Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Н,l\Шбудет обосновано то поведеf не ffростеi>jшн эле\(еf (TapНf>'ций,котороею,глядновырисовыв;,етс>(Ира;(l\ютрени>(ихгра<jШi!ОВ.В Д;шолнснии к гл.8 ПРИВОД>(ТСЯалгоритмы вы (ис(еНИ>(iЮ,чениi>j простейших эле\(ентарньг;1 РационаЛК,НR,ке стеПZCКjИ ПОЛОЖ.И.теЛК,НR,ЛХ чисел. Возведе! не любого веществеш юго числа J; G челую nОiiOжшnеiiЫ-lУЮпопре. (еляетс>(ю,кпкратноеумнuж:ениечис.ш,с;,мого на себ>(. Следовательно, при целом n мы може> считатьОfipеделешюi>j стеffенн;'ю фyr(кцню У = х n для все:! вещесП'енных значений. Некоторые свойств;, ЭТОЙ Функщш будут Ю,l\Шиспользованы ДЛЯ определени>( рациональных степеней поло,ж:ительных(исел.следующ('ю лемм>Ле,м,,м,а2.nоложшnе (ЪН0Мо к ат ефУif.'Х:ЦiJ;· Уn'ЛориО;/ело,:с;Gозрасmаеm и 1-lеnf;еfф!(j1-lа.ь с т в о.10кюкем возрасгшие этой функции.J;J::...
Так как J;2 - J;1 =- J;, х х (J;~-! ++x~-2... + -1),1+ -2X1+ ... г~-1>O,т;;x2>xn,HeffpepbIBHocTf; 'той('становлена ра! (ее (см.пример 1 п. 13).п;стf;<=СЛi·:дсmвu.стеffенн;'юУJ;n (а се(менте [О, N], где N - лт; iюе положительное (исло. (;,к ю,к эг,Функци>( непрерывна и возрастает на указанно> сегменте. тоона>feeTВ сил;' следCfВНЯ из ле>'1'той главы на се(>feH-те [О, N n ] BOip,;TaH тттую и непрерывнут;! обр;,тнут;! Функщпо,которут;! мы оiЮiЮ1' fим [ере У /n.Поскольк;' JY можно выбрать как (годно большим, то и JY nг,кже будет СЮiЛЬ yrO,fRO большим.
Сле,юв;,тсльно, Фунющ>(;Т = у1/П определена ДЛЯ всех неотрицательных зна'fений у. Меш;, fение ;,ргумента у н;,.аш;, [ение <j>;'нкции J; на У, "ыI получи> степенн;'ю <j>;'нкцию У = J;ня>( дл>( ЭТОЙ фуню щиопреде(енную Двсех неОТРЮf,Т('ЛЬНЫХiЮ, !i'НИЙОпределим а /n ю,к=J;1/nв ТОЧi(е а.fИСЛОр;шное ш;,' fенит;! фуню щи У =ы >Юi(f.ем Teffepf, Оffределить люб;'Ю рацио-ПГО iнальн!. юjjТСЛ (НОГ(! Чjjсла а, И i]еш Ю, i'СЛ]! 'f' -С] епеньГД!'иnце,]Ы i 'jjТСЛЫ]Ыi' числатоо/Д(iГОВГiРИМСi], кр! il\fi' того, что(1=!оуНетрудно убеДИТЬСi! в спр ше iЛивости !ледyt! iЩИХ свойств р(]!иональной степени пололштельныхьтrа'=(]исел:Ь';Та'снс; ;а;;' справедл ;;;нсть пер""при пеломиn;;нлmки; сды·',СВОЙСiва*).р равенствоЗ;i··етим,ко енром пн 'тпонимаются любые целые положительные чю ла, заведомо справедливо,ибо к;;к лева',;, так и Щ ,i;;,i;Я';ас iи этогоравн;.1про;;з 'iдению'шсла a 1 / " сам, 1" 1 нс; себя m .
