Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 46
Текст из файла (страница 46)
) и подавНi,приn~Последние два неравенства в силу ,,'сювия Коши приводят КнерiшенствуIf- f(xn)1 <Е приn~Nт. е. дока!ЫВi1ЮТРЫБНЫХ фу;1'epl""Ко,для ш',слсЮС1'l' 1','fI'I',PI'l"bl{f(:T n } сходится к некотором,; числу ЬШ',СЛI'-дов ]тельностьЧТf\ 'iCI Ш"СЛ'Д"'iаТI л ,lЮС1'l'ветствующиевсеВО'1J\ЮЖНЫJ\1СХОIЯЩИМСЯка{fCT n )},соо1'последов ]тельноi :г n f !{,меюrni!!Оrn же пред, ЬПУС1'L {х n{x~} - любые Дill ""од) тттl'сся К а Ш,СШД' "ia-С1'ЯIlтельности :~начений аргумент!], все элементы которых отличны"т а. В силу доказаННОГ1' вышI 1,6, последовательности {f(x n }И {f(x~ } сходятся. ОБОlЮ]ЧИМ предел первой Иl этих ПО(~'Iедо13а1'СЛLШ!! ТI'ЙЬ, а- ЧI рсз Ь'.'11'0 Ь = Ь'.Р ]ссмотрим сходящуюся К а ПО(~'Iедовательно; ть,"Х, 'Х n 'Хl,Хl,Х2,Х2,'"В;Идока ,анного выше соответств,; ющ ]я по; ледов!]тельностьЗ11а'!i 11ИЙКЦl'является сходящеЙся. Но тогда в силу п.§ 4 гл.
3все nодnосл,-доватеЛЫ-lости это';; nоследоватеЛЫ-lости, в том числ, {f(x n }И {! CГ~ }, cxoJ'!mC!! 'J',; одному и тому;}ю nредiЛУ, т. е. Ь = Ь'.Теорем!] 8.2 дока l!ша.АllаЛОГl,юУ(~'IOlшс Ко}у; та11а}lЛИ13ае1';'янео<;ходимое и до; таточное условие существов!шия предельногозначения функциипри х ---+ +00 и при хчимся формулировк!],ми для случая х ---+ +00.---+ -00.(iграниfiyaeM юворит'ь, что фУН'J',;V,UЛ f (х) удовлетворлет при х+Х! условиюлаGесли '}Лl! любо,JО nоло,!/{иmеЛЪiшго чис-ншuдетсл nоложител'ьное число А ma'J',;oe, что дллзначении аргУ}Аента х' и х", nревосхоЛ!щих А, справедли-во не/ювенство I Г(х') В полной аю]логииIс.теоремой8.2док!]:~ывается ;ледующееутверждение: дЛl! того'!тобъtf(x) имела 'J',;ohe'!.'I-tОеЩiедел'Ьное значение щ!и х+00, необходимо и достаточно,'!тобы она удовЛtтвор"!ла при х§ 2.---+ +00условию lГоши.Локальная ОГI?аниченность <I}ункции, имеющейпрелельное значение;,'111' 'liiCC1'ila 13еП~СС1'ill 11ных чисел огр!шиченного сверху (сни:~у) ) введем понятиефун!!'Ции, ог/юниченнои на данно.м .множестве cBe/ixy (снизу).0'71 e{ffeJle1-/,U,е 1.
