Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 28
Текст из файла (страница 28)
ДlЯ Функциразрьша l~гo рода.f(x) =рис.(CNI.sgпхО(х.f(a - О)).sgnx точка х = U ЯВ.lЯется точкой4.4). Дейс! вительно. так как1прих!риХ!риХ- {-1> О,= О.< О.тоliшХ-+О+Оsgп хЕlll,r-+O- i !1,-1.12. Функц]Я .f(x) = 1 + 2 1 / т ' о! !еделенная всюду, кроме точкисамоО. имеет в то'н<еделе, ес ш {х n } -- О !азрьш 1-го рода (рис. 4.32). Всходящаяся к нулю ПОCJlе.ювател! ,ность,элеNlенты !<оторой положитель~у!Ы, то11большая"2- - - - - - - - -Рис.х4.32!, И поэтом"к Н\Л!"последовательность,} -Еlll-+0+0.f (х )бесконе'fНОюследовател! ,ность{1+членами.си} - такжебесконечно большая после.юва~тельност!,.
Но то!да юследова~телы юсть {но малато {!Тnююж:итеЛ!,нымиПОЭТОNIУо{J...} -О. Если же1} бесконе'f+ 21/'''"{.Уn} - сходяща !С>!элементы которой отрицатель !ы,бесконечно бо.! ,шая последовательност! с отри !a~те.! ,ными Ч.!ена ,!И, и Ю ,тому lilll 2 1 / хnСледовательно,n-+осlilll .f ( х),т-+О3.=1.Раз рыв2г ор о д а.! Q'Ч//И а 1-lазывается тО"l'/иiiра!рыва 2~гo рода, если в это'Й 17И"l'Ке фУ1-l'К'И,ия .f (х)lиссееmпо 'Краii1-lеii .мере Ш}1-l0го из одН0стОРОННЕХ nреде.'!ЪНЫХ З1-lа"lе1-liJ ifили если хотя бы одН0 из одН0сторонних nредеЛЪ1-lЫХ З1-lа"lе1-lи'Й6е с 'Кон е 'Чно.к ГА;ГЫВ·\например. функцю\'ФУНЮjИя Впредельного. IГЙС'l'ВИ'l'е;;оч;\\'U(:1:1(рис, 4,3:5)И\' имеет ни пр;;; ;ТО, ни1);евог;\значени;;,но,р н(мотРИNI (~;едующи;' ;'ходящиссякну;ю;р Ш;;довательности;;\(;;ешаченийаргумента:х22-:;, 5n 91Ги1171 271' 371' ...n7Г, ...Рис.4.33Соответству;\ 'щ;е после, ювательности значений181'; -ИNlе;\"у-след' ющий вид:1, 1 1, ...
, 1и... ,О,О,...Пер;;ая из этих последо ;а ;'ельностей имеет предел. ра;шыйединю;е а вторая имеет предел, равИ\;й нулю. Следовательнофункция f(x)го зна';енияИ левого=sin..Так1какв точке х. 1sm --;1:\едельного. IРУГИNIне имеет право; о;ре,;е,; ,но-=- -.18111 -;'0этане имеет;Тшачения в этой точке.примерОNI функции, имеющей ;о';ки разры ;а 2-го рода, мож:ет слу;;;,ить ФУНЮjИя= ctg(см.\ис .
. 25) . .)та функn - О, ±1, ±±2, ...2. Кусочно непрерывные функции. Функция у = f(x)назы ;ается 'КУСО"l'НО 'НеnреРЫ6'НОЙ на cerNleHTe [а, Ь], если онане;;ывна во всех внутренних точках, за исключение\'ция и\;еет разрыв2-;0рО,;а в каждой из точек кn,б; ,П; мож:ет, конечного числа точек, в которых имеет разрыв1-го рода и, кроме того, имеет одностороИ\ше предельные зна';ения в точках аФункция называется кусочно не;;рер; ,шной наинтервале или бесконечной пря\юй.
если она кусочно не;;рерывна на любо;ринад,Лi';;;'атт~;'им с' Г\ ;'нте. На;;ример, функ шяСТ-[х]2) КУСО';НО непреры ;;;ана ,Лi{;БОNI сегме;;те, так ина iiесконечной пря\юй.1)\нунок';.33 НОСlП ЧlНТО иллюстративны:; характер.2) Напомним, что символ [;г] обозначает целую часть числа;1:.тьвсей Uесr.;vuечuоЙтрем требованиям:о. ДЛЯ любых ',ещ' ""''''ен ,ых чисел ;1:', ;1:"шения+ :г")С(:г' + :г")+ С(х')8(:г"),S(x')C(:r")= С(х')С(:г") - S(:r')8(:r"),С 2 (:г)(4.5') 1)2" .S(O) =О.c(~)и::)7i<-2С(О) =1.(4.61)=0.справедлив';; неравенства0< S(x) <:г.7')Доказателы тво этого утверждени}{ мы разделим на две ча; т '.
