Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 50
Текст из файла (страница 50)
что это fреле.юе зна,);--+0 g(x)чеНffе существует).Следующая теорема дает правило для раскрытия неопредеО-.ленности вида17 (nрйвu.JЮ Лоnum.а,л.я )). Пустъ двео JределеJ-tъtBClOafjJ-ter.;o!/'niU ТiiО'Ч!,U а, за U/'КЛlО'ЧеI1uе,лл, бъtrnъ ,ЛЛОJfCеrn.са .. юU то'Ч'Кu а. Пf стъ, далее,limХ--+"U nроuзвОi i'Нляm,реСТnI!Остиf (х)=lim g (х) = о,);--+0(х) отлu'Ч'Нл от J-tуля в/1Оау в у,·азпJ-t 1011, вышет !'Ч'КU а.еслuбес!,лJ-tе'ЧI!Ое)зJ-tа'Че 1иесуществуетuлu:2(:r),);--+0 ~'1) Гильом[е Л ЩИТj;.'атематик (1661-1704).2) Отметим, чт ,преде jьное;Нj; jение (8.23) м;;жет не существ 'вать, Тf!r'j;;liш f((;r) сущест,,;е"тш!шени,jвз,j0= О. /(;) =.
1Sll1 -хx-+ag х)g= sil1x..Таким обра; ,м,;j1jяви ю Ло,ш аЛ,jf,fE'\СКГЬП22ТТi'УЩi i"!f!/iY/"!" U nри)епр PU~,Mсnра"вiiд швп ФОР,МУЛПliш лх) = liшg(x)Теорем/!817Оности вил,а О(8.gД/ ет н/!м пр/шило дляf!/iСКрЫТИЯ нi i/пределенсводящее ВЫЧИСfение предеЛЬНОГО.шачения отно-ffЯНКЦfiКfыIfiс·fеfffiЮпредеЪНОIОзначеНiiОТ-ношения их производных,Д О К аа т еь с т в о.Пусть {;У П }прои.ШО. ъная-ПОСfi'довате.ЪНОСТЬ значений аргумента. сходЯ! fДяся к а и состоящаifиffисел.следовательность.отли'[ых ОТ а.'НШ'lUНДЯсраСС'lатриваТf, эт\того 'Но.мера,сr.;оторогоювсе х пnри'На; iШiJ/CП'l" m,рестmfOсти TiiO"lI,U а, УI,аЗП'НI101'1 в фор,мулuровnе теоliелfыl. Доопредели:м функции f(x) и g(x) в точке а,.
положив их раВНЬВIИ НУЮ/i в [пой точке. Тогда. очевидно. f(x) и(х) будут 'неnрi:ры1'нъl [а [/се,' cel'MeHTe [а, х п ] и ДИI];фереfЩИpyeIlIbIво всех внутренних точках [пого сегмента. Кроме того,./;'(х от fiчна от [у.f/СЮл,\fYTPfi ЭТОIО cel'MeHTa. Taf!0(1разом. ДfЯ f(x) И g(x) на сегменте [а,х n ] ВЫПО.шены все условиятеоремы[а[ х n(Коши. Согласно этой теореме внутри сегмента8.16найдется точка ~n такая, чтоf(x n ) f(o) _ f'(~n)g(,i n ) - g(o)g'(~n)'(8.:;.5Учитывая. что. по нашему доопреде.fению.
f(a) = g fi) = О мыслеДУЮЩfiМ о"разо, переписать ФОРМi лу (8.:;.5):MOiEeMf(x n ) _ f' (~n)g(x n )g'(~n)'П/СТf, те;в[е(8.)6)17,(8.26)ТОl'да, очеf/fЩfЮ,--+ 00.--+а.Так как мы предположили су! l,ествование предельного значения,правая часть(8.:;6)при17,оБЯiана стремиться к--+ 00'пому предельному значению, Стало быть, существует пределfpfi 17, --+ 00 и левой чаСТfi. По ОffределеffИЮ fредеfЫЮl'Означения функ lИипот предел равен liш.Таким образом.,с-+!в пределе при--+00равенство(8.26)переходит в равенство(У;.24).
Теорема доказаffа.а м е ч а н и е1.Если к условиям теоремы.f'8.17добавитьтребование непрерывности ПРОИ.шол,ныхСУ) ИВ точке а,то при условии g'(о форму.fа (8.24) может быть переписана'#в вил,е· f(:r)1lШ-х-+а(х)f' (о)g'(a) .(8.3 м е чиЕ(про fЗfЮДfГ(!gf(:г) Д(Нfеf'ВОр!fЮТ тем же fребоваffИЯМ, [тоса ! и фyr fiЦИИ J(x)(х),то ПрiШИЛО Лопиталя I11ОЖНff применять ПОВТОРНif (тпредельное значеНilf' ffтношеНilff'л!ыIx ПРОflЗfЮДf ых фyr :ций J(:г)g (:г) можно Зi!менить преДi льным значением отно!! ения 6торы:г nРОИ36однъtХ этих фyr fiЦИЙ)"( ,limJf)(х)Х-+О3.а м е ч а н и е= ЕтХ-+О'Георемаl\1ы полyriИ""'( )JX'(х)8.17при Эi'llМf'/!( ,= lim ~.,);-+0.