ФУН'J',;'ЦШI fнаiывштс!! о г р а н инн оС в ех у (с н и з у) на .лmожестве х , если найдетслПОЛl Юi1)См.1 ПЮ1'ill 1'; ТШ,5§1гл.2.с ОПР''Дi\Т''[()К,\2тnа \оешищи:rru !инHi!ii nnгn,менrnп :г~1(:г)iVIЭТОf'ЪнАЯf.OefИНЧf[,(;ЛО'fнеюч[ито8iШ'f'fiieT\[,З МНОЖ'U!Рfшеiа:rru Он\я,:~ы;ае1'!и\,\Ы" функции 1(х) \а [,iШ'1iiСС1'i;С {г}Оnределенuе 2. ФУi, \<'U,ил(:г) if.(],8bl! nen fЛобе'Uх сторон 'UЛ'U 1Цюсто оа н 'U ч е нстве {г}, !СЛ'U она ограН'U'iена на этом МНОЖiстве'Uсверху,сн'Uзу, т, е, есл'U найдутсл тшх;'Uе вещественные ч'Uслаm'U'U М,'imO длл всех значеiШU аргумента :г 'UЗ мно !нества {х} сnраведл'Uвы неравенства m :::;: (х)Таким обра'ЮJ'l1, огр\шиченность ф< нктцIИ 1(1) Юi множестве1хозна'fа\О1ра}iiЧ\"ЮС1'Lмш,"Н'С1';азна-чений этой ф<'нк IИи,1При м еры,) Функция 1(х) = secx = cosЮi полу! егмен1'С [О,п/2) С13Ср"у ш \,граНИ'u'lla, а снизу ограНИ'f"lla (13 Ka'fC!T13\нижней гр\ши может быть в'!ято лю[)ое чистоm),2) Функция [ирихле') ограничеЮi с о[;еих сторон на лю! 'омссгмснт\Ь] В качсстве нижнсй грани можно взять ЛI)бо\ число mО, а в качестве верхней гр\ши лю[)ое число М ;? 1),Теорема 8.3.
Есл'U ф{fНК:'ЦШ!имеет к:онечное nредел'ьное значен'Uе в тОЧiiе х = а, то существует неiiотО/iал1ок:рестностъ точк:'U а 2), таК:Шi'iтоBCi'X ЗНШ'iен'Uu аргуента 'Uз ук:азанноu80к:рестност'U ф{fНК:'ЦШ! ЛХ) ограН'U'iена 3),о к a:~т е л ьт в о, Пусть Ь = lil11 ЛХ "'огласнох--+аОff,UД'ЛСНИ\"1'Oly,roЗifач\"KT~ii,ДЛ)iПШIО)КИ1'СЛLШ 'го Чiiiла с iайдс1'!Я ПШIО)КИ1'СЛLШ"такое, что11< с,как только О-с<1(х)<Ь+с, как только а-< Ix - al < или< <а+ ихора,нско-'fИ(~'IО8(8,3)Если '!Юiчение х = а н' входшn в областъ оnр' JЛiН'Шi функ:'Ции, то теорем!) ДOKa:~aHa (ибо неравеШ:ТВ!i (8,3) о !начают, чтодлл все т Зlla'u'НИЙ aprY;U'iira х из 8-0КР"С1'iЮС1'ii 1'0 fКИ а Зlla'f'ния функции (х) '!!iключены между - с и Ьс),Если же ФУНЮiИя 1(х) оnр' ,iелена 'U nри х = а и принима-+1С1'1'О'fЮа'''''!/\,рос зна'fСНИС Г(а), 1'0о!! ;111,' '<ией Дирn,хле назьшаеi С!!обозна fИ13 Ч''lК'З mраина!!це для всех рационас'IЬНЫХ ,шачений аргумента и нут,' для всех иррациональных :~начений аргумента,2 На\ЮМНЮ\I, что б-оr,рест11,остью то"!,'" а называется интерва'\ (а аее> О,Ыы не искточаем случая, когда функция у=Ла;) :шдана на некотороммножестве {с}, не за\i',ЛНЯ10щем СПЛОШЬ никакой д-окрестности точки а,fаИ()t tЛЬШЕОЕОpafCHCi P\tCHf<tдвухЧСЛЕОдУ1' illlИ(' НЕОр ШЕОн<тва<~M,llоследние неравенства означают tfTO ф\<t 1<ЦИЯогра1lИ t 1е------~~г--------~.а-Бремо!", 8.;\,ющеа+БнахВСIОДУв(l-окрестноститочки а.
