Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 41
Текст из файла (страница 41)
с;;пряюм:те!' же СИ;,ШOJlO!·' что Июе ЧИi.ю10 С черточкойже!!Iюе!авер':у.2) ПРИ ЭТ;;М мы уч !тыпаем чт;; произп;; шая МНО:О'!Лiiна С !Н щеСТПiiННЫми коэффицие:!та!!и !ре'!.стаВ.!:!ет СОIЮЙко·,ффициепт!!ми.!ОГОЧJlеп т!!кжевеще::твеппы!,!и21')ГА;72}У п~оргявляетс} ,лрне,"(ЮТН, 'тттпшякратно, ти Л,IПоль ;уясь те';РП\f';Й7,'1.най}ем ;)аШ"iliение мн"г, ,'lЛеНil с вепествеfiНЫ\Ш к(нффициеНТi1)Ш)(ЫХ (,eтт~eCTBC'p('1''шс. юна,1) I(х)Щ ;(); пв( дени( нещш-I(x)(,}Х )(Ножителей Пv, Т(,вещественные l' ,;рни Ь 1 ,• Ьп ,)(е-, fЗт с';lfP;'lH'ответственно и комплексно сопря,ж:енные пары lшрнеиа2 и а2, ...аnа n краТНОCi'1' л ,Л2 ....
,л n кажда;}ветственно.огда, согласно рез; льтатам1редставлен§ 3,многочленI (Т)и (1,1,1ара соотMOilieTбытьвиде(7.38)в( пест(,енну", и )(Нi,('}ш'ти корн;} Щ (k,2,... n) соответственно через uk и vk" т. е. пусть ak'iVJ. Тогда (1,!'iVJ. Прео(iразуем Длюбого k= 1.2, ... ,n выIа,ж:ениеeОбозна'ш),[(х-щ (х(хi!k -(1,k)]),k= [(х+--= (х 2- щ)2V~]),k+ PkX + Qk),k,(7.39)гдеР!;)"г>"а1 вля"' ('"'I . 39)окот}аТС1Ш1НОВЛQ)кение многочлена(ЮД}( '(ЫХIЮIIУ'Ш)',ледую Н,ее разна произведение Beтт~eCTBeHHЫX непри-ножи }'е, }ей:(х)-Ь 2!,(32...Р2 ХхЬ т!,(3"(Х!!2),2 ...l\IbI llР}(ХОДИМ к в ,}воду, что )шого'}лен(х) с (,eтт~eCTBeHНi,'lшэффициентами распадается на проишедение (7.40) неприводимых вещественных l\ШОiliителей, причем l\ШОiliители, со ответству"нние(,eтт~eCTBeHНi,'кщ ня)')(еют вид Д(,у'}лено(, в сте((енях, равных кратности lшрнеи, а l\ШОiliите,ш, соответствуютт~иеко), 1Ш1Ю'НЫМВ степенях,1арам корней1)авных)(е(!!т вид ю,адрат }(,}Х ТРС1Х'}Ш новкратности этих пар lшрнеИ.1) в '1Длr,н(;йш(;м нам пр', ';"1'СЯ ИМ(;1'1, л;сло С мно\о m(;нами ОТ П(;РСМ(;ННОЙ,при lИ!,(\lющей ЛU'ШЪ вещесmве1-t1-tые 31-tаче1-tuя.,ее П01Ь30В\lТЬZiЯ б; квой ;снеz.'ШЯ ее обоз lilчеmIЯ<i'ИГ! iij\НИЕ ВРазложение правильной рациона<JRЪНОЙ дробис веjт~ественными коэФч:I?ициентами на CYT\TMjTпростейшихс Bj\ Т~j<\СТВj\jjjjj,IМ<И< Кjjэффициентами§\ie;!)T\1(С П)слеlУ'iiЩИС<Р(;с)Ле,м,,м,аlВС1 УТl;ерждеШIпрапи ТЪ'J-lая РШЦV.О'J-lа Tbl!aj[ дробьЩ.1:)ве ijестве1-t1-tыl.ии ';1;оэффицие {там.и, <i1-tаJ\ле1-tател'ь ';1;оторой им.еетвеществе1-t1-tое 'ЧисЛО а(J(x)к:орне.М 'х:! nmнос\!< и= (х - а)Йiр(х).где00,е.i= О.ср(асnрав!:дливоэтойт.пр' дстав тс1-tие:Л(х)(7.41)(J(;r)в этом.
nредставле1-tии АР(а)_-i((a) ,-beijeCmbe1-t1-tое 'Число . равное А =k - целое 'ЧиСЛО ~ 1 а "Цх)«<-1-tе i,оmорblU <h1-tого'Чле1-tС веществе1-t1-t 'l<\'P< r.:оэффицие1-t\!m<ни. nри'Че<\, ' nослед1-tяя дроб!\ вправой 'части (7.41 является nравилышП.
