Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Ильин" Э.Г. ПознЯIС частьI> 1,иравен 1//Ь,+1 по Х n!ОСТ!'IJf'шеff В, ,Прi'"va С з",iыбор" числ" питерапий, обест ч ffiаff'ЩИХ ffрибли}ю'нИf' к,ан ,тС ' ОТ ЮСИiпоГf еШНО"iЫ" Е1,n "o:JКeт быт'Ь<(О,Итак, Пi" ть а'то 'Ч;nСЛОfРЧJ;стаi им число а в сш i\Уiощеiii форме:= 22:+' ",/l,где(3,1u)пелое не, "j!ипа, е,',ьное число, ,шс",,,k -iравно либо нулю, ,',ибо единице, а 'ШСЛО М у ювле' воряе, i'СЛОВИЯ:,М<Отметим, что Пf едставление Чi:сла аформе(3,16)е, iинст:,ен:ю,Выберем Х1 /'ле, iУЮЩИМ обра:~о:,,:(3,18)Убеди:"ся,чтодJ"юБО20М,удовлетворяющего условия:,первое приБЛИ/i"ение Х1, вычисляемое по фор:",уле (,;,18), i\aeT относи,ельнуюошибку Е1 при вь!' шс, ,ениипревышающую по абсо, ,ютной величинеva,ff, 05,числаДЛJ ДOiIaзательствак ТОЧНОМi' Riч,а}кени,о ffиБКИЕ1 = :"1 - ' , Гак как, согласно (3,16)"д,шотнос:тельно,i,= 2 k V2 i l1I,1 И форму.fЫ (3,18) получи13Поско,ьку 'шс,юсндаиз'i(3,19),~124М+-v2'Mравно либо нулю, либо единице, а М?то V2'M?,iЬЛ екаее "ераве ,ство17 - v2'Jl~I ,+"2Обозна' шмVpi Млибо ед fffИце,через Х, Поско ,ькуМ<о все, ЮПУСi имые Зffаче fИJ3,20'инаверн нсаравно ,'шбо ну."ю,ffЮiOД еТС,;на сег-[1,:",енте1 ::::;ffспользvявведенноеобозна iениество (з.iff) в с"едующей форме:силу(3,22)го :~на'iения I~X2(3,21)::::; 2,для у2' М, перепише:,маКСfiмальное ЗffачеifИеIEнеравен-не пре/ышает максимально- "У + ~: Iд,ш :~на'iений "У, удок,етворяющих условия:,,ивость "т' ,й фор:"улы непосредственно вытекает из с,ютношениймап,к,и,вестно, что гр 'фИ'iOм этойКОТ' ,рт',,',ч ,ч ,ет32124','очка Х10 яснu,3='lTO2(рис.f( \)за"лючеш1междуИнь ""и слова",иТ,к,!ТЛЯ зна'lенийХ, У, ювлетворяющих ус, ювиямчениCi1)1(1,<"к.f(2 1124узна1'\4и124l241.f(x111ОхИ:~ ш ,сле, ше,о неравенства и неравен/ твавытекает ин, ересующее нас неравен-~2/1ство ДЛЯ СlРис.3а м еа н и е.
Отмети,"с раБi1а 10- о, то ДлCi ,'1,Iчислени}[ слюбоголишьа>'IJ/mераЦО'IJ,акт',оч,юстыопос, ,е выбора Хl по .1 "рму"е(n3.4"то если за, raнная относите"ьная погре ,шость31, поскольку05123,'адрат,юго корнС! из(3.18)потребуется всег"< нг 1О .1) На рис. :3.4 масштаб по оси Оу в 20 ра" больше ",ас ,паба по оси Ох.4*Г л АА4ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. ПРЕДЕЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬЭту главу ыы начнеы с уточненпя важнейшего понятия ыатематичеСКОfО аналнза - fЮНЯТИЯ ф'нкцн . ОffнраЯСf, на пон>пнепределачпсловойпоследовательности,ыы введем новуюоперации предельного перехода, основанн'ю на понятии,ормупре1l,ельного шаченпя (плп предела)'УНЮfИП.
В этой главе вводитсятакже важное математическое пон пне неffреРf,ШНОСТi' функции.Значительное ыесто в главе отводится выяснеНIГ' свойстванепреры ,ностииДРУГfj'"СfЮf ,ствffpOC'f ейшихэлеентар [ых,ую< шй.и Вопрос О ffРfjближенно' [,ьг нслении з fа'fеннй элеентар [ых'ую< fий,ассматривается в Дополненпп8.Понятие функции§ 11.гл.Переменная величина и функция.отметплп, что со ВСЯКШ\I реальныыВ fОП.1мыlmзпческпы процессом свя,аны по меньшей мере две переменные величины, пзыененпе которых взаимооб\словлено.Рассматривая ,еальные,пшчеСf<пе переыенные величины.мы прпходим к выво1l,у,iти велпчпны не всегда ыогут прпчтонимать произвольные шаченпя. Taf< температура тела не может бf,i'"'ен ,jHe -273 0 С, скорость материал ,ной TO'jKH не может быть бол ,jHe 3·1010 см/с. е.
