Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Придадим ат гументтв точке t{) ПРОИЗВОlЬное, отли"l'l-tое пт 'l-tул.я. приращение ~T. Этомуприращению соответствтет прирашение ~y функции ;1; = <p(t).IIриращению ~x в свою очере, lЬ соответствует прирашение ~yу =Лг) В точке Уо. ПОСКОЛlЖУ фУНКlIИfl У =Лг)пре шолагается дифференцируемой в точке хо прирашениепойв то [ке :То MOil' !'т БЫТl, Зaf !Исанориде (см. § 2)~y = f'(xo)~x1)+ a~x,(5.32)СИМВОЛОМ {.f[cp(to)]}' мы обозначаем производную сложной фУНКЦИИУ = Лср(t)] В точке t =to.17(;гдеоП"f(лив р,шеf [, тво (~,.32) Н"6.t,буде\ иметь_ .f·'(xo) ~T+ 00-.Zi\t(5.33)теперь в равенстве (5.33) 6.t -+ О. Так как из дифференци~руе\ости фунюшй= <p(t)TO'fKe to вытекас,т IO'ffpC'pbIBHOCTb,той функции В точке to, то.
в силу разностной формы ус.ТIOвиянеffрерывности,-+fрИ-+ О). ПОЭfО\'" MO!f< Ю ттверждатьчто существует преде.!Ьное значениеliш(5.34)00=0.i:>.t-+OKpO\feх =того. в силу треБОЕаюш диФсl ереfЩffртемос (И фунюши<p(t)в точкеtC!существует предельное значениеliш ~:". \t-+O ~t(tC!=(5.35)Существование пре fельных значений (5.3 ) и (5.35) обеспечирает сушеСfтование предеЛfЯОГО значеНЮf (fРИ-+ О) все\правой части (5.33) равно; о {(хо)<р'ет fредельное ЗНа'fение ( fрИ f(;t -+.
Ста.Ю быть. существуи леВОf1 fасти (5.33). Поопреде.fению прои:~во. fНОЙ ука:шнное преде.!Ьное значение равно fРШfЗВОДНОt'\ СЛО!fШОЙ фунюшинюtoJ[<p(t)]ВТе\ саМЬЕTO'fKe to.докаЗaffа дисl>ференцируе\юсть СЛО!f< юй функции В ТОЧf{еи YCTaHoВieHa форму.fа(5.31).доказана.а м е ч а н и е. Мы рассматриваш с южную функциюT,ope\fa 5.53у =f,где=<p(t),т. е. брали,];в качестве ПРО\fеif{ТТО' югоаргумента, а t в качестве окончате.!ЬНОГО ар; умента. Эти обоЗНа'fения. коне'шо. мо; ут быть изменены. Часто тдобнее бываетрассматривать сложную функцию вищ У =[е и = <р(х ,т. е.
брат'в качестве ОКОН'fатешяого арг\ \leHTa, а некоторуюпеременную и в качестве промежуточного. Для этой функциисIюрму.fа ДffФсl еренцироваНЮffринимает ВffДfу' =,р(х)],=),f'(u)<p'(x)(мы опустили у соответствуюших ЗНа'fений атf ументов(5.36),]; иНу.ш. имевшие вспомо f ательный характер).Прю\едемfримеры ИСfЮJьзоваНЮf ТОЛf·f{О[то до {азанногоправила дифференцирования с южной функции.1о. ВЫЧИСЛИТf ПРОИЗВОДfфунюши {! = earctgфункlШЮ будем рассматривать как с.ТIOжную функцию вида у = е игде= аl'СЦ'ИСfюльз\' фор\\лу,.:56), ЮIIУ'fЮу' =(юсtgу)' = e1l _ 1_01 +Г~= earcl.g.r11о'+Г~77Вычислить прои ;вод fСЮ функциир,н:сма; риВ{)Ть f<af< сложную функ2l;kff;;ЛЬ:~С~фор>. слу (~;.36),= (2 и )' (:r;2)'3функцю;')и, ГДl;;;лу'шм- (2 !! 11;- 2'1 11;При р, сем, ; [п(нии ук,; :ан [ых двухмы ;;fде.но ЕЫ! ;·fсывалиf<ЦЮf состав.да;шсю сло;;;нсю функ;ш;о.
