Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 54
Текст из файла (страница 54)
,b n',aCrn7iblMU 87iaMe7iarneJP:,M'U.Цепные, ;робиРОQoЬОl' Q1) Именно так поступают например, при вычислениях на электронноймашине БЭСМ-б.дя ,!их дроб,'йQPk=+ ak P k-2,(Jk P k-l(8.97)Щ(]k-2.bk (Нам понадобится специальная формула для дробисо()'( ,юше,ii,емдящие дроби(8.95). ДлZLPkPk 1и --.Pk1 -определяемойРазность этих дробей, О'iевидно, равнаPk(8.98)Qk P k-l = (bk P k-lQk P k-lPkQk-l -1(~k-lPkQk,уС',анО!,лени}! Э', ой фор ,'улы сра н,и,,' Д ,е ,юд",о----Ч"сли', еЛh правой чассгиРn(~k-l(в силуможе', бып .• аписан в Riце(8.97)+ G.k P k-2)Qk-l-(bkQk1+ G.kQk-2)Рk-l= -G.k[Рk- Qk-" - Q/-IРk-,,]'Последовательно используя соотно, нение- (), ... , 1 и у'!Итывая, '!то Р_1. (~_(8.9:;) ,mлующий ВИ1\:Pk _Pk 1 =!k-l(_1)Н(8.99)= О,=(8.99)для зна'iений k, (k -1), (k1. мы ПРИ1\а,им 1\робиG.kG.k-(8.
00)Так кактомы и пол; '!им неоБХО'"Иl\I; юнам специальн; ю форс помощью",улу для дроби-Q :n2.Раз л ое Ф у н ки иth хT~ е п н у,уемый в Э', ОМ пунк, е способ ра,fД()'(i;ею,ч фУНКТ~i'"Дth Хо бh.Испош.-T~eiiHy,(f дробhбылпредложен Шлёмильхом 1) для разложения в т~епную дробь фУШЩИИ tg х.Рассмотримнкцию уду (fЩiiе (),(i;деС', "а. получаемдаiiНОЙ фу ,к ,иип!юС',ысl1.levx1\ЛЯ зна'iений х>О',еВИ1\НЫ сле-последова', еЛhНЫМi, Дi,фферент~ирова ii(ЯпреобраЮiiаНi""I(VXy! =r:;;/f2у х У+ -У - -У-vx2VX1) S С 11 1 111 i 1 с 11 О.
Ueb"I d, 11 Kette11bIllc!, ПiгPI1YS. ы;ы. \1. 2. S. 137-165.=О.'/d;х.2%lEНИЕхО2у'У =П"f'JНЛfшаг льно 1\Иффf ренцируя П))IСf f С'ТВ"=)2) ffY1\eMИl',!f'ТЬО,l(3)(8.103)+;/n)fff'резu,,+;. '!ог ;,а из ПОСJНЛШ'ГО соотно-уОб"зна'iИМ отношениеfff'НИЯ+по.тг. 'fИм Т"Ж1\ество12и;еfOТОрОГОвытее;ает соотношениеТак как 11.1у'= у..fi2..fi 'о соотношеНiiе---(8.104)Прf'n,аписано в следу "щей фор;,е:t h..fi' х=в правой 'jасти этойпомощыо(8.104)прилы.n =..fi-1-----'-:.,-')/-;11.-2;аменим11.,его выра)кением,ПОЛУ'iенным сВ ре"ул;;;ате получ;;м фор"улуth..fi = __..fi,---x--=-_1+ 2Х71зпоследнем соотношении мы можем заменить)1\ 'iеннымс помощьюж;'м прове;;ти лю)юе кошфуню~;;и'ff'Mth..fi'! ае;ОГОпри'iHOf'1',10'fИсло ра;.
В результате ПОЛУ'iИМ ра;ЛffЖ;'НИf'т~епну;" дробh. ЗаменяяН; жное нам раЗЛОЖ f НИ f 'его выражением, по-РО';,а операции мыэто)' разложениинкцииvxна х, найв i;оне'шую цепную 1\робь. Эторазложение и) еет видthx=---------------~----------1+х2(8.105)--------;с----)г 235++2п3.к аВ ып о гнкциии с л е н и ез н а '! е н и йе ш н о с ты чнс л е н и й.Ц и и!;;,lч;;слен;еО ц е нmачен;;йна ЭJН'КТРОННff-ВЫ'iислительной ма "ИШ' О);Ы'iНО произво';дтсякторой тбрас ,шаетс,,; член 2х 2 ;;n+2' !рис ;Ю)ЮЩ;,ff' формулы (8.
