Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Отметим, ЧТО при ОафУНКЦИii УаХ, в {илуliiмечания 1, непреРЫВН!i и монотонно у(;ывает на бесконе'tНОЙПРiiМОЙ. Кроме того, ДЛii ЭТОЙ функции сохраЮiЮТСЯ свойства 1,и 4,{войств!, 2 МiiДИфю iируеТСii {Ш' iУТПТШМ оБРiЗОМ:><limx--'t-ooаХ =<+00,limаХ = О.x--'t+ooН;! рисунках 4.9 и 4.
О изо(;рюкены ГР;iфики ПОКiзательнойфункции у = аХ для сryчаев аи Оа< <а м е;:н иСВОЙСТВО аХХ2a X1 a X2 может быть поЛОii<ено в OCHOi"" ФУТiКЦiюнаЛilНОiО Оllределения iюказательнойфункщш у = аХ. l\Iожно 1ОЮiЗать, ЧТО существует, и притомединственная,определеН!iая (а Bcei;] беСi;онечной!,ПРiiМОЙ и удовлетворяющаii Сiедующим трем треiюваниям:1) для любых ЕеществеitНых J;l и J;2 соотношению !(J;l +J;2) =Л Х 1)Л Х 2);2) (оотношениям (О) = 1, () = а, где а > О;3) непреРЫВiiая Прi' J; = О.Такой функцией и являеТСi построенная выше фУНКЦИii аХ.3.Hыi1Логарифмическая >lуункция.
Рассмотрю'Ce2,'it.e1-lmiИЯ У =[с,dn/ЮU3GОЛ'Ь-бесконе'tНОЙ ПРiiМОЙ. На этом сегменте функаХ {трого l\ЮНОТОНН!i и непрерывна. ПОЭТОМУ, в {илу'·····ТьАlеня5Т ДЛЯ::JТ()Йаргу\гетттё.ТТё.Х,CJ.абазначение функпии х на у, мы палучим функциюу=х.Отметим следующие cBai)CTBa лагарифмическай ФункшIИ,Heff' ,средстне; ю г;ьпекаfОЩffе из ее (шредеfеf1о .Iагарифмическая функция апреде.fена для всех па.Южительных :шачениi) :r:. Эта следует из тага, что. ее аргументредстаг;ляет са бай зна;тенияв силутоcBai)CTB 1[;каиf·пелы3;;н.;азате.
f;ЮiЙ функцию катарые,'тай функции (см. преДЫДУf f.иЙ пункт)изапо[т;тнсюпоюжите.>f;HYf[\юпрямую хО.2. Лагарифмическая функция непрерывна и в;;з растает нааткрытай ПОfупрямай хBcei)fричем> О при а > 1 (убывает при а < 1fрИ а1im 1ag a х =1---+0+0-сх:;,Еm 1ag a х = +сх:;.,];---++00Справедшвасть ;тага свайства вытекает из сва)ств пака:~ате. ъю ;i', фонкпии И из замечания 1 п. 2 § 4.30.
Дш любых поюжительныхи Х2Эта сва)ства также вытекает из сва)ств пака:~ате.fbHai)функпии.уоРис.3Рис.4.11а м е чае.ff;ПИЮ= loi2:e4.12Следует ;;саба аТ\i8'fИТf; лагариф;х, где е=im(1 + ~) nфункпии испальзавать аба:шачение у =М боде\ для эн;й111 Х.Падчеркнем, что.ПГО iлi il'аРffфМИ [е! кш функцияматики ее(! роiКIНИi!!рила +:ениях.м пее ПрffHa:~ЫВ;lTЬаграфики Лiil'аРffфМИ [е-PffC+=iкай функции уГИiдля случаевlaKi. :r;'·'(;i.:i(ие>(J,и О< <(J,iiRRИИ,ffшрiiiiЛиче(кими функ~циями называются следующие (! (;нкuии 1):1о.Гипербошческиij синусshx =20.2Гипербi iшческиij ю iсин\ сCiX30.2Гипербо шческиij тангенсshxех-е-хс11 х4 о.Гиперба.
