Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 51
Текст из файла (страница 51)
е. иоло>!!ср(х,--+ -(2)(а)-- (2!f( ... . . ) +/'(0)11. . . . )2х-!·j(n){a)... +-.n!Даfее обозначнСИМfЮ)n.(8.:35)ратост!f(x) -=Rn +Теорема БУД8'f доказана, ес}iеляется формуюij-аср(х,М!,! устarюн!!(8.36),чтоR n+ 1Offpe-(8.:3·1).Фиксируем лю()ое значение х из окрестности, указанноij вформулнронке TeOpeM!,f. Радн OffределеНfЮСТН будем с'штю !.,что Ха.
Оi)г!значим через t иеременную ве.ШЧИНУ, имеющ\ юобласт! ", свое} о и !менеНИ!f сегментх], и рассмО'} рим нсио>гательную'ljJ(t) Сfе;lующего ВIтa:(х)Подробнее'lj!(t) =f,.р(х,\южно заииса'f- f(t) - .f'\t)1....llаша нefЬ--выра шть!,t) -(х0-- t)pQ(x),так:- t)j(n)(t)--;-(хn:- t)! Q(.z).(S.39)ис:<одя из свойств введенной нами,функцииПокюкем что функция 'ljJ(t) у.ювлетворяет на сегменте а, хнсе> усло НИ!f Teope>fыI11 (Рол.Шf).З фор><уш,! (8.39) и и! устю !НЙ, н<t7IOженных наf(x), !!чеви шО, что Фунюшянеирерывна на сегменте'{!ПР;азыв;!ю!!агжг' фор;'.юЙ Шлсми n,Х;!-ФОГи Д11ФФZР'1Щ11руеМ;I 11аС'Т\"" 11"1 е 1) Убедимся в том, чТi'n(а) = 1/{г)О Пол т;ш в (8,3~)р;шенство (8,:38),иметь1/)(и) = /(.г)а и 11р11<р(.г,Итак,IЛЯВО В11 \'ание(:г)11а О(Н('Б;I(8,36) пол)"шм 1/)(а)О c;pa~'y вытекает нз(8.39).=277ТЕИ ЮГА,IY'Iна сегменте=о Р шенствоа, хвыполнены всеУСЛОВЮ1 теоре\ыI 8.11 (Ро..
На ОС11овании пой теоре\ыI В11Утри сегмента [а, х] Haij (ется точка ~ такая что= О.1//(t) .lнффере1Щ11РУ~1Подс'штае\про IЗВОДНУЮ(8.:39), бу (ем иметь1//(t)' 't)/+ -'-"! -= -... + rn(t) n(х _ t)n-l _/(2)(t)/(2) (')+ --'2( х.- t\ - .. ._ t)n + р(х _ t)p-IQ(х).t)_ 1!_ ' ('х._/(n l'(t,;;1'n!Легко ви(еть, что все Ч.1ены в правоij частинием 11ОС1еДШIХ двух, в (а111//(t) = -раве11С1 во/ (n+ )110(8.·11)(8.41)за исключеУ1IfIЧТОiI\аются. ТаI(ИМ061 азом,- t)n + р(х - ty-1Q(x).,n;1(;>лагая в <Iюрмуле (8.·12)t(8.42)и испо. ъзуя равенство=(8.40),пол)"шмQ(x)=(х - (~n-p(8.4:3)1;;:рСопоста (1Ю1(S.43)и(8.3S)ОКО11чате.