Теоре\ а доказа1 а. Иллюстрацией к теореме 8.3 можетС1УЖИТЬ рис. 8.3.3 а м е а и е. СВOI',С1ВОРис 8.3функции <устанавливаемое тео1азывают ЛО1\Дj//Ы-lOU огра1-l:Ll~lе1-l1-tост'Ь10 Фу1-t1\,V;Llи, иJ,леnjiедiл!,l,,«Следствuе uз теоремы 8.3. ЕСЛ'Ll фу1-t1\,'Ци,яpъt.6ifД 6 тОЧ1\,е ха ! то эта фУif.1\,'!J,ия,,,иа6i'ex::1-tа~lе1-t'LlU аргумента и:: не1\,оторои д-О1\,рестности mO~l1\,U а.(Непрерывнаif в точке :1: = а фУНКЦИif имеет в этой точке ко-=1е'1 lOередею 110е значеН<1е).§ 3.Теорема об устойчивости знака непрерывнойфункции. Если фУif1\,'!J,ияTeopffMaи ест!f(a) i-fШnjiеjiъt.61-1Л 6 ти','< х=аО, то сущест:.ует та1\,а,я д 01\,рестность mO~l1\,U а,'!то д<,fЯ 6i'ex ЗifДче1-tиfi !!ргумент!! изфу1-t1\,'Ц'Ll,я (х) не обращаетс,я 6 1-tУЛЬ 'Ll иJ,леет зна1\" со ,пшiаЮЩ'LlUсо ЗifДituМ Ла).Д о к а з а т е л ь с т в о.в точке а< то существует liшТак как функция не! рерывнаf(x= Ь причем Ь =f(a)х---+аi-О.СоглаС110 lOEO\fY опреде1е1lИЮ предею,ного З1 а fе1lИЯ фУНКЦИi1,Д lЯ любого сО найдется дО такое, Чf о>Ь>Ьс+ с,KaKfO<lЬKO 1 адха+ д.(8.4)Возьмем в качестве Е положительное число.
удовлетворю' Нllее<требованию Е+11,При таком выборе Е все три ЧИС1а Ь-ЕЬЬ бiДУТ оу?ного:на1\,а. Стало быть<си<всюду в(1-0крестности точки а фУНЮf,Иif(х) сохраннет знак чис а Ь==f(a).Теорема ДOl<азана. ИЛЛЮСfраЦffей к теореместrужить рис.1):-:;.4ilQJffef8.4.При этом нет необходимости исключать значение х = а, ибо ДЛЯ непрерывш.й функцииHepaB<'H,tTB.fCr),"a'ieше.f(a)=Ь такж<' удовлеТВОР(tет леВЬНi изПГ(>Хi !!i('iEHIiEт ЕОРМ ЕОфункцt1t!Шr r"t!ит;'!·tСЛ!iОЛУО1\,рестО'Ч,1\,'Ll :1: =;ИНОЙ :! iЧКЕОНЕОкот()Д!iГ()ВОРИМ!Я Ha:~ЫB ;ть ШШУСЕОtМЕОНТ а., а+б)ои8.4.t(·пр; рьпСП! и6и (СЛi6U) ПустьР!С!'255iЕПГ :ГЫВН<.>Иа-nностъ1Оа, а полусетмент (а -<5, а]60ЙnлуоРтъ 10 тО'Ч,1\,'Ll х = а, И\lееt \!естосхследующее утверждение: iс.шI (х)непреРЫ6на 6mO~l1\,e х = а сnра6а(сле6а) и если I( аО, то нuйдется(Лi6UЯ) nuлуm;репnifQi т ти !.-'#=Рис,8.41\,и хаmа1\,а,я, 'Ч,mо дл,я 6сет ::на~lен'LИ'l аргу,ллента из У1\,а :аннойnолуm;репnнопnuне обращается 6UУЛ'Ь и и.А/еет::на1\" СО6nада1О'щий со ::на1\,О,ЛЛДоказательство ЭТОi 'о утвержденш! почти дословно ПОВТОРZlетдоказательство [еоремы 8.4, только вместо правых неравенс; вI<а+(8.4) мы ПОiУЧИМ неравенства а ~а -<х~ а),Прохождение непрерывной функции через любое§ 4.проме>Ш<УТ!fЧН!fе iсчачечи!'Прохождение непрерывной 71?ункции через1.нульЗНffКОВ.5.
