Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 36
Текст из файла (страница 36)
П, "" §гл.15),11:~C да {уТ':ГЭТИВf1Чf,СЛЕОНИИюи {;юд; ;,ТЕОюи {;юд;;ых"'10В"! ';jMC{; об" ша' ШТ1УfЮ{1р1 '\1ЕОН!И,,1 ;ЮЛj \1ИY~С; ,Л\ св' ,ЙС;же'"1!(1 ин {j1риа; ;тности ПЕОР;{' '10 шфф< РЕОнциаЛj1зj пи,а; 1. 1),dу=ф'(t)!lt, !Jx=УХ(t)dt.Из 'них формул по. 1УЧИМ следующее выра l{ение для первой производнои:1f,,' {ti.ер! (ОАна.Ю1И!ШО ;{Ы!ШС 1{;ютс{;юиз;юд;;,1e ВЫС11ШХ по] !{;дков. Так,(2)для вычисления второй производной У х 2витьдостаточно предста-ее в видеd(y~)';хи ;юспош,зо;{аТhСЯ фо]юjiправилом Днффере;(5.58), tpeThejiю {ани{;из фо]!faCTHoro.При м ер. Вычис шть первую и втору;) производные функт~ии.заданнон па] !Ю,1ет] !;jческн:Х=!i(t -SiIl t),= а(l- cost), -осКривая,определяемая!!U'J);,ifOUaOil'ними< t < ос.уравнениями.называется').Получим-,.,------:- = ct g"2(t[ctg~]'а(1-1)При ':)то"и2!ik, 1де k - т~елое),1costiи той )ю· точкеtи.
1.Ш01НОГО Иdt.') Циклоида представляет собо!! траекторию некоторой фиксИ] ованно!!точки окру)кности, катящейся i;ез iколь)кения по прямой линии.Г л АА6НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛв 'Ной главе будет рассмотрена задача о восстаНОВ.iеНШIi1О нзвеСТi1Оji пронзводной"той ф' iIO~H . Актуаш.ф'ность '-)той задачи была выяснена в гл. 1.§ 1.11.0нятие первооfiрнзной функциии неопределенного интеграла1. Пон,} [·ие ъъервообразъюй сl?ункции.ЧiiСЛУ важныхзадач механики относится задача об определении :шкона движеню}\iюериа.ihНОЙточ},и[10 зада}1ОЙ ее скоростзадача об определении заКО}iа движеНЮfi,а тю,жес юр ости \iюериа,ТIt.ной точки по заданному ее ускореНШff 1задачи ПРИf1ОДIfТ к \iате\iатичес}юjiюб.iеме о iiЪМ };a'I-t1tлпо задш-tной nроизводной этой функции.Переходим к рассмотрению '-)той проблемы.Оnределенuе.
фУjjf;ЦUЛ Р(х 'J-/дз'Ывuеrruл nI) в оН О йу н ки е йдллJ(x)интервала (а, Ь)fб3пер в о о б р ан о й)(n ), е(в любойхдифференцируема и шлеет nро-или простои.!водную 1" (х), равную f( х).а м е ч а н и е. Аналогично определяется первоо! "разнаяДШf ф'(х) jj.a беl II!jj.e'l'l-tOilU jj.an !лу-Inрл,мой 2 .Пи м еры.1) Фунющя I··(x)~ яв.
шется первоf(x) - -~ на интервале -1, +1),есоi>разной Д ш г[!унк !ИИl-х"'НТСТО .П:КОРГНИЯ материалт,н"i! ТОЧКИ "НйКНО;0,. ';;Т;.Н'ЙСТi\У'ОЩУ'О наэту точку силу (и;;о, согласно ВТО1 ому закону Ньютона, сила определяетускорение ':ПОЙ2 II i\ооБПfе ;faплотном 6 себе ";ножеСТi\i'ного В себе множества см. в§3гл.2.{.i}.Н.ЮТ-ибi>любоН Ti>'iKfO :г эт, 'гоПfOр iiiЛi i(2) Функцпя F( г)цииI(x) - C,iS:J:тi>чю'i'H.l.:J: ЯВ.JlЯ( т! я Ш РВi>i>БРii Ш, ,й для функна бfOi iii>ШiЧШ)Й>!iMOji (-ос, 00 , нбо вбесконечной прямой (SiIlF (:гln:J: ЯfiЛЯfOТСЯCOS:J:=3)>"i ф'О, ибо. в каж:дай тачке хна аткрытай палупрямайх;-)Тай пот прямай (lIl х)' =ШОЙ дл1.;сЕсли F(Х)i!iется пеРiюабраЗiД(а, Ь), та.
