Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Именноэтому авторы стремилисьносттт ттзложеНТТ}lнттй. В 'lастности .13гл. l(горитмическая сторон\'ЛТТШТ', зате"Ti1M, r;leiToвозмож:но, к ;iЛГОРИТМИЧдока;ателТ',ст13 теоре"13flычттслеПРИ(JЛиженых мето.;юв вычисле шй идаю, f,БОСНО;lантте этттх ,1етодо;с.Кроме осно;шого мате!,иала, а13ТОРЫчтттТ',про;юдимыхпер13. ю очередь Пf,дчеркн\ та а;;13fHMOfl<HblMнетшто! ъ;е допо;шитеЛhные 130П! 'осыflк;;ю-напечатанныемеЛЮElI шрифтом.При наПИСiШИИ fТОЙ книги авторы ИСПО;ЬЗОВ"ЛИ некоторыемеТО;ШЧf скиf' приемы из курс\' леКЩIЙ. В.
Ефимова и из из"естныхЭ. Гурса Ш. )К. Валле-П\ссена и Ф. Франк;ина.8А13ТОРЬ! !'чтттают е130ИМ 1l,ШЯТНЫ!! дОЮ !;м 13ыразтттьб !агодарность А, Н, Тихоно !у ,ia многтте ценные идеии ОГРОМНУl!i помощь, ОКi1за lНУЮвторыlШТОР!;} оВСС:,ryбокуюYKaiaIOT}l,таПi,lХ Нiшиеания,тойl'луfюкошр lЫШи llMapi"BY, раБОТilредаКТllРО13анию ЭТО!'l кню И еllосоБСТ13013а;!а знаЧll-Ti,lK,K!'тельному ее улучшению.Авторы иекренНJ'. Ефимова, Л.
Д. КУIРЯВпе ,аособенНJ; А. А.са большое КОЛll чест13!; меТО,;шчееких пр!'БУ1I,ilК1 и С.Фомина за проC\JJ;TP отде;;ьных !а!,' и еде !анные ими заме'lанття, . ХИМ'lеню;П. З:шкина и А. Зо ЮТi1рев 1 за помощь при ПО,;lготовке рукописик печати.965г.ИЛ'UШI) Э. ПОЗИЛ1\;ГЛАВА1ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБОСНОВНЫХ ПОНЯТИЯХ МАТЕМАТИЧЕСКОГОА§ 1.ЗАМатематические понятия, возникающие приописании движения1.М 1ТСМ 1ТИЮ1 изучаст количс<твснокр;, жающеГ f 'ст! ,анственные.
)лементарчалТ".ным1i1ЯматемаТИЮfчентте,'01 ношсния.ОГР;ШИЧИВi1.етсяКОJлтчеСТ13енныхИ про-нас миралишьf,тношенттйипервонапростран("твсн ых форм, ибо она ИМf"" 1\СЛО в основномnОС1nОЛ'Н:Н'blм/и веЛ'/t~tif'НДМ//t И с простб\ШИI\ПI геометрическими фиг;, рами(ТРСУГОЛЬНИЮ1МИ,Э.;;ементарноЙ1ШЯокружно<тями и,faTe.\;aTllмеханическогоП .. Понятий И МСТО.:ЮВо;·;азьшается недостаточно ДЛ"l fillиса-движенияи других протекающи:,Bf,времени ПРОfif'ССОВ. Выясним, Ю1.КИf' новы С мат, маТИЧf скиf' понятиянеобходимы ДЛ"l ЭТО1 1).2.
( '0 всяким ПрОfi,С\ ("ом6fЛ'/tч,it.1-lР , т. е.го ПрОfсвязано ПРf'lставлеНИ f ' о n;p',MP1-l:ifO'Llтакой величине, которая в ус ювия:, даннопринимаст различные значения. Бою'" того, в<який,роцесс хара1·;тери;уеТС"1в\,личинами,'UЗ,МР1-l'1-l'U'ю меньшей мере дВ',ере\;енными'Х:оmорых 6ЗG:U.НОС6ЛЗО,1-l0.Рi1.ссмотрим, 11iШРИМ\,Р, М\,Хi1.НИЧ\,СКОf'lВИЖС1lИС мат\,риаш,1\ви:tI-сеНИ f ' ПРf'lставляст собойНОЙ точки ПО ПРЯМОЙ линии.,роцесс и;менения llO;Ю,f,ения точки на,ря ,Н,Й JЛТН\ШС тече-1lИСМ времени. С укаЗiШНЫМ ПрОfi,С\ ("ом <ВЯЗiШЫ 1\ве псрсмс;;е"и ;инысчет-13ре,р1HbIf'путь .
