Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Да'1ее.поскольку функция=.f Х непрерывна в точке Ь =,(а) и длянее указанна>l llOс.lIе;r.овател ,lЮСТЬ {Х:,СХОД>lщаяся к Ь = ер(а)является последовательностью :~начений аргуыента, то (в С1ПУ1ОГС, же С1llре;r.еления 1* из п. 1) СlЮТ1;еТС11;с'ющая после.;н вате,'lЬНОСТЬ значений функщш л:г n =.f (1)(!n) I =сходитсячислу (Ь) = .f[ер(а)] = Р(а).мы ПО'lучаем, что д'lЯ любой последовательности {f n }значенийaprYC1e1lTaG'ЮЖНО11 фТIКЦl1СХОД>lще11СЯа. со ответсл;с'ющая последоватеЛ1,НОСТ1, З1lа'lе1 l1Й саеюй сло:,: юй==1ИИ {.f[ep(t n )]}{F(t n )} сходится к числуЯ1ШЯ1ощемс'Ся частные '31Ia'le1G'южной.f[ер(а)"=l'(а),фТIКЦl11'0'1-ке а.силу того же определения l' из п. 1 это означает,что G'южна>l.f[ep(t)] =it) lеllрерЫВ1lа в 10ЧI;е а.Теорема ДOKa:~aHa.§ 4.1.Н{'кпторыf' 4;ВОЙ4'тва т:юкптонных функции()пре,реление и при меры монотонных функций.ОnРf:дf:.ле1iuе.с ив'llЮ:Су =озрас<.f( Х)ваi)ас сGiюбых Хl 'll Х2 'llз эmоудОGЛf:mGОРJlЮj{~'llХХ2, справед.fшво неравенсmволхl) ( .f Х2) и Хl)?ЛХ2) .Не:.'бываЮЩl1еиневозрастаЮЩl1ефункции объединяются общиы наименованиее .ЛЛО'J-lоmО'J-l'J-lые фУ'J-l'Х:Ч'll'll.Если д'lЯ любых Хl и Х2 1П ыножествах}, С'ДО1шеТ1;С;РЯЮЩИХ УG'lС;ВИНf ХlХ2,ох<справедливо неравенство .f Хl) < Л:Г2(.f(il)(:С2)10 <!>сющия у = (х) lазывается :;:)зрасmающсu (цБЫGающсu) наMHo:::eC11;e х}.
ВозраС1Gl1ощие и с,бывающие функции называются также :rnро-Рис.4.7,·····тьшi:1в(;;р н"тастна вс: Й{ие r(;война всей чнR.R.КR.J.ИИ, l\iI<HR.<YR..·OHHI.,R.e функ.,ц:и:и, :имеющие обратную,этом пункте формулируетс,r по.,нятие обратной <!>\'ю;цииустаrrавлrit'аются \'СЛО1ШЯ существования обратной функции для монотонной функции.Пусrnъ фун:х;ци-я у = ](х) задшна на сег.ftленте [а, Ь], и nустъ.·.,;ifOJfCi;Cm60.;': tifШЧ:'if'ifU Эm,ОU,;!6л,;!еij:";'ег,.,;i:Нi;f, [а,;3].Пустъ, далее, 'X:aJfCaOMY у из сег.ftлента [>:,;3] соотuетстuуетm.ОЛЪ'Х:О 0:1;;,0 зншченuе х uз сегмент.а [а, ], дл,;; 'Х:оторого (х) == у.
Тогда на сег.ftленте [а, (1] .ftЛОJfCНО ощ:еделшnъ фун'Х:цию х =(у),6уCOOm6imCm6iJe'Чение J; из [а, Ь], дл-я 'Х:оторого ](х)=[а,;3] то !иау. Фун'Х:ци-я х= f-l(y)ifafbl6ff,ef>f'О брт нU дл-яУ = ГС:).указанно,; О1Iределеннаместо сег.ftлентОG [а, Ь] и [а, тмшкно (;ыю бы р н>маТРИВ:;ТЬifif7n:Р6алы (а, Ь)(а, ;3).