ачевпдна. и функт~ияTepBaieф' {КТ~H(х) наС. где С -бая пастаянная, является перваа()ра:шай ДiЯ функт~ииинте] ша,iе).Естественна, ваЗi нкает iюпрас,нва Сiедуюшаяf(x)насвязаны между сабаН раз-личные перваабразные для аднай и тайiiед}-F(x)ГfiУНКЦШIf(x).Спра-о/'Нов'Ния теа] ,ема.6.1 EC,i!,H 1 х) и F2 г) - любые nервообраз'Ные для(х) 'Ни 1mrne/iB л (а, Ь)в/юд!! 'Ни этом 1тпм l!вuл!(х) - С, где С - 'Некоторая nостоя'Н'Ная.ТеоремафУ?niv,1t!!F 1 (х) -Дру!и\ш СТЮ!iЮ,Ш, Д!iе любые>ваабразные для ад!функт~ии магут атличаться лишь на пастаянную.и тайД а к а з а т еь с т в а. ПаЛQ}fаIМ ф( г) =1 х) -F2 х). аккак каж:дая пз СfiУНКЦПЙ 1 (х) и(х) дпфСfiеренцпруема на пнTepBaTle i), та в снлу теаре\!ы i f .3ф' !кт~ня ф(х) днффереi!т~ируема на интерва,!е (а, Ь ). причем всюду на '-)там пнтервалеф'(= F{(x - FHx =х) х) = О.II10 гл.
8 метадамн, не испаш,зуюши\ш >еЗfш,татав'найг!авы ) будет даказана теарема 8.13 с!едуюшега садерж:ания:есш функция ф(х) дпфСffерент~пруема всюду на интервале (а, Ь)и есш всюду на этам интерва,!е фi(х) = О. та фунК!!Ия ф(х)является пастаяннай на пнтервале (а, Ь ).'най теаремы паЛУ'iЮ!, 'iTa ф(х) = F 1(x) - F 2(x) =caIl:,t,что. п тре()ава,юсь даказать.Следствие. Есл1t F(x) - о 'Н а и,] nервообра,m'ых фУ'НК <иидля ф!j'Нкv,n.1t J (х !ia 1mтi/iвиЛ( (а, Ь)лбяра,mая Ф (х) для фУ'НКIJ,Шl j( х) 'На июпервале а, Ь) и,меет видФ (х) -2.(' (х)С, где С-'Некоторая nостоя'Н'Ная.IIеопределенный интеграл.Сово? iJn?! ,сть все! n!/iвообриз'Н'Ы!f (х)n1) 3ii'iСТИМ.
Ч,(, (".ioBi ,!читаться после гл.8.ф!j'НКv,n.U'На и'Нтервале (а, Ь) нлз'Ывается'На л ооn '6 И 7 бгз ущгрбаМы выдвигаем главы'Н ех)ПО(('Г· iiНТИii '>той К((ИГИ '. югут6и7:накомство читателя с техникой интегрирования.вперед, что 'ы ускорить192l:ЮЪIIIlНТIТIАЛэ iiОМ61 )f:T)d:J:ЭТiiМ <>БОШilЧfOниишакHa:~bll:iifOTCil 8if.(],'ji ()MO'1J,i,П!!'~рfIЛfI,l:blPil-lliение f(x) dx - nоdы1tтегралъ1-tъlмM выlа:ж:е1-tием,' а сама ФункТ~Юl J( х) фij1-t'J(;'Ц!JеИ.Ес.ТIl1 р(х) - одна 11Зiвообразных фУЮЩИ1f ДШl фун щии(х) на интервале (а, Ь) ТО, В СИОс.lедствия из тео] ,емы1,JЛХ) dx = р(х) +/где С - любая ИОСТOil lail.ПОд'lеРЮlем, 'lTO еi'Л!!сrnило бы Т!! 'ь ,if.eоnределе1-t1-tыи и1-tтеграл) дллна uюперваJе (а, Ь)су'ществует, то nодыl-tтеграл'ь1-tоеe выра:ж:е1-tuе в фор,муле (6.1)щндi'ТiiавллеТil "',бои дUффi?if!i'Ц1ЮЛ любои !J.ЗnервооiilЮЗн'ых.
В самом деlе, иусть "(х) i,;()ая из иервообразных дляфункции (х) на интерваоlе (а, Ь)(а, Ь) р'(х)f. Тогда f х) dxПри м еры.ле-1<х< 1,1) /Т.е. ДШ всех х из интерваоlар' х) dx(IF.~ dx-иi)о функция р(х)из иервообразных для функт~ии~ + с на интервау1f (х) -- х' является одноЙ~ на указанноминте] шаоlе.2)J cos х dx=SiIl< х < 00,Х+Сна всеЙ бесконечноЙ ирямоЙ -ос=ибо фунющяSiIl Х явошется одноЙ из иервообразных дш функцииcos х на i)есконечноЙ ирямоЙ.ВсноЙ Гlаве мы не будем заниматься воиросом о су'ществова-ни!! иеРllOобраЗllЫХfнеOi1редеоlеlинтегралов) ДШl lllИроких классов функт~иЙ. 'sдесь мы лишь отметим, что в§ 7 г . 10будет доказано что длл в((х)if.auюпервале (а, Ь ), суи\ествует на это,м ll1-tтервале nервообраз1-tил фУini'ЦU1!Оиерат~ию нахождения иеРВООi)разноЙ или неоиредеоlенногоинтеГ]iала от ф'О lIO~11(х)) и]шнято наЗЫl:аТhр о в а н и е м (функт~ии f( х) .е3.