CKOPOCTi' С!,етапустоте),смешенпе у ыатерпальной ТОЧf<П, совершаЮf (ей гармонпческпе=колебанfЮ закот. уАв пределах сегмента [- А,.blaTeblaTIH<eСВОЙСТi'отвлеf<aJ, iТсянаблюдаеf,fХсматриваютsin(wt++ 6)отможет НЗ,fен ПЪС!f лншьf<ою<ретныхfjрf,роде переме {ных,пзпчеСf<ПХf,е.ШЧИffрас-,а <THYf' i пе' еыенную величину ) хараf<терпзу-) '. меСТiЮ О; ме; ить, чi о пон,,, ие нел iЧШiЫ ОТiЮС [тс}!i..iaTe .iаТIГiеских понятий"носку 2 на С.числу iiачальш.ГСfOМ·· Ю т' ,'fЬЮ: чис.
{енн :fМИ;].ЧfO fИЯ:'НИМ;.ТЬ.~\1ю:)ю'! тв,:ffep<'даннаяв! ех значfOНИЙ.сннаяэтойв< Лf1В<Лf1{<от,ЬН' м' ,ЖfOт приним;;ть'1,U'ffEH,'/},назьш:;' 'ТС!f1Ю:!данной, fOСJПI:адана областьер<' снная в< Лf1fOfOи:ыенениянна счит::, 'ТС! за~!альнейшfOМMbI,f<af<2ох'ие.4.'ие.4.2праfШЛО, б'дем обозначать переменные веЛf1 fШf:! строчны:'лаТИНСf<ИМИ букваыи х, у,а Оt\тrасти и:ыенения этих пе~ременных символами {.г}, {у}, {и},...Пусть задана ffере:fенная f:еличина х.'ею~щая областью изыенения Hef<oTopoe множество {х}.Если lИ;JfCдо,му ·mа"lеffШО nept'MeHffollизу9.iVL1-lО;JfCесmеа {х} ставится в соответствие поизвестНО.iVL(!зш::онунер:отороеjfят, "{то на .iVL'J-lо;JfCt;сmuе= у(х)тогoвo~или у = лх).При:тоы переыенная хм е н т о м.заданназываетсяФнкци{<отороеаргуыентаарг-областьа множествояЧисло у,чению~шсло у.задана фун'Кция уу = лх).,JI,aHHObl.'·соответствует,называетсязачениефункциность всех частных значенийчастнзна-ыыточкех.Совокуп,уню fли образует3!Вfюлне Offределенное Мfюжес'! fЮ {у}, наЗf:fВаемоемножествомФ ук ЦВ обозначении у =всехначенийлх) б'ю:аfназf:fВает~ся хщю'Ктеристи'Кой 'УНКЦШI.
дЛЯ обо:наченияарг'ента, функцииее характеРf,СТИКИ 'OfYTупотребляться различные БУf<ВЫ.Приведеы приыеры10. у-00 х<=х2 .< +00.лупрямая:::;; ух'ие . . 3,ую< fлй:<?та Фунюзадана на бесконечной ffРЯ:fОЙМножество всех значений этой фующии< +00(рис.4.-по~1022У4Рункция зад ша на 4СГ СНТЕО-]\IН4>ЖССТВО [{СЕОХ значЕОНИЙ ФУНКЦНf 4n - 1 2,]\IH4!'"""ТВ4! В4!'"" значЕОНИЙМНОЖЕОство н;]тур;шьных ЧlIi сл вида4о+1-1У1 (РИС,2)Эта фую,ция задан;] н;] ыножсств(' н;]тур;шьных30ЧИСЕОлC('fEOHT ОФующияn!(рис,Т4!Й функцн43)lярихлЕОУ _ { О, еслн х - ирра ffюнал ,ное число,,если х-рю fиональное число.<Эта фующия задана на С4еСf,онечной ирямой -00< +00,а множество всех ее значений состоит из двух точек О и5'.у~1У1.+, если{= sgnx =О"> О,еслиО,< О.еслиох(ТершнsgnироисходитCf,OrO слова signurn -----~(-1знаf,.)Этаф' НКЦН"4! задана на f{сей бесконечной ирямой -00"ис.от латнн~<<х+00, а MHO~жество всех ее значений состоит из.4+]трех точек:, и(рис.
