Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Ош\tЮI ДЛ1f t1ЫЧИСfения болс ч • сложны:< пределов, в которых о теделяю frуЮ ротрают члены iiолее высокого ПОр1f {ка относи е.fЫЮ 1.tа.юЙ t1ешчины Х.1) Формулу или оценку характеризующую паве. ,ение--+ О), называют 1\сu.мnmО lli 1"ii1СК;ОU.(з!\есь при х(/3.77)при--+аока;;·rваетсяy>f<eнедостаточно.Танапример,'.,if()M)щи(8.77) нево;" ожно вычи' лить предел; ное ша';ение.];х(878)х'ибс, по ',и.'.у з, 'а:;"ен jтеля \j;;:жз jKЛJ; !чить; что здесь опре ,еroЛ2lЮЩУlZ) роль играют Ч.'Тены J-?O nор.яJ'к;а ОТllOСИТСЛЬНU Х.Таки:;.;юм, ДJЫ ,;ЫЧИGiения то' ,ктг< пределов необходи ,Юполучить бсшее ,очuые ;jсимп,;"ические оценки дл;; <l;УНКЦИЙ,стоящих В левых частях формулТакие оценки,е'мсдле';(8.77).ю выте'Юj;;',из <lЮРМУiЫ;jклореЮj(8.54;.
еGiИ в этоi! фОi)М;iе взять остато',шri! член в форме i [еаю (8.:57). 3;шисш;,; '<lюрмулы ;jклореЮj (8.6:1),72), (/3.66)(8.Ы(8.65)в ;йждоi! из этих формул остаТОЧНЫЙiенв формееано, iЮЛ\ чим Giе.,.УЮ ;;ие аСТiМiiТоти',еские оценки:sinx1 + х)n- 1-1 -;-, _=п!а"a(a-I) 2= 1 + 1:.1,+2:х + ...0<а(а-l)... +lп(1+ u(хП+l),+ х);;3х--+-3еХ1+_...(а-п+!+.х2+ ... +... +1,8.79хnn-+о(х,n... + -1_cosx - 1х П +о(х Пп!n хn"2 -n!хn+ о(х П ),+ о(х П +1•(3де'сьпер,юй изн.е'ЧеmI;ое число.последuе'й из фор'Чеrтmое число.)лы (8.79) оцен шают соответств;'ющие Э.iементарные ф\ ю<цис точносты;,ве.ШЧИUЫ х.Ч.iенов .';1060,;0 nорядк;а пот, юситешьнофОРJ\.ryлы ЯВ.шютс;; эффективuы\j;jЛОЙсре ,ст,юмДJЫ ,;ЫЧИGiения ряда ,о"ктг< пре,ель ,ых ЗЮjчениЙ.Приведем примеры ис ют ювания аСИМiiтотичес <их форм;'л(/3.7'J).окачестве первогоiipимера рассмотримуже;аJJiCaHHOe,;ыше предешьное' ЗЮjчение (8.7/3). Привш Юj,' пер,;у;;; из(8.79) (вштуюn3), будем иметьlil1lХ-+;;,in Х--.];.];13!'х:З1-l'X~~_т 2 /2е'-(О' .];х; sinx16ыIПРf!"\кларf' [А2ЮИСХОДЯ ивида шаменателя, можно заКfЮ'jИТЬ, что \нтеделяющ\'ю Р\)Лf должны играТf 'jлеШ·j 4-f'0 поряд}й относи} елью(ибо sinО(.Т)) Пользущъ фор ,}ула,ш,}\))ке\!+записать4'OS-Х4•1+О(.Т '),4,1-+ХSillX -(8.80)Х(8.8 )72= 1 + z + -2 +eZСТjjЛО быть.