05),этом Т! б;'рется равным6(пffграНИ'iивают;;я 'fИптом 7г /4.зна'iения Ж f 'по абсолютной В;'ЛИ'iинеМ,,; ПРОJJеDРМ m~PJJKYОl'l);'ШНОСТ,дш;;номер"()бозначи\' прибли ,;енн"е ЗJJаче ,,;е фу ;к ;ииth х,п\ Г М отбрасыв ,ния "лен;,n,полученное И;tll;Г, ';"метим,вы Пl;лений мы ';i)ЛЖНЫ, '''';'ви Щ;;, оценить р" ш"стьЧТОИ tll;J: преСИИТНСТСТНСННОаытяют С,,;JОЙРn+'05\Для выя; нения П)'iНОсТИк,,'; ор,,;;'обо; ;ач,;'иQn+lв "пишем значения час;ных числ ;телей а"Ь"Ь, дЛЯ этих дробейа, и чаС;Н',J"" знамена';елей'iерто';кой све;,ху мы будем обозна'iaТЬ веЛИ'iИНЫ,Р",отн,,;'ящие;;я К ';,роби ~), ИмеемQ;ЬОЬОЬ12nТак как для дробейщыг' формулQn1= (2nРn(8.106)(8.106)= 1,+12\2и ,1.1Q-l =Q 1 =0и соотно,нений(8.92)о с помо-полу ;аем следу'рщие равенства:Ql=Ql' Q2=Q2' ...
Qn=Q)Qn+ X2Qn_l' Q\+l = (2n +i)Q, +x 2Q+1 +2x 2unuПре1\ставим теперь каЖ1\УЮ из 1\робеиРn 1-Qn1()7)иясноИз фори1';то ;ти пр;лставления БУ1\УТ от, !и ;аться ли,ньпос',е щими ;;лага;'мыми. Попом; разностьQI'\+l n+lности последн;'; слагае"л,;; предс,аJJле ;;,й э',Так как разнос,(8.106),(8.107)1.n1Qn1б\ ';;'т равна раз-дробей ,;о формулерассма', ринаемых дробей ран ,аth х - th х,(8.101).о, "спшп,;уяПОЛУ'iИМ сл; 1\УЮЩУЮ формулу:th х - -th х = (-1 )n2х2n1Это соотношение с помощыг' фор ,'ул;'JТ(лующеl\!\[1Q Qn n(8.102)11]Q\Qn+l.легко преобра,;о ;],шаетс", квиthx -thx =_1)n[-2-;-=Q=-n-u-n+-2-+-(-:-"-'f!7"--~-";~-':~(=;n-+---=-]'(8. 08)Для получени", JJУ\';НОЙ нам от~енки НОСПОЛhзуе\,ся следу;ощи\ ,'днр, я неравенствами, которы;' б\т 1\о\а;аныПр;; х ~ О для любогоk~1Qk;Г>ОHl·[)Ke.справедливо неравенсmво:~(2k - 1)!!(8.109)297lEНИЕ"Ю' р;,>при Хлюf)(J' ,ю;адра; ныхнит~ыр"Далее, ;;з(8109)п, ,луч ,ем "леду рщее не; ,ai\eH"CГ;;O'+ 1)-1;!!?ому "р;; ;гО, Т;,к как при(8,109)), его выр"Ф;е"ие08) HP пр' ;юсходи; ед;;->погре;;;ности:,2n+1I thx - thxi ::;;(8.[(2n - 1)!!Р(2n + 1)'Осега;ю ,,;МС,; на ш;е;;ке ;югреш;юс;при n = 6 для значен;;й х, удш;леег юряющих нерав;'н;;твам О < ;г <При Т! = 6 ';исло 2n - 1 равно 11 ачисло 2n + равно З.
Так как (0/4;0,8, о х 13(0,8)135,6· 10-2.Лег;ш ПО;,С'iИтать, ';т" 11!!10 з;);~" ПО ;TOl\!' У'iИтывая, ';то113,из формулы (8.111) по.тр ';им. ';то ошибка в приближ' нном ВЫ'iислении t11д;"н; n = 6 не "ревышае'; 4· 10До;;ажем т;'перь н;'равенства (8.109) и (8.110).Д о к аа ег е л h с ег в Оеа в ес ега (8.109).До;ажем сна'шла неотрицательность любого (~k' Изл (8.106) выг'кает неотрицаг льностьотме';али, ,;то Q-1иО,nk при ;г ~ О ';ля лю,юго k::;;Мы1. ОТСЮ1\а и из второй ИЗ формулвыте;;а;'т неотрицаг льность (~k ';ля лю,югож"kИз второй формулы (8.97), а таюке из неотрит~ательности nk и Qk вытекает неравенство(8.112)Та;; ка;;Q,= 1,аbk = 2k - 1при::;; k ::;; n,~ 3и; нерав;'н'тва (7;.112) полу'шем Q1 ~ 1,то последовательно(2k - 1)!!.QkС ;равеДШ"ЮС;h нераве"с;ва (8.