4.4).У = [х] где [х] обозначает целую часть Beтт~ec"! [{енногочисла ;Т. Читается: «У равно антье х» (от фраЮf'ЗСКОГО слова60.entier -целый). Эта фующия,адана для всех вещественных: HO>4fecTBoзначений х, асел (рис.2.всех ее значений состонт4.5)..вО способах задаНИ~}f ФУНЮновимся наHef,oTopbIXсиосо 4ах задания!ТО' иу-------г-<I3- - - -2- -1-4 -3 -2 -1ваютт~ий4Г-<I11111111fИИ1--.------.--,--------!--<~11 О1 2 3х4 5х1У-1111ч1 -11I__{ __ _11yl ____ --2закон,связьуста [а {лиыеждуal'ГY~называетсяШJ-lалиmи";е~сnи.М. Следует иодчеРf,НУТЬ,[то функцияожет Offреде~ляться ра шыми форыулюшна разных[ас"! ках 06.
fастисвоеГО'адания.-3HaffpHep,-4ф' НКЦН"4!ириири"ис.4.5ста;; Лежен-Д ifjjf";4леос ;a~ыентоы и фунКf fией, за1l,ает~ся с ИОЫОfff,ью форыул. Ta~кой сиособ задаЮ]"4! функ--n<:.....-1'1I'1111fKfe'УНКЦIШ.астоуце, [ых-"емецк,,4;математ ;кх ~ О,;ТО(1805-1859).з,;[анаа f,;Ш,ТИЧfOСКИМраспр, н ТР,1НСНШ,fМ сп' ",;бом з,; [а fИЯ ф' нкции ;Ш~ЛЯСТCif 'ПUJ/! !'{j/'if, !Л; сnособ"i,;КЛfГ"iаД,;f!таБЛf ,Цf,!!(Л ,ных зна' !снн'УНКЦIШПринопгmf)лиженноцезначения" МfOн'гар!эт()ысо' ,тв( тс"! fiУЮЩfl"""зна" !сннм()ж~вычислитьне с~дерJi;а Шlеся в табл+фуш!цииответе fiУЮ Шlеныыco~ffромеж" то"шаченияма! ;гуыента.хДля использ\ется сСndсоб иH~терnол,ячии"заКЛЮ"fаюн!'"ся в заыене фушщии ыеждуРис.
4.6ее табличными значениямиf!аf!ой~либоюстой фушщией (наприыеlлинейной или [<вa~дратичноЙ.рнером таблн fНOfO задаЮl'!' функции можетслужить расписание движения поез та. Расписание опретеляетместоположение поездаотдел ,ные 'омен'!'" Bpe;feHH. Интерполяция позволяетпрш\тrиженноопределитьыестоположениепоеЗ,Jl,алюбой ffромеж" TO"fНf,!омент Bpe;feHH.В практике физических НЗ;fереннй НCfюш,зуеТCfieтт~e одинспособ задания фуню f.ИИ - графи'f.еС1(;иU, при котором соответствие между аргументом ифнка (снимае;fОfО,§ 2"1'уш!цией задается посредством грана ОСШШЛОf рафе).HaffpHep,Поттятие предельного ЗТТi;четтия функцииОнределеттие пределыюго ЗТТi; iеттия функции. Рас= fсмотрим фуню f.ию Ух), опре,Jl,еленную на некотором MHO~жестве {.г}, и ТОЧf!У а, С!ыть может, и не принадле:жаПУfi' множеСЛiУ {х}, но обладаЮН1"Ю тем СfЮЙСТВОМ. {толюбой E~ОЮ ;естностиОТ СточкиаимеютсяНапример, TO"fKaвала, на [!отороы определенаОnределе'Нuе3Н а"iн и1.ыножестваотличные'ункция.Число Ьм Ф у нточкиможет быть [ранн fНой точкой ннтер1(;на3"ывштс,яЦ и и удnв т О"i1(;ле хн 'Ы ма (илир е д е л О м Ф у ни и при ;Т -+ а), если ;)л,я любоu схо;),я~1(; а послед, 'uаmелъности.Г2.
. . .. ... 3fШ"i)Нlt"й аргу-1) Х N # ,соотf(,ill ,f(·il2) .... ,!, ...,мента х, элементы х n 1(;оторои отли~l'J-lЫ отв)тствующа,я nоследоuатеЛ'ьносm!,3Ha~leHUU фУН1(;'Ции сходитс,я1(;Ь.1) Это требование объясняется, в ";астностк тем. ";то функ пияб, ,1'1',· "е определеiiа Rоч;;е,·····тьу)тметиы.-!mоч'Х:сто i'b'X:O Or!'J-lО}ТС,слr ДОК! rrльнCrСТ},м(}те}ел;(;еl"(rссмrrтрим нrскrrльюr иример( в.1о.Функция! (х)= с иыеет иредельное шачение в каждойIl, jr2, ... , I n , ...10ч}(е бес}(онеЧНО(1 }}Р(IМОЙ. В само.; леле, еСIесть .moбая сходя 1 lаясяк а иоследовательность значенийаргу;(ента. то соотвеlствyrоща(1 }1Оследовательност}, значенийIИИ имеет вид с, С, ... ,с,...разом, иредельное значениеи иоэтоыу сходится К с. Таким обфункциив(;,БО(11очке;Т=аравно с.2;.Предельное ЗI }а' }еl (]е фyr }кш}= ;с в любой то' }ке абесконечной иряыой равно а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