ъно будем иметьа)Р(хaJPQ(оn-р+l /(n 1l)(~).Теорема до (а(а 1а.llаЙ;lем разлО)кение по <Iюрмуле Теijлора простеijrrrейнИИ - а i2,браu'ЧеС'Х:О20 М'Н i20'Чле'f!Д n~20Пусть/(х) = Сог nor;la,il' iСЮ>ЛЬКУ/(n+ )(S.33)формула Тейлора/(х) =/' (а)/(u.)+С+ ... + Сn -+ Сп·О, (>статочный Ч.1ен11р11«ает/П(а)+-,-,,-R n +1О ивид\2а;+ .../In)(a)+--,-(хn.(8.4:1)1) Фушщия[а,паj:],,.275)./(t)/(n')СС ПР(!ИЗIЮД\iЬ!( д(! порядка(t) еущ('етв\('т и ({ОС :("!,:аПСПРСрЫШIЫе(:",(C\iTCIPе(': "'(СП(\М. е,ю\ку З)тве(],\южн\' взять Лiilбую то i "у бе; iшне'iН( й iipiiФОР>'iУЛ;; Т(ЙЛОР;; iЮ шоляет пре;; т;шитьмногочл(нв i;'U,ae m1-tОi'О'lле1-tii по crnene1-tЯ,ji (х -любое ;;;ще; т ;енн(!! чнсл\,Пусть т(перь/ (х)про!! ;вОЛf,1-tiiЯ фу1-t'Х:'Ц'U,Я, у;' fвлетворяюT(OneMfi18 ПостаП"i"С'" В!,JЯ<НИТЬ, к;к'свойствами обладает многочлен (S.35), фигурирующий в фор~муле ТеijШfра il,iЯ этоП функции.
Как и выше, ii\)l,eM обозначать'тот МНОГОЧ,Jен симвQ.ЮМ ср(,г а). Символом ср(n) (,г а) обозначимща'"УСЛО':f'ЯМn~ю ПрОИЗВО;lНУЮ "р(х, а) по х. Дшlференцируя формулу (8.:35)поИfатем JюлагаiJм!,, JЮЛУЧНследу' 'JJJHe равенства:iJj'(a, а)ср'(а)=ср(2)/'(u.)= /(2)(а,а)Таким образом, фигурирующиij в ,Iюрмуле ТеПлора ;liЯ произ~ВQ.JЬной ФУНКliИИ Л.г) многоч, JeH ср(.г а) об, JalIaeT слеДУffЩИМСВОЙСТВСilvr: !ш сам и его ПРСШЗВСf t.Ныe ;10 ПОРЯ;lкавключите, JЬ~но ра ;Н!,' в то {кесоответстве JJЮ /(х)ее пронзводн!"до по! ,ядкаn.§ 14.Различные формы остаточного члена.Формулы МЫГ;ЛОIJена1.
ОстаТОЧJчленilюрме Лагрн Jжа, Коши и Пеыно. Вьп!!е мы установили формулу ей, юра с остаточным Ч,Jевформе. 3 (есь мы установим t.ругие вСtЗlvюжныепредставлеНИiJ ДЛiJ остаточного '!Лена. Два Иf эт!!х представле~ний мы ПQ.JУЧИМ В качестве частньг! сл ,чаев из общей <IюрмыIOfMостаТО'iНОГО'!Лена.Преж.t.е всего несколько преоiiразуем формулу ;liЯ остаточ~но] о '!Лена(S.34).Посt.Ю,JЬi<У точка ~ ле!!;иrnшx;tJ' 'Ч/UСJUJ В 1~. Приiаким оiiразом сlюрмула_ (,_а)п\fе!!!ду точка>.ИЗ И !Шfj!ва!ia ОВ< 1,(8.:3·1\может быть переписана в ВIтen!р! 1)аа)что+В(х1(1_8),-~=<~=В).+ В(х-i 'ассмотрим теперь два важны!! частньг! с Jучая сlюРмулы (8. 15):) След.' е! ПОД'iеРiiПОiаiiЖ(' и ОТ р.'Л::1;.ст:' еО быть,8заi:И,Яii(:лью:Оеi1СТ~\ТОЧН{1)р =n+(на юмним,,2)'1021')1ЛЕНА'lTO в форму.!аХ (S34)(8.45)р \юж(т б1,ТТ1, нзято ю"бое поло ~1, нтею,ное 'lИ<ЛО)из ЭТIГ< ч (стньг< ,л~чаев (р- n + 1)иривi' l.ИТ на,к>!агр({//-tжаR()n+l:г -(х -(n+ 1)1f'(n+l) [а.+-а)](8.46)Эта фор\а остаточного 'шена наибо.1еев 11p 1Ю~л::ению<.
