Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 55
Текст из файла (страница 55)
ГрафикфУllКЦЮ;l<eH la pllC. 9.1.2.ОТЫСЮ.kние точех~главывозможного экстреМУМJ:.k.Ml,I Bl;;"фУllКТ~:Иlf (;ТП';ll;lТlп.2лоnа.1Ъ1-tого ,МД"Х:СН,М,У,мдустановилиУСЛОU)"lи f(:r) в да! юйlKe .'н}ка.! ,н;}го м;;ю'для удобства сфОР1\'1УЛИРУе:\I еще ра.: опре.l.еленияiг'зульта'l ы,устаНОl;Ю ннфункт~ияf (х),Ie в ;'ю;занном llУНЮlе.l.елена ВСЩl.У в некоторой окрестноlюшяеслиС,(,У)ТОЧКГ' С ло"Х:ал'ЬнаЙ.l.етсятакаяокрестность(с) ЯВЛЯг'lС;lВШllМ iнаимеlЪШ:их значеllИЙ этой фУllЮШl .Лою;лы ,lй максим;'м и .'юк ;.'lЫ ,lй MllНllM;'M о{;ъеДЮlЯЮТС;lобщим на.:вание1\'1 э"Х:стрс,,::у,,::.Сле,l.УЮlll.ая теорема устанавливает 1uобхо:luмое услmзuс ЭUтре,м,у,мд дuффере1-ti(uруе,м.оii фу1-t"Х:Ч1Ш: ес;и фу1-t"Х:i(U,я 1(:г) дuффп}(";;ч'ш}усм!!f'(c) = 6.T~H!то'Ч;,;имс;э пои то'Ч;,; ЭU"'ум, iЛОТаКИ1\'1 обра \01\'1. для отыскания у дифферен; :ИРУе:\ЮЙ функ(,У)lC'K в;;з ;ю)ю Н;ГО эю' lpeM;'Ma<ует la lТИю ;рннуравненияО (т.
е. найти все нули прои.:ВО,ЩОЙКОрlШ ;'раВllен:,я(:г) = Оf'(;r;'iудем наЗlf'(x)lKa\'iii'i"'ОЖ1tOгi' ЭUiПрi "'ум!! ФУНКiiИИ f(x) 1).За1\'1етим, о.щако, что, по~кольку равенство нул ;; первой прон :воднон;;')юl;Л;lется л!!iШ'Ь 1ti:обхо:luм'Ы ", 2) УСЛОl;llе;' экстремумаД::iЮ.llте.lЫЮlCClг'ДОl;;;ТllЮПр;;;'ОlЧllН экстl1\'та в каждой точке ВОЗ1\ЮЖНОГО :кстремума. для проведения таю;го Д ;iЮ.iН: ,теЛЬНОl"lCC lГ'.Юl;;НllЯ <'лед;';'" YCTaHOl;:досmат,''Ч,!п;rе УСЛОUi"1tu.лu'Чн;;· э"Х:стрсму,,::а,чему мы и переходим.Первое достаточное условие экстремума.Теорема 9.1. Пуст'!, mо'Ч"Х:а с ,явл,яетс,я тОЧnO'il возмо Н;НО3.фУ'!i"Х:ЧUН 1(х), U nу; iЛ'Ь фУ'!i"Х:Ч'Шl1) Иногда :шрни уравненияf(;rf' (х) = о называ::п ста'И,i;О1-ШРН/Ы.м,u то ,r.;a.Mu.ч·; О Э'; о уело ,,;е не явл;·;е·; ея дос; а'; очным, видно ХО'; я бы ';3 i аес·,ютрения фун:'ции у;г\, Эта фун:'ция не имеет э:,етр,'мума в ТО'Н;;'2)в :шторойf'(,) =о.302lЮ· ГРАе;ЕОI\ШlГi iЧ1.СЮiЕllKA()'Цч,у,ee'!·i'nредслах ух:а.ю1t1tOU ощ,(стностнnОЛОЖi!т, i'ii'НЛ (оmрu'И,атеit,ьна) сле6а от то'!nигпрш;(],?u~e тn}) фу1t?'·'Ц1!Jlлоnа.
