Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 19
Текст из файла (страница 19)
{тоioжество {х}. элементами Ю {торого сл, жат четные ш iЛОЖИТ1'льные числа 2,4! 6, .... 2n . .... эквивалентно :\!ножеству {у}. Эi€:\!ентами которого CiYжат натуральные числа3, ... .. .. в самом деле, мы \ становимнзаимно оД"озна' iНoe соотнеТСТШiе Me)K'iY Эiе,,,е,,тамр этихiO)кестн, по"ста 11Ш н СО01 ;;ете1 ;;ие Эiе,,,еi2n мно 1,ест;;аЭiе,,,еin множее1;;аОбратим внимание на Т1 " чт,' рассмотренное нами множество {х} 1шляетсяпо,n:.1' iOжестно.1'iOжестна {и}. Таким образом, бесконе' iНoem1аЗ ,шается экни 1алентНi,\ВЗi/,j),Мii"пдпо,,'Нп "ibl'"сное"у поДмно "ест;;уiOжестно {и}2).С !iiiiiBerncii, B1UiM 1!е ",ду элемента.1iИ д;;ухжеств на:~ывается таю,е СООТВ1 тствие. при котором каждом\вого множества отвечает только один элемент второго множества так,ПIН\ это.1' ка)к iЫИ эле менмент\1 P,1of\Q1'0iO)кестна отне'ше1io"лем1'НТУ пер"что10ш,ко ОЩio"У Эiе"первого МНОЖ1 ства.') ЛеГ1<О 1iO 1азать. {то любое бесконе'iНое мно 1,ее1 {Ю ЭКН1ii1аiентно не ко"тором\ "воем\ подмножеству, не совпадаiilшем\ со всем множеством.
Этотфакт МОЖ1'Т быть ПРИН1iТ ,а определ1'НИ1' 1,есконечного множества.fOCTff11' 1'lI"f\'Oчиселf<Ш,<ХMH()ff"'<т" lIЫ fi'ЛИ«fiсл'{;;ое JvИiо;ж;ество,1<'ffffff<Ш<fХ ТИП<f<будеJvt называтъ счетным< Иf опреДf ления СЧf тного1<'1lаш)кесС '1',цующи1'<'{;;в f,валентное мно;ж;ествfj BceJ< натуралъны:/;lIЬП 1'1<"е,,то<'леМf нтыю)кеfэтш о\'0'1lа,<но,ум1'-POBfiТbВся,2чиселое<"тное"в"интерваланазыватъвсехJvtно;ж;ествОJvtJvШ п,ности'{;;онтинууJvШ.ПРfПf'И \'еры С' ,ет! ,ыхfffe<'fe,<ю)кеСТlIю)кеСТlI МОЩf юст" 1<О! ,тинуу-ма.
Первым примером сч1'ТНf ,г" MНf fжества м' ,жет служить рассмотренно1'lIыше мно f<еСffЮ ,е! ных fЮЛOff"пел ,ных 'lисел 2. 4, 6, . <. , 2n, ...[.ругимпримеромона,ЬШ,fХ ,исесчетногоМНffжестваМffжет'<л\житьмножествоибо, 1<ак Ю1<азано 11 сноскеcef<MeHTaвсехрапи,а с. 85. это2)множеств" можно расположить в последовательность C\e:~ повторений, т.
е.заНУ,fеРОllап,.ю)кеСТlIа МОЩНОСfИ КОНfИНУУ'fа \,ожетC,y"Hfbмножеств" все:с; вещественных чисел (беСКОН1'чнаr: прr:мая). В сам"м деле. функция уctg "Х1ус fана:fШ: :faef lIзаимномежд' точками интервала ОВ зак,ючение <юкажем.<х<1и.. ,,о01-\1юзна' шое cooT:fe 'ст шеточками б1'сконечной прямой."'ест"" <' J\Щffост i ' r.;UHmi' "уу <' ,аэ'{;;вивалентно счетНОJvtу мно;ж;еству. Для этого достаточно доказать, чтою)кеСТlIО lIсех lIещеСТlIеш ,ых 'н:сел,теРllала1) ,еш ,зя за: 'умеfЮ:fать.Доп, ,<тим противное. т.