шческиij катангенсCtll Х = С!! Х = . . . . . . . . . . . . +.. . . . . . . . . .-. . . . . . .shxе-еИз апределения гипербалических функций Сfедует, что. гипеf ,бошческиij син\ с, гиперiii iЛический касинус и гипербошче~ский тангенс :шданы на всей чисювай прямаj. Гипербалическийката;l'effci.шределеfтачки х = О.ИifербошчесCTf·fнс (ду на ЧИСЛi,.iiйi.ffeзадаfffi.UИifiЬП екаетfР>fМiiЙ, за ИСfi.лючеff Heffpef ,ьшныизн ка +:дайнеffреРЫiНiiСТИTa'fKeаб. [а-,iili.азатеЛf,НiiЙФункuии и теаремы 4.2).ИifербошчеСfi.ffе функции аб.fадаЮf рядам снаЙСТfiaHa~лагичных свайствам триганаметрических фуНКUИij.
Например.дляfерiiiiЛИ'fески:.: ,1,,·\iеЮ'f \iесл, Tei.ipe,,·сюже~ния,аналагичные теаремам сюжения ДШ триганаметрическихИмеННii:+ у)Cll(X +Хsll(.xНа рисунках4.13-4.16=CiXCll У++ХХSll у.и:~абражены графики гипербалических1) Наименование «п,перболические Функц ,И» объясняется тем. что гео\"('три j('С,iИ функции У = shx и= chx \"О'У! быть опр;'дс i\'i'bI из расс\'iOтрения ра iiюБО'iiЮЙ и"ерболы ю те\ }ке 'раiiила\'"ю ,;оторым Фун ;ции= sln х и= c"s х м"г\т бьГ! ьределены из раСС\'iOтреiiИ',i едини;; "'йокружност12(;,·····тьухy=sh'пе.х'пе.4.134.14-------+~----.~---------x-1y=th____оy=cth х\хРис.х-~i-------'ш:.4.164.155.
Степенная функция с любым вещественным покаЗ~1телем 0:. Песть а - ПРffИЗВff!ЬЮiе веществеНЮiе ЧИСifделим общую crnetu'J-l!!УЮ фую.Ц·i!.'Ю У = ха, ХО, с.шщующим>ffiiразом:).>Из определения степенно!) функции следует, что при аОiредстаГfЛЯе'i собой Rозрастан)щею, а iрИ аОфункuию.РаССМfнrшмiределыюе зна'iение стеiiеНШiЙ функции Прifх --+ 0+ О. Докажем. чтоia,lit"-o ха ~ {ю.пеСТf,+.,0~:: >~.{xn}aoiiaff СХ(iДяща fCff к ну.аосправа пос.тrедовательность значений аргумента х.
Так какilln Ю[!;а х nто из Cif' .ЙСТR ffн<азате. f,ЮiЙ функции ifыI~n--7Х27поорипоо!'~сте(Тf;еню;"fИ1'С1; Ь'то [;ыр ;жениеДо [<С1ж;,;;;л,;;;;ителы~~~,те;;ерь;ределенныри;ри:<::QиО,тъЮЙ функции н Л1;;бой точ <еЮЙ полупря;юй (хО) Дл;; Э';;;;'О д;,~;'l';;·;QЧНО •УС;;;;НОНИ'1Ъ.,~r;;л;;что 9'1';;· функциянеп;;е;ъшн;;· н к;.}f'.;ОЙ•~~~точке х указанно!)~~.l~.l~~~~~.-.-.."по. [упрямой слева и справа 'см. замечаниен . 1 § 3,'а;;ример. не' ;'еРЬШЮiСТЬ э', ,;й;;"НЮ' нточке х с[ева непрерывность справа доказывается ана.югично).ри это; ради;реде.[е; юст[·; iiуде; С'fИтюъОбрати;;сяк формуле у = ха =щаяся сленаaa;oga'", а> 1.Пусть {х n }- любая сходя~х пос.тrедонатеЛ;,ЮiСТЬ значений ар;"';;е;па сте;;ен<но!) функцию так что :r:"х.