РеммадоказатеiЬства не требус' i" так как неllосредственно Bl,iT{iКaeT из2.Следует толь;о учесть. что. поскольку Г(х) и Q(x) - много'iленвепе, Тl;енными коэфсl;ициента\IИ, а аTaIOl!e имеют вещественные ко-lшрень. МНОГОЧ<iены ср(х) И 'ljJ(X'ф<ициеэсрпыIИ"ста<юР(а!-ю, тоянная{;е-ср(а)iiiест{;енноЙ.P(.i<)Пуст'ь -Ле,м"IvШQ(;r)-nравИЛ'Ь1-tая рацио1-tал !1-tиядро б !\Свеществе1-t1-t 'l.M!! r.:оэффицие1-t !m<нИ. знn<нен imел'ь 'Х:оторои Q(x)им.еет ';1;омnле';1;с1-tъuиiv и n: = 'И. - zv ';1;op1-tЯМ.И'Чис та а+'х:рn mнос!!!'< Л. т.
е.Q(x)=р = -2и,Tondaгдеср(аq = и'+v+px+q)!cp(x,этойР(х)Q(.i)i= О.ср(а)i= О,(7.42).сnрав!:дливоnр!:дстав тс1-tие:М;с + N-,--,,---,..,+ (х2 + р\ ;{с)(.;рхq)Л+ q)Л-kср(\) .(7.43)2В Э по.м nредставле1-tии lvl и N - не iomopble вещес пвенные nостоя1-t1-tые. k - 'Ц{ лое 'Число, а- не';1;оторый .;\л1-tогочде'J-lс веществе1-t1-ti'l<\!Р< r.:оэффицие1-t !m<нИ. nри'Че<\!' nослед1-tяя дроб!! вnравои 'Чис!!!'<является nривиЛ!\1-tоU.Д о к а з а т е л ьоеыДОГОВОРi{\"Яобозначать вещественш!'ю часть комплексной величины А симвоюм Re [А], мним\'ю часть комплексной ве<шчины А СИl\fВОЮМ221П, 'л' 'жим 1)11ш"iрудн"пр, ,верить,Gтrедующ( г(![ Р(п)]N'iTOср(а)'и(;ЛШОi', Я ре ТТПiИГУКс :~aHHЫ(равненияР(а)В самом деле,+а-о.(7.4 )юдешв это уравнение на;,(( а) и приравняв ну.
iЮдеЙствите. iЬHыe и мнимые части, мы пол\'чим два равенстваlvliiиз которых о"рсделя "тс!1Lcp((((j=lvlvтеперьг Р(а)N =1т(,ieнаш(, ан(;ьппе')асс!( отримиразностьР(;с)МхQ (х )Приводя!'iш:~анную(х.+Nрхq) .разность к общем):~наменате.iЮ,будемиметьР(;с)Р(х)Q(x)(х 2(М;с + N)cp(;r)+ р! + q)'\ч (х ((7.41> )Здесь через Фобозначен МНОГОЧ.iен с (;еп~ественнымифюшентами вида= Г(Т)юзволяет УТi;ерждать,в сил\' теоремы7.4,ieHa"j,(x) -'шедоФ(хнекоторо"'! кратностиkРавенствоа,а сталоn: яв.