!'ьнъt'Й ,лШnСU,М,!j,М, (M,UHUM,!jM,!и оmрu'И,ате 'ьна (no~f (:г)и.нее!лтn !'ч,?,., еЬ'с. iU :же nроиЗ60дна.ятn})е U~{)Пuстn.ПУСТ11)в пределах рассматриваемой окрестности положительна/lРiща'1елыi'ле1!ii от с!/lР1ща'1елыва отТребуется доказа1Ь 1'10 З11а'lе1 1eшим (1меньшим)З11ачеЮ1Й(l1ОЛО)КИТС"1a)f(c) ilВляетсяf(:r) в pai '1аибольшас'\юйокрестности. Обошачим чере; ;Та любос значение aprY1\IeHTa и;рассмаТр1 !iaeMOH окрестности ОТЛ11Ч1 юе отдоста'1О' шо 1ОкаЗ!iТ.,чтоf(c) -Лха)1С'Ю!!!!l'ое З1=f'(~)(cаl'гу\,и"прои.шо шая f'(~) положительнаOTl щ!!тс'льна (п'!л!!'i. 1'1ею 1!,)ПУСТ1аргументаотличноемеil1ДУ сf' (.Уl!,Я,ха),ОД1как и !!ыше.от с,ха.1epe;тот жс'Ха люБОiзнаки !!ри ;ТаэК'·1peM! мавИ !!р11Ke311!,K1a-и повторяя проведенные вы не\!Ы 1еперь док !il1eM, чтоППi1tъti(9.1 )ПОСКО.
1 Ж!'отрrщательна) при ;ТаС И> с, права!l ча!'lЬ (9.1)!1Оло)ю 1тельна (о 1рЮ iа'1ельна).чение.1Tb,Me11TY!!i'демлс)гдеОЩ1 !уема (!С] ста.1О\!еюlЯ к f(;T) по се!фi' 1КlШЯ1a сег\'!е18.1:1 ЛаГi !!iH +.а,>ЛхаХа>(9.1)с.дока';е!!ает отсу!-с.Пытека !!!!{ее из теоремыправило можно кратко сформую Ю1.!'Т1 l!,K: 1) если при nере:Еоде 'Через данную то'ч,х:у с 60З",ах:сн",у'"f' (;Т) мп и{.ст 3Н!!" с плюс!!, то фунх:'И,и.я Л:Г) им,еет 6 то'Чх:е с',"ШtU,Ну,Н); 2) сслi! Жi nри nерс;тm!, 'ЧС-рез данную то'Чх:у с 60зм,0!!!ного :жстремумл nроиЗ60дна.я1Ц'!,м!ло эх:стре,ну,на!i!о'Чх:е сПредП!,лага!!,!шлю {рапри каком соотно нении меж. {у r ипЛ!,ща.р,1.
1)нст,.консер!!!!!,я ба!!каrB!,1fOT!,1 h, определ!!т!"h консервная банка с посто-,Ю !Ю! 1Ой П!шерх!1ОС'1И и\u,i,"!а!,шин !,БЪС',i.)бошачим площадь полной поверхности консервной банкиS. Т!,гда+ 2nrh =S = fonst.(9.2)i11ыI1<{. "'ТРЕМ") \lA1И1" ТО' ШК)того равенства находим,чтоS-Т, мы м' )}l<eM выр»)з' ,Т1 ))бъс'"Таюкак фу 1КЦИ )) рад туса7Гт 2Vr2ТКlYlсеР111ОЙ ба11Ю7ГT:~ Задача сведе11а кТ")Sv (r = -Т-отыска11ИЮнулю про и ;воднуюН»)ХО.sТ./·'(гI="2S -;Ъ7ГТ 2 и учитывая, чтоr> О,1КУ в);з ;IO)ю 1);ГО экст'аГ--Хотя по СNIЫСЛУ«).3)671'lа.щчи ясно, что единственная точка В03NIOЖ-H01); ЭЮ" 1рем)'ма ЯВЛЯС'lСi11Ю;";1))Ю"И;lУ\""1И V(г),1\ЮЖе:\I строго убеl.ИТЬСЯ в этом, ИСПОЛЬ.lУЯ теоремуl))Я,.о' ,31 о l))Я V' (г)r < jSj6n 0)1 lТ~a1)" 1a37Г=,иг2)> jSj6n.(((71 -1101ОЖИ1)"1aприY;la(1»)B',Mпри каком СООТНО11lении между радиусомr иhобъемV (г)Щ)реаЛ11зует<я на11б))ЛьшийконсеРВ1убанки.
