Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 16
Текст из файла (страница 16)
[n - (n - 1)] 1•• ' 1 ) !Представим это выражение в Сiедующей форме:~"n1СОiiершеi;Тn+1=ю а; аЛОГИ'l+~(1 - n(1 - ~) (1 - ~)(1-~)(1 -~)... (1 -~). (З.6)ым+~1- n +n+ ...~1)! (1 - :1) (1- n+1) ... (1- n:1)1 11НеПОС1,едственным сравнениемХn(-2 1чте) )< Хn +т. е. ПОСiедоватеiЬНОСТЪ {:г n } ,ЮЗ )Хит ilО'ЩaJi.Для ;rоказате.m,ства ограш 1Liенности1ТОЙюс iедовате. (яости сверху заметим, что ка:ж:дое выражение в круглых скобкахв соотношении (З.6) меньше единицы. Учитывая так:ж:е, что ~ <<12k -112n -1З.Итак, последовательность {:г n } возрастает и ограничена сверху.о Teopefe З.15 юс [едовате (яость {Х n имеет [реде.. Этотлюбого,одержит по сравнению<k <и, кроме того, Х/+:iИШНИЙ ПО.)южительныЙ Ч.fiен.;[CBf 1 11CTBA[р(Р11И ПОЛЬЮ,}Н;lЗЫВ;ЧОТСЛ(fl'Шll (льно,lИ1ОllР(f(Л( llИf<i,+-n1)nЗамниеlТОЧИСЛОиграетв lЖНУl) р( ль В мат( м;пике. В наСТliЯЩ( м пункте мыuпределение ЧИСЛ<i е, но нечисла с лю:Сюй сте;YK&3bIBi1eMСПОСООi1 нычисления ЭТOlu[Ы1с то'шости.
Этолет с;r.елаlЮ в пп.§ 16 г..ЗдеСI \fbI лишь OT\feTliM. чтонепосредственно очевидно, что 2<т(iлью'ХПХnто число1и 2< 3и иззаключено впре;r.е.lах(в си.Некоторые свойства произвольньг\§ 4.последовате,!лъностей и чис,!.ювых множеств1. Подпоследовательности читловых потле;л.овательностеЙ. Пусть Хl, :72, ... , Х п , ... - некоторая числовая ПОСlедовательность. 'Сассмотрим произвольную возрастающую ПОСlе;r.oBaTelЬH'JcTb fle.lbIx по.
ЮЖlпе. [ьных lисел k 1 k 2 , ... , k n ...Выберем из ПОСlедоватеlЬНОСТИ {Х п} Э.lементы с номерамиk 1 , k 2 , ... , k n , ... и раСПОЛОl1И\! их таком fl1e Юj"fДке, l1al1 ичислаkn :XkО.ЧИСЛОlfУl1'Xk2... , ;Tk n, •••ЮС lC';fOBaTe.lЬHOCTI б)1демlаЗ;·flfаТI· nод-nос!.едовате.е!.Ы-lOстыо последовательности {Х n }. В частности,самаЮСlе;fоватеlЫlсJСТЬЮСlе;fоваТС'.lЬНОСТI(вХ n 1 \южет iiаСС,fаТРИffаТI,СЯ lialiото\! С! i'чае k n = n . Отмети» сю;r.ющее свойство подпоследовательностей сходящейся последов ателыюсти: есл'и nоследоватеЛЫ-lOстъnРifдеЛО.;'i 'Число а, тоХ n } сход'итс-я и и.Алеетлюба-я nодnО1Лi',}овiiтifЛ!,!!О1тI,этO'Ll nоследоватеЛЫ-lOсти сход'итс-я 'и 'имеет свои.АЛ nредеЛО.АЛ'число а.