шются~КОI ,нятаком Сiучас'1.справед шво представлениеФ(х) = (х:!где- (lvl х + Н)<р(Т).ко\шлексноеи сопря,ж:енное ему чисю)(И )ШОГОЧ.iена Ф(хдля l\fНОГОЧ.'iTOнеко i'Орi,iЙногоч.рх+(7.46)с t;еп~ес ;'вен)(И коэфсl'('ентами, не имеюп~ий в качестве корней числа а иВставляяпредставление (7.46)сlюрму.iУ.45), ЮiУЧИМ iрещтаt;iение(7,43). Тот факт, что последняя дробь, стоящая в правой части(7. :j), являеТСi llраt;илыюй, t;ьпекает из того, 'iTO эта дробьравна рашости дв! х правильных дробей.Лемма 4 дока шна.Последовательное iршtенение лемм3 и 4 к др о; 'и P(x)j(}(x)по всем iшрнямшаменателя приводит нас к с iедующем!заме'iател яому УТi;ержденшо.1)мож ;О,СИЮ (7.42) ср(а)#о так что отношение Р( ,)/ср(а) р!;ссматрив;;тьТеорему&дробь7.!;еще: т:;е !нн нии.;\леетHV.;!- Ь.i)fЗ,2+ Рl + ql)(.2 I•I..
. ;:L; Pn:L .огда для этой дро6и справедливо следую ;(ее ра3ЛОJlCение насу.н.ну nростейшuх дробей:л(х)Q(x);х(.! --+ Ni )(;с 2 + Р1 Х + (]1ь)1'м(1)M~1)xл.+ N(1)л.-,---:,-------,--::- + ...В этом. ра3ЛОJlCении- не'К:оторые.HOJlCernn)·lX3( )В2... , B~1B1вещественныеравни.а м е ч а н и е.постоянные,'Часть'11.3'К:ото-нулю.Для !шю;ретного опреде.!ения толыш'!1'О указа!! !.!х юстоя!!Ных с.!едует ;ри;;ести раве!!С!'ВО (7.47)общемушаменателю и пос!е этого сравнить !шэффициентыприодинако!;ых степенях Хриерыичислите.!ЯХ.разъяео. РаЗЛQ)КИТЬ на с\ ММ\' простейших Щ авильную дробь2;с 3 + 4;с 2 + х(.)-1)·(.!2Убед!!впп!, ь+21)'то ..
• что квадра; ныП трех !Ле!! х 2!шмпле!;сные !шрни. ип~ем, сог !асно тео; ,еме7.5,Х1 имеетраЗЛQ)кение в!;иде2;с 3+ 4;с 2 . + ;с + 2( х - 1) 2"(х'хПриводя равенство2.!21)+= ~В21 !,х - 1)2(7.48)МХ+ ... 2+N1.(7.4{~обп~ем" знаменате. !ю. пою чим_ B 1 (x 3 -1)1)--~--~----~--~~~~------~------~!хСравнивая в чисштелях коэффи шенты щшур,дем кu};нении1)+= 2~В2+N2М = 4~В2+2N =-В 1 +1~Х=2.1,Ретпая эту систе ,}у,)}(Qнчательна па iУЧИМ-,-----_3~2x-l(:с1)2+х2(7.49)1+х +1TaiЬ (Q что. праиллюстрираванный метад аТЫСiШНИЯ ра ;10л,ения }раЧI,iЬнай раllиана,iЬнай драiiи называется ,неrnодО,;;1нсоnрсJелен'ныlx 'хх))ффu'Ц'U.еюnов. Этат метад привадит к llе,ш;1i'еlда: дакаЗl,iваТl, разреllшмаСТl,;аЛУ'iею1ОЙрезультатеменения этага метада системы уравнений не ну ll1Ha;ЮСТl, };ьпекает ИЗ теарс"-llpil-ра ;реши-7.5.П; ,аИЛiЮСТРИР\lем метад неапределенных каэффициентаве н.е адн;';римера\l.
