Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 45

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 45)

..любоu1',; азначен'Ui; аргу.мента х,элементы 1',;оторои отЛ'UЧiiЫ от а, соmn;;етсm;;ующа-я после !о­вател'Ьност'Ь;!итс.;#1',;)Г2) .... .. значен'Uu фУН1',;'Ц'U'U с; 0-Ь.Т;'Ш'рh новое оnреде.ленuе nреде.лъногозначенu.,я, Фун'К',цu.u. Числоназываетс-я nре; lел'Ьным значе-ние.М фУН1',;'Ц'U'Uв тОЧ1',;еесл'U дл-я любого nОЛОЖ'U-тел'Ьно. о ч'Uсла с найдетс-я nолож'UтеЛ'ьное ч'Uсло (j 1) та1',;ое,·:.то1)всех(на :.ении аргумеюnа х,у;lовштвор.i#ЮЩ'UХ н{ра-Так как (j;авш;ит ОТ Е, ТО иногда ПИШУТ Ь = Ь(Е).РЫБНЫХ ФУlш''Н,{rn,!;/iад.

сrч/(],{ /'д/! /!'{;О i//рп,fiеi!стгumС ч а\!грани iСНИС О,ачас1', чтррассмаТ1 !Иваются :~начения аргумент;] :Г, OТ}!!,'/J, iHble ОТ}! аiiграНИi!t'НИfС1'аiЮШ, гс;"М;iЯ функцияС1'''ИifMO:JICeТJ/'Н,е)тоИЗУiiас!i1'Oа, Отсут-iTiirO iiграНИii,'НИЯ с"'лаJТi i бы Нi'130ЗI!ii)i{ ,bl,i, ОЩ)iД,Лi'НИiГ(а)/(,/) -/(а)Ю](, з"аiiС,функциив точке а.н и е 2. С логиче! кой точки 'iрения ГJТiшным вЯ шястс;"что длл iiа:JICдого ЕО найдетслотве'!ШЮЩ/'i' это,! У Е 1ИЛО,!ii 'UтеЛЪiше'i'UСЛО д , гаР;iНТИРУЮ ттеезм е ч>i ЮРСДСЛСlПiра", ДЛИ130С1'L!i 'ра13;Ij(X) -/! 1< Еуний ар]Ь+а- - - - --г- - - - - --IГа--<>аТ13ающих неравеш твуIIxiI----L---jIIIIIIIIIIIIIIIо'! '!для всеХiначеYI!i'H1'a х УДii'Шi'1'"iiiШ­a ТJ 83а м е чд.н и еПРИВJте­3.кая идс,i! iiриБЛl!Жi'iфунк­цИИ ЛХ) в окрестности точкисххHaiiCpi',],ШН т"юЕ,задаlюй",ю)ю"(~'Ii'дую-щим обраiОМ переформулироi'ис.8,113а1'Ьllii,iiiCдельногоi!fiРi'ДСЛi'i'iЮiченияпрс-функции:ч'Uсло Ь наз'Ываетсл щ/едел'Ьн'Ы.м значен'Uе.М фУН%'ЦIШ f (х) в точ­%е а, есл'Uлюбои Hanepe il зшlаннои тОЧifOст'U Е ,,'АО !!!ноУiiазат'ь ma%Yiii д-о%рестност'ь тОЧii'U а, что длл все т значе­нии ар,,'умех!та : отл'u'!jiыx от а 'U nр'Uншlле,!!!шщ'Uх у%аЮi!'Ноид -О!iресmносm'U, ч'Uсло Ь щ!'U6Л'U:JICает значен'Uе фУНii'Ц'U'U f (х) сточностью Е (рис.

