu nоследователъност11, существует J'отя. бх,iод",,'1).1) л fбо коне'шая. либо беСЕо"е'1"ая.,<т ,е ш,<''lисл()м;r; с()()тн()шение,<убе ,им' я+:.\11усовери е'Н'Но nроизвол'Ь'Нои nоследовател'Ь'Ности существу uт вер<! 'Нии и'Н1J,:)Кf!1),ii npf:Jf:J/,bl (тсущеf f1lУЮf н ff:бол <шаяН,fИ, еНЬШ,fЯ,аят()чки;Ради' '! :р!'де,ен: ю'<ти, уст f: Ю1lf:М сушес f1l01lание'у за,:е<,ания1к f!'O[ ем!'3<1 :'шЙ. fiOfла после«,01lате,ьностьн1I! pXHef<()п[ е <:еЛ,fд()стат()<ш() р:н:смотр!'тея11я ес я<т()<,ы!оо г р а нС 'у'1 е,-й.
Если при «fTOM {:f'n} не являетс:: ограниченной свер:<у. Tff иf н!'е МОЖНffвыдf'лить бf,сконечно Сюльш,ПОСЛf'доватеЛЬНffСТЬ. все ЭЛf'менты кот' ,[юйпою)ките,ьны, и поэтому +00 ::в '::ется пре,n:ельной точкой, а, ста 'о быть.и вер:<ним пределом {Х n }.Ра' СМОТjfИм случай. когда неограниченная Пffследовательность} ::в-ляетс:: ограниченной свер:<у. т. е. когда с, ществует вещественное число 1у1такое, 'по 1Iсе элементы Х < удо,! ,ет,юряют УСЮ1l ,ю Х n~последоват!'льно::ть {Х п } не ::вляетс:: ограНИЧ!'ННffЙ сни:~с, IB нее можНf,1Iы<':еш:п, беСffO:,е'I:Ю бо,ьшую пос,еДО:fател ':ЮСП" :fce э<,е,:е:ffOТО[ЮЙОТРИfiательны, а это ошачает.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