Именно:сю;чаш; М,·. "",,;же·" единственно'тъ, а ;а "М существование '1'УНЮЩЙ,о{г) и С(х), удовлетвор;,ющ;;х Тl'ебовани}{м °.2°3°.1.Доказательство еДинственности. Дл}{ дока;ат.' ,ьств,; ед;;нственНОСТИ достаточно убедитьс;; в справедш,восп, следующ 'х ДВУХ утвер;;;дений:n. речисЛr';НЫМ;'обла;)ающ;'с;;о '!с'т;;ами,прямой.С(х),;О'.i·r.;OmUPOMM;!O;)fCeCmei'си',",.епреl'ЫВНОСТИ rlrунющй;;дой точке :г бесконечной ПIШМОЙавны ИХ Пl'едельным;ю;чен ;Шv! в .,;т.,й т"чке. Ес',и теш.'РЬ мы раССмоти;м СХ"ДЯЩ'iЮС}{ кпос',едовательность значениlt аргумента.
элементы которой принадлеi;ШТ указанНОМ"';ЫШ"';С;iЩ··!!ЛОТНОМ". ·Н"}Ю'СТВ··.Т"Ч' 'к.Т..''''ТС.. ··ющиепос',едовательносп; значеш;й функций S(x)в силу сформуш;рованноговыше утвеРi;;деш;,' 2), опредеЛi;ЮТС}{ единственным образом, а поэтомупрещ.'Ш .• Э ИХ".ва ,'ш.ностеЙ;еЛЯ!i,ТСЯ та ;же;Ю,С ''''''НЬГ'' or>l'азом. Но эти Пl'еделы как раз}{ВЛi,ЮТС}{ частным;; значени}{ми rlrункц;;йSC;)И С(х'; в т.,чкеС,едов,;тельн." '1'УНКЦ;;ИS(X!СС;) ОП.'" ;ел}{ютсяед;;нственным образом на всей бесконечной пр.шvюЙ.1) Ф"l'м ;ы (4.5' ';-( 4.ПО; чены ;;:; •.!юрмул (4.5)-(4.7) п. 6 § 5 потемзамены обозначеш;й функш;йsinx и cos:r на S(x)"(:г) соответственно.2) J\1HOi;;eCTBO {:г} точек бесконечной пр}{мой называетс,".лuтнымю, ""СЮ 'Ю.'чноii !!l'ЯМ"Й, .'с',и впр.шvюЙ С!1у!еетс,' бесконечно много точекc-ОIЧi"СТНОСТИ ''''ЖДОiiMHOi;;eCTBa{:г}.ОЧЮI Э О"47Преж!е1';и С(х)и к дока:ы«cTaHo';IP;;Ю<Ю' ор;<,п 'lюР';;«ЛЫ:Г, ~"'C" ==Полага}! в Ш<РВЫХ ДВУХ из соотношен;й С1о S(O) = О, с(о) = 1<0= S(.T)1 = с(Умн;; ';Щvl соотношеНli<'л« <н<;'ные при(4.14)С(+ С(.г) S(С( -<г)- S(.T) S( -<г)соответственн;; Ю;««iiн<;'ия.
У<ш ывая.sex)С(х) -чет'liа.я функци}!, а S(x) -'liечеn;'liН<Но тогда< liСПОЛЬЗУ}! первую liз формулS«T")= S (~(' "=S ~+С--сложим ш,с2С'н'тв;«<тств;«<нно/{г). Так Нуl образом,(4.14)ПОЛУЧliJ:V1=-S2и С(.г)функци}! 1).(1.5;),(+) (--);1:' - ;1:") _ (:r' + :r")и аналогичноS(.T')---)( 4<14)S(.T)S<С( -:r) = «(:г).Сов;<рш;<нно ;шаЛОГliЧН".