е. предположим. чт" все вещественные числа интервала (О.fюне'lНЫХ[)можно :~aHYM! ровать. Т'гда. :~аписывая эти числа в виде б1'С-.:еСЯТИ'lНЫХХ2Х<fЮЛУ'lИ"fюсле'n:Оllате ,ьность=О,а11(/12 ... а1n ...=О,'1(122 ... а <n .•.=О.аn<2 ... а nn ...Рассмотрим теперь вещественное 'шсло Х = О, Ь 1 , Ь 2 .•. Ь< ... , r,n:eлюбаr: пифра. отличная от (/11. О ИЬ 2 - любаr: пифра. отличная отЬ1 -а'мыи<,:юобше Ь N9.-любая цифра, ОТЛИ'lная отТак как число Х не содержит послеи9.fапятой н\лей и девяток. то эт"'шсло не ПРf:на,ц,е)кит к классу рациона,ьш,:х 'lисел.спосоС:ами В виде С:есконечных десятичных дроС:ей2).,,:х I-\1fУ'fЯНо В таком случае'lИСЛО Х заllе,цомо отн"шо от всех 'lисел Х .Х<' .... ,Х", ...
, ибо СОll,:а<':ениечисла Х с каким-лиСю Х n о:~начало бы совпад1'НИ1' Ь N И (/nn.MaTe'faf ИКОll <ю,гое :fре'fЯ за: J:мал :юпрос О су ::ест:ю ,а:бесконе' ,ного множества {х}. не эквивал1'НТНОГО ни СЧ1'тном, МНОЖ1'ств,. ни множеств,м! fЩНОСТИ контин\ ума, но эквивалентного части MНf fжества мощностиконтинуума. В1963г. а:\lериканский :\IaТе:\IaТИК П. Коэн ,n:оказа"потеза о с\ ществовании такого множества не зависит от остальны:rтеории мноf<ecT:f.
riTOозна'Iaет,что гиаксиом,то :юзмо)юю fЮСf роит, lIнутренне не Пf'О-) Читате 'ь И:\lеет пf ,е,n:став,ение о функпии уctg "Х из элементарного1<урса. Вопрос о строго,' ПОСf рое:,ии ТРf'f<О:Ю'fеf fШ'lесю:х функций lIЫЯС:Ш-1'тся в гл.4.2) См. п.§ 1 гл. 2.ти1l' ,ре е1ШУЮ те()рию мнm1 ''''т"iiiii'ТУЛ, рующуюшяT,iKOrO мн() 1i1'CTiia, 1аЕФ 1КТ 1'г" i оТСУТС 111 !я ,см,iiplIi, МН()Ж1" тв И ЮШТИНУiМ-ГИП()Т1' ,а;\1 ;\1ир,IНЕНIШ;0Те-1мнО1 их СЛУ'ШЯХ ,n:ля исс,е,цОiiа ,ия схо,n:имости ,аС1 "ого {~~ } 1юс,едоватеЛЬНiiстей {Х п } И {Уn} ока,ываето'"полешым i'леДУ'iiЩ1'е предлож1'ние,Теорема Шmо.лъ'Ца. Пусть {Уп}последовательность,пусть11,-возрастающа,р беС1(;онечно 'iQЛЬ-последовательность {-'----'---''-с,о-У'дшnел11,меет11,ет предел а,а.Ta1(;11,JvtTizaai{ 'оn} ехидо телОСУnоб1 аЗОJvt,lim х, = lim х nУпx--t=ДоСХО,',азапсяУn-номер ихn-Уп-1,елом'1,сло,то послеа, беС1iО, ,е'l, юмалая.l,Ю1lате 'ьностьN -'юбойш"йУп-1> Н,ПСПОЛЬ:~i я выражение дл:,X::V+1X::vХ n -1paiie, ,CTiia,(Уп-1 - Уп-2У ,+1) + ..
,') + Q::V+2 (Y::V+2".+а,,-1-Y::v)',ei',айa:IJ::v + Q::V+1 (:IJ::V+1Так как {Уп}рассмотрим сеРЮ i ' равенств:,+1) + Q::v 2(:IJ::v 2 - Y::V+1) ,- Х n -2 = a(Yn-1 - Уn-2'кла ,ьшаяХ,(Y::V+1 -Y::v) +Q::v+, (Y::v+,X::V+2 - X::V+1 = a(Y i +2Х,-симеет Пf еХnХ.ех--7= Уп-Уn,)а,"'_1).во ,растающая С,есюшечно Сюльшая последоваТ1 льно, ть, то,начина;; с некоторого номера, ее э,е:\lенты поло)кительны.