,Можнотакже ДОПУСI;ать, что одиноба интервала (а, Ь) и (а,превращаются в бесконе;шут;: пр,rмун: ИЛI воткрытун: поryпрямую.Отметим. что если(у)очевидно, <!>\нкция у= f(;r) , то,футrкцнf-l(y).J; =-обр:тю:: функци,r дл,r у =являетеr обратной для= f(x)Поэтом\У =fи J; =f-l(y)н:;зыван:т таклееВзаимно оУ;ратные функщш обл :дан т е.:lедующими очевиНЫl\Ш свойств:ми:)=J;.Рассмотрим при меры в ;:шмно обр::тных фуню шй.=О. Пусть Ю: >егменте [О, ] за, r ша фуню rия ]( х)3:.
Мно.,лс: ством значений этой фунюrии"'т сегмент [0,3 . Фунюrия1(и)зу, >шр:' rел: НЮ:: Н:; сегменте [0,3, ,Ш ,rеня оi>ратнойf-=для заданноi1 функцн ](J;)3J;.20. Рассмотрим Ю: сегменте [0,1функцию, опре, rеленнун:следующим образm,f:у=](J;){J;,=1-f-Фунюrияна,;.J"еслнJ; -рацнональное чнсло,еслнJ; -иррацнональное число.(у), за,r шная Ю: >егменте[0,1и опре rелен-равенствамих=(у)={у,у,если у-Iесли у-ирраrrиональное чшло,аиионал ,Iюе число,181н :Ю 'ii1 ГЫЕ СВ1 1 ИСбуВfRoi']lеПОСРiД-НiТРУДШ iС1ПУi=Thf[а С1Ти,i1'HTe [n, Ь] за, 1 !На lTpOl'OMHo"l1eCT1'o>' значеl нйlИИ являеТС1l сегмент ia,'1 огда, в силу l'ТIЮГОЙ м(!нот(!!У = f(x) каЖДО1lУнз [а,COOТf""lCTBY'"inОЛ'lЛ;;Оi1'НЮ' Х иЬ], ДЛ1l которогоу, и ПОЭТi'на c e l ] ] существ\'етJ; =, обратнаяшя функГ(I).
Более того, если ФУНЮlИЯ уЛI) 1!Вla,ляеТСl возрастаютттей на сеПlенте [а, Ь], ТО фУНКЦИ1l J;= f-l(y)г,кже являеТС1l возрасгнощей на (егменте [а, р], ес,ш же уf=f-=фyrlКЦНЯ убl,l1'ающая на [а, Ь], то J;1С1! У(;ЫВiнощей на сегменте [р, а]. Убе, lИМС>l, например,у =f-возрастаютттаято и J; =ЯЕляет[то еслиf-l(y) - Tal,Yl< У2,1'озxl < Х2(J;, = f-l(y и J>2 = f-1(ю)), нбо нз неравенства J; ;? J;2 и нзво;растания функции у = f(x) Сlедовало icыI' что YlУ2, а ЭТОllротиворечит1еравенс lBY уУ2.Лемма 1. Дл","i n,об'Ы сm.рогоиаР:Jiтающая ФУНКЦИ>l. Действительно, еслито Ифu'Н,'Кци",= f(x) ,116Л,lIласъ if;n.pe.pU6ifoU 'Н,и этом 1егМ1 11rne 'Н,ео6J;одиJ'ЛО и достаточ'Н,о, 'fтобы любое число "'( за'Ключе'Н,иое м;:ж:дl!а = f (а)р =, было 3 'Ш"iе fueM э n,Ойфу'Н,'Кции. ИЮ,lфУНКЦИ>l у=словами, для того чтобl,l строгоди\ю и достаточно, чтобl,'iыл сегментДк1ОтоннаяЛХ) БЫlа непрерывна на сегменте [а,100,1Ожество> , значениi:](или [р, а] при рт е л ьт в о.< а), где а)Н е о,необхо-;той функцнЛа) ирх о Д и м оЛЬ).т ь.Радн определеl fROCli' рассмотри>; 1'озрастающ>'ю неllреРl,l1'Ш\'ЮЮ, сегменте [а, Ь] функцию у = ЛХ)шя убываl1.тттей Функщшдоказательство анаЛОl НЧl 10).
ПOl,а"l,ем, что если<(1, тосуществует внутреННЯ>l ТО'lIШ с сегмента [а, ], в которой, '(с) == (в сию 1'озрастаюш функцн f(J;) на се; >leHTe [а, Ь] таl,аяTO'lKa с[ет еlинственноЙ). Обозначим lepe {г} множествоTO'leK сеПfента [а, Ь], ДЛ>l которых~(!Том>' множествуПРИЮJДлежит, юшример, точю, а,(а)а <. Мншкество {х} огр:шичено (верху и поэтому имеет точную верхнююгрань .
