Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Требуется до-чтохle ;iiьшает (!le во;растает) на И!lтеР!iале (а, Ь .Пустьих') - Л!iiбые две точки интервала (а, Ь ), удовлетворяю! jИе УС!ОВИ!ii хl < Х'2' ФУНКljИЯ f(x) дифференцируема (астало быть, и lепреРЫ!i!lа) !iСЮД! на cel'MeHTe [х ,Х2]. Поэтом!к ЛХ) можно применить на сегменте [хl Х'2] теорему Лагранжа,Ka,,;aTli.ре;у,liTaTe le!Oюч!м(8.14 )где хl<~<г '2.УСЛi;fШЮ Г(~)част};(8.1'1)О (~ О)НС()ТРfщат(·>:Г2о. П"эт;;; у пр""(fНШ()Л()Ж fтельна·. 'Г ,; Иf,'т нсубыкши(' (нсв()зраст, н:ю)(:г) Н;, интсрк)л,' (а,2)е о б хд иП\ст}, фу; fЩИЯ л:г ди\];фер, ю fИРУeIll,') И Н;' убывает (Н;' возра\ т, ,'т) наэт"м Иf;Jок,).зат},.
Ч}'Р(х)(~всю}а это'· fштервале.f,af, лх) не убывает }е fюзрастает)на интервале а,!,), то эта функция не A!OJfCern i;бывать возра(ТiiПТiiЬ) j;'U в {)()j;'01'1 Тiiо'ч'!"е uнтервала (а, Ь).Юс+лу теоре:мы 8.9, производная г(х) ни в однлu то'Ч'Х:е uнтервала(а, Ь) j;.e .АЛОJfCет быть отрuцатель!Ой ПОЛ !JfCuтелы!Ой) }тои требовалось доказать.Теоре,м,а 8. 5.
Дл.;; того 'ЧТiiобы'Uf)ывала) на uнтервалеfХвозрастала)Ъ! щ!Оuз юдна,я(х) было ПОЛuнтеl!вале.Д оа з аеь с тоfРОВО}fП'С} ПО то!)] же схе"е,и доказательство достаточности в теоремеПусть х8.14.}тоих')любые две точки интервала (а, Ь), удовлеТВОРЯЮf сие усювиюхl < Х2· ЗЮ f!сываяcel'MeHTa [хl. Х2] форм\ [у ЛаfраНi+Д,получим равенство (8.14), но на этот раз впом равенстве f'(~)i < О).ВСfедствие 'пого левая часть(8.14положительна iотрица-}'еъна), 'ГО и доказ ,шает ВО,,;растаf}ие iубываfИf}-f(x)}aтервале3 а е а н е. ПО;Jчеркнем, }то ОЮ/Еите, ЮС}'! (OTpffцательность) производной f'(x) на интервале а,не ,явл,яетс,янеобходu.АЛЫ.АЛ условuе.АЛ fюзрастаю!(\ ! iьшаю!фу; f,ЦИf!(х )fна интерва,fе (а, Ь).
Так, функция у = х 3 возрастает на интерваfе (-1, +1), но прои .iВощая этойнкции Г (х)зх 2 не яв, fЯ-,'тся ВСfUДУ положите, ъной на iпом интервале (она обрю Щстся внуль В точке х = О). Вообf [,е, легко доказать, что фУНЮfИЯ f(x)во ;растает (убывает) на интервале (а, Ь), если ПРОИ,.iВодная этойфункции Г (х) положите, fьна (отрицательна)утерва,,заго 'ЧuславсюдунаUС'Х:ЛlО'Ченuе,)\)Тiiо'Че!,это:мин'Х:оне'Чно[,оторых эта[роизводная равна нуюu. (Для доказате,},CTf:a,юстато'ю ПРИi;еf}ИТ},}'еорему 8.1Б к каждому из конечf,l,ОГО}ИСfа Иf}теРf:аюв, }а [,оторых.f'острого положительна (отрИf f,ательна) и учесть непрерывность f(x) ватех точках,8.1,2равна нулю.в[,оторых ПРОf!ЗfЮДf}а;}Установленную теоре-номой8,1,):l<OTOPbIE /И, ФОГI\lУ/iс ШЗi, М/ //'/дуМСН/'ШlНКШl267Л,\ГГАНjl"i,/KOM ЩЮilЗiЮДiнапр, iше iие" изко ПiШ~iТi, Иiе/,М/'iРИ'iе, i<ИХ /'/юбражений, П, ,(кольку производюiЯ равна угловому КОЭффю щенту кас,)т/'к р,.!,фЮ<УНКЦilУ,,н,//,' пр/'" '/i/'Дiюi/j Yi<aзываст /,стрыи или туп, 'Й угол/,(и Ох (остав, ~ieTполо)китсльным наПР,ШЛСНИСIllк,н:атслы, леж,.!,щиЙll,-ТОСКОСТИ.