при= -2/2z2 -ев силуПОfУЧИ\!Х12+.х2и(8.81)4+(8.8:n8(8.82)иско ,юс' пре f.ель юе зuачс'-ние'~,--2_+_'X"",8_! (_х_4с-)--c-.,---1_+---,~._)2_--,2=41lil1l _1___-+7"(-)Х-+!',4+ о(х 4 )1--~+1lil1l 8241 + !(Х)Х-+О( 3feCb СИ\jВОЛОJ\1a(:r:)812о(.х 4 )мы оБОЗН;jЧИ ш f\e шчину ~' )шл по-ЩУЮС)f бс,ско fС'ЧUО jj)ЩОЙ при---+ о.)30.1lil1l. .
(cos ХОбозuачи\! через у вс'личиuу 1) У1lil1l:r:(sin·+-Х-+!'=а:)(СО:1 Х + "2)у. ЛогарифМИjj'Я j,ыражеuиеш у, буде\! И\jеj ьХ-+!'ln у = .х(юп.х-х)ln ( 40S Х+ -хВычислимln(о!.х)lil1l ln у - lil1l ---':-,---------,--'---х-+о1)10x'Sin1x)При М,!ЛЫ\ Хх-+о(со 'хВ.А. Ильин, Э.Г. Позняк, часть1+,(sinх22,)).Тогдаосколькуcosn(:r;"),2jf()Л\IЧИМ8111+:r;:r;),lп=lim 1 1 У11Х---+О,ОУчте\!!еперь, ч!!'z) = zln 1z.э!ой ,1юрмулыliКИ!\! образом,1У4( 4)+ ох- li11';;! + о(х Б )Х---+О --1 +а;24- li11'х---+!!_1,44Отсюда1 - lim у -е-4"х---+!!ЮСШЕНИУВЫЧИСЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙВIjJ,[!!I!!ТII',!ще'l' ,]I!IlOлнеНИ/!(!ЗУЧИ'I' в; 11!P(ICпростейших!лементарных функций.Дл',! !1!;1ч(!с!ения зн;; !!'н!!й всг'х У'1аза!!![г;ВК!а алгоритмов, первый из которых основан на ра !Ложении вычисляемойН!ИТей юра, а- н;; !1;;1Юlжени!!!г'пную И!Инепрерывную, !робь 1).
Первый алгоритм позволяет составить е,.!ИНУЮ про-гр;' ;!му вы;;исю'н!!йю!';;рифм(!че1 I'!/Й06ратны(!РЮ'Q!!ilмет!ческих функций. Второй алгоритм ле(;1ИТ в основе универсальной програмвы;;исю'!!(!й !lс!;;лт,;!!;1Х !!Р!lс!еЙ11;!!Х э'!е;llг'нтарны(н,!й,Помимо обоснования указанных алгоритмов, мы провеl!ем о!!,енку числаитера!!яй, обеспечивающих за/!анную точность вычислений.1.Ж1;ЫЧИСЛ/,;ние ЛОГ1(РИфМИЧ/,;СКОЙ И обратных ТрИГОНОМ/,;ТрИЧ/,;с,!:(их функций.
Вычисление этих функций основано на применении форМ(Тей юра. ]\;1!;I !ющю6Ю1paCCMOT!I!!M ВГШР!IСarcctg , arcsinарктангенса. Г1!ычисление значенийСЯВЫ;;ИСЮ !!!!юС!1!;1ч!!с!ени!!и!Ю;II!IЩ!;Ю с!едую !!И(]г;;1'1 !lg Х = - - arctj: .х,.хaIccos Х = aIcctg= 1;1'1 1 9ю! ;;рифм;;легко СВОf\ИТ-arccosИ1!lест !!;1Х)1 _х2'~===)1-12'1) Свеf\ения о непрерывных f\робях читатель может найти в учебникеА.П. Киселева «Алгебра» (Учпеf\ГИЗ,1959,с.188-201).lEНИЕа=2где р1м?1,(8,84)Отметим.