09) ус;а;ю те ;а.Д о к а з а тл ь с т в о нр а вн с т в а (8.110).Дос ;аегочно доказасг;,. ч'; о все "рои,;юдные фу ;ю;ииchо пол' 'жиг льны. О,;, ви,'що, г'м "амым мы 1\' ,;;а)кем н' равенств"=>vx, +2ибо и n "., = ~у",+,,'Умножая после щее соотношениеса;hЭ'; О соо; ношениенамы4;;иде-4- УМО)Ю'Мпер;'пи)У,;е';,ИМСЯ Г перь в том, 'поx~~l Jг n + 1 / 2 у(n+l) С; )]Для этого';,ocTaTo'iHoубе1\ИТЬСЯ в том, ,;то веЛИ'iина(х)ограНИ'iена при;г'iTO УС") и У'-+ 0+соотношений Уограни';ены при-+ О,;то и в' ЛИ'iина ;гу' (;г) OrpaHII'ieHa при(8.JXиу'=О. Но ТОГ1\а из-+ОО.shJX2v;r:(8.102)5)выг'кает,вытекает,"С", ДН' ,'ОН"Ш,'НИЯ (8, 03\индукт~и" п"",уч", ТС""ограниче ,а "1J1' х --+ ОО Д)Н, любого ,ю\,е, ,а n Темсаыыы с,,"тн" ""ни''114\ ',,l)казано(окажем е ,eph, чсго ДЛЯ л,nб""" ,!Омер" n ПРOJ,'ш'д"а",IOC.Ileчсг" велич+5,(,г)>ПОЛОЖИ'l('ЛЬН<i при ХТi'льна при ,г>О.
О'т('виr:HO, 'тто(х)УСТ)chvxО. Пре.·ЩОЛО)IПIЫ. 'по ·'.ЛЯ не,шт"рого ноыераположи-ве.'iИ',ина(8.116) положительна при ,г >Убе.·,.иыСЯ ТОГ1\а. '1ТО и у(n 1)положиел"на при х > О. Из (8. 3) заключае"" Ч',О про ,звоДная в левой час,(8.11:t)ПОЛОЖИ'jеЛi,нах>при ,г> О. Но т"г.·',а и,Ита,.', у,n+1)(,г)>4.г и пн О й>ОприВ ы ч и С Л ер б оФ уки'1ее си.О, 'Г. е.
функ jj'jЯ х п(х) RозраС1аеггсmлу"Т. '!т" эта фун.'ция ПОЛ"ЖИТi'льна прии ш'равенств" (8.110),.оказано.>гп ег об о л и ч е с к о г ок о с и н у с адаЛh ,ейше', си\,воло\иSn(t)с иу С а.паз а тл ь-мы буде\ обозначаСГh,mлующую цепную 1\робы3+-----52n+1Обычно ДЛЯ элею, ронно-вычисл,п ел"ной \'аши ,ы соссга iЛЯl(J'! програм",у1iЫЧ, ,слею ".' э', ой т~еmюй дроб".
Иcrюш,зуя эсгу чюграм,\у, мож,ю бе"аТf\У1\Ш'НИЙ "''''тавить ПIюграЫl\J'. вы',ю,m'ний гиперБOJiII'1е,',шго тангенса.ибо, ,.'ак было выяснено в предыдущеы пункте, приближенное зна'1ение th хыожет быть ВЫ'1ислено по форыулеПРИ'1еы в ПР,ЛЫ1\УЩИХ пун.'тах было такж,' выяснено. 'по сТО'1НОСТЬ вы ислений возастает и погВЫ'iИсление фуш.'ций Б11с11вели'" ни,'ые ность стреиитсянулю.е 2х ыожет быть ре1\уцированок выч ,слению гипе, ·болическО1 о сгангенса С ПО\ЮЩ,,'" формулS112\2с11- thx''тих форыул и И, "'ютно!! "НИЯ (8.1lГ;) ПOJг.