ЬслиiейО всю;ту на интеРВGt,-те (а. Ьна этом интсрвалето всюдуiУЧ касательной, лежащий в всрхней ПОiУiЛОСi<ОСТil, состав, ~ieT с Ох острый УIОЛ, ста,ю БЫТi,у= J(x)идет вверх ВСiUДУ напом интерва,iе (рис.i<ривая8.12 .3, Отсутствие производной точек разрывы l-го родаи устранимого разрыва. Применим теорему Лагранжа дляilbI~iCiiei iШ ОДiЮl'О ЗЮ,lе'iатеШ,НОIО Сiюikтва iPOil iВОЛДОЙ. Прежде всего докажем следующее утверждение. ПустьJ СТимеет '/\,mj, "l'НУЮ 17орпизвоi!'Ную всюду в(Лf!вm'1) 1700,u;or.;pecrnHocrnu то'!х!! с и правую (леи'!!!!)) щюизuод'Нуюса.моЙ'nfO"l!, e,'(ли(х) имеетn в rrUi"l'/\"17орпвое(леuое) 'Преде ,!,'ь'Ное ,IHa'f,eHne, то это 'Преде ,!,'ь'Ное "IHa'f,eHne !ЮU'НО17орпвой17ороизвпдifQЙ в 'nfO"l!,e с.Дш доказательства Iпого утверждения рассмотрим л uбуюЮCiiеловате,юсть {х n }iа'iеiiИЙ apIY'leiiTa, СХОЛЯЩУЮCiiсправа CiieBa).
Учитывая" что, начиная с достаточно большогоНО!lера 17"функциявсе х nJ(x)ipiliaiieiEaTTOriЮiУОi<реСТНОСТii, в которойимеет конечную первyru производную, применимi'eopeM) ЛаlраНiЕафу; i<циихЮ cel'MeHi'Y 1При этом получимf(x n )--f(c)с[/1, х n ]= .f'(~n),,([х n , /rЛ.(8.1,)где через ~" обозначена некоторая точка, лежю щя между с и х"П,fСТi, i'еперь в равенстве,)) 17, --t 00. ТОlла., О'iеВii!ЩО.--t.1'(справа (слева).
Поскольку по условюрг) имеет в точке с конечное [равое (.iеiюе)юе значеШlе, iравая iaCTb (8.1,))ю определеiiИЮ iрелеЛЫЮl'О значеШlо;iЯiаiiа ipil 17, --t 00 CTpe~миться к указанному преде,iЬНОМУ значению. Стало быть, су! !,e~cTBfeT iреле, при 17, --t 00 и левой чаСТil,)). По ОiiрелеiеШlЮправой (левой производной этот предел равен l' (сО) и' (с О)). Итаi< в[е17, --t 00 равениво (8.1,)) лаетJ'(/,+ О)liш,1:--+С+ОJ' СТ U'( -liшО),1:--+ с-оJ'(x) .1) В, е УСЛОВИЯ теоремы Лагранжа выполнены, ибо фУНКЦИЯ f(:r) диф(а СТ;,быть, и Ш'ПР"l!ЬШ'!!;);ением ТОЧКИ;Ю '"й точке о,'гмент;' [с, Х n ]Непрерывность(с+О) и'(с-f(x)в то';ке С i/праваЕ( Лff д' ,"('лниi{( +fTe«fbHi'<ущеси,1:--+ Сследок ть непрерывн, ,стьj' (:г)в точкеПРff' еfШif i<iШfЖ() что ДОКii<Зiiiкенекотр"утвсржлснню:Юi'iBi рЖiii Шfi'Ti' i-fштерваЛi i (а, Ь), Mi,i приде,<Р('ии}, ФУ'Н'Х:ЧИЯ(х )UJ~lррrп ~,i()'Неч'Ну'Юf'Нij'Ю 6ClOaij 'На и'Нтер iале (а, Ь) тоГ (Х) 'Не .MO;JfCern иА!ет'Ь 'На:JTiiO.M и'Нтервале j!И Тiiо'Че!, устрп'Нимого разръ!вп, 'Ни Тiiо'Че!, роз{iъtва 1го lюда.са'<ом деfе,< ееief-:отороiiji'очке сiTepf,a<faа, Ье![<еСтву!ит конечные правое и левое предельные значения j'(x),i'O j'(x) шnрерЫ61f ii в rrUi'Ч'Х:i! с (в СИЛУiОf-:а«fаННОfО выше YTf,epждения).
Ес.fИ же хотя бы одного из указанных двух преде<ъныхзначеШf не существует, то j' (х имеет в rrUi'Ч'Х:i! с разрыв 2-гоlюда. Приведем пример функции, производная которой существует и конечна вС!иДУ наHeKoTopoIllинтервале и имеет в некоi'ОРОЙ то' [-:е ЭТОfО fштервала раз} ыв 2~1'O рода.интервале(-1+ 1)люБОf о Хi=ПРОffЗfЩifiаii этойСУ! [ествует и определяется формулойl' (х)2х COi, ~=Существование производнойj'(O)f,bltef-:аетfредеЛi,НОf о значеШfffЗ е! щеСТfЮf,аШf!+~x)-f(i!)"--'-----'--"--'---'- =го предельного значения. ибо уi'ln -l'1cos л=1тL.x--+OзначеЮf=в f-:ОfщеefaraeMOrO§8О.О ни правого. ни лево~12хcos -СУ! [<ествуетХО равное НУ<fЮ прел,е<ъное(см.i,in ~.L>.friначение, а е [агаемоеш' имеет в <пой точке ни правого.