В самом деlе, так как {Х!,} - сходящаяся ПОСlедоlfате.mlЮСТ!и азать номер-еетакой,[реде., точто прилю:юго11?с> О можноство I Х nаIс. ПУСТI {Xk n l - некотора,!ность постrедовательности {Х n }. Так как k Nlая сюмераkN, Э.lе\fеlука-выпо. шяется неравен-ЮСlе;fоватс'.lЬто, начи-? N,юс le;foBaTe.lЬHOCTlixk nулоlшепюряют lepaBellCTB)' I Х n - а Iс. По,то\с) ПОДlюследовательность {Xk n } сходится и имеет пределом число а.'праlfед.mшо и О:" -атнос' [ре! ЮЖС'llИС;: если все nодnоследователъ'Н.ости да'Н.'Н.O'Ll nое!.едовате.е!.ъ'Н.ости {Х п} сход-ятс;;, то nредел'Ы !!се:г эти:г nо,}nоследо;;атеЛ',ifостей ра !i!blи т, '.\!уfOCTf!же'f/ш:лу а;н'част юст!!'f/ш:лу'то, imпслпо-следоватеЛЫ-UJстъ}fЬHO,как Ю!"'f(!Шlf (,fЬностъ {:г n } TaK:tKe является ш дпоспедоват( льностью, т(! (!H,i СХ(!;rит!'ИДРУГiiЯfР(f(ЛИ!,f((ТfР(f(Л( 'мнеЮif(i] Ю(подш !ледовательностьчиеюТ,iКЖ(аласходитсяииимееттотж:(а,llодпоследовательности бесконечно больших пос fедовате, fьностей о: '! адают ана.ШtГИЧНЫМ св()йством.ка ждалnо,}nоследо,;аmелыoсif!"беСКОif.е"lifO болъшой nоследо!!а nеЛ'i/Н'!!стu также будет беСКО1-lе"l1-l0 болъ 'пой.10казате.Ш,СТВО этогоутверждения[ре f"ЮЖ( iiИЯаналогичнодоказательствуо подпоследо :атеЛ!iЮСТЯХсоответствующегоСХОДЯЩi!ЮСiе;rова-тельностеЙ.а м е ч а н и е.
Из каждой сходящейся пос iедовате,iЬюстию выдеiЛЪМОiЮТОН!iУЮ С!iОf!!Щ\1!!СЯ ПОДiтельность. В самом де,iе, если {Х n} тельность и а-ее предел, то [!меет мест() по i!pai~tНei~i мере (!ДИНиз Сiедующих трех случаев:Ы!! а Э,iе!,fеiiТОi:точкиiеДОi:а-сходящаяся ПОСiедоваЮСiедовarе1)имеется бесконечно много равf,ности,iюбой Е-О!рестностиимеется бесконечно много элементов, УДОВiетворяющих!c'paBC'iiCTB\ Х nа,iЮ:'юй '-окреСТiЮСТИ ТО'iЮ< а и!'!с'с'тся бесконечно много Э,iементов, удовлетворяющих неравенствуХ n < 1). в первом с iучае сходящейся монотонной подпос.ле;rOBaiC', fЬHOCT!i!Л!!ется[ос. iC';foBare, fЬHOCTf,!аi!НЫХ а ,mе,1! ,ментов.
Второй и третий случаи рассматриваются одинаково,юэтому о! !аiiИЧИ!,fСЯ рассмотре! i!eMHtro CiY'ia!!. е. бi'дем счiпать что в любой Е окрестности точки а irмеется бесконечно мн()го!.Лементов<Хn ,\'ДовлеТВ()РЯЮЩi!Х неравенств!Хnа. Иными с.ловами рассмотрим Сiучай, когда в любом интервалеЕ, а) содержится :'oecKoHeLiHoЮiО !лементов юс.лед(шательности. Пусть Xk о;rин из !TiiX э, iемент(ш, Xkа.бесконечного множ:ества Э,iементов ПОСiедоватеiЬНОСТИХ n , a!iO, f!НТ~ИХС!! [а Иiiтервале (Xk ,а),i<аiiОЙэлемент Xk2' номеркоторого БО,iьше k . Затем из бесконечно<гоюжестваmемеНi ов юсле,;f,оватеЛf,нОСТi! {Х n }, наХОДЯЩi! '<сяна интерва, iе (:1: k, ,выберем элемент Х k" для которого k зk2 .iжа!!-этот п],от~с,сс,аiiичеi ю,ЧИ!,! !'ю->ютонновозрастающ\ юi:ателыюстиХn,свойства подпос iедоватеСТИ,сх(!Дится Кюдпос.леДОi:ателыюст!котора!!Ci,iYiьностеиюс.ледо[<тесходящейся пос iедовате, iьноа.рой Е-о"ре,тно,ти точки а находилось бы ,',ИШЬ "онечное чис,в "ск ,то10 э,,,ементов"ослс'! ша1)Естш бы ,]И одИf! ИЗ эти"" случаев "С и<jf Л мест","ОСЛС', шател" юс""тельности.т.