Бт"ем с п!Тать,что Пf и?2У УпО. ТогдаlIiПОСЛ1'ДН1'Г ii равенства получимХ,УпУп+ Q::V+1 (Y::v+, - Y::v) + Q::V+2(Y::V+2УniJ::V+1) + ,., + аn(уnУnfOCTf!имеемУn!la:V+21(Y:V+2-У:V+1)! ... ! IlYnl(?JnуДтшжем. fляTellef !'.это! Оч! о !юсле .. Ю!fа! е. !!·!юст!· {Уn } схо. !итс!Ю . таточно ДOKa:~aTЬ. чт"имеет вреде'!!ля любо! О положитеЛЬНffГ" Е м"}'·.ноуказать но: !ер N !акой, что ПрИ n ~ N выполняется неравенство I Х n- аlуn< Е.
Во-пеf вых, по данному Е > ОNно:,!ерN"ыпол ,щюс,·В"З:iOжен,следовател,{:"Л' -2а n } бес!юнечно мала}!). Далее,ак, ч! 06ы !!ри n ~., юст,·так, чтобы приЕВЫПО'!ня'!' ·сь неравенствослеДОВа! ел, ,юст,·lV!!efПО'·ко·,ьку,юмер "У ~Nаве ,ство I Хл' уn ауЛ' I < ~. Тактс,- ау,,!НС'',,бес!юнечно больша"ay:v} бес юнечно мала}!.
Пустьфикс Иf "вано. а п"ПОЭ'l'ОМi'е ,ерь n ~N.,юследова! ею ,юст,·Из !!ераве!!ства (3.8)имеемХnI ЕЕI --а<-+уnТае: кае: "риизn,юслед!!его~N-иЛ' ~ Уn И Уn!!ераве ,ствауn -Yvуn22> О,тоуn.'уЛ'уn~1.Поэтом\' Пf Иn~NимеемIХn-а < Е.Теорема доказана.3аеа н И е.
Еслиуn-60зрасmаю'щал 6есr.;он('.'Ч,но 60лы1лл nо-послед ,6!, п:е.!l:ЫМ;С'П' '. {~:61'. ,'1>'111, !,я.'11,r.; fiеС':iоне,:нпсп,"niiеделенн.о20 8 нлr.;о,60Л'/,l1ШЛ.6аmелХп УnXn-l- Yn-l=~:~~ }'ПU, ,iJICe 6ес'к;оне==~4n.,'::0} бе' ,«)нечн" б"льш;, ',' Им' "м Пf и n ;:: NA iV(;кладыuа}[ этиpaUj'H(;TUa,f YN +lYN ) ,llай,J,j'М_А~N~+~l~(_У~N~+~l~__У~N~f_+__,,_,_+__А_n__________ +УпУпИз этого соо, ношенI~: I ;::1имеем,"'" + Ап(УпAN+l (YN+lзате,- Yn-l)1_1 X N l'Упложительно",у А но",ер> 4А,такоеNN ,;,',е",енты посte,цовадалее, по задашюм'; ,10-так, чтобы при n ;::N ;:: N,что притакогоN(3,9)УпNвьшо, шя,'юсь неравенствоn ;:: N12А,Воз"южностьN ,УпБу"е"шя опре",еленности с штать, чт"тел, ,юсте,;, {Уп} И {поло}ки,еш,jjы'АпTобеспе'швается тем, ',то после.ювательности{А п } и {Уп} бесконечно БО',bljjие и их ч',ены на'шная снекоторого но"ера,поло}к пел, jj'·I, Очею, jjЮ, jjрИ n ;:: N из HepaiieHC, ,;а (3,9) имеемТаки"обра:~о,.пос, щцовательн"стьРасCi;ЮТРИ", неско',ько примеров,бесконечн"большая,Уп1о, Дока}кем, что если послеДОiiательнос, ь {а п сходи, с}[имее, пре1пдело последо, ательнос, ь {a + а2 : ' , , + а } средш,'" af ифмет ,че"ких шачений ,;',е, ,ентов п"следова,е',ьности {а п } сх"дится к то,;,у",юму Пf еделу а 1), в са,;юм ,еле, если положить al= n,=тоа n , Та,; ,<ак'i!n-а2liш al+ а2 + ' , , + а nсааn = Хп , аliш а n сущеСТiiует,lillln--+'Хn--+'Х,о по теореме Шт, ,льпаn--+""+ '"=n1) Э, О предложение было доказано Коши,liш а n = а,n--+""fOCTf'гДf',а.