что преf\ставлениев форме (8.83) е, шнственно. Используя форму,. (8.83), ;rГ"уче,м ДIn а еле'де ,е.щее выражение:In а =рIn 2 + 1 : М.M=~l+J21-xи нодсе., 'Л'.,'.'дл.' Мэтг.(8.85),"рео6разуе"f\ля ш а к слеf\ующему вд 'у:InРаз южи,функциэто! е.'л.жениеl+хe.l" - 1-хе.с ;.тг.чны;'ш • •Iюрму 'е Макл.рена.[('гко у6едитт,с', чтг.'е "'м в .Iюрме Л ,"ран)ка е'меет гш'д; ';'ще,йвк,:где18.89)а ч 'ею'ю "'но с'р"Г(' мmкд" ну 'е" и единиЦ"Й.()!ля прибли;;;енного вычисления.lna~( р - -1кот н;;.я ПГ.
'vч.,ется И;ln2lnиспользуется слеf\ующая формула:+2 С +(8.87118.90)пут"м замены1" 1 + хч .гтьюК ,г.рена 8.88) д'я этой функци;,г.с ';.Т"ЧЮ'гГ.'е на R 2n 2Замети •."что число х в прибли.;;;енноЙ формуле (8.90) f\ля ln а опре .• еляется из форм;; 'Ыучг'том ограничений (8.84), н.,лг.)кенных на М.П. рейдем к Q!U'НЮ' погрг'шнг.сти'Ы (8.90). Т.,к IйК при(нил,енное значение ln а, вычисляемое по формуле (8.90), отличается от точногозначения, вычисляемого по формуле (8.87) на величину остаточного членаR 2n +2 (x),тг. дл',' выю ''''''''',' Но"рг""дг.с ;.т •• ч ... ОЦ' ,,,,т!, этг.т о,тато'!-ный член.Во-первых, выясним границы измененияформулы18.86)получаем18.91)10*ИзС" ду"т, что ДЛ'",нач,'ний М, УД"В'i'тв"ряющи<(8.841 абсолютная величинау ювлетворяет условию''''равенствам1)0,172Замети<, Т('"ерт" чтоcTPY"!Yi'" г,с!"тг,чю,гг, ЧШ'Н" R 2n 2(Х) та"о,," чтг,оценка f\ля отрицательных и поло('.(,ительных значений х может быть проВ('дена (Щ'!1 ""((вы'"спос060'"-х н(· изменю т структурыR"n+2(X).
,ляфг,,,,,,улыR 2n + 2 (x)).~ О. Учитывая это инеравенство8.89)в(· н!ч,!1.1-0,172'~ (0~~2~2~IR'n+2(x)1С !еду "щу"о ",н"у:[1 +В послеf\ней формуле внесем '0(172)2,'+"< 0,208'8.92), получим, заменяя в1+ Вт - (.д'!в(· н!ч !ну1чи(л"м1-(jх0.1'21 _ 0.172видно, что замена х наll((этому достаточно пг, !учит" ОЦ('нку'n+2] .в KBaf\paTHbIe скобки. Так какполучим сле. ,ующую о (енку . ,ляR'n+2(Х):(8.')3)!н,-вычислит(' н.н"ЙПри (".,ч !с!еш,! (п а н"(8.90)берут обычно приТочность вычисленийn{О,172)1'(енив"ется,кю{виднг,чис' юмизне2),ля этого случая+ (0,208)1414'ю(торг,(' Ю·превышает 1,625 .
10 10.2.Вы ч ие н и()arctj;((,видно, мо)к Ю ((Гi"'!ШЧИТТ,СЯ С !уч"е'"положительных значений аргумента ибо. полагаяlal=най"емaIctg а = sgn а . aTctg Х.У"а)ке'"Т('нерт, с !"НД"Р! ные "р' Г"'!," 'о ",ния, С но "г,ш,.ю "г,!оры< вычисление aтctgf\ля значений аргумента . не меньших 1/8, приво, штся Квычислению арктангенса f\ля значений аргумента, меньших 1/8.Пусл гнач,ша.х ~ 1.
