Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 27
Текст из файла (страница 27)
,твет, тв' 'нн, , 1) е и 1п, 'iледовательн, ,сть предстаi,Hi;'i;i;из;где;1И+ ~)}пределыnk'1.пр. делы кот. 'рых рав-Tt;iiaTapbIxсил" неравенств(4.11)тей {1) }и+также т)авны саатветственна спа теа! ,еме14ИJ\IееJ\Iliшk-+ooРассматримх;.} -паследавательнаститретьеiiгруппы.Есшбесканечна БОiЬшая паСiе.юватеiЬнасть. Э·iементы iia-тарай, начиная с Ю'iiатарага намера. атрицате.iЬНЫ, та пасюватеЛi;насть { Z k i . e Zk= -1 -Xk, бескаiiеЧiЮ баЛi;; iая иHeiiaTapara намера, састаят из палажителывещественных Чifсе.. Паэтаг;у {z;.}i.статiшет сабайпаСiе.ювате iЬHacTЬ втаран группы.
Taii iiaiiее Эiементына'шная с(1+-l)iTk=(1+-l)Zk+Zkиiiшk-+·(1 +~) +1 =таliшk-+ooliшk-+oo(11 + -.Zk (z,(1 + ~)CT;Дш зат!ер; iешу; даказюеЛi;С'i ра=1+-1е.,а;'ю раССГ.ЮТР8'iЪю-следавательнасти четвертай группы.усть {Xk} - таi<ая пас ,еювате т;насть. ОбазнаЧifчерез {X~ЮДiЮСiедаi!ате.юст'пай паследавательнастисастаЯiiiУiГ' иэлементав 2) паСiе.юватеiЬнастисле. юватеЛЫЮСТi;,ХАвсех неатрицательныха черезХ;:}састаящую из всех аТРИiiдтеiЫ-э.падпаie;<eiiTaBпас iе.
ювате iьнасти {Х k} 3). Тат< i<ai< па да i<aiaHHaMYliшk-+oo1+~Х;иliшk-+oo1+=с1) При ';'''ом i·читывается. ч·; о} принадлежит к первой р"·ппе.2 Э';и элементы, начина'.i с нек .. Tof;;'r<' номера, CTf "Г<' пол .. )кительны.3) 3дес;,в отличие 'iT гл.iiыбраЮiые ПОДiюследовател;, ;;'сти от ·;ie./чаем .шакамии,coxpaH'.i'.i при этом элемента подпос iе.i.оваТi'ЛЬНОСiИ'''от НО м; р, который он имеi в последова'"еiЬНОСТИ{:rk},,·····тьуказ;;'"дJ<Е1 + x1е.;Pf;"!!,ерNтаю ,Й, чт;;+ X~/)ИN< Е,kСледователы ю,limk-+oo(1 + ~ч=е.XkТеорема до <азана.3а ма н и е.Идо;<а:анноН теоремы следу; т, чтоlim(l +;Т1/:[; = С.:[;-+0В саг.ю;де.;е.;устх";юбая сход ;щаяся к;ю1+хЮЕате [,ность значений щ)гу',е;;та ФУНЮЩИхюс·;е~э.
;еме;ты х n ;<оторой отличны от ну iЯ. Тогда постrедовательность {.:'n}Zn = 1/х n , бесконечно бо. f,ша;; 'Сг,. теорег,у 3.6). Так какr.r.e( 1 +znтоlim (1n-+оо1.)--иZn.=е."'n+и ПQiПОМУlim(l +;Т1/:[; = С.:[;-+0§ 7.НеНIН;РЫШЛГ)С ,Ъ и пред(;льньн; '$Нс1'Н;НИЯ ,Н;Ю.порыхсложные функцийН(;преIJЫВНОСТЬ1.ирых СЛОЖНЫХ функций.СЛOl,;ПIн;дельные'$Нс1Ч(;НИЯН(;Ю)ТО100<ажем непрерывность некоторыхфу;;ю;ий.IУСТЬ х = y(t) и У = f(x - простеiiшиешементарныефункции. § 5), ;риче"южестf'О значений {х} фу;юх = y(t) является областыг':адания функции у = ЛХ). Ilз pe~10,ЗУiЬтатов § 5 с;едует что ;ростейш;е Э.;ег.,ентар' f,fe фу;;кцинепрерывны в ;<аждон то' ;<е 0(; асти:адания.