Докажем, lTO лс) = ,. (Утметим, lTO любое lИСЛОrrfrиз сегмента [а, Ь], >lею,шее С, Щ;llнадле"l,НТ MHo"l,eCTB\'J; 1),lfобое чшло, преВОСХОДlтттее С, не ПрИЮJД lежит этому множеа2), ПOl,а"l,ем, что-Вllутренняя ТОЧl,а се; >lellTa [а, Ь].1) Ибо по определению точной верхней грани, (ля любого ;1', меньшего с,<f(x)найдете,i",' таю}!', что хх' и f(",') ~ -(.
Но тО!Д:\ fiЗi>лраСТ:\Юi',i,'ледует что и f(:r ~ 1, т. е. ;1' прина,i)Iежит {:1'}.2В силу определения точной верхней грани.11(;,·····тьса ,10", пусть, напр"Ь. РаССМОЛШ,jс ,\,дяп~г юсяЬ возрастающую послеД()j;ател ;HOCTj; {:1;,,} з'нач,ниi;jГ; функциито1(;)Так как(3другой стор; ны,3T"O],e,jbIсилунеирерывна в тоliш){ < (3.71{,{) и ш ЭТОМУ)Та;имюм,(3 ::;;чтоиротиворе'jИТ у{ловин;ПОЛУjенное иротиворечие 1ОкаЗj;шает, чтоЬ. АjjаЛОj нчно MO\j<HO г'беДНТj;СЯ, что а. Таккак с- внутренн;1Я то' jKa (егмента [а,СПI значений аргумент;;с. ТО>1(;)f(c). Но 1По{колькуliш f(x~>71--+00рассуждения аналогичнсегмент;;[а, Ь]значеj неи {=функцн(с)c;j.
jTOчи{ло{с-(егментаявляеТСjлюбая точка-IЗпределью,;ша jением функциисПустьявляеТС;j ир;;-левымTO'jKa,j).уув этой точке. УбеjИМf(x)вьГс'о,а 1(:1;~)н о с т ь. Проведем доказательство дляД о с т а т она {егменте [а,Функщш ;!(дубыв;н()2)точ (е::;; {,liш (:1;~) ;? {, откуда следгет,::;;,,--+001 ;) = {.во-неирерывна в точю'71-"00{2). По ,томучто.1(:1;~) =71-"00=,то най, jУТ{Я {;~} и {;~}сходящиеС j к с возрастаютттая и г'бываютттая иоследовательно-f(x)Увj)аничная[а,,то{f(x n )у-асоответствующимjRO{TOP; ·ннимиредельнымзначение,' в этойTO'jKe;.усть адокаже\j,что{8оараНИЧНО!'i<с::;;dхnРю.я;ляется леСь4.8вым иредеъным ша'jением функции вTO'jKe с.
П)'iть с - стоъjTO Q < { - с (ри{. 4.8). По; кольj{,' j1О условню ле,'число {- с является ЗjjачеЮiе,'1(х), то на (егменте [а,можно ука;;;ть TO'jKY d такун', чтоf(d) = {-с. Так !;а!; фyr!кцня 1(:1;) f'озрастает то d с. Расс,ютри м теиерь любу н , схо, fЯщуюс,! К С ио{ле, !ов;;.тельность}м;;лое иоло.ж:ительное чшло.зна'jений аргу;;ента :1;, эле\;енты которой меньше с. На'jина,! снекот;,роГ\, номера N, в{е элементыэтой ш,следовательно{тигДОЕлет!1ОРЯЮТ нераве! !ствамd:1;пс (ОД!Ртакой эле 'jeHTи 1Обр;;жен на ри{. 4.8), так jTO в силу возраст ши,!(;) ириn ;? N с !раЕедливы нераЕенс! ра 1(d)1(:1;71)г). Та!; как11) Так ка" все2):l'n меньше с и, стало быть, прина, (лежат {Х},В ;;илу того, ЧТО :l'~ < С < :l'~ ,(ля любого П,ПГО i]f(!'1-[;Ч'10 111JИетn? NО11(!СЛi' шихша' 1ение"'" свЬ, тоТО' 1кеСХОД1,ТСЯ,са!'с1еравенстввытекает,Iпроизвольная схо fЯЩ,!1 С!1 Кзнач, 'ний ар1 У\1ента, т(!аизпоследоватеЛ1,Ш СТ1,}ноетоС1, ,в/,поса11(!СК(iШЖУ1, Д!шате,iЬШ !'тьДOiiазано, чт(! лево!' преде,iЬсуще{твуетиравнорассуждая анало, iiЧ1iOI=f( с) 1).Е{лиMOi,<HO Д01;аза'11,.