пройденный точкой (,т на';ала от1.Для :(ар 1ктеристики рассм 1триваемого 1\ви:жения ну:жнораемся;ИШЬ ВЫЯСНИТЬ ТОТ круг вопросов. с которым нам в да.·fЬНi'Йшем(е'." сегре." f1'1'1 .С" К его'! "·l·" фор ·".',лиронка>", а посега-1)'РИДi'тся ИМi'ТЬ дело,2{)гл<нать,ffT начала отсчета находтттся т' fчкаffeHT 13peZfeHH, т, е, ну 'ffНif <нать завu i е1-И '0('0 то'Ч,nоu, от вре, fJeHUмс,:,аПIКf' Ti)на каком расст, fzшииданный моност"!; nути ; прою за,шсимость назьшаЮТ!а (ономми, ЗiiКОН 1\ви:tКf ния ПРС1\СТiШЛЯ Г1ШТОРf;} О1'iаждоz'"zначениюИныzш СЛО"fа-соfюй ПрiШИЛОЩiемени :с ста,штсяПОСРf'iСТВОМсоот"сеТСТ1311еопреде:тепное ',1начепие пути у, пройдепного точкой '1а времяTiiКOro ро:ш ЗiШШИ]\1ОСТИ МСЖ,:iУШУМЯ псрсмсн:1:.ыми х И у,при Ю,Тf'КiЬТ:< каЖ:Дf ,муzначению переменной х ставится в соотВс' 1ТТВИС ОПРС1\СЛСНз ii)ЧСiШС переменнойтолькоприра! С]\1О1 РС ши,встречаются Нi'меХi,шичеСКОГОШИЖСПIЯТf,ЧКИ, НО И при fюисании других фишчески«Мi)ТСРИi),ЛЬпроцессов.,\БСТРi)ГИРУЯСЬ от конкрстного физичсского СО1\срж:а шя перlZfeHHblX :с и у, Zfbl llРИХОДТТОдНОс'" иzчсски:, ПОНЯ1 ий - n01-i,ятш{) фУЮ;;ЦUU 1).Если13а l,нейших Zfате,\1аЛ1-'с"р;дств (М'.;,отUР02сnа:ждомуощ " деле1-i-зна'{ениI0чтоное 31-iач"nере.м, 1-i1-iа,яЛ'fет,с,яПри этом ПСРСМСННi)ЯнаЗЫВi)Г1ТЯ аргУ.менто.М ра! см )трифункции, а СООТ13еТСТ'lующее даннос'"zначение llереМС i НОЙназыВi)Г 1ТЯ 'f.lJCm1-i'bl.М 3Н!! '{ение,\" ФУНЮ lЛИ в точке х.,1:ш ,6 сначеНИz1 ф\ Нi'iЦТТИ ис "'ль (, ются следующие си ,f130iibl:у=у(х)у=]илиJ,в ",следне z ' обошаченш БУК13ана ъшаемаz1 характерllСТИКОЙ фУНЮШИ, ПII\IВОЛИЗИРУСТ ую)занвыр'" правило.
Ec~КiаСС\1атртпаЮТСZ1 рашТ',те функции, то д:ш обозначенття:,аР:Jктеристик употреf'ЛЯ1 J1'СЯ разн ые буквы. ПО1\черкнем, чтоДЛ1 обозначеНТТZ1 аргументафункцтти 'Ю',lсе не обязательно упо-(fYKBbIпереме iНi)Ярттстттка этfSи у. Напримср, записявляется ФУНКllJIейS = h(t) означаст, чтоlfprYMeHTa t, причем xi1paKTe,t'\ функцтти обозначена б\ к,юйКак перемен ,(lfЯ величина, так и ФУНЮ lЛЯ обычно :,аР:Jктериз\ ются разлттчными Ч:ltCJlе1-i1-iЫМ:U 31-iаЧJ1-i f'fMi;,. Поэто <', угл\ блеПIС ПРС1\СТiШЛСПIЙ ofl этих понятия:, Тс'СНО связа 10 с неоБХО1\ИМОСТ' '" Рi)ЗВИТИЯ теории вещеС1 венны:, чисел 2 .1) Вне lение',JатеfJаl'ИlZУ ПОН}[ТШiго анг'LИЙСКОГО ученого И. Ньютонаf'lЗf,шают с и ,Je"e ,,; неШfКО-(2) С'седует отметить, что понятие функции и понятие числа относятсятасс "аЗf,шаеМf,!,J 7iа'tаЛЫiЫМ nО7iЯrnuям.