В это>.;. коне' шо. нет никакой н;;обходи>.юсти, и на fраfсикеfиффереНIIирование сложной функции производится сразу безраС';ене;fЮ; на отдельные соста;Ш5Пощие фунюши. Наffри>.ер.. 75У = агсsш'х,у =V1 ~ 1(75х)' (7r':)'ох=V1 ~75(75х)2Ixl < 1/75).здесьТеоре>.ш5.5 и содер;;;ашеес;; вправи.Ю пос;едовате.Ъно переносятся и на с;учай сложной фунюши, яв. шюшейся суперпозициб\ трех и больше} о числа ;! 'снкцШ;.Рассмотрим пример такой функции.
Пусть треi;уется вычис4".лить произво. fНУЮ функции У =5;mCI.g(,r 8 ).1Iосле. ювательноприменяя прави.Ю ди;llференцирования сюжно(\ функции, получим( ~1)----8х'.1 +;168.Логарифмическаs.l ПРОИЗВО/I.ллаs.l.стесненной функции с любым вещественны;;';Пiiка.за.те ..!Ii:М.
Таблица ПрiiИЗI3iiДНЫХ ПРiiстеiiшихэлементарных функций1.Шlоллs.lтие логарифмической прОИЗIЮДНОЙфунюшя У = I(х)ппло:жurnеЛ'Ыia идашюй то';кеРассматривая.lnТогдаfифферен шруема вэто;; то' [<е ссществует11;= 11;f(:1;).(х) как с южную функцию аргумента х, мыможем вычислить производнуюпой функции В fанной точке хfринимая= f(;i) за [роме ;;сточш;й aprC\leHT. Полсчи>.[!nf(;i)];(5.37)=Величина. опре fеляемая формулой (5.37: нюывается логарuф.м·/t'ч/';х;оЛ nроuз;;од'НоЛ фуню ши У = Л:1;дю шой точкекачестве примера вычисшм логарифмическую прои:~во. fНУЮтю< называе>.юЙ creffeHHo- юказател;;юйf<ЦИffU(:Т?;;'МЫ уже знаем из п. 2 § 7,;то эта функция определенаи непрерывнашя всех значений хнеffреры;шы и;(:1;>Teffep;для которых Щ х!\Ъ; дополшпеш,нои 'иютребсем,чтобы и(х) ии х) iы.ш шфференцируемы f.ЛЯ рассматриваемых'Шit t(ний[ТОТ"гда.:r;!ппоtсииравнау'-IV(X) lпи(х)1' -u!(х) lпи(х)И3 рсшенствd.дуюшзю+ v(x)(5.31:')(').38), уч.ИТЫВd.Я чти У -(lюРМУЛЗдляПРОИЗВОДfЮЙllИЛУч.им елеС [е tенно-показател, ной(!,ЗНI\:ЦИИ:,уln и(т)=2.
ПРОИЗВО/RЛЛi1:>fфункции с любым вещественным IIоказателе и. Пристзпи\ tettepf кf·tслениюпрои:~во. tной степенной функции у = х й с произвольным вешествеfШЫМ юt<азате.fе\· й.буде\' Bf.f ШСf5tтf· tршtзводную!той функции дш тех значений 'х, для которых !та функцияопреде.fена при любом й. а именно дш значений х, прина. tле-iТiащих по. fЗПРЮ,ЮЙ 1)>О.
Имеi! в риду, что всюду на по.прямой хО функция у = х й '!ОЛО;)fCumелъна, ВЫЧИСТIИм логаtесt<Зю tРОИЗfЮДНУf!! этой фунКlШИ. Так t<at< lг!lг! J;тою} арифмическая прои:~во. tная равна,й!!.- = [й !пхуОтсю [а. учитывая. что у =ной степенной функциихйполучим формулу(т й )' = aiY Ct -!ля прои:~во1.[аким обра:юм нами вычислены прои:~во шые всех простейшихэле\lе,парны:< фунКlШЙ.
(;обираi! воедино все РЫ шслешtые [роизводные, мы по. fЗЧИМ следуюш"'" таблицу, уже выписаннз!"нами в л. 1.3. Таблица производнык сростейшик элеi!'lентарнык=йiY л1 . В tастности. (~)'30. (аХ)' = а Х lпа40. (si J;)' = cos!уч,!е,о(О:(JI)!=C~)·а 1-1). В tаCtности, (ltT)' =.!..>0.< а 1-1). В частности. е'!С)' = е Х .11т. где m -!<ел'"не'" !н'"чИi Ю, фУНЮ!!'lЯх '" определена 1ia всей беСnО1iеЧ1iОЙ прямой. О.
