Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 37
Текст из файла (страница 37)
И!Iте!'рирование ЗШrf.еноЙ перетrf.енноЙ (ПОДС'IаНОКfкой). Замена ШiРСЫСННОЙ - 01\ИН из саыых эфф; ",тивных при;'м! 'i; инл ГТНiрования. ЭТОiба5iiр\еi i я на СJliiД\ iс'щемш;'iPii;'ментарном утвеРЖ1\ении.фУlf'Х:'ЦUЛt= <р( х)i}uффереlf'ЦЩn;' е',tЛне'Х:отором J>шо:жестве {:Е} 1) и пусть{t} - J>шо:жество всехr}л;; fjHjH'X:'!J!J1t g (!31j(j"iffHUii ';!f()'Й, фУlf'Х:'ЦU!J. Пуст'ь !}алеествует на мно:жестве{t}gnервообразнал фун'Х:'Цил(! (ltС(!G(t),т. е.+(б.3)~:n~~~:nс~~gв~~б~~~:;Сф~:~'Ц~tл,д;~jв~j%:~2Л;(:)\:~!]~'(Х)(б.4)+!g[<p(x[<p'(;r)dxДЛfl 1\оказатсльства этого утвеРЖ1\ения 1\остаточно восполь-Zifj;aThi Я ipaBii.JlOM ДИфfj;ереНilИРСН:1:и"'1'ТЬ,ПО,ЮС[<р(х} =iiЯ СJlОЖНi Й rl;УНЮIИИ '))С'[;(х); хG'(t'оп! ,едеiению,llре1\ПОЛШКИЫ теперь,! ЛХ)(б.5)dx.в ряде сл\чаев удае; i,Я ;;ыбрf'Тh в к;,чес; ;;етакую 1\ифференцирусыую фующию1) Это "iНо)кест;ю пр"',;ста;,;л ;ет С' [",Иполу ;рямую, либо бесконечну; 'пряму;о./) Гм.
§ 7 гл. 5.g(t",;то наы тр! БУСТС!l вычислить интегралt= <р(:Еювсн""';то имеет ы! стоИ"ТI'РВ;; " либо Сlтмен;либо97PC)BAHllИНТЕГГl2р)))енс) )ю(г) = gпричем !liУНКЦИЯ(!))егкаg:г )1 'р' (г))теlрируется,= G(t) + С(t)прt ('тс) ))ыч)))шется. Д! )К) ,аню)!' ВЫ)))!' у) ))ерждениенаы написать сле1\УЮЩУЮ фаРЫУЛУlШ) интегралаJЛХ) (1:гG[tp(:r=ЮЗВt .Jlяе)(6.5):+ С.Этат прием вы шсления интеграла((i.7)и называ! ТС})ш-tтегрu-путем 30,')teIiыКан! 'ша, та)'.аЙ приеы приыениы не )'.0, вС})каму интегралу.тога,)едует подчеркну) )', чтО, В ,r6ap )рав)).Jl),ноЙ подКрс)станаВi'.И в значительнай мере апре1\еляетС}) искусствам вычисли)! ,lЯ. Привед!'излож:енныйряд1))).\!'ров, ))lЛli !'т! )иi 'ующ))хJ1о.
ВЫЧИСЛ))Тh cas 2х (lx,сг lyeTлать прастейшуюре 'у )),та)!' это)']JJ~((х (1:г =/~+ =хПОl,станавку)теп,))лаtt -+ а,хJt(lI30. ВЫЧИСЛ))Тh= - sin2+С.Этотdt - dx.lnltl=С!2 sin ttclt =+аыДш вычис)!') )ш)Ы m)учимdx.),Ю) чтс)MeTal,.с= ln I:ral + с(:Га).J eCosSillX dx. Леl'Ю) B))Дi ть, Ч)Г, этотt = casiTaM (и- sinx dx)те-грал вычислг)ется путеы заменыВ с)ыом де)е, при./ e Cosx sin:r (lI40.= - ./ e t (lt = _e t + С =(ВЫЧИСJl))Тht,) 100),тс g Х 2(lx.Дш ))ыч))) )енияt = a))[,I\:r.самаыdt = d', и / (arctg х) 1)') )lх = Jt 100 ,u = _1+ С.)те-+хграла уюбна заыена+ х'._e cosxх2101':11', при та '.аЙ замене+ с = г......--=.-'-_ + С.В ,Iчислt1Тh J(7:I: - 9?i9'! r1:J:5анечна, этат[те} ралс'ж-на свести\'е [рех тысяч таб, tt1чt ыхtте}Т>"ЛСiR, р"",ва}} па1\ынтегральную фунюшю па фарыуле бинаыа Ньютанаеср,t;неню, праще еде ["ть ,амену t =- 9, (и =в результате l"атарай мы палучиыJ( 7X-9)2999dХ=~76.L2999dt=t;OOO21000Jc:~Tx· Чt с,бы у'J J IВычислt1Тh+Г'(7хC;tpeTh_ ,));00021000\Jту,+ С.т ;тн;д-стваы l"атарай ыажет быть взят этат интеграл, п; р; пишем его.