8.1).Теорема8.1.Староеи новое оnре;lелеН'ШI nре;lеЛЪfшго зна­чен'Uл фУН%'ЦIШ!iiв'Uвалентн'Ы.Д о к:~т е л ьт в о, 1) П!'сть сначаJТii число Ь являетсяiiРi'Дi'Л!,l,ЫМ Зllai!t'НИi'М13по новому оnределен'Uю.ДОК;i,жеIl<I, что это же числоJ( х)является преде,!Ьным 'iЮiчениемв точке а и по старому оnределен'Uю. Пусть {х п}сходятт~а;'f(:;', к чщлу а lЮ(~'IСДО13а1'СЛLllii!"l'"-любаяЗllai!t'НИЙ аргумснта,все элементы которой от,!Ичны от а.

Тре[>уется дока'i;iТЬ, что со­iiТ13,'ГС1'''у,!iтттая ПО(~'IiДО13а1'i'ЛLlliilсходится К чис{Г(х n )} ЗllaiiСНИЙ функцииФиксируем любое Е>О. Согл ясно новому) Старое опреде iеш,е преде'i!,НО,'О зна',ени/, ф!Ш;ЦИ!' назьшают так)ке- ofJpe-ОfJределением fJредельного :~начения iЮ Гейне, а новое определениеделением ЩiедеЛЬНi!Гi! :~начения по Кi!ШИ,24 i )iЮРС,i('ЛСi l(ю пр(Д«(1'СЯiC,iblli(rOО 1'а,лс, чт(\6т;] :г,lЯ которых Озна(i"НИЯ функции,(:г)< I:J: -Ьс<аl6ilC(;Т( ';го с наП­З}iачс}ар! УIТ],К К;]К ПОСiе,:г п } со,к ·шс1'0указа}·шсдется HOJ\Iepтакой, что ОI:T;. - а!6 прибы1'Ь, 1 (:г п )ь;;и nN, а э1'о иiача, l' со,Пi;сшдовательности {Г(Х п )} к ЧИ(~'Iу Ь.2) Пус1'Ь 1'fлерь 'Ш(~'IО Ь Я;lЛЯ(iiрсдел .}еЬЕ} З} ач(·;<наП­<'т]:1О;1ОС1'Ь1(х)в точке а по старомц оnределе'Ншо.i,окажем, что это же чис­ло Ь ?ll3Л ';"1'СЯ ;"дел' "ы'" зна;I"НИ(13и ПО 'Новомуоnр; ;1;л;'Н'Uю.

Предположим, что это не так. Тогда для 'Нi'}иmо­рого положительног(; чи,ла'Не 'Ншuдетсл гарантируюп~ег(; по­ложительного числа 6; ука';;шного в новом определении, т. е. дляэтол;длл СllОЛ'Ь угод'Но .мало.;О nолож'Uтел'Ь'Но.;О 6 наПДСТС?1Ix -;;1хотя бы одно значение аргумента х таю;(', что О11I;;?c.6,Нi;в силу п\:;]:~анного мы можем в';ять последовательность1/n (nмент;] 6;.= 1,2.1/0. .. )УТ13"I;;I<да1'ЬДЛ?1 каждого СС lЛенайдет, я хотя бы одно ';ю]чение ;]ргумента 'п1Левое и:~ HepaBeНi твсходитсяк(8.1)числуи1 (х п )Нi;n- Ь1;;?с.(8.1 )о:~начает, что по, ледов;]тельность {х n.}с(;стоитизэлементовотличных(;та.Но тогда согласно ст;]рому определению предельного ';ю]ченияфу} КЦli,СООТ13СТС;ilYi' ;тттаяНОСПрО1'li\i;РСЧl;Сд( ;,lазьша,(х п )}1О(~'IСДО13а1'СЛЬШ ;сте.ний функ щи сходится к чи(~тиз нсра;;сш:1';;1) ,лра13еДЛli'1'зна;i'а этому противоречит правоеДЛ?1 ш (Хn. (;ЛУ;iСН-Т( ·(;рс;;}у.ОЩJiдеш'НШKЦl!ПОЗ130Л?;-ет ю]м сформулироваты1еnрерыыmосmuuФuн'К',цuu в 1поч'К',е х== а 1).Фую>:v,uл(х) 'Называетсл 'Неnре­рыв'Ной в точке ха, есл'U длл l.юбого nОЛО,1 1 ;'Umел!;'Ного·!'Uсла с'Ншuдетсл nолож'Uтел'Ь'Ное ч'Uсло 6 такое, что длл всех з'Наче­'Ни';; щ!гуме'Нта х.