Так как логарифмическая функ~ция [епрер;,;н;[а,пос[едонате ;,Н,'С[Ъ {u,п}. ;де u,п log"x n •уа>-l(,,--11'и,.. Р.17'ие.4.8уха>]У -ха, a=~,pk+1ау=;сРр+l, a=2k+1'а>Рис.4.19Рис.4.20тьiXf.iДИТСЯцияне; iiЩiЫiНi.iСТИiXf.iДИТСЯ:r;(у.i (м fеле,BOfpaCT,\eT,уа\аиРИifемюс fОЛЫf f 'тоfJИi iТЛИЧfCffaffНС!ffЧi(J,спр,Ш i ДЛИВОHepaBeНi тво"тфункiИЛУ1/,71{ff~Jii\ff,\,fателыюйПifi леДfИf f,fМИ СЛОRf\МИ,ii fслеДf fffателы 'о ! Tf,предстаВЛЯЮf f,ая собой последовательностьf,:~н,\чениi) (т'пенноi) ФунКf fИИ, соответствующую ПОС!8доватеъностиХ;сходится к аа 'fg a Х т. е.
к ха. Непрерывность степенноi) функциин точке хО слена дi \ffазана. АналогичНi f доказьшаетCf! !епрерывность этой функции В точке хО справа. Но непрерывностьfj!f fif,ПИffто'тке х сленаспрана iiЗf!ачает, 'тто функция !епрерьшна н этой точке. ОТ\fетим,еСJIИ!},cTeffeHHaf!функпия у = ха непрерывна также и в точке х = О.3 а е а и е. ОТ\fетим, 'тто если показатель степеf юйфункпии представляет соБОi) рациональное чисю т/n, где n не'fеТfюе пеюе 'шсю, то степеf !ТЮ фУНКЦИfii У = ха10>опреде,шть на всей числовоi) оси, полагая для хесли а = т/n иу = -lхl Qm -если а = т/n и m -<Очетное,нечетное.На ;Jисунках 4.17-4.20 ИЗfi(';Jажены графики степеННifЙ функции у = ха для различных :шачениi) а.6.',R<;(;;;яе;!ЦИИ, В курсе эле\fеf!таРНifЙматематики с помощью нагшдных геометрических соображений были введены тригонометрические фунКf ши У = 8il1 Х И ух1 .=Перечислим некоторые важные для да,ънейшеготр! ff'ОНif\f8'!РИ'fеСКИff функций:cBoi)cTBa10. При любых вещественных х', х" и х справедливы с !едующиеСfЮТfЮf[е;= 8il1 х' 1'08 х" + 1'08 х' 8il1 х".8il1( х'х")С08(Х'х") =1'08 х' С08 х" - 8il1 х' 8il1 х" .8i112 Х+ 1'082 Х = 1.1) Ос ,!ЛЫfЫС триг '!юмс!ричсскис фу! fiЦИИ У =И У'ose'tg Хх о' !рел;еЛЯЮТПiSlllXCOSXtgx у = ctgx, У =SJCX'fерез у iа:зан 'ые:cosx,tg Х = -.--,,(4.5)"!nxПод fJТКПСf'f, ЧТО ОПРJ'ДСЛJ'ПИ)'1sec Х'ose'COSfКЦИЙsinиcos ХХ1SШс п 'f'iОЩЫ" П!fЛЯД-пых ГС 'f'i),ТРИ'fJ'СЮIХ сообра}ю !fИЙЯf! fш'тся Лf'ГИЧССКИ i',СЗ\ПРi'Ч 'Ы! , ибо!ри ЭТОf fЮfМО}КПОСТf, О!fрел;елить эти ФУШiЦИИ /J;ЛЯ Б'ех ffещес! ffепныхЗПf!чепийрг"мепта Х с" 'ДIПС',fi"'Зf'\ОЖПОСТИ "СТaIЮI3'fепия I3ЗfШf'fШ' од-ношачного 'оответ,тв JЯ меЖI1У в'еми точками е, fИНИЧНОЙ ОКРУУ!УНОСТ\)ffССf'Ш "С ff)'СТffСШfЫМИ чис f,!ми ИЗ CCrf'if"[0.2т.].ПГО i0=1Б111 ~.l::сли1.-саБ=7r(4.6)Ота< sinx < х.о14.7)~,'казанные свайства устанавливаются пасредствам геаметрически:< рассуждений.
}\Лы неизкурсаЭ,fементарю.iЙдаRаТfi здесь f,fЗfiеСТfматематикиметрические выв ады свайств1ои20.fifereii-ОстаЮifiИМС>f ли
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