OCiiOBiii,I(' свойства нt:'опредt:'ленного Иiiтt:'l'рала.Прежде всего отметим два своЙства, неиосредственно вытекаl"щие из ои] iедеlения неои] уеде lенного интег] iала:J (x)ilx= (x)ilx .. J (IF(.l) =+ С.l:ОШ'f "fE.Ш:Юграл"2"'и в (луч,'to"J:~f,"' f,И'""f,'toT,fbIlи! [ТК У\d f::~,'и ,"fHO со ,ран "ют' ясслишак инт(тр"ла ,тоитт~иал,," н', в эт""постоянную С.,луч,)р К Р(:гДЛЯ устаНОВ.1ения свойства'л('достаточно взять ДИфС[iерен10т~и&'I от обенх частей формулыF'(x)cl:J:и 'чеСТh,((;.2)'fTO dF(x) =f :T)dx.Дш! установленю! свойсп:а 20 ДОСТЮО'f 10восполыоваться равенством (lF (.1) = f (х ) (l.lлевой 'fасти (Н.2)1еДУf iщие два свойства о()ычно называют Лll'J-lеU'J-lЪ!J\.Ш С60и('ПiваМ1tпеГР&'Iа:.
ЛfоJJх)] (l.l f(x) (l.( ± g х) dx.(А = CC;llst).= А(х±gJПА.!' х)]Подчеркнем. что равенство в формулахШ.Iнхарактер:e10С1едует30 и 40,a;:ef1Cf [1Оi1ОНИ\lат'имеет условправон И1евой частей с точностью до произвольного постоянногоC1araeMo-ПОf10. i1OCf,Oкаждый изпе1ра1Оf:, фюурирующих в ',[ЮРМУ1ах 30 и 40, определен с точностью до прои:~воль10ного постоянного С1 агаемого ).Поскольку две первообразные для одной и той ж:е Г[iУНКТ~ШI\1ОГ'отлн fаТhСЯсвойстваная для[Р(х)fЛНШ1,1ai1ОСТОЯННУЮ.тодл,!доказатеЛf.ствадостаточно доказать.
что если Р(х) - первоо()ра:~(х), а G (х) - первоо()ра:шая для g (:г), то С[iУНКЦИЯG(x[,ШШfется пеРf1О0браЗfдля фушщии(х)g"(x.Это ПОС1еднее непосредственно вытекает из того, что производная (а.1гебраН'fескоЙ) суммы Фуню~иjf ,a;:f1a cY\l\le П]1Онзводных,-mIХфункт~ий, т. е.[F(.I)±G(i)]' =Ана.1О1ИЧНО докаЗЫf:аетс,! свойсп1Оется равенство [1Р(х)]' -1Р'(х) г4.. 5(x)±G'(x) - f(x)±g(x).о. П')том СТ чае НСiЮ1hЗУ(х).Таблица OCiiOBiii,IX iiеопределеiiiii,IХ ин'т'егралов.Dмы ПО1УЧИШ та()лит~у производных простейших'шементарных функций (см.г8. ',),представляюшую собой вычисштельный аппарат дис[,ферент~иа.lЬНОГО исчисления. Каж:дая формула'iТОЙ таб.шцы, устанавливающая, что та и.ш инаяфункт~ияСИЛУJ'"(xимеет производную, 'авнуюопределения неопределенногощей фо]лепутемJмыприходимнеопреде.1енных интегралов:7приводит нас, вк соответствую-пеГР&'If.ного ис'шслеf ня+С.f(x) (lx =акимJ (х),интеграла.В.А. Ильин, Э.Г.
Позняк, часть1кСта()лит~е основных;FаХ5+с(О- cos х+-1-11J Sill Х dx =6 .7COS:1; d:1; = sil1:1;О)< Q ;F 1),ее+ с.+ с.8./~cosnJ е'. (lxtg:1;+(:1;;F ~+ нn,где= О, ±1, ... ).9./~si11"/ (1ХО,n =- ctg х+ССТ;Fнn. где± , ... ).100/ ~~{1+ ctg 2 ;Т) d:1;О./120./130. /1~:2агсsiнххс.-агссоsх:г+=2С+х + С, С=~=11111-+(-l<х<l)..Vх2±JI+С(при-lгl>1).~11111+xl+с2х(lxl;F ).К этиы форыулаы мшкно присое1\ИНИТЬ и соответствующиеы дtЯ iиперБС!Лt!чесю!х (jiУНКЦИЙ:140.150.J shx dx =J cllx dx =160. /170. /d;Tс11ХSl~2xx+ С.+ С.+ С.(Ъхs11x= th= -cthx + С (X;FО).С1\елаеы замечаНШl в отношении форыул4хСПJ'l11;ед 1инаО.