',аются сл, 1\УЮЩИ" Ф"рыулыдл,·, "р"бл,.',ie ,НЫ'" з ,аче,i"" переч"сленных фу ,ю,ий:;;h 2хЯсно. ч,о с ПО\ЮЩ,,'" эсгих фор ,'ул И "I>orpa\,Mл' гк" составляются програыыы 1\ЛЯ вы',иii.ТТi'НИЯ S115.Ц И й.В ы ч и С Л е невыч"слений ДЛЯSn(t\,Ъ 2\ И е 2х .г оП" аналогии с разло)кениеы в ц' пн'. Юразл, ,Ж,'НИ,' 1\ЛЯ ф; нкции '!!; ,г.,1хнкцииФ у н кстроится299lEНИЕРаСС\iOЧJИ\< фУfiЮ'ИЮ у =vx\0"ДШ, ЗНiJчеНi,Й х0<i'че "iДHЫ C<i' дую-Щi,е \о(угношени,<,, получае'Л>iе Пi,слеДOiiа<,еШ<НЫ<fИ Д ,фферен ,И!ЮiiаНИ'<'ifИэтой фУШ1ЦИИ и ПРi,СТЫl\IИ ПРf'обраЗiшаНИЯl\IИ2+4 xy /l+у= 0<эсго сгождеССГRО, будем и\ е<,6 y /l+= о.+у(n+,Обозна'Шl\I отношениеПОЛУ'iИl\I равенств"'iерез и n--;;т;;-4'J:Ur;+24п1.
ТОГ1\а из после1\него равенства2=ИЗ,шторого выТ!'кает соотно/2'2n0<, сюда, R полнойl\I сле,<а< Ш,JР ',а,а ,аЛОГИfi с рассу ,1де !!!ЯМющ,rrраiЛОЖ,'НИ,',дл,<, J:Иi,ерболическогонкции1-х'I!; ,Г В ц' ПН1 Ю<,ai!! ен-<,<PO'ib:2+ ---------5+ 2n + 1 +'2х 2 и nПри! ,ЛИЖ,'ННО,' зна'iениеfiИЯ члеfiаti'rполу'шется из этойи n +,< С уче<, ом выра '1eНi,'<'ЛЫ пi Т!'Ы ОТ'iрасыва(8.11'2) э, о приближеНiiOе значеНi,еl\Iожет быть найдено по фОРl\IулеКа'1 и в слу ,ае гиперБШП"iеского тангенса< l\IОЖНО убе1\ИТЬСЯ< ,!ТО с величе !!,ем n очнос, RЫЧ ,слений по формуле (8.9) Rозрас,ае<,пог;<ешность СТР"l\IИТfiЯСiЮ\iOЩi,fРti'rSll1х1 + '1!;2Н1 лю.ИЗRеССГНЫ fiизкурса эле",ен<,арной- tl!;И СОБ1+<2х'I!; ,Г\facгe" а<, ию,И соотношения11)) полу'шеl\I сле-ду', 'щие фо; <l\IУЛЫ для вы ,исления приближенных зна'iений;;i , 2х:::::2;;\2) .
,Г52 (о2 'n-rТ")-Х«СО> 2х:::::заключен ,е за\ е<, "м, ч, о сгочнос,h5~ (-\')фор,fУЛ,in 2хи со;; 2х:+ 'l?52 (2)2n-Х-Хi(ЫЧi,слен ,й ,(се(1 функт~ий, указанных в после щИХ 1\ВУХ П; нктах< 1\ЛЯ шести иТ!'раций6)БУ1\ет неыень не 10-11 п;<и условии, 'по аргуыент Х по абсолютной веЛIгшне не превышаетГА В А9ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАФИКАФУНКЦИИ.
НАХОЖ)1ЕНИЕ МАКСИМАЛЬНОГОИ МИНИМАЛЬНОГО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ§ 1У частки монотонности функции.ОТЫСКJ:.kние точек экстретvтума1. ()ТТ,IскаНИf' у'шстков монотонности функции. В § 10предыдущей главы 1\'IbI уже установили ряд условий, обеспечивающ!!х возрастание (с' ютвет!ю убывание, невозрасrnание1uyfiblua1tue) ФункЦt шСТ) на некоторою !тервале(а, Ь). Д! УДffбства СФОРМf''f'eM ('щенан.!е усю!,'f1о.то!"учто{'ы д!!ффереШШРf'('М ,я нау=х 3-зх 2 -4О1 2фу!!кт~:ю!f(x)ста.iШ) намоИ1Ца, Ь)убыо [ЛUШ'[ ,'рва. "',достаточно,1':чтобыпроизводнаяэтой функт~и!.ша Н('ОТliJiЩ;'Т: ..на (неположительна) всю!у на этом инт:Ba.ii'.для того чтобы дифферент~иру-20,eMat!фу
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