ДЛi1 ЭТО1ОpaBe11cTB); (9.:~)1a г 2 и в правой части полученного при этом равен·1ЮСlli;льзуеМСi1 с)ютношс'Нlhри этом получим.r = 2, т. е.Такимh=обра1ОМ,uанfi),лъш'шu(9.3).2т.обо(будет у тои 1>:онсервнои баю;;u, у пота·выlотаa равна диа,м,етру 1) .2)Найти точки iKCTpeMYMa ФУНКll.ИИ(:Е(.1) =- 2)4,. ПоскоЛlЖ;'-(:Е) =5(.1то е.l.ИнственноЙ точкой ВОlМОЖ-1ОI " эю" 1peM)'Ma'))с.9.2i1ет<"я 10ЧЮ' х = 2.'1 акГ(;Т) положительна, как слева, так и справа от ЭТОЙ1К1 ,tЯ (.1) = (:Е 1e 1MeeT точек экст'\lY;la (граф11К фУ11КТ~11И (.1) = (х 1з);бражс" на )И(.
9.2).4.ВтороеДОСПiточное'Тl)УД11еНl1еусловиеэкстре Ту] У Ty],fi.Иногда3(1))K)' пеР1ЮЙ.оИ31ЮД11О11Cl1pa1<a от то 1КИ 1ЮlМQ>1 1010 жстре\lУ\lа. 11а iT01;'к '}l<eM др;'юста'l')'1Ое ;'С1О1)'1а.1ЭКСТ1мума в1ССЛ; .Ю1))Нl1еЩННОЙ точке с во lМОЖНОГО экстремума, не треБУ1ощее) р, шенная наl\Iи)а1\а',а показыва) 'Т. 'по в инг'ресаХ,ЮШОl\IИИ Ж)'СТИИЗГОТОВЛЯТЬ ЮШС' рвные ,)анки с высотой, равной ·;даl\jj'Тр,.HOC'f!'('С'!С ОПiЛi, "нпй!/iY1-l'l);j/и.я ] (:г) и чееm 6 У)П1-l1-l()П6()3.fiЛii Шiiii!i()ФУ1-l'l);V;u..яn!ст"е.fiЛij.fiЛПm ()'Ч'I);Ус1!()не U!iJЮ ",!т!пРУI!!.fм U!i!MY.Nt, если(с) > О.Д о к а з а т е л ь с т в о. Из условия(с) < О (> О) и изтеоремы 8.9 ftbITeKaeT, что функция I'(х) "бьшает fюзрастает)в точке с. Поскольку по условию ]'(с) = О, то найдется такаяокреС'! носТ1 точки спределах KOTOpoI] г(х) юложитеJьна(отрицательна) CfeBa от с и отрицательна { fс,ш,жительна) cffpa~ва от с.
Но тогда по предыдущей теореме ](:г I-Еfеет в точке смакс [! I\I,'M (минимум).3 а м е чае. Теорема 9.2 [!меет, вообщеОfЮРЯ, бо~лее у:шую сферу действия. le1,l Teope1,la 9.1. Так, Teope1ila 9.2 нерешает ВСН роса об экстре1ili'1ilе дЛЯ СШ,' lая, когда вторая (po~и:~водная ](2) (х) не су! !,ествует в TO'lKe с, а также Д'!Я СЛУ'lая,'Когдана.'!ИЧИИ(с! =О. в последне1il СЛУ'lае для решения вопроса о:~KCTpeMYMal!ЗlЮДНЫХ lыIнfихxнужноИЗУ'lИтьповедениеЮI1IДКОВ, что б,'Де'fвточкеcJIe'laHo HaMl!вспро~§4этойглавы.Приеры. 1. В lашку, имеющую ФОР1ilУ полушара pa~li'ca r.
