Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 7
Текст из файла (страница 7)
пь ;;олняемых ;;0строго iiпре'ii Jlе,шы 'с, пI iiБИJl 'Ус'. приво,цятт~ая ПОСJlеговРi'ше ,ию Ш" ',аВJlе,шой Зi, raчи.ч,,' "а Шi,-ГА В А2ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛИзшементарногс, курса читатель Ш\Iеет представление ове нественных числах и о том, что они неоБХОДIIJ\IЫ. наПРIIJ\Iер.ДЛ~i НЗ\tерення отрезковiiромежуткоi' i'ре\tеtш. Для у![ения нюiшх представлений о важнейших J\IaтеJ\Iaтических поняП1Я>:fюt ~iТИ~iХ fiере\tенной велнчнны, фуttюши и пре'дела требуется tальнейшее развитие теории вещественных чисел.Расс\ютр", например,пере\tеt tую Еели'шttувремя. Для сравнения меж. [У особой ра шичных промежутковвременинамщественныепраЕИ.Ю,не! н'fХОДИМС,чис.,lа.ПОЗЕО.уметьИными:/iП~еесравниватьсловами,f'bl~iCHHTb,какоественных чисел является БОЛЫfШМ.i,iX измере·tшЙ Bpe\teHH приводнтнияопераций сложенияимыизмеждуюлжныДifУХсо. )С,Йвеустановитьданны"i'еiП.еПрактика последовательнеобходш\юсти определе-умножения вещественныхчисел ивыяснения свойств этих операций.
Отметим также, что выяснеше· основньр: свойстf' веще:СТi'еti,iX'шсе:л\10ДЛ~i об-основания при мени мости к этим чис.,lам правил элементарнойа.1,1. СВОЙСТВ5f Р,fЦ.10Н,f,iП>СНff,fХ 'fисел. Напо fшн что f ,ациoHa.tbHbIM 'шсло\: азьшаеТСi чнсло. представимоевиде отно ffения двух llелых чисел 1 . Из элементарного курса известопреде:леtШ~i операцнСЛOJ},ення\ШOJ},ення f,ацнОttалы i,iXчисел, правило сравнения этих чисел и их простейшие свойства.Здесьы пере'шслносtювttые СВОЙСi ра [)аlшонал ,llЬP: чнсе..вытекаЮIIше из соотвеТСТВ\,ЮIIШХ свойств llелых чисел.Фундаментальную роль' среди сво: ,ств игрюот три правила:1) О.':Н;: и Т;: ж.' lf::ц:ю"аJlЫЮ'· ч::'.Юличных целых чисел. Например,12"4ав ".ю в виде и: нош:'ния раз-6п р а ворс у ме нр о:~а в ие даоа :~ о в аяяЛюб!!tO i!i;(], РП//~'IJ,()UfIЛ'h'Н'Ы:!'i'/l,i ЛПбой'/1, ЬТnОЛЪi,'о OJH'/1,,\!1/3 rnр,3 'ш'КовЬ, тnп Ь(J,ны\tИ (ЛОf'i', су!, 'гстn IYI'/1,>I'C,i'/1,звО,iЯ'!i)ЩtOtO!jСТnШfшв'/1,m'Ь"'К(],'К'/1,,\,!'1/3I'/],J/,{), по!j'К(]'3fI'Н' (ъ/'Х:з'!ш'Ковсвя-заныl два да'J-i1--tыlx ра'ц'Uо1-tаЛЪ'J-i'blIХ: llt'Uсла.
r:yTO fIpa; "j'lJIO наз >1f~аетсяправил м сравнения 1 ).1. Су!, 'гстиует nравИ.10, nOi'ptOiicm/J{).M 'Которого,jюб'Ым ilBy.M]JaЦИО'НЛЛ'Ь'Нъ/'М 'Ч,ислам а и I! ставится в соответствие оnредсле'Н:нле Ра'ЦИО'НЛЛЫ-lое 'Ч,ИСЛО С. 'l-tазываемое их сум.МОЙ и обоз'l-tа'ЩI мое i'И.мвО.10.М= а+Ь2iахождення.ыiаЗi/!Ваетсяс л о ж еи еСущгст!iует правило, nOi'ptOiicm/J{).M 'Которого люб! илдву.м рацио'l-tал'Ь'l-tъ/'М числа.М а иставится в соответствисоnРгдtOЛtO'I-t'l-tоi' рацшmал'Ь'l-tое'!'U! ло с. 'l-tазываtO.мое их nроизвtOiiе'l-tигм и об /. i'l-tа"!аtO.мое i'имволо.М с = al! 3).наiiQjiiД(i tИ!iПРОНЗВСiДе tИ!iназ /if'аетсяу м0-жениеJ\I.! ! еречислим теперь основные свойства, которым подчиненыуказаН!iыеi'I)!jiipaBH. [а.! ! равило сравнения рациональных чисел обладает С,;lедуюсвойсТ!ю \i:с вЪ/,те'Кает. что а > с (сво! /ство траниз а = Ь иil'Ыте'Кагт.'i1nО а =сiЗИТНВiЮСТИ знака =).1 0 иза>иЬзитивности знака(СIЮЙСТВО).Ilравило сложения рациональных чисел обладает.