нихНКЦffв точке х = О непосредственноПроизводная {(:г) не имi ('Т в точке хВ точке хна{х 2 с;е ~ 'Р" : ~ ~:f(x)Очеf!ИДfЮ, чтоPaCCMOTpffMфункцию[евого преде<fЬНОГО.4 .ВЫВОД некоторых !ераве! !С·!В. В заключение покажем.как с помощью теоремы Лагранжа могут; (ыть получены HeKO~4.торые весьма ПО<fезные неравенства. В качестве примера YCTa~HOВffMс.fед! ющие Дf,аiepar,efiCTf,a:I siПХlI arctg XlsiПХ21 ~ IXlarctg Х21 ~ IXlХ21,Х21·{Здесь под xl и Х'! можно понимать л!uбые значения аргумента.Для устаНОВ<fения неравенства (8.16) применим теорему Лагран~i1I:ОБl ШНl1\Я ФОГlllИ / (:[;) -фytSlПs1П[:[;1,::inx'2(~)lT,i"'р"Х" lЯC(:S ~(8.
8)=!'2)/' (~)(хИ Чlf\ 1COS ,(1(TiiH()B·l' Шi н' рав,10 ce:"ellT\рем! Ла:ран; ·;ачеСll" что(~)=:~(8. 8)1НКЦliе ~Обоб, i.енння формула конечных11.26:)l.EниИ:lY'l;риращений(формула Коши)в это:м параГi ,афе :мы л,окаже:м теорем! , принадлежащую КоlllИ И О/Ю(iщающую устаНОВlенную llblllle l'eopeM\ Лютаllжа.Теорема 8.16 (теорема Коши). I'сли '/\,п;ждая из ,f6YXфУ'Н'/\,'ЦUЙ лх)g(x) 'Не iре/iъt6'На 'На сег !!еюпе [а, Ь]дu,ффе~р,:'Нцируе.ллп 60 6/,:Х 6Jiyrnpej1JiUX ТiiО'Ч,f,·а;r лnого сег.лм:'Нrnа и если,'/\,Iюме того . щюиЗ60д'Ная g' (х) отли'Ч'На от 'НУЛЯ 6сюду 6'Нутрисе~.лле'Нта], тоэтого сег.М.е'Нта 'Найдется rnO''lr.;a ~'Ч'П 10 (nРП6' дли60 1lJ()·Н.!~/,/J.!/,U'f(o) _ f' (~)f(b)Формулу,шаютКоши.со.
ПреJf:!деД о(8.g'(~)'g(!:) - g(o)ФОРМУЛО!'! !,{!'Не'Ч Iы1x nри-#а з аеBcel'O л,Оl<аже". lTOав само:м деле, если бы:iТО было не так. то для функции,;(х) (;Ы.lИ бы выполнены на сеГ).1енте [а, Ь] все условия теореIlIЫ8.11 Рокш) и по этой теореме внутри сегмента'наШ.lась быточка ~ такая, что g'(()Последнее противоречитс.1ОВИЮтеоремы. Итак. g(a)g ) и мы имеем право рассмотреть# g (!, ).#следующую llспомо:ател ,llУЮ ФУНКЦliЮ:Р(х)/(;Т -ла- ;~~) =;~:))13 Cli,на.1Ожеl:иянепрерывна на сегменте [а,ЫХla(х) НКЦli](а)].f lX(8.20)Х.HK~и диффереш:ируема вовсех вн! тренних точках этого сегмента. Кроме того, очевил,но,.что Рl ") = Р( ) = О. Таким образом, ДШ Р(х) выполнены всеСЛОВliтеоре:1Ы 8.1(Ролля).
(о:лас.1О этой теореме внутрисегмента [а, Ь] найдется точка ~ такая. что(~)Име,l в l1ИДУ,lTO(х)"..f (х(8.:;1х.liСlЮч ПЪШ',f..ffЗКоши (819)3 а мрав, нстваЧffМд',каЗiшаф'м Л Л'l Р HJEaины' СЛУ'fаем фОРМ'ЛЫ i\~~ff'\8{.' <, {а м е ч а н и есч паТf •. ч ,'О Ьа.§ 12.В формуле2.>Раскрытие(.8.'g(x) =19)ЯfШЯ'"х.вовсе не обязате. !ЬНО*еопределею ОСIей(правило Лопиталя)1.Раскрытие неопределенно~ти вида Ор ПЪ, что о! fЮfffеffиех---+а неопредеfеfНКЦff :~~~ предстюшяет coi;o['[ приЮСfu"в fiЩ о' ес.Шf(хlimхf;аШlюе fa'fe fие lim(х) =г--+аРаскрыть 'пу неопределенностьлеБулем гово-f(:r)'ПО значит вычислить пре--(при ус.ло ;ИИ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