удовлетворлющ'Uх 'Не/юве'НствуIx - al6справе; Iл'Uво 'Нераве'Нство1(х)Г( а)1С.(8.2)3м е чн и е 4. В этом определении нет необходимости накладывать (;гранич('НИiибо при х = а леваяч ]сть нер шенств;] (8.2) о[>р;].щ;].ется в нуль и нер;шенство (8.2)Ix - al,за;;, д(1;;,10,лра13СДЛl iКонечно, !1рИ этом пред юлагается, что Фунюшя У =и в ;'а"юй точке а.определенаРЫБНЫХ ФУlПо аН<LЮlИИ с 13ЫlЮЖСli!'ЛСНИС пр,,;C,lblIOrOзla'l!,ЫМЮ130, ,юрс-НИЯ,};аЗLша, 1'СЯ экш,jaлентность этого определения ст;ярому определению иj;o;;la одно ил!!'Ч,'/},слаи Ь оБРПii!пmrnся fiил!!НИЧИJ\1СЯ тем, что сфОРМi.'лируем новое опре,lе,lение пре, ,е,ъногозначснияКЦi'СЛУ;lа;;, KOl' ;а+OO~Ь H,[;3Ъt;i(],~ется nреаелы-tЪt,Лi знач,е'Н'Uе,мНх) nри х -+ +00, есл'U аля Л1Обо­,JO nОЛО:JIC'UтеЛ!;НО,JО'i'Uсла Е наи; lemc;! nОЛО:JIC'Uтелъное'i'UСЛО АтШiое, что для всех знач,е'Н'Uu аргументанеравгнствц хРисуш;;S,2> А,удовлетворяющ'U!сnраведл'Uво u('paeeiicmBOразъяпуказа;Ю!I < Е,Ij(x) -!;ПРСД!\'Ii';уоАРис,заключ!,;вого ПРСДСЛLНх8,2Н;nfювого и ле-КЩ'1'О;lЮ а: ч'Uсло Ь на-3bf.eaemc;! правым (левЪtм) nределъ'ныl;i з'Начен'Uем ф{f'НК:'Ц'U'Ujв точ,к:е а, есл'U для любого nОЛО:JIC'UтеЛ'ЬНО,JО ч'Uсла Е 'НайдетсяnОЛО:JIC'Uтелъное'i'UСЛО<е'Нииmanoe.'imoта х, удовлетворя1ОЩ'UХ 'Нераве'Нству;i), сnраведл'Uво i!epaeeiicmBO If(x) -<Доказатсл,,;Jl'130 ЭКШiijалс;,тш;; тих - аЕ,<(j (О;т!;го ОllРСД!'ЛСНИЯap,JYMeHа - х; тар!;;';уопределению правого (левого) предельного :~начения совершен­но а;;аЛОГi;Ч;Ю д!;};аза1'СЛLС1';jУ 1'СОр!'М',;8.1.2.