По,пому в силуTeoleMbI 4.ДВ'усложная Фунющя у =[;i(t)],т. е. суперпозицияЭ.;ег,е ;тарных фу;;кц ;й, не;;рерыв ;а. Наприг,ер, ф'= sin.!.непрерывна в Лt{;:,ОЙ точ;<еof. О. l!IтобыштьсяВ это г. , , достаточно рассг. ютреТf, функции х =Сло:ж:ная;ющ;;t-и= ;·;illX.гую< шя у = sin t- 1 TO:iЬKO обозначениеJ\.f аргумента"Ять И ПГ,lЕ Ъ,,ича, 'тся от функции у-Slll1сил"сказа,оf'",Ш,'ХВ ,юб()й ',,'чке~Ра; iуждая а, ;1Л, ,ГIIЧ;л' ТЮ'убедиться, чтi';ую<ция У - 1n sinнепрерывна в лю(;, ,й т' ,чю';аЖДОГ i ' интерЮ.IШ2т+ 1)п(2k7r, (2kпенно-покательнывыраженияа(х)О, lевидно, ИМi'i'Т смыслишь случа;;>0.убедиться, что если и(х) и v(xВокрестностив точке а.точкиа,тоЛег <ов точке а их);ую<та;<жеОнепрерывнаr.еле, и(х)l'(;Г) = с 1'(;Г) ln щх . ПОСКШIlЖ,' 1; и(хВ са;,ю,'стаВ,1Яет с060Й непрерывну;;; в то' ;<е а фунюшю, то иlИЯ v(xх) также1;;е;;реj;;ш;;ах lnu(;r) не;;рерьшнаточке а.о тогда ф' нкци'lточке а.
От;;ети;;, что уста;юв, ;е; юесвойство непрерывности ПОlВоляет утвер:ж:щть,ных предп ол о:ж:ениях li;,--+(!Пр е30.враьные'U ( Х=наченис'U ( аlТО при с,r.елан-)l' (а) .епенно-пока:~атеьныхиВы',;сним вопрос о пр" ;е,,'ьных :~наЧi'НИЯХ СТi'пенно-показательных выражений 'и(х)"(Х) при;r --+ а.
При этом мы бу;ем прешола;ать, ч(о 'и(х)в "е,;от<,рои ;,,; рест", .сти т' .чки а.И:~(00'; ношени',;lnu(x)выражени',; 'u(x)v(x при;r;)lпu(х).I. Пус;ъlim'u(х) [пви ;но, ч'(о пр" ;е,,'ьное :~начениеа;ависит о'; пр" ;е,,'ьно;о ,;начени',; выражени',;= Ь."--+аУб" i,ИМС,;, ч'(о В "'(ом ,'лучае= еЬ .limx--taВ самом деле, функцияш(:r)непрерывна в точке х= а. Поэ,; ом;;овательно, limв "'(ой '(очке.прихприх#(еаИ СIOжна',; ф; нкци',;lllU(X)тонепрерывнаеЬ . Так как lim е"(Х,аlim>Оа'<' сущест';ует и раве" е Ь •lim ulИспо ,ЬЗ;",,' ПО ,;'ченные В э'; ОЙ главе сведения о пре ;е 'ьных значенияхпр" ш--+П.
Ес,'и~OOШ--+ +00,[П'и(х)limлегю, убеД'iТhСЯ';.= ~(,;o lim= О.х--+а. l:сли li п v(x) lп ul=+00,аУс ановленна',;ulт;,liп ulх--+асвязьмеждуПf едельными=+00.значени ;миВЫj ажений',' и v(x) lп и(х) , ;'З1\' ·ляет в ряде случаев легю, ,шйт i предеЛhное знаЩ'sin;r> О.ть'iение (l)y jj<ijИИ u(х)('(х) если и и\еСТ1ihl j1рz:дел ,jihl" ';Н;1ченияи'аССМОТРИ»1 для прим>'j»' >'ледующие СЛУ'1"""с> ществ>етiim 'и(х)>Оиiim 'ti(X);х--+/х--+/> 1"> 1"2) iim 'и(х) =3) (llll'(Х) ="--+аiim 'ti(X)'00i1m)Тuедимся, чти в Сl1ТЧClе 1) limu(x) (х) ="liа"1'е 1ЬНО, "1ак как>lim.1llIl..J,еЙстви-х--+аО, то, в 1"инепрерывно1' "1'Иl'1огарифмич>'скойафункции,limх--+а(п 'и( Х) существ>'ет и равен lп [limх--+а111 и(х) = lim v(x) lп [lim. и(х)].li>"х--+ах--+/.,СогласноIО"1'сюда вы" 1'екае 1, ч"1'Оlimu(x)t·cx ==eJ~~:tv(x11l1l(x==liшех--+аv(x) 11l[ jiш';с--+а[ limх-+ав случаеи(2) lim(п, 00, и поэтому, С01 1а' но ПI.3' lim(п'и(х)-00, и ПОЭ"1'О:VI>', согласно П,iim= +00.В с 1>чаеiimх--+а=0."--+ав заключение ука)кем "1'ри случая, ДЛ',1 к'з шче 1ИЯ и( 1')'TOf ых нахождение""' требует ДОП1'л 1iпел ,,,Ы1> исследова 1И".Неоnределенност'Ь типаПf едельного'Осlim и(х) = 1,iim v(x) = 00."--+а"--+а2.