Каж,'юе из "а'ШЛf,н(,!Х ПОН"Т"Ймо «('т быть ра:~ъяснено, но всякая юпытка дать опреде',ение нача',ьногопо "ll'И"СlЮДИ ['С}[ К за,Jе"еопре,'<еJше,<ю,о по "ll'И"нача' ,ьными понятиями читате' ,ь :~HaKOM иlным понятиям относятск например,ЭК llшалеНСГНЬ!,<l.'<' ,ем('нтарного курса.нача' ,ьl<ШЯТИЯ ПРЯМОЙ'LИнии и П', <скости.21ВОЗНИКАЮi iИЕ ПРИ ОПИСАНИИ'iCP013нкпттйпройденны пеj'13i,на';аJlЬНО непоi'ассмотк)им нспсо;,ько1) И.ше~тно,ть1\ви:tк 1ОЙ мат, риал ;ной точкой при П;i"'НИИ пот};,а"'йствием силыо "РСДСJlяется::)ш форчу:та и предстап:тяет сооой ПРdJШЛО, посредстпоч которого ЮiЖЛОМУ зн iчению переменнойзначентте ттере ,iеннойtстави; ся в соответствиет.
е. оттредел};етнкцттю аргуSt.мснт;\,2)S"Пi',акон,находящттхс;два раШOIII\Iенна расст; ,янттиrых единичньт:<др, г (,т др, га,,аряда,пртттяпт iаютс};с(илойр=сНСКОТОР;iЯ конста iT;\,. ЭТ;i фОРМУЮi т;ш:tке ПРi'iставляст10, llOсреДСТ13 i 'М ког,ро;;,)аждо,'"значенттю;еремс jj1ОЙ(т шится В (ООТВСТСТВИi' З i;iЧСНИС переменной Р, т. с.-llра,шiю\,еде;};етка;,)нкцттю,ieHTa r.ар;шу:; примеР:iХ пр;шило сопост шления аргумен-'М!!'ЩUтаЗ;iШН;iзывастсят, 'iч,е,)iMYJ'i,i.jаю,,'}СПОСi ,бШii JЛ"U-f,'/kM.;iРЯ,;iУ с этим спосоfюм су НС, твуют И ДРУl'ие с; ",собы ,адания функпии. Отметим некоторые и' них.
Впр;\,к ;'ике фИЗИЧi'СКИХ измерений вссьа",требитеJlен m.аБЛ:U'J'Н:Ы'йЗ;iШ шя фу Ш:iiJПI, при которомТТТТСhшаютс};ШIЯ13.iprYMeHTaзначентт};штдеитабшщыcooTBeTcTBY;i"'у"обвы,на';есие имРис.1.нкптттт. ЧаСТi, ,а",исттмостьМСЖ,;iУ аргумснтом и функцией за1\;i'Т,Я ПОср,'iС ;'вом ГР;iфика,которы,}например, снимается на ОСЦИЛJlографе. Такой СПОCi,бзаданття Функцитт назьшается гlюфU'JРС'Кi{,М 1).3. Потрсбности физики IШОГ1\;i ПРИВО1\ЯТ к неоБХО1\ИIlIOС; ии" чения функпии У = f(;rаргумент;т KOTOpi,,} сам представляст (оfюй некотору;р ФУНКiiJIЮ х = rp(t) нового арг:рIСНТ;i t.В таком сл, чае 1'0 , юрят,чг, У;редста13л};ет собой,JIC1-iУ'j{,ФУ'!!,'Х;ЧШО ОР,,'У,М, '!!,m.п t,:Е Н;iзывают npO,MJJICymO'f1-i'bt,М аргумснто",.
Эт, CiЮ",Н, ю функцию мо "ю, ,аттттсать 13 след, ющем "иде:У= J[rp(t)].ассмотрттм следующттйДуст"мат, риалокруж:ности Р;iШУCii1равномсрноскорос;'",'Под!, ;бн\"€ О С u;собах задания функции СМ. Г•.(;J4.BP;i,(рис.по22гл:акон ДilИli l'НИЧl ПрlН кции У эт"й точки на НСlШТОР\Jlежащ\13ПJlОСКОСТТТОС'СР,\ жностипрОХОДЧlЩ\осьчерезее',снтр О При этомн'м счи "ать, что в момснт врсмсни t - ОТОЧlШ М находтттся на "сиОб":НС1'lИМ чсрсз у координатуРllссмаТРИВill мой проею!Лиоси Оу, а черезугол01/{ }чеiLИДНО, что уR со!::с С дру} ой СТОРОНЫ, ",скольку точкадви:tкется по окруж~пости с УГ:ТОВО:Й скоростт,юwиВ момент времсни t = О НlIХО1\ИТСЯоси 01/, то х = (lJt.