«множая С Н'ТН ,ш;<ни}!наскладыва;; "Х, получим=:г и учиты--2С(;1:":r')- ---;1:' ;1:") S (-;1:" -;1:') -S_ (х'-+х'<(2 2 22С (;г;;1:"-2-С (_<г')s(--).шиеS(x") - S(x')Докажем теперь непрерывность фуню! 'йS(:r)в любой точкебес!/о"е<;;н,й прю;;оii. За';н тим. ч о ;,епреl'ЫВНОСТi< ф« 'щциих = ОS(O) =S(.T):"в тОЧ1{;енепосредственно вытекает liз соотношен ';; (4.7') и из иавенстваО. в самом!е.ш<, еСЛli} -:зю,<;ений ;,р! «мента, сходяш;,яся кПР"ИШО«;ЬЮ,Я пос<;еДОВ;iТельн"сть;ю справа, т;; и!н;;ш; ;,ия О< S(x n ) < :r nследует, что и соответствующа}! последовательность значен 'й{S (х n)} СХО !ится<;;,СТНОМ</ :зю,чению S (О).вхфункцИi'Тато',л;е=вытекает непрерывность этой фуню! 'иS(X) н,еnрерNвн,а в тОЧ1{;еО.Непреl'ЫВНОСТЬ S(c) в ,юб,;u то 'л;е х выт;<кает И, С'Н'ТЮ;Ш;<НИ}! (4.15).самом деле, ПУСТЬ х - люба.я тUЧ1{;;) беС1{;он,ечн,uu nр.я <;ой, {х n } - произвол<ш.я(4.15)1{;:r<,ослеdов;)тел/<н,оz:ть з,шче"иu /<ргу.м<ен,та.
Поло/!< "в В,биметьS(:r n ) - S(x) =)С СГ 2 :1: n ) S сгn 2 :г).(4.16)1) Функци}! f(;1:), определенна;; на бесконечной пр шvюй < называетс}!f( -х) = - f(;1:), ч, тн,uй, если f( -:г) = f(:r).<,еч, ,;,н,ои, ест,1.] 'Стьв силу"епреиывю]S( ;T n2nчен ш.яН'·ЛЬ.на=О. Поскольку ПОСЛ"довательно]правая [а1 ),ало бып .. и л' вая[ ча] ·,ьо liшо iJ:~Ю] ,ае10т";Г)6!И'1ее', СВОИМ преi\"ЛОМ= S(./), т. е. +ункция S(./) "епреиыв,ке,\.налог"чно доказывает]СТО\! непрерывность ФУНКП"И C(:r)I.л}{ этого вм,'-ну ,шо получить формулу-2S2)Дока с, "М. что2шач' нияственным обра:~ом в точках11ательное ч "до, а ТI. -ТОЧЮ1 оiiраз"(;г";Г')S(./)где р2n-(;г";Г').2в С(с) опи" ,ел}{ются ед"н-целое положительное или отри-11елое ПОЛОС""тельное число.)тмеППvl, что такиевсюд" П.'" 'тние множество точек ч"словой пр"моЙ.
Пи'.двар,пельно установим некоторые свойства фУНК11\1ЙС(х). Установ"м,BiJ-m.'РШ ,н.О ·,ти ф" н 1JТ~ии nериоди'1есл;ие и имеют период 2п 2). В С ,М' ,'.'деле, полага}{ в15) :r" = Х + с" и ;г' ;г, получ"м2,,) -(~+~)Так как"кае,2SоS(x(~)+сС(х+ ,,)S(п).(~)=О, то "з последнего соотно-S(x)т.
е. фУНК11\'С{г) пеи юд 1ческа.\! и l11vleeT период 2".с.шд ,'т, что S(2п! = О.Полага\! во второй формуле (4. С/) ;г' = ;г и ;г"1.·(2п! = О, Ю] iщ'мС(х211) =и учитыва}{, что= 1 (в этом легко убедиты \!. П1) 1мен\!,' Фоимулы (4.5') снаих" = п/2,с]тем дл}{= П И х" = п), тоТак какч]] 1а Д'Ш)тсюда, в чаСТНОСП1,= п/2С(х+ 2п) = С(./).Т]]КИМпеиШ'ДIl'НН'С ь С(х! та,сже ··стано;; 1ею].Свойство периодичности фУНК11\1Й S(:r)'(:T) позвол}{ет в наш"х рас сус,сдеН111,Х огианичиты" сегментом [0,211].
J\1ы установим сейчас, какие знак"имеютшаЧ1'НИ}{ 'l'ункц"й S(./)С(./) В 1)]1 , '1ИЧНЫХ точю]х этого сепvн'нт]]..Из ("1.6'),7') непрерывности S(x) следует, что на сегменте [О.значения 'l'с'нкции S(x! Ю.'ОЧJI1ЦJ]те.Ш.1'1.1, ПРИ'1е 1 1 1,а+унющя S(X[обращаетс}{ в нуль только в точке;г- С(п)S(х! 3) и S(п[сегменте[11/2,11]=О, С(п)== О. Так как S(11 - :г) = S(11)('(-:T)-1, т" S(п - х[ = S(x!.