!дако и Б этом случаедостаП)'lЩ) !,ЬПИСЛИТЬ:" >у"а.,а!!""Й!ИШ!,!Я.Ш!'l"НИЙО, ибо указанная функция ЯБЛJiется 1iечеm1iОй и ее ПРОИЗБОДНУЮ ,'JШзначениii :"О легко ПОЛУЧИТЬ из этого соображения.<ИНl, \l'И \НТН(;;-6(I.g х)' =т(ctgТ)ТЬ-юпх = 1 + tg 2 Х Х i- ~2 + 1Гп, где1СОБ18.1)'= _( Ю'сtg.....:: )' =< ,];--====(агссоs х)'(1 + ctg:i ,];)1V1-x'!i-n,гдеn= О, + 1,n=)(-l<х<l).1--2'1+:11. (агссtg х)' = _ _1_.+гл.мы вве.Ш ипербошческие функции у = shx,уCll ,У = IЪ иcJh:J;, катары е явля}<)тся прастымикамiшнациями паказательных функций.
Из апреде.lения этих=§4=элементар10вытеl{ают слеДУЮllllel'ырю+<еНИ11д'Шlи:<праизва. [дых:20.13CllX = SllX.1ItllX)' = ~.-+ (Хch :"150. (ctllXY =shхО).Указанная таблица вместе с прави. lамиlиффереНllираваниясуммы. разнасти, праизве. l.ения и частнаl а (т. е. фармулами16)) и lраЕила\ джl:фереШШРOl:ашlЯ С1Ожна;'\ ФУНКlши саставляет аснаву дифференциальнаl а исчисления.YCTaHaB.leHHbIe праВИ.lа и фармулы lифференциравания пазво 11ПОТ сдеlаТl§7адин вю+<ный вьшад.как такай функции. катарая выражается через прастеЙllше :лементарные фУНКlши 1Осредство>.
чеl ыре:< аРllфметичеСl{1 1действий.4мы вве.Ш панятие эле:;;; ::тарно'!!и суперпа:шциЙ. паСlедаватеlЬна примененных канечнае чисlOраз. Те;\1Qже\' !!твер/l<даТll,[та.1!'!обо{! элеme1-tmар1-tOI'l фу1-t'К'ЦШl представляет собой manJfCe эле.меюnарifУЮ rfiУif/.'Цit.ю. Таl{И\l абразам, оnера'Ци.. :!.не выпдшnn нас и,! 'Класса .iлеJvtе1-tтар1-tыx фу1-tnu.uЙ.§ 9.ИнвариаНЕ'lЮСТЬ фОРМЕ;l пеРlЮГО дифференциала.Некоторые применения дифференциаланвариантность форl\llыI первого дифференциала.кан le § 2 мы устанавили, что.
для случая, кагда ар} умент Хявляется 1-tе,ювuсuJvtoй j epeJvte1-t1-tПIl, lифференциа. функции у =(:r:)О!f(Л fется,-.f"( х )ОХ"вптfмы ДОК, i+«M,в\:р! "льш>й И iпр,шедлива ш(5"39)[ТО фор>. (ла(5:59)ЯВ"Ш\:Тi'только в iлуча\:, юн д"iШЛiiется Шiа;шсимои пере>."ешюЙ, ш, иуни"р! ум\:нтiЛУ'fае, ,'!!>гда аргтмент х сам является диzj"iференцируемой zj"iтнкциет некоторойновой переменнойУказанное свойство дифференциала функции обычно наз; ;i'ают '/tiiiiаРU!ium,носm/ью е;'о фор >Гiii".Итак. пусть [ана fифференцируемая в некоторой точке х(I;y; fiЦЮf= .fC!), аргумент J; fiОТОрОЙ предстаВШСiТ собо(\ Д;fфференцируемую фунюшю х = cp(t) ар; умента t.таком случае\ыI \юже>.
раСС>.faтривать у 11:011: i'iOаргументамы5.5t.[cp(t)]а х как промежуточный ар; умент.производная у поопре. fеляется формулой= г С!)ср! (t).i i осколькупеременнуюмы можем рассматривать как незав'Ufроиз;юдныементуt,;.40)J; =иcp(t)ди(I;Ф( реНllиа. юв эт;·fdt. .=.t[cp(t)]=сог;асно установленному в концее.{.t[cp(t)]}'=~Y.!,.tВставляя эти значения производных в формулу (5.40)димпо аргт-равны отношениюпри [аЭТОfi;е вид(5.