g/!(x)[егко переносится на с fучай,КOl'да apIY'le iT х стреМfПCfi iefiOf ie' ЮМ>, абfJк;mj, 'Чномупределу а =00 или= -00. )граничимся тем, что сформулируе,' Teope'lYдля с чая, KOl',:Ja а = +00. ПУf'iНЪ ,f6f: ФУНf,V;LШ J(x) И g(x) определены и диффереН'Ц'Щ!?jе,fjЫ 6ClOdf/ на nОЛf/ПРЯ,fЮЙ с < х < 00.
П!/стъ далее,Ет J(x) =lim g= о1"-++aG,,1"-++00И ЩЮИ360дная g'(x) отЛИ"lна от Нf/ЛЯ на fj';,;азаннml nОЛf/ЩiЯм т,если су цествует3'НЛ"lеjf.иепределъное 3НШ'lен {е limто С? щест6уетf(x)l'g' (,( ,npU"le.Mс ура,);-++00 gвf:дливо раве {(тнвоlim,);-++00f'(x)1~00Етf(x) g(x)Х-+При м еры.l'' l-cosx1) lllnо= 1т2)х- - = -,2х2СfеДУЮf [,ее предельное значение вычисляется двукратнымХ"1-+0[О!Тнменен [ем прarшлаlОf fпаля:Ет1"-+03)х-ох"Трехкратны,'' l-cosx == l llnо3х 2l'1тх- - = -,6х6fpflMeHeH [ем [рав f"fa ЛопитаЛ!i вы iИС !ieT1"-+0ся предельное значениеЕт------,--I"-+С;[1тХ-+О2.cos хРаСКРЫТИf' Нi:опреДi:ле! ноС'!и видар ПЪ, что ОТfЮi!!еfiие ДfiУХ фУНКЦflнеопределенность видаЕт J(;r,);-+0,112х 2Вместо00можно бlfать2 sш х00- . Будем гово-f(x)предстarfЛяет coiioifj при(:r)если00lim gили2lim - .
- = 12,Х-+ОgХ-+,I+00=-00.00 1 ,(7';.28)'\СКГЬП2дд fЯPf)(:K\blTlf\{'Нf!предельнOl оНff'IHi" ТЕМI,IEС, ,в, 'ЛlffеIIЪIЧ IC~знач, 'Нf!ffнаЛОi ifчноеI'еор, 'М"а ifMCHHO:8,17,eC,i,U вфо; '.му Ш; 'о {});е rnеоре ,i'bl 8,17 за ,ie1-lUrn:IJ rnliебова1-luе liш л:г)x---+ f ,(:г) = Оlim.);---+0,С !раведлu,воi1.Для(8 .'!j(JI.OBU'юказательстварассмотримnрОUЗ60Л'ЬНУЮпоследовательность{х n } значений i.i.prYMef.i а. СХОДi.i iiУЮСi.iО спраfiа (или сПусть Х тХ N - л.i ,бьн' два эл'i ПОСЛiщоваТi'ЛЬНОСТИ достаточно боль.i.i ими fюме У""иm иn.n >m.условиюмы мо, ,ем .'iTBep~t;,mnЖ·.iать, 'по на этом с' гменте на iдется точкатакая, 'по1 _ f(im)i' (~тn)f(x n )g( ..i1(~тn).gОТСЮД.i';; (Х т )- ~(~тn)f(x n )g/(~mn! 1 _ ЛХ т ) .gf(:г n )!' (х)Если С} ПiествуетHOMi'P-7гg'(x)А.то для любого Е>О можно фиксироватьстоль большим, что П1Ш л.i ,бом n > Д1юбь ;:~~:~~ бу.·.i' т отклоНЯТЬСii ОТ чисд.!',·еfiьше чем надля данного фиксированного'mДалее, УЧИТЫ'iаянайти номер(8.<28),мы МОАуемтакой, 'по при):.iробьg( ..ig(.x n !1 _ f(x m )f(x n )1бу.·.i' т отклоняться от е.·.! ш ,я,Ы меньше ч, м наn>f(x n !ПО2Аэlimх---+О+Орыl/х-2) х- 3 , 2НО тогда пIшi,ТКЛОНЯТЬСЯ {,т .
iис яа А меньше чем ня, Е(in)ПримIA.I Е/2i Е/2'1,гi'Щ.i.iчает,lim filnx:U+О-2 limх---+О+О=О.что,я" едельное значение111lim - -Г---+ОО x- 1 / 2fпаЛ~fВЫ'fи'шеТС~flilll.1--++00Еlllх--++оо е Х3.Раскрытие неопределенностей других видов. Кромеи ;ГfенвышенеOffредеfенностенО-видовисх)'facToчаются неопре.f.еленш>сти сле f\ЮШIГ< ВИ;lОВ: о· 00. 00 00,000.встре-00, 100Все эти неопре. f.еленности СВО;lЯТСЯ к изученным выше (вумпеOffределеННОСТ~fпуте> алгебраfi'fескнх преобразовапиЙ. Покал,ем это например, Ш> ОТНОfffению к nослед1-tu/v{ трем из \ка;анных выше неOffреде.fенностеЙ.