рПолагая тsnl,Ю;iажемлюбых Пiiло)ки;сльн;.lili;Ц нн;а ;;.ных=а "1 'П2•(i слi ;фУНiiЦИИ УвpaBeНi твоП2б;.I Clб .IЛО ОТД;;'И S.0";:l,п" сле,ювало бы, что и c~2( =1) :~!"ло)ким i lа1• С2;;з воз! ,i;стания сте НННсс"'2,#ситуациис;2а последнее соотношение,в силу уже доказанной справедливости равенства= а 711 'р/п при пелом р, о,;начало бы, что (а 711с;=1' 711 2/ п 1. Полученное соотношениещ,нт;;'нречи;,ЮК;;З;;I'дЛЯ це;т',СI;;венств', (а=1/ n 1 )=2 = а=lство1.'ml, nl= .'2 И перв,,' равен-;;нлmКИiiДЫ"Тем самым.Cl,Ю;iазано для любых положительных рапиональных т и S.Г ;сщ",ст!,,;нение;,ляе; т!,', д;; В си;на неП'iЛО)КИ;iд;.н;.;е тнашей д'11, 1;" 'рен;юсти-;;ВТО"Р'"*)( -а1 ) rне ;;редста-оприт> О.таКАсе дос i';ТОЧНО ДОК;;.з ;т;.
д;"н о г о рационального т. Полагая;то т равнымП О Лгдеи)[(n -Т е лцелые по-ложительные числа,шметим, что нам достаточно доказать paBeНi тво a 1 / n .. IJ 1 / n = (а .• ибо перемножением 1П таких равенств будет ,Ю;iа,шнообщее соотношение. Ь"(с; . Ь) r .Для д"казат, льств;;;,;;венств;; a 1= (а· b)l/n з;;метим, ЧТ'i в силусв, IЙСТВ взаимНi 1 об! ,;;тных фУНi;ций у =и= уп М' IЖНi 1 ',тверждать,)п = Ь,)' = а, ((а. IJ)l/n)па·по;·'1 _= a 1/ nс;'#.c';~.b1 / n • С2= (а· Ь)/п И предполагая.
что Сlа . Ь = af;.# С2,мы получили бы, чтоПРО"iИВЩ"'ШТДокажем теперь после,;дее 1'ВОЙСТВО (*), учитывая, что первые два уже,ю;; ;з;;.ны.= ml/nl,= Ш2/n2, тогд;; т =mlS = т2 .. nl/(n" . nl), и мы прихо, (им сле,;.ую,,;ему равенству:Последнее равенство справедливо, та;; ка;;. nl -пелые чю ла.,·····тьТаким, ,6ра:юм.,>а,аЧ'1 О 11рИti r>во перавен(;тво=а m / n ~ 1.> 1(J,)))'1-+т'2а1'+8.>[)а1 jИCiналы Ю\' тОC11IJaP\'ши-и аТ =1. В (;а1\Ю1\Т с'\еле, пусть т =южая 1ючлеНfЮ n указаННf,1нераве11СТВ,полу 1ИМ aТn ~iеднее неравештво противоречит неравенств\' а"'1, 1юл\'чеННО\1У 1ючлеННf,1 11ере\шо 'i<ение\' 'ln неравенств вида а1.
0'1 \1еТИ\1, наК011ец, что еслн рацнональная>дробьr=>т/n имеет не'1етный знамеЮ1тельраЦ1,онаЛ1,Н01jныесте11е1\южно[)аС11ростра1n,то определениеи1а Q'j шщатеЛ1,1исла, полагая(-а)Т = а Т , ее,т(-а)!= -({,четное,771 -еслн 'ln -неЧе'1 1юе.рассркдений преды 1ущего п\'нкта вытекает, что если а-поло +:.Iпельноеция у = аХ 011ределена для все;; рацнональНf,!lегко убе,1ИТЬС\i в ТОМ.ленна\iвона!"ножествеJ;1ТО Фуню 1ИЯ У1ИСЛО, тоJ;.аХ, а>всех рапиональных чисел,1,опредеонотоннона этом мно.ж:ествс.саМО,1 деле, 11\'СТ1,J;иJ;., -.Ш!.
У ювлетворяюп~ие УСЛОВИ1i!:l2люб1,1е ДЕа рационаш,! ых чнс-:11.j ог).>>>Та]; как J;2 - ха1. то а'2 - ' 11, т. е. пра:iая частьпосле,1него равенства по,южитеЛЬНf!, и поэтому а Х2 ':> а Х1 • Во:р "'танне фyr ;кцнаХ на \ШО\i<еС1 Ре рацнональНf,! чнсел доказано.ереходим к определеНИ1i> функ ;ии аХиа ,\t.'J-lОJICес n,ве всехаещесrnае'J-l'J-lЫJ;ФиксируемTpIP'iuce >.'nРО'!! iвОЛ!,'J-lОiBell~e!m,Beif>"" 'Чu! ЛО Х И Р Н'\'l\Ювсевозмшкные рапиональные числа а и (1, удовлетворяющие НСРfШСНСТВf!l\fа<х<(3.{ УпределнаХ jjрИ а>1(4.2);;а;; вещеС1 венное число у\'ДО:iле-творяющее нер шенств!м(4.3\НИ\i<е \1Ы до;;а\i<е\1, что та];ое число у сушесrnауетп.