сле. iУЮЩИми свойствами:20а+ Ь = Ь + а переместительное свойстве/ ,+ Ь) + с - а + (Ь + с) (сочетательное свойство);(а40 существует Ра'цио'l-tал'Ь'l-tое 'Ч,ИСЛО тmmе. что адл.!! любого Ра'цио'l-tаЛ'f/'l-tогО'iисла а (особая роль нуля .+Оа1) Прапило срапнеНИ5f рациональных '!Исел формулируется так: Дfiане отрицательных рациональных числа аЗН!!!iOi.!,чт!,ша ц!'ЛЫХ ЧИСJl!!·ml= -nПl2= -сп··/!аны тем !!,еП2n'iTL1;П'1n2и Ьша неПОJlОЖ!!'if'JlЬШ,IХ р!!ш!онал!,ных числа а и Ь связаны тем же зна!iOi.!, что и дпа неотрица'! еЛЬН!,IХчислаI Ь I и I а 1;н! е Ч!!/·.,Ю. тоесли а ->неотрицательное, а Ь-отрицательное рациональ) Прапило образопаНИ5f суммы рациональных чисел а = ml и Ь = m·'пlопр!'Де.!Я!"l'/!Я посре'!ство.! фОРi.!у.Пll!!,I -ППl2+-поП'1n'П'JПl2ТН= ---'=------=-..:.ПlП2,) ГlраВИJlО образива !ия произв!'Де !ия рацион !.!!,ных ч!!/·е.·! опре'!, Jlяе'!СЯпосредстпом формулыП?1 Тn2:jля{U)'fJОЛО;Ж;UОГа'чrnоПраfШЛО ум fOж: fШ~f раЦfjj\' ;-ШЫ ых 'ШС: л обл \Да:щн(Ш fУЮ-ff,г,{j(твами~uЬ - Ьа (пеРСJ\Н (тит: lЬHoe (вой(тво)(аЬ)с - о(Ь(:) :~очетате~:(,е свснств!)),608" существует )ю'Ционалы-tое число 1 ma'l\,oe, что а· 1 = а dлялюб: !го рачионалъногО'fисла а (особая роль единицы)'для fmJfCaOZO ра'Ционалъного числа а, отличного от Н!jЛ.КСУ!, ,гствует обратно~ е.МУ число а' ma'l\,Oe,'fmo аа'1.Правила с"-южения и умножения связаны следующим свойCT;~O\f:100(a+lJ)i'ac+1 с(распределительное свойство умноженияотносительно суммыСледующие два свойства связывают знакжеf Ш~fи11 Ои>со знаком сло-\ШОj+<ення:а>Ь>Ь+ > +выmе'l\,а~т, что асЬи сBblme'l\,aem.
что асТН:.Особая роль принадлежит последнему свойству:'l\,a'l\,OUn бы ни было ра'ЦионаЛ'hНО~'fИСЛО а, .МОJfCНО'fUi'ЛО120 из а>1fJовторитъ слагаемы.М crnолъ'l\,О раз. что полученная су.мма nре({зойдет а ).Пере'ШСfеfшые 13 свойств обьп ю fазывают о со вм и с в о й с т в а м и рациональных чисел ибо все другие ае{JраическиеCBoffcTBa)тих чисел, относящиеся к аРюliметическим действиям и к сочетанию равенств и неравенств,могут быть извлечены как сле~ fствие из указанных основныхсвойств.Так, например, из этих свойств вытекает часто используе\юе в даЛЫfейше\: своЙстf'О. ПОЗВОЛ~fffiщее fЮ'fлеfюfаДf,шаТf,неравенства одного ~ шака:C'C'IHаВ самомиЬс> d~то а+сfеле~ 1П неравенстввьпеf<ает,'fTOа+++Ь и сdи 1П свойств110+ с > + а из ПОСfед;ш>:вытекает, что а + с > Ь + d.неравенств и из свойства 102.
Об измерении отреЗЮJ35 ЧИСЛО350Й оси. Из элементарюго курса нзвестно, что ДЕа отреЗf<а могтт быть СОИЗ\fерю\:(KOГ~ [а отношение их fЛИН выражается рациональным числом)и нес:шзмеримыми (примером неСО1гзмеримых отрезков могутс"lУЖИТЬ диагональ и сторона квадрата).УДОГJfЮ сразт же ввести в расс\ютреfше ЧНСЛOf:ую OCf,. Число(Юймы будем называть прямую, на которой выбраны определенная точканачало отсчета), маСfffтаГШЫ(f отрезок ОЕ1) Это свойство Ч!!' ~! О fiаЗ!,IБ!!Ю~! а1.:сио.мо'Й Архимеда.(ДЛfiНУ е;пр,шЛf iШС'\ыI С iИiае'J j,авной еДi,ш,це) и п(\ 1ОЖi,ТС,10ОlА:те(твенно,с(ютвz:т(твшf'ОШi, ,{ает:~,fдачаJ'v[К,fЖ, юй точк;в; ):~МОЖНОСТi'по; тав; ,т;,ЧИС';l ;ВОЙ (НИ НСКОТОРО!отри lательным-иле'i{,"11[Ю овчи(ло,"Ыр fi;;ающее ДЛiiНУ отрz:зка':iто 'ШСЛОПОЛОЖ;iТz:Ш,;;ЫМ, е(лиа-i,HOi(ч;,таiЬ;у СТОрО;;У ОТ О, Ив ПРОТИВНОJ\I случае.всего заметим, что !mждо.М!j ]Ja'И,ио'Нллъно.М!j числусоот (етст;;ует на'!Ui'Jювой оси оnре:Jеленна,il тО'!1И.