вн,БС!л,1TepHa.111,С,М де1е, ест! х >заКЛЮ'lаем, чтоIdiх4, 12иФормула1е содержащел,= 111X + С.. а еслифС!рс;у;ы1а:(1 х)'1< О, то из форыулыи! iТЕГГАЛ1[111 (-:гформулаопраВiанашя лю()ого:г4+С111 ( -:гх9Г,ымОФормулыи 13 занимают исключительное положение в нашей таблице, ибо эти форыулы не имеют аналогов сре ш формулi;,б tицы ПРОt1 (tЮдных,/I'LЯ ПРОf;ерки формулв,чтс,12и13,1ОСICtТОЧIЮtроизводt ые t(ыра>t(ений, С! с,ящt1Х[равбе/lИIЪСЯ,IXч;" тяхЭтих формул, совпадают с соответствуюt !.Ими по ын,' тральными ФУЮ',llШIМИ.Наша ближайшая цель -/lОПОЛНИТЬ таБЛИlIУ н' 'опре/lеленныхинtггралс,'н,в!Но преЛСi"0/lHOымиtpt1"амичем приступитьме! сщамиtтеil>иrн,'t1Я.реализации этой цели, С/lелаеывалшое ЗaJ\I'" 1ание.В§ 7 гл. 4 мы ввели ПОЮIТИ" эле,ментарноi18 гл. 5н,вt1Лi1, чтс, tр"изв'щная любсJ1Фу н 7'.;'И, ШL, а в п.tтарнойции пр" iстаВЛ,lет со()ой та ,,Ж" элементарную функцию.
Инымисловами, ыы установили, ;то оnера'И,uя дифферен'И,ирования невыодЕтm!J.3 l,лассо, "'тим"разу>t<e,чтс,t1Я де,!"с,б-стоит ина'}\Ложноюказать, 1ТО инт, тралы от Н"i',ОТОРЫХ элементарных функ шй уж" не ,lВЛ 'lются эл 'ыентарныыи фун ',llиЯ\ . Пример;, (t;,Ю1Хtтеп ,;"tC'Bсл\жиt' c.t, Щ\ н'щие:о20.30.4 о.50.60.Gl :Г..{',J(lx.J sin(x 2) dx.J~ (О < хJ (хJlnxcosxdxlO:J1~O:JО).гSiIlX G ,'.хКаЖ/lЫЙ из указанных интегралов представляет собоi1 Фун7'.;чию,,\i(Л;IЮЩУЮС;l элеменrnаРl10'i1 Ук, (анны!' ij'УНЮIИИтолько реально су! tествуют 1) НО И играют большую роль в раз,tичных [;о! рос,;( фt1(.Так, н;,;[тегр;\1,н;, ihша-емыйПуассона1ттегр i!OMиспользуется в статистической физике, в теории т' ЛЛОПРОВО/lн' н'ТИдиф;j,у,ии,[тег! ,;,лы23, ta,hIt;\!'blt,le;;;;;;;;'граЛ(Ц,I!J) Мы уже отмечали, что в § 7 гл. 10 будет ,юказано существование; ,е;>пред,'лен; н',;,н;е, рат; о;,юбой н,'пр"р',\ Е\ н'Й ф; нкпiiи,щ,'С;В\(вание интеграловфункци "7*1-6обеспечивается непрерывно; ;тью подынтегральных1!){;ШЮi i ЯширокоПрИе iСiji<ениях иСiПiiiKeeбе перВiеТI изiTeiT>f,iblвстречан,тсяifCiTO!fblXUHme/pa/fffH'f,J>i Ю, арифJ>tQМ, а после1\ние 1\ва'Ко' 1blf.i;, ()j,I{?пi,У{ОМеiаЭЫi;f,етсяинтегральнымивсех пере' шсленных новых фую"ций (интеграла Пуассона, интеграееlСНФренееШ,с!, икосинуса) состаВi1е:пыиiВИ1\У важности 1\ЛЯ прилшкений, эти функции изу';; ны С таюнее, ж;'как иЭееlеменif,Piые ф\ iКЦii.В!,-общ;' СЛ;' iyeT ПО1\черкнуть условность пон ПШl простсйшей элсмен i'f'T)!ф\§ 2.Основные методы интегрирования1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