ТlШИМ образом, у!редста13JlЧlет собой СЛО:JfC1-lУЮаргум,нта t: уR cosг:с =или= R cos (l.Jt.ЧТО 1\ви:tкение по ЗlIКОНУУcos wt механике на ..:Т',mают гарМО1-l'lt'JРС'J);ifМ 'J);UJuба1-l'ltР.М.==2.МГНОВОНН!lЯ скорость И свя!!анныематеf\нати'!ескиефункция у =1.f(:cней новые[о!нятияllредста" !яет соб"i[ ·;аlШН ДШlже-[шя мат, риальной точки по оси Оу.
Для Хllрактеристики 1\ВИ~жеНТТЧl 13аl!lН!Ю П"Jlh играет поняттте C/JPJ1-lРU С'J);l,/юстit,. ВЫ'lИСлим сре1\НЮЮ скорость VсрJВижущеii:ся точки з,! промелеуток,срементт отдо+.6. , где - фИКСТТРО13анный МО.\[ент "рементт .6. сУ - неlшторое прттращентте 13ре\[ентт. ПОСКОJlЬКУМО.\[ентвремени х 1\виж~ущаяся точю) на:;о:штся на РlIССТОЯНИИнача!iаf.6. уoTc'leTa а 13 MO.\leHT 13pe\leHH сУ + .6. сУ+.6. х), ТОf+ .6.
сУ=f(x)отна расстоянттттПРОЙJl нный точкой Зl.l вр' мя .6. х, рав, нПОЭl "му средняя скор"сть Vcp равна.6.--f(;Y ._'::::'у_ f(x+'::::'x)-f(x'.::::.х6хТак как момент Щ емени сУ фИКСЩ ован, то и: послед Je(\ форМУЛЫ ВИ1\J!О, Чl О !\:р являстсяхарактеРllСТИКИ нера13номерно}!ЛейД lИl!lенияaprYMCHTllх. Длянарчщу со среднейскоростью, (ЮЛ ,шую роль играст понятис .\4УjЮl1-l1-l0U C'J);opocmuв 1\l.lННЫЙ MOMCJJT вр(!м(!ни х.JИг1-l0вР1-l1-lUU lf,ОРШП;ЪЮllРОСТО C'J);upocmblO 13 MO.\leHTвремени х НlIзывастся число, к которому приближ:астся з JlIЧСJШСсредней СlШР, ,сттт_ f(x+6x)-f(x)v cp 6!Бког.:ш ПРОМl'Ж~УТОК времени.6. х'стреМИl ся к нулю.ФllзттчеСlше lOНЧlТllеНi.шенноi: СlШРОСТТТ я" !яеТСЧl ист"чJШКОМ важного мат(!матич(!ского ПОJJЯТИЯ nроuз/юд1-l0U.ЯСh "т конкретного фИ;И'lеского c.\lblCJla функции у(х),MblJeM~НlIзывать nРОUЗ60д1-l0Й этой фУНК!!JШ в фик."..
6 уСИРОВilНнои ТОЧКl' :с Прl' н'л, к которому стреМИl (яf(x+ 6х)6!Б- f(x' пртт.6.стремящеМСЧl к н\ ею.1\poZ:b 6х=МГНОВЕННАЯ2iпсрациюCKOPOCTl,ЩЮТТЗIЮДНОЙдu,ффеffе((,v,u])ПРТШ}lТf'юдна}f функции у =фИКПIРОВ шной точю'ИСПОЛЬ1У}i ТТЗlfестныfifЧiff тся символомнаЗЫlfатьданнойJ(f(х) или(х)СИМ130Л д;ш f,б"lна'iения предела, lН,ЖНОЗ;.шисать{(х)=/:::,.уliш=~x--+o /:::,.~x ,оассмотрим некотOf ые ПРТТ\lеры.\ычислим MrHOBeHHYiff скорость м \теРИ,iЛЬ юй точки, п;\дающейдейстштеl' сттлы ТЯf;fесттт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