Ка>f<да~f нз этнх неощ еделе+ностей имеет ви;l(8.29)l';le при х ---+ а fа g (;Т) стремитсявыраже [нестремится соответственно к1,О или 00.соответственно кО или О.огарифмщ уяполгшм, что f(;r)о)>111 У111 f (х ) .gдля на <ол;ления пре;lеЪН'lГО значения выражения (8.29)то [но найти преде.шяое ;на'fение выраження (8.30).;locTa-Заметим что в любом из трех рассматриваемых случаев выражениепре. f.ставляет собой при х ---+ 00 неопределенш>стьвнда . 00. Ста.ю б Лf" достаточно нагшться СВОДfПf, неопреде~00"ленность ви.щ О '00 к неопре.f.еленности ВИ;lа О или 00' IJокажем,как \то делается. И так пустьz= <р(;Т) . 'ф(х).причем1i= О.<р!х--+о.Перепише>(8.31)lilll'(;r) = ± .
.'..,"--+0. .видеz=<р!'Цх) = y~i).Ч:{i)ОчеШl;lНО, вырюкение(8.:32)пре;lстав.шет собоi! при х---+аОнеOffреде. [енность вида о' Наша цеJЬ достигнута.При м еры.Тогда 111У;Т111Х1)Вычислить1illlх'". О; ,означим У0+0~/~. Пр i\<еНЮf ffраiНЮ=х'".о нпал [, буде>ФОГI\IУ'IТЕI1ЮГАиметьli;",0+0~ICIЮОтсю'l 1111(111 у)lп х-'--+0+0 1 (г'ПО=lilll"--+0+0-1j;J:liх;",0+011111,;--+0+01-1-,2)Пусть уlпу = -(е-,Х-1---:,--'--) ·111(1ПOJЬЗУ~IСЬ Щ а шло\+Лопита, IЯ, полу Ш\2:гlilll 111 У = lilll_lп---'.(_l_+_'х_2-,--)х--+о е Х;",0-!тсюда ~ICHO 'ITO li;"lilll ~ = lilll:г1-ОУ§ 13.;"--+0=- 1;"--+0 {е Х2х1) (1 + :г 2 )2-.)2х = 2.е2 .Формрла Тейлора~'станав,шваемая в этом параграфе формула является О;lНОЙи: OCHOEНI,IX формул матемаТИ'IеСfЮГО анали:а и\ieeI много'ЧИСIенные прилсm-сения как в анашзе, так и в смежны:<ДИСЕИ'плинах.Теорема 8.18 (теорема Тейлора )).
Пусm'ь фу1-t1И~'UЯ лх)'U,fiлееm 6 1-tе'Х:ошоро'u ;жр:сш1-tосш'U mo"l'X:'U а :n:;i'UЗ60д1-t'!jЮ nоряд'Х:аnn -fюбоu ф'U'Х:с'Uj 06a1-tifbl'U ilOM: р) 2) , Пусшъ,х -любое з1-tа'lе1-t'Uе аргу че1-tmа 'UЗ у'Х:аза1-t1-tоu о'Х:ресmносm'U р - про,'UЗ60 fb1-tО; IiО,'IOЖ'U:!i' fb1-tО; "l'UCiiO..Nt:'жду ШО"l'Х:ам'U а '111-t i/lдеmся mO'l'X:a ~ т i'Х:UЯ, 'lmo сnраi:едл'U;:а следующая фор чула:/(х)=/(u,)+ г;!а)+ f(2~ia) (х ф)(,)... +_!-,-"(8.:Щгде З )(S.34)1) Брук Тейлор - английский математик (1685-1731).') Отсюда вытекает, что сама фУ7i'/ИjUЯ'''ЛР:Р'Ы6U'Ы3)(хu ее nРОUЗ60д7i'Ые до nоряд'l{;аnУ! ;:за iiiii:f O'l{;p:iim:HOiimu mо'ч'l{;U а.1а;;: ;;:::к ~!i'ЖИТ ''!СЖДiИ а, то :г - а_;)Р определепо для любого рО.
х->:а;;: :то :;ыражсписс центром вi!ШО'Чi!!Ъt.fiЛ 'Ч,ле !ом.(8.33)а),ВЫР;iЖiРК [к мы УВИ.i.ИМ НИЖi, \,статочный члi н м( .ж:ет ()ыть з;шисан н!толыш в ниде34), fЮдругихназывать\,статочный ЧЛiН, заии! ;шныij'Ном6'!ле-об!цей форме )Д о к аа т е лс то.Обозна'fсимволом ср}многочлен относитеfЬШ! х И, !РЯ;lка n, фигурирующиij виравой'fасти (S.33), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