nиЦf' 'не п"л()жительнне числ()О, юзн ,чим 1 kна, еш ,IOст"-Х п -1Uп -Un-l,чер"з{ хnifриобретает,ельности {Х пnk,},чер,'зИсслед, ем с ,одимост" ,IOследона-}, Имее,nkCn-lУп -+ nk2k-Уп-11)Н 1Поделю, числи, еш, и Зifаме ,атель ,IOслед ,его RiЧ а}кени" на n kХп-Уn -Хп,,IOлучим11Уп-1-[ .. ,]'где в :~наменателе в квадратных скобках опущено выражение, Пf еде,', Юрого ifрИn --+[ - (k+1ik]2 'ос ране",Из,последне,"',0-форм\'лы ifа'z:одим1k+ l''ле,IOвательно, по теоре, ,е Штольпа имее"1k30,аn+ l''ассмо, рим, наконе" последовательность {а n }, а >иn=Уn И исследуя после,IOвательность {:r nliш Х п УU -=Xn-lУпliш_ а n 1)=1,Полагая=:r 1}, наХОi\ИМnliшn--+оо1П, ,этому, в силу замечания к те, ,реме Штоль !а, и, ,еемп-----t::Юn+ ""ДСЮСiЛНЕНIIE 2О СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ,ПРИБЛщ:'fЖ СЮЩЕЩ:':''fв п,ОПf едел§va"той ,',авы мы дока:~алк что преде" пос"едовательннсти,eJ\IO,',ре, ,'рре, п, IO', формулт',Х п +1="21 ( Х п + Хап ) '= 1,:r n},>ГД(' аО, а}Ю нi юго ЗНiiЧ, 'Нi Ш, ,'"',ьности"va'шлож"теш,ное число, ["!Не,,мы можем ВЗii, ь любт", ЭШ 'ме, 1'1'"аче"этm", последо,,,"При этом, ест, ственн,," нужно выяснить в"Про'" О выбор,' '!ИС''',и ,",'р"ций, об,'Сi1еЧ"В,i1' 'ЩИХVa,ад"нно'" ""гр,'шност,",'Обратимся к П"'"Ш' шв !Т, "',ьности {х,,}, опр, деля,'м"й реккурентнойформулой (3"10)н"з,,[, ,1'1'," элем,'н, Х n Э'1'1'"" 'ШСШДОRi" ,'Л, ,юст" n-мvaВ, "П! !ИнуХп-""'/назовем оmносumелъной по 'решносmъю n-го прибли},",ения,Справе", ,ЛИВО следующее,юст"споб оценке относите" ,ьной по,решчерез о,нос ,тельну'"Пус ','1, Хl вы 'ран".мес '1() не? ',венс101пог ,ешнос,"ер,Тогдо при111 "<',воо,,::: сп+! ~о к а з а т е(3,12)ь с т в о, Из фор",улыХ=,(1имее,"+(3,и к равенству:Так как Х n,аОбращаясь к форму.,а,сп)]=,"получи,"~ф;Оn+l), то, очевидно,1(3,14)П" условию111 <О, сюда следуют неравенс, ватогда из (3,14) присот ношение (3,li) п["ЩIii Л""10ГОвытекает неравенствоn = 2, 3, '" ,n ;:: 1,(3,li),Из ра"енс, "аНо1Icпользуядалееубед ,мс" в i1еотрицательнос, и ;Оn+lиз СОО'1',юше,р'"" Оизi1еотрица-те" ,ьности СП " шя "',юбог" n > 1 вытекает неравенство Сn+l; д" iЯ любо, оn;:: 1, Отсюда сразу же ,юл\'чаем i1ра,юе из "еI aBei1CTB (3,12), у, "еркде ,иедоказано,СJбращаясь к неравенствам (3,12), мы ви ш,НОСТЬ п +l вы'!Ис"',ения"va пос"',е',то относительная погрешитерапий о ,енивается через относительi1ПО ,югреш,юст," с пер,юго прибли}кеНi' '"'и ЧИСЛО nерац",'" Ни}ке м,,[убедимся" что при а > 2 первое прибли},",ение :rl ,",южно выбрать так" чт";01 по абсолютной величине не БУi\е, превышать 0,05, {Jчевидно, ',то притако,"выборе Хl относительная погрешность 101 бу"ет удок,етворятьв шмю"азаНiЮГО i1ами утвержденИ Я1)"" Ясно та"же, что тем самым(от латинско, о с" юва «itегаtiо,> -повторение 7 -резул,",ат ,юв,о["юго "римене'Шii ка,юй-либо математ"чес,ю," операции, Врассматриваемо," с""у',ае nднлiJ, итерацией является вычисление Х"С ,ЮJ\ЮЩЫО ре ,}'рре,1'1"Ю'"' формул,,[ (3,10),2) Есш а4<то а = 1/Ь, де ЬВ.А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