Остаточный член в сlюрме Лагранжа наиоминает слее1'ЩИЙ, очередной Ч~lен формулы Теijлорашшь только (n+1)~яПрСШЗВСi шая сlfУНКЦИИ Гlt) вычисляется не в точке а, а в HeKOTO~рой ПРО>,fеЖУТО'fНОЙ ме>f,ДУто'! f,e ~ =+ е(.гторойИf указанны:< BbIfffe частньг< случаев (р = 1) приводит нас к(fстаТОЧНСilVIУ членуRn +6форме Коши_ -,---(,_а--,--)7_'--:-('----1_()'----)n .t(n+l) [а+ е(х _ а)].7)n!ак как формы Лагранл::а и КОffШ f\Твечают разным значениямра е falШСИТ от рто з 1аче 1НЯ еявляются~ воо;)' ,~e говоряфОР\fулах (8.46) и (8.4~)раЗЛИ'l1-tъ! чи.
Дш (fненки некоторьг<фУНКШ1Й форма Кошн ян~шеТСf1 бо.1ее предпочтите~lЬНОЙ, че\форма Лагранжа. Обе формы остаточного члена (Лаграюка иКоши обfГЛЮ ИСПOJЬЗУ''''fСЯтех СЛУ'fаях~ когда требуется f1pHте:.: или иных фиксированных значениях х, отшчных от а, nри~б iижеlf1-Uf 6Ъt'{ислишъ ф1(!!К'I~ИЮ.tЕстественнс} приближенно заменить(х) lVIНОГffчленом 'р(Х,и 'ШСJlе lfЮ оненить сдел анн)'! , , при ло\ ошнбf,у. НаРfЩУ с этнвстречаются за~ щчи,в которы>:нас интересует не численная Be~ли'шна Yf,afa 1НОЙ ошнбf,И, а iИUfЪ порядок ее оmi!!ОСШ!f' ibl~Ufмалой 6ели'{и1-tыliля этоij цели У.ЮI)на fругая формаfaf1остаТО'fНОГО 'fлена (так называемая фор.NLa Пеа1-t(f 1)) к,становлению которой мы и иере:iОДИМ.Пусrn'h фу1-tКЧИЯ лх) И чееrn nроuз{(од1-t!>!е до порядка6 1-tекшюро'u >Жj >сш1-tосши шо'{киИ nРОИЗ61i f lfJjЮса~чой rnO"fKe а.)бо.fНа'шм каквыше, символомR n'+ l(х) и МНОЛfЧ~lена (8.:35) и ;lокюкем~ чтоpafHoc'l 1,1)-n 6фу 1КЦН{ля Rn+l(X) справелино след)'!' 'щее равенствоRn+l(X) =01(8.48)Это последнее ранеНС'l нона" 'т остато fНf"'шеНО\f,пре.fставленнымфор~че Пеа1-tо.Так как ири С;lе1анньг< нами пре~шоло.ж:ения:< МНОГОЧ~lен(8.35) и его производные до порядка n вк е1,чительно совиадаютв л'чкеМИ,- (], СО('" "'т'тненн,"НЗЯТЫМИ В тон Ж'фу iКЦН' Йл'чке(:г) и ее пт ,"нз (('дН!,i-то 'ПТ !if,едливы)(а ) -инамран' нС'! нао ," R(;;')( ");;.+1,4(849)49) в л е (шет fiР'Д-ОСТ!;," "Яl:татшениеш этого дос; аточ10 с ПО\ЮШЬЮ раненств (8.49) ДО ,азать" чтоliш R n +1(') = О.(,-+о, (х-(8.50)п)nТак как каж ;ая изR o, +1 (х) и (х ;lиlференцируе\! а (n1) раз НСЮДУ некOi ОрОЙ окрестнос; и то f((и а, справе;lШВЫ равенства (8.;19) Иiю(;ая ПРОИЗВО;lная ,!,ункции (х-а)nдо порядка (n - 1) ВКiючительно обращается в нуль т оь к ов т о ч к е а, товой 'fасти (8.;Ю);ля раскрытия несшре;lеленности, стоящей в леМО+'fЮ!nтеорему Лопита ш17.