что(с) являетс!, правым предеЛЬНЫМiЮ,'1ением функции вIТО' 1ке с. ~IbI доказали, что правое и левое предельные зна' 1енияФункщш ув любой внутренней точке с р/шны частномуее значению]. а э 10сил'" за\1ечанияп. 1 § 2, означает непреРЫВНОi тьво внутренних ТО' 1IШХ сегмент/,. НепреР1,ШНОСТ1, 'той фУНКЦiiВ граШiЧ1,ЫХ ТОЧ1<ах се, !1е1,та след,,'етиз того. чтонияICOUii'етствующие односторонние 11реде.Пi,ные значев грани шых ТО' 1ках (егмента равны частным значения!' i!';'Нi<ЦИИ.
Ле!'!1а 11ОЛНОСТ1,Ю Д01<азана.Следствие. Пусть uЛ сег,"t.е'J-lте [а,nЮ'J-l'J-lалf(b).ес 'из/u!аif.a строго ,\Ю'J-lО-фУ'J-l'l(;iiUЛ у = ](:1;), U пусть= f(a),эта фU'J-l'l(;ЦU'iuа iег,!f'J-lmе [а,([,8, 00[,а) стfюго MO'J-lоrnо'J-l'J-lУЮ U неn , /е , !'Ь!(J'J-lую 06рат'J-lУЮ фу'J-l'l(;-]-(у).д оа з ае л ь с тО.СiiЛУ тол ,1;0 что Д01;аза1шоiij ле\1мы множ:еСТВОМiН/, 1ений Фуню ,.ии у =являетс!, !'егмент[а,, а тогда, !'!iглаСНОi/,мечаНИ1;iЭТОЛ i пункт/}, н/, сегменте [00,,8] суще{твует обратна!, строго монотонная функци!, х= ]-1iOи 1<оторая110,,<естро!' значе1 iiЙ'то '1У, В сил;' то!'!сегменте [а.З а м 'е ч аи е2.=Я1шяется се, !1ент [а, Ь]само!'! ле" !1Ы, не 1ре! '1,1рна на0'1 !1етим, что монотонн ,1е фУНКЦiiимеют пр/шое и левое предельныеiЮj' 1ения в калсдой внутренней ТО' 1ке области задани!, .
Доказательство этого предложени!,пре, ,о! тав,!,ем§ 5.1ит/,теЛi!Простейшие элементарные функциип ростейши \, Иiлементарными Функци!, ми обы' шо называютс ,едующие Фуню,.Ии: у = хOi, уаХ, ух, у!iin,=cos :1;, У=tg :1;, У=ctg х У=arcsin:1;, у=arccos х у=arctg :1;,= ai'ccigX.Из эле!1ентарно, о курса Чiiтатель имеет представлеНiiе обэтих фуню '.Иях и 0/' их гр/,Фиках. Некоторые из этих функций,1) Мы рассмотрели случай ,толь малого ЕЕ, то ДОСТ;;ТОЧiЮ ПОi 'i!! !iTb d = а ииспользуя очевк iДoe неравенство , - Е ~> О,чтоoi< ,- Е.Еслиoi ;;; , -Щ "ii!ден!iыi'iiсс\i)кiе!iи'ii,',·····тьнапр!'!азнач( ниi(j()jfpcДi ЛЯЮТСЯы ВЫЯС(ap(y((efiTa J;стей llих э(ементарных Фуню(ий ДНf,(значеf нй их aJJГ;(!i'HTOBiЛЯраЦИi fiаш,ныхвопрос об ОffРСДСЛ! нииffpiiвсевозможных вещсствснВiЮI ОС Ш' ЯfiЛяетсяffpi CTf,(Ш ясно, напримср, как вг' Ш( (·ти пр( ·иiв( ,.ъное в( щ( ('твенш((' ЧШ·Л!(J;произво.ън(·ювещсствснн('Юст(l1('Hf(Мы ИЗ('чим также f'OffPOC о (effpepbIf(HOCT!' ffростеi1шн элемент,рных Фуню(ий во всех ТО'(ках о(>ласти их за( ши>(.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