Пуст'ь фУЮf.'Ция I(x) неnреРЫ6наиа "ег.\/еюnе[а, Ь] 'Ll пус !:Ъ ::на~lе1-l'Ll,я этой фУН1\,'ЦШl на 1\,он'Цах сегмента I(a)и I(lJ) сут!! '!.lt!'.ia l'U3i!blX 3 fuif06, TUf'da 6нутри "ег.А!!ита [а,найдетс,я та1\,а,я тО'Ч,1\,а (:на'Ч,ение фУН1\,'ЦШl1\,оторой ра6НОUу.iЮ.Д О К а з аес т в о. Ради о; ределенност<i предпоЮЖИ\I,что I( а)О, Л ЬО, Рассмотрим множество {х} 6CiXН'LlЙ Х 'Ll:: сегмента [а, Ь] ;ул,я 1\,OmOPfi!X (х) < О. Это \fHO"tfeCtBoимеет хотя бы ОДi!Нше\lенt= а (! бо I(a) < О, ограН'Ll~lеноC6iPXY например.
значением х = lI).СоглаСiЮ теореме 2.1Мiюжества {х}усуществуетточна,!верхНfШгрань,ко-ТОI)\'Ю \ыI обозначи\' через (Прежде Bcei'O. заметим, что точкаЯВ.iяется 6нутренней точкой сегмента[а1f.JJ)t (а)ибо IП непрерывности Фунющи<а с. еГ\lенте [а, Ь] и из \'СЮВИЙО.теоремеправаZl(Ь)8.4>о в силу замечаниZlвытекае;ПОiуокрестностьв пределах которойIчтоточки<аt1детсях=а,О. и лева,!Рис.8.5п,тно, ть,f\'m<pEO,f<ажЕОМ Т('!ТСОРЕОМЕОн пред;> О,в ПРЕОДЕО [1Х,Лf1 бы эт() i)ыло Н(''fTO< +<ДоТО т!fC1f<нашла(ь Т)Ы (1-0КРЕО(ТНО(ТЬ ~ ~точки~,'I>:оторm!fjj\лела бы оnреd;!НЛ'!fНо это НЕОВО:~lVюжно,JUТСНИЮ т' ,чН()й ВСРХНЕОЙ грани,"'Т!Я Х!!fЯJНО ЗffИЕОи! ПО, ffC(;cr!f,,:HTC1 ~!5~84~ ~ такое, '{тох < ~+( <(х)<О, а д-тя -тюбото значения х И3 интервалаО.= О. Теорема доказана.f1(7);?Ишюстрациейfeope\fe 8.5 может срис. 7';.5.2.
Прохождение непрерывной ;I,ункции через любоепГ#z!мр!н<уточпорЗНffч!'нт!е,fТеоре.ма 8.6. Пуст'Ь(х )ifеnjiеjiынлifаa сег,/;t.еf fт; lа,ы1' nji1l'f'M (а) == В. Пупn da,fee С - ,fЮfiп'~LUсло, !!а'х:ЛЮ~lен:н,ое .flлеЖfJуи. Тогу/а на сегменте [а, Ь] наидеmся тo~'x:!!, ~ тш;дя, '!то ЛО = С.Д о к а з аеь с т в о. Следует расс\ютреть лишь С,fучайКО1'Да Ав и ко; да С не совпадает ни с одним IП чисел А и В.П!стъ ради опреде,fенности АВ, АВ.
Рассмотримфункт~ию <р(х) =С. Эта ФУНЮfЩJ непрерывна на сегменте [а, Ь] (f<af< раЗfЮСТ!, fепреРJР: ЫХ функциr'\) и РИНЮ,fает а#f<-<концах этого сегмента значениZl ра JНЫX знаков<р(а) =(а)По теореме!i(~) = Л~)5,-С = А-С< О,= ЛЬ-с = в-сО.8.5 внутри cefMeHTa [а, Ь] найдетсZl точка ~ TaKa,J, что= О. Стало быть, (() = С. Теорема дor<азана.Ограпич!'нН!!стт, фуппции,на сегментеTeopffMa7 (первая mffпре,мд ВеuеРШ'f ZРШffД). В,неnрер,,;;,на на сегменте [а, Ь ],mо она oгpaHu~eHaФУН'х:V;Ll,яf(x)иа('ег,/;!'и7nе.это,/;!Д оа з а т е лс т в о.Дor<ажем, чтоf<ЦИЯо; 'раничена сверху на сегменте [а, Ь] (ограниченность С'tLUЗУ доказываетсZl совершенно аналогично).ЮЛО7ffИМjЮТJ!Еfюе,.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