вВt1Д!'cos х dx =cos'=dx,·oscos Х.' dx .1 - sш 2 Хllасле этага пан 'lTHa что. сг }ует палож:ить= cos х ( Z ; T . t h "те Ю.t; [1ЫJ. J~ ~Вычислt1Тh JJIВЫЧИС!Н1Тh J("dx,osx==1-.2ln 111 -t 1tsш:г,(иt(2х)4,dt+ с = ln 1Удобю(2x)SdX 1t[а= 61х 3 dx. При этс;x3dx=~(2х)8+1.~ =648 .лаarctgt64/2+1= агс t,garctg(2x)464Д1Я ВЫЧИС}ll';;' +dX2 '1/'"]' ,аказывается+С =аt1ЯУ1\абнай триганаметри'хt, d:r+ С.инл грапа1\станавкаt =d/=результате этай па}станавки интеграл приниыает ВИ1\dx9.Вычис.t [1ТЬстанавкаI.cas t dtdxt="i'::--d_x",,'хa!'CSln а' :Г1(а 2 - х 2 )3/2 = а 2 .Iа+2tg t-----г=======;с=а+ tg 2 tJ1+хa2Jx2J.,ill t+ ;;2+С.~;;;:. ЗдеСh окаЗhIt;;;'тся добной tсщ-= sint,dt = tg tcos 2 tа21dx = acastdt.этаы+С =Sill tа' -ylГj=_='='il=:'l''С='tСхС+ - :; .
;=;'ё="'" + .210ВЫЧiIi .iИi [.JМыа,:Гаинтеi ра-=tJ~+-2at -агссав2t =ю. i!ЧiI= -40-!!а99Д tЯ iiЫЧiIi .iенияла а;,дзывается У1\абнай заыена= -2а Si1l2t{iBAHltИt [ТЕГГИ!:2 СОВ 2t)(и =х+сsil1J2а СОВ 2tclt-2at --а [ ;iTCCOS аJ /Х)2]С.1- \~Ин·леЛ'РИРШJ.i:RIRие по чаСТJIМ. К шслу весьыа эффi ;"тивныхiтеfТJИРСНiiiIЯ!tiСИii Я1t'Нrnегр1tliOij(L'iji"по 'Част,ям. Этат мета! аснавывастс} на СШ' !УЮi (ем утверждеНИИ.Пуст'ь nа:ж:дu;; иЗх) и v(x) i}иффере'iI'Ц1tjПf'ма 'На.м'Но:ж;естве {х} и, nроме того, 'На этом .м'Но:ж;естве существуnеlн!юбраз'На.;/фУ'iln'Ци!J v( х )и' х).'На MHOi.JI(if)CiY/B'{ Хсуществует nервообраi'На,я и дл,я фу'Нn'Ции и (:г(г), nри'Чi)Мu(x)v'(x) dxа ы е ч а не.u(x)vх-Jv(x)u iХ;lliIa.i"С Iп;;еде.iение(6.8)(lx.i'iii,ЙСТВi,инвариантнасти ,та фармы цазваШlет зацисать фарыулуJиВiIД i 'ДtЯ дс;казатеi1v= u(x)v(:r -lhi тваlИi(6.S)вJv i1u.ТВСР>i<Дi'i iIЯ,{it;aiiIшемфармулу 1\ЛЯ цраизвощай праизве1\ения 1\ВУХ функ шй и(х) иv(x)[u(x)v(:r'Умю>i<iIbl paBi'iti'TBO+ ui(F)v(x= и(х(:гн;;(l;T И [;О10)О)(6..ii,MeM интегра.i от обеiIХчастей палученнага таким путсы равенства.