С.,очка а ТН' f",!ла бы предсло'";[CBi 1 11CTBAР11И ПОЛЬЮ,}()тмеТИсl, ЧТi'11 ;lЖДОЙ 1с(С l О l (Ч l {со llсШОЙ последо l;lтельЮ1 тиЮ ВЫ.l.еЛИl ь \юнот()1б< С! О l(Чlбо.lЬШ\ 111 П(iДпос:леДОВ11теЛЬНltТЪредельныеОпре:де:с 11 nuере {/ л1-l () 'йточкиТIоследовастельноссти.Лi"l?ШбеС?Л1-lе"l1-ЮЙ ПРЛJ>1Лй 1-lазываетслтn''!())ШСJUс{f()патеЛ1/JШС!f1С' :!n}с еСЛJJв любой c~0'КpecтH0cт'и этой mO"lK'U 'uмеетсл 6ecno1-le"l1-l0 J>i1-l0гоэс и'с1!енто " nоследо ;аm еЛ'!11-l0сm!! {Х n }''праведлива следующаяЛемма 2. Е! c!11 Х -lемма,mO"lKfi nоследо!;аmеЛ'!11-l0сm!!то 'UЗ этой nоследоватеЛ'Ь1-l0ст'u МОЖ1-l0 выдел'uт'Ь nодnо{XkrJ, 1ходнщуюсл 'к "ll[!cJY Х,Д О К а з а т е л ь с т в о.
Пусть Х -предельная точка ПОСlедоlОСТИ {Х n }. РаСС\lОТРИ!) ClfCTe\!!' c-ою!еСТllостей ТОЧlJИ Х.llaTeдЛЯ которых с ПОСlедоватеlЬНО равнов перв()й lfЗ/2, /3' ... , 1/n,1ТИХ 1Jl1реСТНlJстей вьн!,ерем Э.lементXk...ПОСlе;;.о-вательности {Х n }, ВО второй окрестности выберем элемент Х kcтакой, что k;; > k;.
В третьей окрестности выберем Э.lемент Xk;>такой, ЧТО k зk 2 . ЭТОТ п],,!Т~есс Mmlc Ю lрО;;'О.lжатъ lеОl iаllИченно, так как в любой с-окрестности точки Х имеется бесконечно МНОliЛементов ШJс.ледовательности {Х nПО.lУЧИМ ПОДПОСlедоватеlЬНОСТЪ:!kl' Xk2В реЗJ!лыате мыxk n , . . .llатеЛ;l юсти {Х n , КОТО] ,ая С:JО;;'ИТСjj к Х, так какпос lедо1XIIXknnЛемма доказана.3 ае Ч аи е.
С lравеllИfЮ и обраllюе ,!твер +,:lеllие: ес-lИ lfЗЮСlе:lоватс'.lЬНОСТИХ n } \южноlИТl по. щос.ле:lОllа-тельность, сходящуюся к чис.тrу Х, то чис.тIO Х является предель-юй ТОЧlUJЙЮСlе.:l.оватеlЬНОСТlf {Х n }.nса\юм деле, вlюбойс-окрестности точки Х имеется бесконечно много элементов вы;;.еlенноЙ ПОДШJс.ледовательности, а ста.ЮlibITb,и самой ПОСlедовательности {Х n }.Таким образом, мо:ж:но дать другое определение предельнойюсти,ЭКВИflаlеllТlОllре;;.еlеllИfi'1.TO"lKa Х 1-lазываетсл nредеЛ'Ь1-l0Й mO"lKO'Ll{x , , С1 ли из этой nоследоuаmеЛ'i,uостиJ.nо "J>iOЖ1-l0 выдел'uт'Ь nодnоследоватеЛ'Ь1-l0ст'Ь, сходЛЩ!jЮСЛ 'к Х.()тметим с.леДУНJщее утве]!ждение.JleJi!M<J 3.