TpeiiyeTciразлаже ше }ра;i.liЫ1ОЙ20.дl аби+Tai; l\.ai; iшадратный трехчленимеет iЮl\Ш.ипе\l. сагласна Teape\le 7.5. разлшкение в Чlде3;4• ,,3,,221.. 31--.1 = _ _(:с - 2 !(х' + i':с - 2Паследнее ра};енст};аiei;cHbIeкарни.+ M + N + _,,--------,-,,-1;х'1+}ривадимзнаменателю и па, леэтага сапаставляем числите. ш. Палучимзх 42х 3зх 22х 212х 2Сра};нива\i каэфсl ициент!,; llpi!стеме+ (М2Х + N2)(X -ххО ,Хх4 ,, х2 ,;риде;; к; равнениивNi+]\.;112]\.;1} =-+ ]\.;1} - 2N1 + ]\.;12- 2]\.;1} + N 2 - 2]\.;122ВNi22~= 3~= O~1.1) При ЭТОМ мы исполт,зусм уп;, РЖДСНИС, сформулиропаННОi1 n СНОС;;Сна с.:209.<1'ИГ! ;1j\НИЕ В[смfС'ЛУЧ 1М<тод[l)(деm нныl:MnTpeHHbТX при~<герnn<ственнопоэтомувf;ИДНС'расЯКLЯеТl:Я дnnnлт<нn lРnМnЗДКИМ.техдругой, болееслучаях,ко; даэтоЬстеВОЗlVюжно.найти[тонраз\;есп'д ОЛ.тскани'ложении правильной рат~иональной ДРОi';И на сумму простейШИJ...
Пусть знаменатель Q(;r) прани< f.ноЙ рацш,налыft'Й щюi\и P(.Y)/Q(:r) имеет вещественное ЧИС1о а корнем кратности С\:.Тогда среди,ростеЙши·. дробей. на С'нается дробf.P(x)/Q(;r)ю/[орыJ.. расклаДf.Iб· дет сlшгуриронап. дробf.А(х(7.Ы)а)""-Укажем с! [;сем Щ <с,стой метод [ihГ шсления ю э I;фициента А приfростейтпейfefiai! ле\ \;усl1Оl <МУ(7Аl),мы у; ;едимся в том, что КОЭффlщиент А равен'(а)/<р(а),гдек следующе\'"Mf.T<р(х=Q(x/(;Т-прюшлу: длл выч,иеле1-tиля nоэффи-при nроеrnей.шеU дроби (7.5 ), еооrnвеrnеrnву'Ю·щей.
вещеетz;е1-t1-tОМ'f! nup1-t!!! а M.1-tuго'Ч,ш1-tа О(.У) nратгmuетгш С\:,. бU Q(x)Р(х!fi',!'Ч,ерn1-tj!mъ в 31-tаМf1-tателе ороеnобnу (:Еа)аU в остпв-- н.Указанный прием нахождения коэффициента А оi\ычно на!ынают .метnодо.м выtерnuва1-tил •. От\,етим, чсп, этот прие\< прише.мелвыаже1-tииu nоложurn'ь ;Тменим лишь f<ЛЯ вычисления коэффи шентов при crnapu!ux стеТ!гня:r прuсте'i1.
!!Н:Е ;Iробей,nор1-tл.м;<uornBr:mcrnBY! ;ЩUХ вf:'Щ,'; тв, 1-tН!blМ,Q(;Т ) .J\Iетсд [;ьг[! <РfiинанияС,С! ,беf10эФсl;еfiТИНj·,н СЛ'[ае, когда!на\fенюе<Q(;r) Н.мееrn лиш'!! oa1-tоnраrn1-tыe вещесrnве1-t1-tыe nор1-tН, т. е. когда О(.У) =- al) - а2) ... (:Е - аn).[а. как мы!наем.спранс'щшнс,разлшк! ниj<Г(х) =~+~+ ... +~+ ... +~,х-о,Q(X)Х-О2х-а;все коэффю шенты которого могут бытьf;f,тчеl,КИf;аН11i!. дЛi! f;f,ТЧ11СfеffИЯf;f,Г\,а:iкенииПри м е р.методу[;ы- ak)и вfроби+(х - l)х(х -последуетUk.fс,}н,жить;rНайти раЗ1Ожениевычисленыkчеркнуть в знаменателе дроiш Р(:Е)с,стю;шемсях-а n2) ..52)lГ1 )j1.ЛЕ\1\ИНТЕГГlllUBAlАз+-([;([;-!дя отыскания1 выч( рк Ш(1i \! В вы] ,(1Ж("'таВТТ11 \1СЯши бс'ре:r.' ;Т,\Н'-'Л()ГПЧН()1/2L\ -- 3/')_.u"""" H'-'Х(),iПМu",,:,! ,.-)\'КО11КУИ=-2jM""~""Окончательно получимх+(х - l)х(х -§ 8.2)x-l~+2х,3- 21(7 ..53)2(хПроблема интегрирования рациональной дробиТепеу,j,TjС1дготовленытому, LiтобыС1бше:r.- j;иде реТТТИТhпроблему интегрирования ра 1Иональной ДРОiс,и с вещественными коэ(11фициента:r.!и.Прежде всего, отметим" что эта проблема сводится к проб_ !e:r.!e и !тег! ,ирова!!ия ПЮЛ'Ь'Х:О nравuлы-tOu рацио!!алыюй дроби,и;-ю всякую неправильн.р; рю 1Иональную дрОi\Ь можно (посреством де_шя чис!Ителя !аmаме!!ате_«столбю-;(;м»!рс'Дставить в ви, !,е суммы алгебраического многочлена неправильнойрационаЛ!,ной дроби.При м ер.СТ2-2;т)ибох4;т 4+Ix\ + х + Р+1+ 2;т 2;Т З-;Т З-2х З2х 2-4х1+,,х +х+х 2 - 2;т+1-4х+4;тИнте; рировать многочлен мы умеем (напомним, что неопределенный и!!теграл (;т м!юг(;'!а!рс'Дставляет собой нею1ТОрый мно; очлен степени, на е, !ННШ!,,)' i\олее высокой).