В самомде,;е,;eMe;;TapHoioизкурса ИЗЕест Ю,1частьn;лина которого составляетка ОЕn -любое це,как[юс ["роитьотрезо;{;лины мас;;пабного отре;-положите, ;ьное число).\'таш, быть,мы можем построить отре юкоЕ М;Рис.2.1АВ(7:)длю ася к;{OTOPOiO ОТ;ЮСiiТ;лине масштабного отрезка ОЕ, как rnде m и 'п-целые ПОЛОЖiiтеш,ныечисла. Считая, что точка Е лежит правее точки О (рис. 2.1) и отложив отрезок АВ вправо (влево) от точки О, мы получим точкуJ'v[l(М2 ), соответствующую рациональному числу\ieCTC,с['е\'существова ШС'ляет утверждать, что не;eCOiiT\iep', \ЪР:+: (-:' ).отрезков позвоBi'e точ"Х:и числовой Oi'U соответствуют ршционалън"Ы.м числам.Естественно, возникает потребность рас;;шрить область раlшо;;аш,шг,: Чiiсел и ВЕес[iiв расс\ютреНiiе такие Чiiсла, ;{оторыесоответствовали бы всем точкам числовой оси и позволяли быизмеритьа;-o--"LL'"'-'-,-,-С'--"--"LL'"-'с;,о- - - - - - - < 0о'!,!,'~и по;{аi;;е\;Мы опише\' сш llиальный'ИС.2.ШiМОЩИотрезо;{.РМNпримасштабного отрезка О Епроцессизмеренияотре;ка О J'v[ числовой оси'[ТО ЭТОТ процессn озвол.яетnоставитъвсоответствие любой точ"Х:е J'v[ этой оси не"Х:оторую вполне определенную беС!,онеЧН!jЮ дес.ятиЧН!jЮ дробъ.J'v[ -;i';'jая точка ЧИСЛОВОii с,си.
Ради определенностипре, ;положим, чтоJ'v[(как и Е) лежит правее точки О (рис.2.2 .Будем измерять с,трезок 0J'v[ при ШiМОЩИ масштаБНОЕ' с'трезка О Е. 11реж,;е всего выясним, сколько раз целый отрезо;{ nЕ ук;адьшаетс[отрезке ОМ. MOiYT [[редста;нтьс[ д;аслучая:1.Отрезок О Е укладывается в отрезке О М целое числораз с не;{ОТЩ;,I\; оста [ ;{о\;N,j,[,шим Осм. рнс.2.2).Эii)М[у iiie Ц( ,tOе '!МСЛОpt :~ультат 'iТjfереш iЯnОf,ieTсо,юй прибm,jjiенныйС ТОЧНС'"iЪЮ ДС' ед! ,ННЦЫО! ре;)к ОЕ укл щываt ijЯ в i;тре;Кt ОМ цеlO' чис.lo(J,j'рс"'TiiTKa, Т Эii)М слу iiie чнсm'jjie [тедстав, fЯС" Ct ,Гюй приб,jj;енный PC;:~Y [ьтат и:~меРС'f !М,} Щ) HeдocтnaТn:KYС ТОЧНО С iЪЮ Ю единицы, ибо отре;,)к О Е укладывается в OTpt :~2ке U 1\11 ао раз с oCTaTKollIY1\11, равным U Е 1).Выясним теперь, сколько разка ОЕ укладывается в остатке110часть масштабного OTpe:~]1.;[.
Снова могут представитьсяша случая.1 1iO часть отрезка О Е укладывается в отрезкеМ целое1числоal ра; с некоторым остатком Р М; меньшим 10 части отрезка ( )Е (см. рис. 2.2). В)том случае рациона [ьное число ао, апре, fставляет собой ре ;ультат Iпмерения по Н! tjocmam'X:y с точностью2) 10ЧИС,;iО alао, ачасготреЗfiа ОЕ укладываеТС;i в отрезкеNMllе,юе+1 раз без остатка. В этом с';iучае рациональное ЧИС,;iОтакже fiредстаЕляет со{юй реЗУЛi;ТЮ измереf!М,inО недо-сmаm'Х:у с точностью"OTpt зке N /\'1а1ю 10' ибо 10 часть ОЕ укла fывается враз с остаЛiО""; Р , ,'!,1к!авным, О часг'Продолжая неограниченно указанные рассуж fения, мы придем к ifecKo fао'аоа...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