Необходимое и достаточное условие существованияпррделрното значрния <I}йнпции (критерий Коши). ПОЛL­~!уясь ЭКВИВ;iлентностью ст;ярого И нового определений предель­ного значсния фУНЮlJ1И установим Нi'!;бходимо! И достаточно!условие суттте; твования у фi.'НКТЦIИ jпредельного ~!H iчения вБ цд('ювор'UтЪ,'iто ф{f'НК:'Ц'U(! j (х) удовле~твОf!яет в тo~ц;e х = а услов'UJ!! КОШ'U, есл'U для любого nоло­~!f{'Uтелъ'Ного ч'Uсла Е 'На'йдется поло !f{'Uтелъ'Ное'i'UСЛОтак:ое,'imo, к:ак:овы бы 'Ни был'U два!наче'Н'ш! ap,JYj;ieHma х''Uх", У; loe~alЛiПUiO i iЛ'ЮЩ U~ 'Н,еfiШ {"Н"соопи {'rnспи УЮ'Щii,:г 3'Н, IчеНii';!д. дiЛiiiРiшеiiсrru оТеоремп, 8.(ТJ],О20'irnобъt фУ'Н,Кii,'/},Л(:г) '/kЛ4елп Kmji'iHOi nред ; {/Ь'Н,О; !'Н,[!,чеii ij,ernочке:г = а,необхоб'имо Ll (jосrnаrnОЧi-lд '!rnобы фУНК'ЦLlЯудО6леrn60рлла6fто'й точке УСЛО6'Uf ii КОШ'U.о К ат е л ьт в о.Н е о б х о д и м о с т ь.

ПУСТЬfIсущсствует ЮiНеЧНОi прсдельНi ,С значснисЬ. Дока-lil11х-+а. ')1'0 функция(х) УДОШIi'ТIЮР;'ii'ТКоши. Во'ъмем проИ'шольное ЕНИ!" прсдеЛЫIОГО Зf!аЧi"> О.Х =13а УСЛiЩИ!i'Сог,)асно новому определеКЦfiдля')И(~'IаЕ/2 найдется положительное число д такое, что, каковы бы нибыли зна i ), 'ния ар!у" ('нта х'х" уд, ,,;леТ;;i ,ряюп~Иi Н, 'ра;;, 'н-- al <<ств 1,М ОЗllai),'НИЙIfKЦf,< Е/2.',ОДfЛ< Ix" -,О11,для соответствующих'pa13i""T13aca;"fblM=а2)Е/2,из 1fi,fЛi'ДНИ ii, Н, 'ра;;, 'нст;; ПОЛУi)[Л:г')- Ь] - [Л:г") - Ь] :::;:(х') - Ь1Тс;"bl1Так как модуъ суммы двух величин не превоссу; ЕН,I f,X ;,юдулей,Ij(x') - Л:г")<аlп!ра;;i'ДЛИ13Ыдоказаf 101+ lJ(x")- ь1чтi, функция,,'(~'Iовию Коши.До ст ачПусть функция Г(х) УДО13Лi'Т130Р;, ('т13 ТОЧКi Х = УfЛiЩИ,i' !\i'ШИ.

I"',fia)Kc;,,f, что фУf КЦf!;,! f(x) ;,'fCC'!предельное '!Нi1чение в точке х = а. П",сть {Xi~} - любая сходя­тттаяся кпо(~'Ii'до13ателыliff Т" Зllai)СНИЙ ap!y;"fcHTa, Ш'iх n которой отличны от а. В силу старого определения преде,ъного знаifi'НИЯ функции Дi,f татоо)но доказа!", ')1'0 COi,T13i'TCT;;y,,!-щая ПО(~'Iедовательность {!} '!Нi1чений функции сходится кНi'KOTOP0J'\<IY ЧИ(~'IУ Ь. причем это число Ь одно 'U то же для вссхСХОДЯП~ИХfЯ К а ПОfлеДОВi1тельностей {х n } таких, что Х" '" а.Дi,fiажс;,,,,ачалаС'годи.мостъл,,!бойЮСТf,> О.Во'ъмем то положисо!лаСНi',П" сть :~аДiШО nрО'U!60Л'ЬНО!' ЕЧf СЛО д, котор, '" со' ,т13, тст;;у,.Т, льнi '",1fi,Л!,ЗУЯfЪ',ОДfвыберем для этогоО;"ЮСfЪ,i'номерfю(~'Iсдо13атслыli ,ститакой, что< Ix, - al <при~При 5Т, 'м для любого натураЛЬНОГi, рО< Ix n +p-al < дN.,2 ....

Характеристики

Список файлов книги