u nрuто.ллт,ОЛ!,1>:О oJi/.O. l\IbI докалсем такж:е, 1ТО опредеiенная ю!ми функ-ция у = аХ обладает след\'ютт" ,растает 'I-Щ всей беС1>:О'J-lе'Ч'J-lОЙт,о'Чк;;э ПО'!! ·nрямm!.С:iойства\ш: 1) !/.О3'J-lеnрерыi!а в любой21ПГО!Фиксщ!« ем П!'нИЗВО ",'юе";'ЦiiНiiil ",ное чис ,н ,3, у<юв iiтвщ,<'i;щеевому неравенству (4 2), и рассмотрим в; <ево;можные рапиональные числа СУ <«д'"ле;;ii'ряющие(4<2)<Так как СУ<и "ока;ател',ная функци<,;, о"ределе;на<,; нано, ;ес;;,е рапиональных чисел, во<;растает, то а а < а'й < Таким обра юм, множе; тво {а а }, ';ранич!но сверху'шсло а 8 яв '<,iiтся 'iДН'i;; ;'З верхни, ; ран!;;;<'H'iжества, Стало быть,;то множество имеет точную верхнюю грань'iOторуюс<'ы, ,,), ,ЗiiilЧИМу.
Ос i;';тся Дi;казаi ", ЧiО у «<юв'; iВЩ'«'<н!равер<;<твам (4.3). 1li определения точной верхней грани вытекает справедливостьлево'<о 'iipaBeHcTBa /Р.3),СЩ<;'i';Д<'ИВОСi'(4.3) выте- о<ща ИЗ верхних граней, а у - точная верхняя гранькает из того <чтос<'н" <е,ест с < {а"'}.20. Установим теперь< что су",ествуетве «,есrnве mi,eчисло у, удовл,:rnвор.яющее н,ерав::н,сrnвам Р.3).I]остаточно до,са<:ать, что для любого ЕО най< 'УТСЯ такие рациональ->ны! чис"<,3.
«Дн"ле"'нряющие<(4.2), для Ю<iТщ,i,а('-Е. В самом <,еле< тос,а любые два числа Yl и У2 удовлетворяю"шенеравенствам, обязаны совпадать, ибо ра<:ность меж<'у ними по мо<,улю меньшен;,леI';',ВЗЯТ,.!Г, i по ii iжите«'ьного числа>ФЮiсируем произвольное ЕТВЩiЯii;шее щ<;,внму неI<;'В;НСТВ«О И некоторое рациональное(4.2). Тогд'.
та,; е;;,к а а(а 8 -аН!равенство а <-а'"2гл.<Евыте,с,;т,чт,рациональные числа СУ ираЗН'iСТ, (3Д;;Юlзан,i{'J,'.(а 8 -а;;,нов,,д<'Янат«,,;,льНi.!Г, iМ'iЖНi iу ювлетворяющие неравенствам1/п.СУ бiде'уювле-по'«чим1).-ес 'и с'ыI С'С<оЕЧТО а '-о:выбора таких СУ и<1)_<а1/оБI';'З'i"-1<вы; 'рать(4.2'.та,; что, д;;ста"'ЧН'i д;;каза", су-~.а 80Убе<,имся в возможно; ти выбора такого натурального п. Пу; ть= 1 + 6".Так ка,; a 1 /"то"'."ны'>11/" _ 1 =беремn> 1, то 6" положительно. Используя формулу бинома Iьюа = (а /,,)"(1 6,)"+ п6,+ 'iiiЛО)КИ';ЛЬ н"еп6,.
Отсюд;' а<а-1nНеравенствоп6 " и< 6 <а-1(4.4) будет справедливо, если мы вы-у ювлетворяющим требованиюа-1<Еа('О или;0 n>1 )а('ОЕ,-Lоказательство однозначной опре<,еленно; ти числа у, уювлетворяю "егоР.3), З;ii,;РШ; но.Заметим, что если :1' - рациональное число и<:начение в точ се :"ПО ;а:ательной фун iЦИИ, первоначально определенной лишь на множестве122тьра"НОНirлыrr,чисе'';"СЛОМ;t}, ю,тщн"тоаи',rr,ляет'"удов ,гтвщ,',rгттем'д"нсrr,енн",мr,гщесrr,г,rн",мHIpaBe,rcTBaM (4,;;),2Iоr,ажем теперь, что построенная нами фуш'ция а>(при а1вО"rраrmаеm нл всеП ',еС"iоне'ч/но' "РЯМОUПvсть;1' и :1'"любые вещественные числа, удовлетворяющие неравенству'< Х2ОЧ,п.1S 2 гл.2).ра"НОНirль н "е чис",<нера',енс' ',а'и (3, удо ,"твщ",'у",еР)Кi,ение, доказанное:1'"конпеИз опре,i,еления показательной функции и из возрастания ее",rц'" ,на' ',ных чисе"" 'тгкают нгравенства а Х1 ~ а"аР ~< аХ".<Возрастание функциидоказано.'ся Д"казат' непрерывно, mъ ''''СТI'''ГНН'';; нами ф" нк"н" аХ в:1' бесконечной прямой.Пусть {:1'п} - любая СХО,'ящаяся:1' после,ювательность вещественных"'O'ine'шсгл.