Неоnределенност'Ь типа 00:iim=О.iimх--+а=О.х--+а3. Неоnределенност'Ь типаlim 'и(х)000:lim 'ti(X)'00.аО.аиз ЭТИ>1 слу ше11 1'1Ы Пf иведем Ф<'Р,1УЛУ. уд"бную для прак-Для"1'Ических при lОжениЙ.Пр>'обра.:>" м выражениес 1е1,ующим обра.lОМ:)] U(X\-l}<'- ] "далее.ии(х)=[1+та1<1с'(х) = [и(т- 1]V(Tчт(,(х)У(х.Поскольк>iim и(Х)"1'еореме4.5)и е>"1'0 :~наче-аli>" 'и("' = li>" U(х-+аV(х-+ав т<'чке а. т. е. >,тlim V(:r)limli>"С, тох--+алиV1".И.1е"но: если li>"limU(x)V(x) = еех--+а1]v(- 1]V(- 1]V(Tс1>'чай 1ес-а= +00, то li>" u(x)v(x) = +00слу шй2));если[и141iiЯ""ТЬ и ПГilК'iЫ-1]v(x) = -00 т(, Еш и(х) (х = Ох--+ах--+/«Ы по !('ЧТ,Р','Форм()[llПlРопрр ,е!((1НО((ТИ типт'2ипV1ПРИRО ,ят((я К Н('ОПРР ,е(1НО((ТИ типт'!(('леДУЮ1(Т,И(Т (,i)p":~o)('Пол()жими(х) =О'(е (()ДНО,liп и1и= 1liх--+аПри00,х--+аНайти llШ[С"Т,.Х]Si.\еl(j и(х).=±оо.
Кро,(е того,=Так кат( liш СОБХ.х--+О= 1,х--+О"о налицо неопределенность '!ТIпа_._1_,_ =х--+О :-"lIlХ,,)-)и1а llШ1ею.выше. ИмеемliшlUix--+о L1-1]--=-1]v1Si(j2'liш=Х-+О[-21112cos 2 ~22liш [с. 'Т' х]х,О11si .. 2'2п р е Д е л ь н ы е з н ае н и я н ео ж н ы Х Ф у н к Ц и й. Дока ,·,е! С! l)ю:ед llВОС'!о т о р ы Х4' .сl( Сiе,(УЮЩllравенств:lim V'l+X -1· ln(111т1n'хХ-+"еХ,т.1 - ((os;r111П2_1im - - = 1,,т) Расс>ютр(),т-+О,ОпеР;l(lЙl;r) =·0Э'i llХх1,(4.1212реде,iOВ.
И),!ее('-1хп-2+х)-+1(1n 1Х [ (1+х)-n-,,П++(1+... +(1-1nn2+ ...+(1+x)~ +1]1(11,·····тьТ (К как Зi::.;;.:+:еНИii:;'л, равный+X~OПерейдем('м lп(1+х)по. агая1,=+1iш:~O1=01Хд: ::<а:;1Т"ЛЬСТВУ вт<>р;:г:: равенства12:меj(х) - (1 ! х) /;т,111(1+х) /;т lUШlреЛf'JШМj(O):r;т;'чкенепрерывнапоэтр::у 1iш(12)при=;т;0х) =j.. 1X~:;+ х)В ре:ультате мыпо. :у' шм непрерывную в точке х =фуню шюх). Тогда ифун:щия 1nj(.l; та:<же 4!.удет непрерывна в нулевой точ:",' и по-;?Тому Н: 1п(1+lj:r;=lnjта:< Н:=lne=l.;T~Olп(l+х);T~O1.Х3) Дока:ж:ем справ"д:ивость третьего равенства (4.12). 0ложи:' х = 111(1и) и замети:, что :ри х ---+:ереме: aii+стре;.:ИТCii к н' iЮ.
И;:ее:' еи1c;e.r.yeT,х-1·иl'1 =1Ш--·~O:"Ч'i о1ш···················································· .......................'IL~O4) Дока:ж:ем справе;ливость после. ;него равенства (4.12).ИмеемСОБ1siп 2 (:" /2:.8) ),1 siп 2-.х2:r 2то liш:T;~O21-Та:< как liш.~osiп 2-----,------;---,--:---'-СОБХ2-2ИСПОШ:ЗУii соотно; {ен:у: (4.8), (2), равенство .) си РО.о(х)п. 3 § 2), ;ег <о убедиться в справедливости с ;е. :.у:; 'щихформул:= х + о(х ,\1'1 + :Т = 1 + ~ + о(х)nsinx1п(1+х)еХ =со·: х=x+o(:r;,х + о(х ,1= 1-'r 2Т+ о(х 2П).До:<ажем. например, справедливость первой формулы.