1)\шm;<аii обе fасти раЕеНСТЕа (5.41) [а dt. Ю;\"ЧИ\i ДШfв;ч;ажени е (5.39). Тем самым доказана инвариантность формы перво; о диФ(I;еренциала (['тнкции, т. е. доказано, что i,ai,случае, 11:0гда аргу.мент х является не;юв'Uс'U.моU пере,м.еннпи, та11:caJvt является д'Uфференц'UруеJvtoUфУН11:'ЦUi''ilдuфферен'Цu{!dy фУН11:'ЦU!i= .fравен Jiрп'Uзводнпu эт [й фУН11:'Ц'U'U, у,м.нож;еннпU на д'Uфферен'Цu{! ap;'y>"'iim.a d;yПо-. [ру! ому свойство инвариантности дифференциала мож'U в случ.ае, nnгда аргу.мент хно с(lюрму.шроват;, TafCу =равна отношен'Uю д'Uфференц'Uала'Ц'/tIi'iУ ар;'у> '" иm.а d;!,1) То еСТЬiiакарг(когда:"некоторой другой переменной..f(;сегi){! 1)11: д'Uфферен[.42).f'(J;)ной, так и в случаефу Н11:'Ц ии,ieHTявляется неЗ,iВИПi\ "Й переiiiН-сам явл ,ется диффереНi!Яруемоii функциеiil'lHIZ\l'И\HTHiii81ТЬрс BeHCTBii Сна\' в42)liiльш:йше\'ПОЛЬ:~ОВ{l,ТЬ iiтш)шение dy !ЛЯ iiБО:~НilЧ( НИЯ прои:~во, lНОЙ функiiXСИИ )! = .f(;Y) Ш) аРГУ\iепу ,1;Зilметим в :~ilключение, ЧТii после TiirO, Юl,К "CKa:~) Шi ратво С 42), ПрiШИЛ ii СИil>ф( ПiНllИР, сВ{ lСИЯ СЛОЖШiBelliТТРИНИ~,Гi1ет вид ТТрИСТOluтождествCi:_ dy diжеРИД lриобретаетНИЯ обратной функции:(5.4:5)lрarсило Дllфil еренцирова-(5.44)ilX(fy·Подчеркнем,однarло что рю еНСТЕатриватъ как новые методыilюРМУ'и(5.4:5)антности пеРВОl оlрИи(5.43)(5.44)неЛЬЗil расс\!аюказате,lЬства теорем5,5СУЩСiСТЕенно ИСПОllЗУlОТ(5.44)и5.4,и(>оинвариlиффереНllиала, установленный нами именно{.теоре\!ыФОРМ,i Л,I.iЛпраI.Jила вычислеЛIИ:>l ,'ii',i,,",-''-V'",Мы доказали, что дисl>ференциа, (lij функции у2,=paBCiH lРОllЗВОДНОll ЭТОlllЛЦЮl.f'), У\iножешюй на iТп,гг,пС>i,_ренциаl ар} умента dх.Гаким образом, таблица производных,Bll сисаШlаi! lами.3 § 8, lРИВОДИТ К СООТЕетствующей таблице lиффереНllиа,юв:~1О.
(l(;УЙ)=i i,!!a-lcl;1;. В lастности, (lloga е dx (х2, d(1og a х)Х(l(1 i з; = ах.30. i/(a~) = а']; 1пш1х (О < а i' 140. (l(siy) = cos ~;dY.50. a(cosx) = -sшхdх.26°,dl з; = -di;, - = (" l+tgY)d!!СОБ 2;'!'а1.частности,частности d(e'];) = e'];dx,( з;+пn, где= -(1 + ctg 2 x)dxSln:"i/(arcsinx. (l (aIccos з;1) .1 + :r 211 '. сЕ'( агсс tg )х=i'l (, С) = ах( v Ji2fi'n=+1,:"70. i/(ctgx) =±1, ... ).<О, О= _ аХ'ах---о+хi'пn, rl,e= О,шо вы теК,"JTмы,след; ЮЩИСJ пр,шр"Ш, ,сти,=±и);л,'дл;;рышсле;;·Шпр, 'и ;ведения и частногоdu±',!и+d(uu) = vduv-о3 .
.использование дифференциала для установленияприближенных формул. Хот;; какВИДСЛИ в § /, диФ<lfерею шалфункции у =не равен прирашению 6.у }тойфункции, но С точностью ю iJесконечно ма. юй iюлее высокого1ЮРЯД;Jiа,;С'М6.:1;с ;paBi длив о;риб. ;;·;жеююс' раве;;ство6.y~Ут; юсител;шая 1 погрешность этого равенства ста; юв; пся скол;·уго. ;но ма.ЮЙ при достаточно ма.ЮМ 6.х. Форму.;аляет;риб.шже;шо за>.iе;штъее дифференциалом;риращение6.\/(5.45)позво-;JiЦЮ; У =1IIреимушество такой замены состоит втом, ;то д;;Ф<lfеренциал (l\/ заш;сит отлинейно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