Та;·, ка;·, па усла-ВiIЮ дЛЯ ВССХ Х!t,жсствах} сущсств\еi Jv х ;/(x)dxJ[u(x)v(:r (1:г = и(:г)v(:г)+С (сы. свайстваиз п. §вс! х :г из мно.ж:ества {г} сущсствует и интеграли(хJпричем спраВi' !лива фарыула), та 1\ЛЯ(:г(lF(илиФармуласводит вопрос о вы'Числе'Н1Ш и'Нте/рала J и i1vn вычuсле'ншоo и'Нтеграла J v du.РЯ!i' канкретных случа i в этатпасле1\НИЙ интсграл ;~i'З ТРУ1\а ВЫЧИСЛilется.Вычисле} }lе}Teip,·}a J'/}, (lv }с,среде}"му}ы (69)}а ъша}(;тпо,что при "~OH ·~peTHOЫ приыенении формулы интегрирования поч", тям (69) с,чеНh удобно т, lhЗ(;Вat }.ся таб. }}щей Д}lсI1фереНЦ}Iалов, выписанной нами в п.
2 § 9 iЛ.ПереХО1\ИМ к рассмотрению примеров1<0. Вы' .}им интегра} 1 = J ;уп lnx (Z;T (ni= - ).1l=lnx, dv=хп,/х и ИСПОЛЬЗУil форыулуdxхn+1=- v=-хn + l'JI=--lnx-1-+1(n+ 1)(1и1=dx=:ЕaIctg х:1) + с.,!х. llолагаil 1l(6.9),=l'У1\ем шгтьх2?_ '+хлсtgх-!221,/х и ИСПОЛЬЗУil формулу--2'2ПОЛУ'шы (l1l,lх = ----=t=l" (ln х -.iычислиы 1\а.:г'· интегралaIctg :Е, (lv(6.9),J'х -~dx=~aIct.gx_1J. + I1+х"22!/х"2.21d,+х2=J'1]dx=[,1+X)22+121+хaIctg х -"2С.3 .iЫЧИСЛ}IЫ интегра} 1 = J х COS;T dХ.н,ч"ла применимформуm ((1.9), ю}агая и = х", dvcosx (l;T. По}{ }IЫ (lncl:г, v = sinx. 1 = x 2 sin:r2Jxsin:I: dx.ВЫ'шсленияпосле1\него интеграла ещ(' раз пршгниы формулу (6.9), ПOJшгаilна эт(;т= х, (lv - SillX dx.
П(;.Jl\Ч}1 du = (lx, v = - cos х,1 - х 2 Sill Х + 2х cos х - 2 J cos х (lx - (х 2 - 2) Sill Х + 2х cos х +Таким образоы, интеграл J :г 2:Е dx вычислен наJ\Ш поср,'Д}iУКР,'ТН(;ГО}теi'i·и',гща} }IЯ пс, частя.;}. Легю, т }Ш}что интеграл J :Е П cos х'"- ЛЮ1)ое ll.ело(· пололштельноечисло) ыожет быть ВЫ' шслен по аналогичной схеме поср,' iCTBOMn-кра},(lF(Г1\е}IЯп(; ч", тям.4 о, ВЫ' шслим теперь интеграл 1 = J ,a;r , "s Ьг ,/х= const,Ь = const), Сна·jа.:ш приыениы формулу (6.9), полагая и = ea;r,' d х.
п·l v -_ -Ь-'sin Ьхd v = cosnx( .. ,учим d и - а.е шг GX,е аЕ ~nbx-~JSill Ьх (lx.Для ВЫЧИCJГНШl после1\него интеграламулу (6.9), полагаil на этот раз и = ,a;r}е раз применим форllолучим(lv = sinbx (l!,ИНТЕГГl2(lu =V=-2UIPC)BAHllcosIix+1_ _с а_х----:-_ _2аЬ:г - ~I.Ь(6. 1)ьсТаким образом. посре1.ствомшукратного интегрирования поч)), тямкаЫч)l·)дляин )е) ра)арав )е))leпеРВ11'0)l'lШi1.Из этого уравн! ню) нахоlИЫ1).b!ill Ьх1 = - - , , - -___-llра",тика по "азывает,с,юсредсТlЮЫ]то )'ольшая jасть инг гралов берущих)тегрирг,'jастяы, М1 »)ет б)"Тh раiб)lтана сле1\УЮЩИ<i три грУnn!'l:1руппе1))(,ся), яИНТiiгра,ы,нас, фУЮ'i'ШС' которых С01 ii РЛШТ В ка' jiCTBi imiДьште1рад),-ыножителя 01\НУ изСЛiil}'Ю) lИХ Фунюшй: lnx, a)isinx,агссовх)2,llli;(X), ...