ПГ, южИ'" уarctj;.x, т. е. хcgy. и Х1tj;(Y-=- ,(l'ccg 1).кю{Из ш(с!едней фг" ·",улы нолуча('М Х1arctj;.x'(1'ctg 1значений~()6ра! ,!мг'8.х+ ,(1', (gX1]г= -4+ arct"' Х1,ПРИВОf\ИТСЯ К вычислению(луча!,;,"((ГД"==tgy -1= -.-.-'-- = - - < 1.tl;y + 1.х + 1тг, вычисш'НЮ'при ОaIctg"РГУ ·н·!(тarct.!.·.xТакД!Я< Х1 <удг,в !етв, ,ряет!".! ", (,ен-< 1.k1k 2 = 1/2 k з =k,3,4 выполняются неравенства.х1/8.()чевд.шо,ля некоторого< 2ki.1) Т"К как .х явлю'ТСЯ функ (ией от 111, то вопрос СВ(ЩИТСЯ К разыскани!"!я функци,! 18.91) Н"[1! " 1].") Нменно так вычисляется lп на электронно-вычислительной машинем ",си'!а Н.Ю(ГГ"наченияБЭСМ-6.lEНИЕПГ, ю)ки'"У;,1';tg Х,g(yХarctj; kИз;юлу;аг'мx-k1 + kiXТа;,;О,.Х(8,9!;k1,k< k,k;,xk1тг,< ';k-получаем неравенство Х;вычислениеllРЮЮДИТС,;;0;о, сг,г ;;,гю;ПосколькуaIctg Х =<п;;;;вг'де';'1aтctgk;;;;,;ч;;с;ение;Н';'g Х<aIctgaтctg х = х- 3при х<;;з;;i;;уинтерва;;,меньших[/8 используется формула Маклорена+ - - ...
+ (-1) n - - +2;; + 1При вычислениях обычно после,шюю формулу берут присы ;;;ют остаточю,;й ч;е;;то(8,94)самое большее четыред;я зн;; н'н ;й .Хк вычислению арктангенса, ;ля значений аргумента[ля вычисления;ля+ aтctg Х;,;ля значений ,у,ювлетворяю ;;их неравенствам;;;,;ч;;с;е;;и;,; arctj; ,Xi ;;ри ОХ,k;.aIctgПовторяя OIшсанные преобразовании аргумента<и; ;н';;;,;;енс;;'[о ;то;чу ю; "ослеf\;;его выраже;;и',;nб и1). П[,ю;'рам;ча вычисш'н;;й дл',; 'о; ;;рифм;;отбратангенса общая.
При пользовании этой программой, ;ля арктангенсаа[ ,;,;Haf\o.х 2n + 12.Вычислени;,' тригон ;м ,'трич;,'ских ФkНКЦИЙ,функ ;"иипою;з;;zтельноиФуню ;"ИЙ, Вычисление этих функцийп н ы х (или, к;к их г'ще н;;сыва;;;т, Нй.Р оf\НеоБХОf\имые нам свойства этих f\робейприво" 1Ятся ниже в п.вычисш,н;;г, ВСГ'Х ш'речю ш'нны; ;[tvн;;ц"й св',tзано С г,;;рс'деш нн; ,й це;;-ной f\робью, которая получается при ра сложении функции Нl;;сщрг,;;;ю рассмотр;;м t;;,;ч;;с;е;;иеt;;аче;;ий функци;;х,1l0ЭТОМУзате';' у;;а-жем. каким образом вычисляются остальные фуню (ии.1.цеН'~o'~~'"ктдР'б~~,'и,ир ы еРnQnс в е д е н и я о;;азы ;;;етс,сРnQ= ЬОцеп н ы х Д р о6я х.K07ie';7i;;uвыраже;ие видаа+ ------,,;'-::-2--Ь 1 + ------=--;;-а,=-3- -(8.95)Ь 2 +-----ЬЗ+ЬВеличины а1, а:" . ..аnобычно называютсяаЬ о , Ь 1 , ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