Каждал сходлщалсл nоследоватеЛ'Ь1-l0ст'Ь llJ>ieemтол'Ь'Ко OJff.Y nредеЛ'Ь1-lУЮ mO"lKY. совпадающую сэто;;nоследоватеЛ'Ь1-l0сти.о к а з а т е лсв о. ()тмеТИсl, lЮ- lерllЫХ, сrто,едел асходящейся последовательности {Х о,} ЯВ.lЯется преде.lЬНОЙ точ110Й;ТОЙ пос.леДОllатеЛ;l юсти, ПОСlJОЛl: 1 !'11il\ОЙ c-Оl 'точки а содер:tкатся все элементы последовательности,,С'СТНОСТlfначинаяс некоторого номера, Убедимся, что у сходящейся ПОСlедова-Tf[О !те.]:ти нет дрytи/: П] iедеЛЫfЫ/: трчекЬiЙствите.nТОЧiii i Ci:ОfjfЩСЙСЯ послед: fii/lтею·:п} м! iЖНО выд! (лить подпос:леДОВilтельНi стъСiii'fjfЩ\ 1iiСЯ К Ь. нопOt:ая ПОДПОСfеДСН/Iте;ходяпей;'ПОСПСДi.iватсльно; ти им! (т прсдсл а (см.
пи ПОJТО:';:сил\{:! 1i" },1этi.iго пар/трафа),Ь = а.П] iИве;rе:)П] :iiMe]де.iьные точки.ЮGiе;rоватеiЬНОСТii,И:'fеющеЙf iieП] :е-lОкюкем, что ПОGледовательность11123n1,2. - 2, -'2 .... -'2 ....имеет ТО.iЬКО две преде.iЬные точки О иТОЧiiИ2.Очевидно, что этиii.ШПОТСЯ предеЮi ibIMii то: iкаМii:асс.fаТРИiiае:.юЙдоватеiЬНОСТИ, поскольку ПОДПОGледовательностъ 1,. .. , 1/n, ... этой ЮGiе;rоватеiЬНОСТii И:'fеет преде.ЮGiе;rоватеiЬНОСТf, ...
,...ЮG1/2, 1/3, ...а :iЩ-И:'fеет преде.]1J\ТИХпреде.iЬНЫХ точек у этой ПОСiедоватеiЬНОСТИ нет. В самом де.iеп\ сть ;Т - Лf: :(':ая ТОЧiiа iИСЮВОЙ OCi i отли: шая ifT то: [ек О и 2.Рассмотримох~!-'------';'="'==::7:----:''с:с:с:2'="'==::7);:-----7'----~с:Рис.с:с:ющиесячеi ii.Лементы послеДОiiатеЛ:iЮСТИ, иточкит.
е. х не3.ноитеюхнаходитсяjfeTC5fП] :еде;Т2(piiC.то3.1).В Е-окрестностях точек Ои3.1сностиО,неперекрываЕ-окрестностиiИ llЬсодержаi ся,некоторогоюэтому в указаiконечноеЧИG юа'iИi аяномера,всеюй '-окрестееэлементов,Юii то: iКОЙ.СущеСТRЮIь;шие предельной точки у ограниченпоследовате.!iЪНОСТИ. Справед iИВО Gледующее замечаi юе ут iiерждеНii е.Теоре,м,а 3.16. У uс,я'К:ой О:'ji::if1l'Чi'ififОй nоследо ;атеЛ:ifостисуществует хот,я бы одна nределъна,я mO"lna.Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как последовательностьх n } oгpaНi! [ена, то с\:щеСТiiУН>i ВСiщеСТiiеННf,fСi iИGiа m и АIтакие, что все элементы х n ПОGледовательности {х n } удовлетворяют неравенствам rn :::;; :г n :::;; М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