Н;+1(');'1llП= ;IШ,""а (х-а)1) раз fЮGтrедовательно fip i\'енятьв результате чего мы получимR~+ (х)_- ,,)п-1х-+а n· (хУч п(,шая fiреДfЮG iеднее ранеписат; (S.5в видеliш;",'_;.... -R;,n-1,(x);IШ"(х-+а n; х-п).(8.51 )iC'i но (S.49) , М(,' мо +'ем fiepe(n-1)( )R n+1а1(,-+о,Так как пронз юднаяСООТfюше iНЯ(а) сущеСi нует и(S.49\ равна ну.силу последнегото предел ,ное та fение в праНОЙ частн fЮGiеднего раненс'! на сущеСТНУ8'iравно нуЛii''fTOизавеРfffает ;lоказательство равенства (8.50).Тем самым ВЫВО;l пре;lставления (8.;18) завеРfffен.за((Лi"'fение,аfj(iшем полност ,Ю фОР\fУЛУ Тейлора с остаточным Ч"iеном в форме Пеанолх)2.=j(u,) + .f';;ъ)+ ... +Другая запись ilюРМУЛЫ Теiiлорн.
Часто,а iнсыва~ЮТей" юра (8.:3:3) в HeCKo.iЬKo ином ви,;е. По. южим в(8.33) а = го,а) = ~xнозьмем остаТО'fн(,iЙ ч"формеЛаграюка (8.46). При этом х = ха~x, и мы пол, чим+j(xo+ ~x)(' ) _ .f'(xo) Лх.j 'о- -1-!- u+ .f(')(xo)(Л т 22!,"u,)" + ...'" л... + "",,"n)" (хо) (~г о, + .t,"'n+1)(" ха + 'i6.x,,!)(~J)o,(г+1)!"(S.53)ПСТ~ ~ТОЧН{неlШТОТ;('*'102811ЛЕНА,}и;ю НЗ ИНТ;РБ;Ш О< () <~) Ф(;Р\iУ(8 11)получаетсял,; Т(йлор,; (:<53) ~ЕляеТС;l ;CTecTг;eHНlГ iiбобш;i'Л(8~11)(CM5:5)и;Формула Л,;граюк,;Бастну'ФОР\iУШ,Т;лу'шеМНi"iлорс:на. Пр 1flЯТО;й(8~3;\)центром Б 'l'очю а = O~а.\1ак 1Орена дает пре(lстаБ~lение функ ши1aБ ;жрестн(;сти точки Хпро 1ЗЕОЛ ,ной функцнгра 1жа Кошиj=О. ЗапИtiiемМаклореначленом Б формеjПеано 2):, (S.54)jгде остато 1Нl,;1);ляа-ЕIЩ:Б Фот меХn+l(;; + 1);j(n+l) (е.г< е < );2) Б Фот ме Коши 3)х3)форме Пеа(О<е1);(8.56)10(S.57)llСIЮlЬЮЕа~форму.1Ы(S.46', (S.47\и(S.48).Перейдем к о leНlie остаТО'lНОГО 'шенаформуле ТейлораJ\Iаклорена к ((Тысканию раЗ.1Ожения поМакш(ренаБюкнейших элементарных функций и к рассмотрению различНl,lX 11p 1ложе 1НЙ этой фОР\iУJЬ1.15.Оценка остаточного члена.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