Дос "rточ,ю ДОКirЗiiТ'"что при n;?>Одля любого с"РО"Зi';;ЛЬН;;' судовлетворяющие неравенствамн,riДi тся Н' ,"'ер- аХ Iсправедливо неравеш [тво< с.О1Vтаю,',НЫi'шслаи ,3."праведливо нера-(4.2'~ (в,;зможность BbIi" 'ра таr,ихвенств" а('а"и ,3 д"казаНii в 20). " ,rKKar, после,ювательность {х п } сходитсяХ И СУ < :1' <то наЙ,i,ется но1V таю,i, что1V с"раведЛi"'" неравенства<< ,3. Изнеравенств СУ<:1'<<<ХПте ",ной ф',нкци;, вытек [гт, что а"И и; свойства монотонности по шш-< а Хп < а('Так rШк ра'шость меж, 'У числами;аключены меж,i,УиI<и а, тоа"< аХ < а'"р;'1V1.меньше с и оба числас (приn ;?и. ,П,оказательствонепрерывности завершено.а3еа н и еЕсли О<а<1.то а= 1jb.где Ь>Поэтому функцию уа ири Оаможно оиредешть KrKфу"кцню у = Ь-' Ь> 1.е становим некоторые свойства иоказательной функции уаХ, а1.
ilceз"ачею,я llоказател;,нойствительно.а--;ЮЛО+i"пеШ,r Ы.ироизвольная ТОЧЮrрацнональная ТОЧ;iа, такая, что :1;'делению, а'2.иустьliш>аХи а'О,X-i-OOаХто аХ>аХ+Х.>В ,амом де ,е. так как а1. то а =1 па. Следо;,ател ,но,1>чшловой ир ,мой.:1;. Так1 + а. гдеiiln а" =;ia;i,ио оире->=аО и а 71""'100.сил;'71--+00МОЮ 'тонно, ти Фуню ,.ииliш а- n=ИОЭiОМ;'liшаХ""'100. 'Гак как а- n1 !а n ,тоX-i+ООliша''--+-(Ю3.
Из свойств 1а та;, ,,<е из монmонности,e"f!epbIBHOcTi'функциивытеЮrет, в !илу леммы 1. что ЗНU"lе!"у этойфун'Х:ции заnОii,нлюrn асю положительную nО!!Уnf!ЛJ>iУЮ у>4.ДЛЯ Ш, riыIx веп~еств, 'нных чиселотношения(а·и Х2 !'ираведшвы соПГО/РТ ,i/'чалншеi нй для рац юнаЛi/НЫ'тих соотно-iiрказателей,вед шв(i{'ти этих ('ООТН!!! '/'НИЙ Дв спра-ifобых ш Кiзате"iей,но раСС/Ю'i peTi/ iiРСШ' iРfiаТСЛi/НОСii'iii{'TaTO'} раЦiюнаЛi,Нi,i}iИССЛ, {'ХОДiiщие( я Сi.ютвстственно к Х1 И [12 ТогП срсходс! К ПР/' i/'ЛУ приXJ(1, Х n' (1,Х'n','",X~'НiшримерИ используясвойство непрерывности ПОЮiЗатеiЬНОЙ функции, мы полу iима' 1 а"= a X1 +Х2, АнаЛОiНЧi 10 \южно убеДИ'i i,СЯ в с rpаведлнвоСПI иiрУГИХ Иперечисленных выше (оотношениЙ.}<а<l)хРис.Рис.4.94.103 ае ч аи еMi,i устаi1ОВНЛН cBoii]c'i Ра 1-4 iюказательной функции уаХ, а так/ке непрерывность и монотонноевозрастание 'той функции на бесконечной ПРiiМОЙ ДЛii СЛ\'iаiiа1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