Так:<а:< li:X~Osiп :" = 1 то в СИЛУХбес <онечно малая в точке х=1)SlIl:r=1О l;ун:<ция. Их)где а(!)-последней форму-fii:iTeKaeT, что Si11X = Х + ха(х). Поско.ъкух) = о(х), тоsinx=x+o(x.2. Понятие элементарной функции. Класс элементарыхфункций.Вюже; ия;;вю,; ;уюроль юрает ю;ассФун:<ций, ПОЛУ'iаемых посредством :<оне';НОГО шсла ари: ;метиiес:<их опера:шй на. простейшими :шеJ'\1ентаРНЫJ'\1И функ шями.43такж;' п, л;чаеМi,;ф' нкции'ПОJ\1У кла;;уJ'ilbI:r: 3;;iзиции ЭТ+iX7'i:Л ICCOjAого кла;'лед' ющ;ч' ("ЛЙСТВО эле,~;ентар;пгn,pcpы,' ы в 7'i:аждn/; тоа-iадле Ю~1Т, 11l'iH 3:r:l-;OSбудем н;].зывать (П,; iiCMi'1lrnapi;' , 'фIJ'll7'i:'Ц'И 'f, а к ,i+iДУЮ ф''eHrnapHoii:JЛi'-функцийnблаС!i!'И задaJ 'ИЛ ).ЭТО СВО ;ство непосреiственно вытекает инепрерывностиф' нкцийтеорем4.2и4.3;ростей; ;и;; э;е(,;е ;тарных фу;;к ;ий в каж.;аЙточке об, асти зада; ИЯ.8.Классификаци~; точек разрыва функцииТочки разрыва фрнкции И ИХ классификация.ы опредешш точки раЗРi,ша функции как точки, вкт OPi,;функци;; не обла.;ает СЕОЙСТВО";е; ;ре) ;,Ш ;асти.бу [ем на:ывать такж:е точками ра:рыва ;ую<ции точ <и, В ;<отофУНКЦiУ' не о;;реiеле;;а.
но в ;юбойс-окрес'; ;юст' котор ,IXимеuIТСЯ то' ;<и области задания ;ую< ши.Рассмотрим возможные типы то'разрыва фую< ши.1О. у с т р а н uЪ! й раз р ъl в.TO"l7'i:a а назыаетс}!1.§3тоусгп раif'имuго pa;Jpыаa фУ1l7'i:'Ц'ИU у =J( х)ное зна"lенuе фун7'i:'ЦUU в этой rnO"l7'i:e существует, но в mO"l7'i:e афУ1l7'i:'Ц'ИЛх) 'И ;р' 1lС onpCaUli'1la, iiЛ'И сс '!аС П1l0;'шав rnO"l7'i:e а не равно предельному зна"lенuю.На;;ри ,;ер, ф'j' (а);юш;;S!пх(х) = {хприхi:: о,;рих=имеет в нулевой точке устранимый разрыв, пос;<олы"у предель-юе значение этой фу;;юравноти;;а.в точке х =равно1а частное2.
Если функция j'(x) имеет в то' ;<е а разрыв у <азанногото этот:на' ;ени;;разрыв.МОЖ1l0УС ПjЮiшт;,;еиз(;е;;;я;ую<ции В то' ;<ах. отличных от а. Для (jTOrOэто";астато'но определить значение функции в точке а равным ее предельному ша' ;енIЛГ' в (по; то' ;<е. Та;< если в рассмотренном прим;'рею;ожить(О) =юй в точке хто lim лх) = j'=Х--+Офу;;к ;ия будет ;е;3а м еа н и е. На пра;<тике точ <и устранимого разрываВС'; речаютс;;сос!'едоточею;ых рас;[е;е; ия;; физическивеличин.[:сли при Э'; ;,м область задания функ;;ди ,;кажется СОС!" ,',;щей ИЗ ;,тдел,iibl;; из;,лироваiiНi,;Х т;,чек, то eCTeCTBeiiHo сопре~(е ;, нию непрерывна в каждой IП этих точек.n;тат;,';то фу ;;;;;ия п;,,·····ть'J{;!i'I-!'i"ч,!/ые.;1'/-/,(f'ч,г.'/-/,0 '/-/"Еlll.f(x):1;-+0.#1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