о li'щен однородный стерскень длины l (р!с. 9.3). Пред~полагая, lTO 2т < ! < 4r, найти ПО.'южение равновесия стержня.ДЕDВ.--_ _ _ _ _ _ _ _,.--,--=-/~cПоложениюравновесия стерж~ня Сlютветств,'ет 1ilИНИ1ilа.'ъное зна~чение его потенциальной :~нергии ..е.наинизтттееего тяжести Оявляетсяположениецентрапоскольку стерженьОДНОРОДНЫ1! 1центр тяже~ст " его сов lадает с его середино 11 ) .кLОбозначая'!ярРис.9.3lерез ОК перпендику~П'ЮСiОСТИ. на liОТОРОЙCTOl!Tlашка, 1ilЫ сведе1il зада'lУ к OTЫCKa~l!Ю того ЮЛОСf1енстер! !я АВ.
lIJll котором отрезori О(!Me~ет 1ilИНИ1ilа.'lЬНVЮ Д !Ину. Прежде всего ВЫЧИСЛИ1il длину OTpe:~KaОК как фi'НКЦИЮ iT'la а наклона стержня к шоскости, на KO~торой стоит чашка. Пусть DL пара'ше (ьно ОК. а ОС перпен~Дlll1!'ЛЯРНО О- точка. в liОТОрОЙ стержеш, о! l!рается накрай lашки).Из Пр1fМО,'ГОЛ ,ного треyrО'lЫf=EDcosa=cosa. По условиюOD = ID -lia EAD=слеДiет, что Аl/2. ТаКЮl обраЗО1',0= ) '!'С os а -l/).>КСТГМУМАDL)С =ОКогош,ника О D(~ им( СМOD[!м С!бра:С!м,iЛИН;l отрезка ОК, i{i)ТС!IН юмы оБС!знаЧf!М ЧfOрс:~f(ol равна f(a)=r + ~ sina - r sin2a.Пере;одим к отысканию того значенияставлieT IШ! [!м\'м f(a).,которое до-yr'faЧi о мы мо +~eM ограНИЧИ'i i,C~iзначент па а ючетверт [.) Такf' (01 1 cos 00- 2т cos :)00 = ~ cos 00+ 2т cos 2 а, то ТО'lКИ во:можного :~KCтремума на;одятся как решения квадратного уравнения- - cosa 2оскол жуcos а2т=в первой четверти ПО'ЮЖf!те [ен, то нам п! И!оден только положительный корень ',)того уравненияcos 000Хотя по смыслу задаЧf!=1 + ';12+ 128г 216гясно, что ед [нстве iная точка fЮЗМО;'j{ного :~KCTpeMYMa000 является точкой минимума 1!IУНЮlИИ f(a)мы \'C'iaHOBf!M это строго при ПОМОЩf! теоремы 9.2.
Достаточноу"едиться в T01,l, (то f(2'(ao > О. Поскольку- i2 sin а + 4т sin 200 = 8т sin а (cos а --) .16гто, в силу (В.4),f(2) (000) =8т sin 000 (cos 000 __1_16т'ем саМЬЕ} \'станС!влено, чте, положению равновесия стержня отвечает угол наююна его к плоскости, на которой стоитопределяемый формулойlашка,(9.4).2.
НаЙ'i [! экстремаJьные значенIЩf!Эту функцию l,lЫ уже исследова lИ в п.графа. рис. 9.1). Так как f'(xзх 2 -=х3f(x)1зх 2 -настоящего пара6х=3х(х -тофункция f(x) имеет две ТОЧI; ВОЗМОЖНОfО ЭI;стреМ\'I\Ш: Xl = О ИХ2 =ПОСКО'fькушак f'(x слева и справа от :~ти; TO'leK легковыясняется,можнорешитьвопрос()(,:~KCTpeMYMeприПОl,lOЩИтеореl,lЫ 9.1[ервогС! ДС!стато'шС!гС! \'СШiВия).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