ОстаетсянаУ'jjЛ!,Ся ю!теГУ;1;(;!;аТh nравUЛ'i;J-tУЮ раЦ1н;!!алы!'юсилу теоремынат ,ной7 ..5ВПРОi\лема интегрирования правильной рат~иоСВОд1ттс\!1iН'} еГрИрi !;ан iЮДРi ;бейследуm'Щuх 'Чеmъсрех mи !ов:В1. х _ ЬВIV. (х]\;1:Г + NП. (х _ Ь )8 ,qл'7 ..58В.А. Ильин, Э.Г. Позняк, частьI<i'ИГ! )ij\НИЕ В, N<рые ве))ественные числе),Дою)<ж(руе\{1,qО4что ю)<жде 5} 1<iЗ четыре\ указе нныв злементар1 1<ТХ ф<Дроби 1шда 1 ипо< 1становки t =IlЬ.дро)ей 1ШТ(;ГРИ1<ЦИЯХ3Л8\Г8птарнCJ иптегрттруютсяJ\IbI получим.1 х ~ Ь d:r = В .1 ~t = В.1 (Х!!Ь сlх .1 :: - )8+ Р:Е + q н(; им( (тпричем трехчленве llПТВ(;ННЫХ корней, т< е<н(;коли=о = в ln I:r - I + О,ln Itl(3ПCJ\юши~ 1) ti3~l +0 -((3-!!1)(7.55)(х _ Ь )8-1 +0.(7.56)i)1Я вычисления инте, рала отTpeJ< Liле1ратныйLiTC' q - ~111представим квад(х + ~) 2+ (1/ - Р:) и.->4+Jqпостоянную а =х 2 + р;т + q)j;иде21роби ви 1а«««««««р12 • С 1елав подстановку t =+~ будемиметь(iХ+N)d;T+=М[?t dtС2.=М[2d(t 2t2._ A12111+ 02)+ 02+ (N _ МР) [~ =С2.+ (N _ МР) _[О202d(~)t)- +.2(t 2 +a? + ?N-А1/;агtg!+ln (;т 2 +ох +2+ а'а20+.22JОстается j;1.ТЧ iСЛИТh интегралденные выпте с,бозна 1енияt-q -МРР:alctgх-Jдроби видах+Р2 + О.q-,а(7.57)Р:1V.jС'ЛhЗ' яЮЛ'Vг-;;if - 4'<Bj;e-lr1 )j1.ЛЕ\1 \IIH'l ереслены227ИНТЕГГlll ()ВА)интеГР\1.ющибудет вычие 1СН, еебуд"1:1.ТЧ Н-ИН'l еГР\lЛЫI.Инте; рал1берется элементарно:11dt............................................................................•......(Л - ) (t 2 + а')Л- i+!Л1-) (11+ рх + q)"'-l+ С.Инте; рал К), вычислен нами в примерев Koнт~e §Там М1.Т н:лучили для этого Иllтегра.1а реКУ\1реНТll'Ю(6.12), позволю;:; ;.ую последовательно вычислить К),гс; Л- 2,3 ....,l'Пира\lС1.lC -(7.54)гл.6.1а тс;dt~ =t+1tаа-arctg-11Ита1\ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