]"ЭТОМ 1,азначени}{ фУНКЦИi1 1.'(:г) неотр 111ательны, причем на этом(х) =вытекает, чтоI ~ 1 ДЛi,в] ех ;г,{С( ~Xn)"t.UlЬЩNJVЬ О. > О, ес.Ш1а 11ТС,'.1 ,а вып'кает 11Г1 <шиченю 1СТЬ ПОС'iедов]пелью 1СП12) Ф" нкци}{Ю] ,ьrвается nериоди',есл;оi1 с0.[ =3) Эта формула вытекает "з первой формулыЛii пого!лясправед iИiiО СООТНОiiiение1 фУНЮi1Исе!'+ункция SCT)ся В НУЛi, O,'i,'!O ВХ = 1Г,ЛЫ Si 21Г - !) = -SC!), Ю,Т быТi, ПОт' чена aHa'i' !ично +ОР'!iУЛi'S(" :1:) = S(:1:) , вытека' т, что на /'тменте [" )1Г] значеНЮI фУНКЦИli S(:r)нi П'iДожителы i,i, ПРИ'iе'! ф" "'!цияОi>раiiii!'ТСЯлиттть Нi> '!ОiЩii!,этого сегмента'аССУ!!iдаii совершенно аналогично, можно убеДlПЬС}{, что+ункция ССт) Ш'ОТрIЩliтелы,а Нi>}ки еЛi,на на сегмс'н'си З1Г'1Г/12,/2.[О 1г /2] и [31Г /2 21Г] и i,еПОi,"и обращае ся в i'УЛi,ОЛi "О Воч,а;Дл}{ завершени}{ доказательства единственности фуню! lйНiibl '" 'НilДiiбя ся Нi,'ю'К [[ывиду котииыхOpi,'"Во-первых, отметим.
что llзMi,'ивытекают следующие формулыS2 ( _ ) = 1 - ~CT)Полага}{ в этих формулах(4.1Т!еще раз примен}{}{ формулы:"мы и получим интересующие насS2 (х/ ~ х/'соотношени}{1 - C(,T')CCi/)21 + С(Т Ю(х") - S(x')S(, ")(4)Эти /.Lюрмулы ШiЮi lьrва!iiТ, что ес.Лllи С(х) в точках ;1:'ЛЯiiiТСЯ /,lДИl!С+ SCi)S(X"iиш/,,'стны :3ШiчеНllЯ ф'iНКЦИЙ:1:, то значени}{ этих функции в точке"u''''i'Hi,li!'ii'CKO'P'IП[0,2,,],+,"S(Xiопреде-выттте раСС'iЖЩ,'-шlй следует, что нам известны знаки фУНЮiilЙсегментах'в каждой точкеа следовательно, в силу [[х периодичности с периодом2"ит" ске'ШСЛОilоii п 1 ямiiй.
Исхо" !я И l извеси единственным образом ОПliеделенных значен lйC(:r) в точках О, ').сеПVН'НТli [О, 21Г], мы М' "''''м. ПliЩvН'НЯii ПОС'iеДОВlпеЛЬНii ТО,'iЬКО что ПО,'i" ченные формулы, вычислить единственным образом значени}{ ЭТilХ фУНЮi lйВи всех Тiiчках 'ШЩi jlK /2 n[0,21Г]и n - целые Нi'ОТliИЦliте.Лl,'"Чllсла, Пli"чемсегменте [О,~ )n+1). Так как множеl тво точек вида Р",плотно нато, в сllлv сказанного в начале доказательства ед [нствен-ности, /.l."iНКЦИИ S(Xi и С(х!!Иl!С ''''i'НЬГ! Ql>pa:3ii '"Нi> всейч HiДOBO" пр}{мой.Доказательство существования.
Мы дока2.)К!ieMболее общее утвер[ение.Су'je/твуют фую,;и,uuSCT)U С(х'!,оnределен,н,ыеuн,еnрернвн,ие н,ауduвлетворяющu,ев/ ',й ч10.'lещ' /'т"ен,lяют/'COOmilO-шен,uяS(:r'С(,т':r'/)+S(x/)C(:r") + !'(:т')S(х/'),= С(,т')С(,т") S2(,) + С 2 (,т) = 1.(4.5') юять х'формуле(1.5')(4.5 )15С,тьО.S(o) =S(гдеС(О:1,С(= 1.=О.d30.;оло;)fC ;тслиlOС 'ч, ;елоеnравед ,ивы н,еравен,ства<о<x<dтш.··S(~,)1Г/2, то L = 1.Д о к а з а т е л ь с т в о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