(с.с).х, (aIctgx)2,\iOTPiiiые В),Шii i при))еры 10и 20). длсl вычислеНЮl интегралов пi рвой группы сг 1ует примени)), формул\ (6.9), )('лагая в неПх)(,днойзанных выше функций 1).2)Ко второй группе относ lТСЯ интегралы ви 1аЬ)n sin(c:r)dx, /(ах Ьdx,ГC1i iЬ, с - Нii"iоторые постоянные.- люоое цеЛО ii полол,иiii.Jl),Нl'ii чис!Нс (см. ))ыше, )p)l)iiip 3О). ИН)i'гра,lЫ еrnОРОЙ1'РУППЫi'iiрУТСЯ путем )j.-кратного пршгнения формулы интегрирования по ч)), тям (6.9), iТJilЧiiК))чес) ))е !i(x) ))сякиП)едуетбрать (ахЬ ) в соответствую) )ей степени.
llосле кал,юго инте-+1ТJИР(ii)lя по частя) этаКЬг3)Je axmреmссей(lx,б\iДе)группе)aifsinbx(СЫ. рассмотренный ВЫШi i примерг! )))·ювгруппы чере.i1К1 iiiiЧ)Ka ..iaHHhIi iпо частя)). Привед'iнуизпереЧИСЛ i нныхфt'р))у)ы)lЦ\.интегралыsin(ln:r (lF Jcos(ln:r40). Обозна'jая любойрОИiВОДСl дв\вание по чаСТСIМ, мы составиы 1\ЛЯключения интегралов,юни ·))))тыя н))ОТНОСIТСЯ)Р)l гр\1)('еВИ1\а(lFиз инте)теГРИiуравнение первого поряы)l)'чер) ывают В,iiX)01"д.бес!'iiРУЩИХСЯ посре1\СТВОЫ интегрированияпримерыTpii)теп ))))('в, не входящихгрупп,НОвы· шслимыхпри(,дпомо)Ш(6.9).)·сция со. i.ер)ки)теляпридется применить дважды.)·са·iecTi'!!'интегрирования по частям (б Л)JВычислti интеtт>аt 1 =5c:s 2х Э [от интеtт>аt не t;ходtiТни в 01\НУ из упом}шутых трех ГРУПП, Теы не ыенее, приыеняяформулуv =1=и ПOJIaга}1 в ней их:Г,J:гtg х:гcl:J:=гхх-!.х+-х6<.(lх ,полу шы ;1u =(lv ==Вl'JЧИС,j;гг!>а! К,л =Jdx5ilicosd(cos ) =cosxх tg х +I c08xl+ с.,laKC>He 1; Н(', ["м;"] i--;;·'jЖНЫЙ ,ДЛЯ ,дальн( йшеl"С,Jа = СО118Т,., л =d!(t 2 +0 2 )Л'1,2, ...j-Этот инлграл таклсе не вхощт ни В 01\НУ из упомянутых выш;' трех ГРУПП.ДtЯ RЫЧИСЛ;'l tiЯинлЮRtirpat 1'дtЯ неп,рр' tiтную формулу, сво !ют~ую вопрос О вы' шслении К>, к вы' шслению Кл - 1 'Молсно записать (приДля ВЫЧИCJгнигрироваНШ1'1последнего интеграла пршгниы формулу инг'lастяыпо1)(6.9),llолучим du = dt, v = (лК1 К>,Из1 )(t2= а' л- + 20 2 (люсtl Дti 1 го!if;t,eHCt 'полагая в ней и =t,(lv f;:2+ o~;;'=+ оfi)Л-l ,t+ а')-"-l)(t"Ю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
