Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 43
Текст из файла (страница 43)
IЗЫЧИСЛfi'Гf. f1нтеграл 1 =JJ~ ~ : ~?;:r' Сделав1ИНТЕГГlf 1 ()ВА!ниподсгаНОR, :уt-1;Т1'2lt iftdx1(t'1)полу lНМ1=2Jl'dtг2+1J Jta~iIt - 2= 2t - 2 ,ш:tg t + С =11 +х - 2arctg V 1 +х + С.= 2V 1-;"1-х3. Интегрирование биномиальных дифференциалов.алъ1-tъtАI диффере1-tчиаЛОАI назы ",ают выражен ,е видагде а и Ь-л!! ,бы е постоянные, а показатели степеней т, пирраЦИOi,алы,-ВиНОАIUнекоторыечисла.
Изучи\' ВОllРОС об 1штеl'рч>уе\ ОСТИ в э ,е\\ "тарныхфункциях fшномиальных дифференциалов.ПIН';'К!!' вс',,'го ОТ\!!'ТИМ три СЛУ"iал. когда Иii'Г"Г"ал ОТ б iiЮ\ иаЛЫЮl'Одифференциала допускает рационали, ШРУ!i'ЩУ!i' по" ,становку.1о. Первы с,," чаii соот,,;етст,,;', "т челомуБиномиа", ,ныренциалRпре",ставляетV'X) dx,гДi,,' r -с"б"й'роfш,,-линейнуюирраЦИiшальностьвк,дНaIIl\Н'НЬШ',,",,' общее кратно',' знаl\н'наП'",ей рациона',ьных 'iИсел т и п.
Стало быть, интеграл от биномиального дифференциалаЭ10М."'чае рациона', ,зируеТ'!i llодс;а,ю,и(ой t(/Х.m+1Второй слу"ай соответствует ч;лому---о Сделав по, ,ста11н шку Zm+ 1= х п И ПОЛО1;ИВ "ля К"аткости - - - - 1 = q, будем иметь11(7.65)но, ;ынтегральнаяфунк шявправ, 1Йчасти(7.65)пре, ;ставляетС, 1б 1Йиррац юна.ш,ност" в ",а R С" Va + bZ), ,де s - зна;·,!!натель рационального числаТаки;\ образом, воБИiЮ .,'иалью,тЙ ДИф111еIн'нциал рацио-нали. шруется п щстановю 1Йt=30.va+bzVп+ь;n.;'Л'\чаii ;'оот,,;ет, Т,';'· "т чело.МУ "iислу (т: 1 + р). Под"тн-тегральная функция в прав 1Й ',астилинейну!!, иррациональность вц ,а(7.65)представляет собой дробно-------:-(- v"~)'"такчтоинтегралбиномиального ДИфil\еIн'юптала ра1птона"изирует, я поДi тановкой видаt= Va+"bZ--=М;~a-+.ЬхпотТИРС' '\НИЕ Вy!,!a!m!1ibl,AIU['U1iо,мuаЛ'Ь1iЪ!.U''''!Негр!Преры,1Вычислитьчтоrn+n(третий елу ,ай). Сделав по"етановкуt = V!a21=+Ь.1+vaХ=---~'J(-~t) =-~+C=-.1 х 5 (1интеl'l>а'!1m+111=2,р=-- так "то - - - =2113~:r: +С.X')-1/2dT.В дашю\' сл'\ча" т =(второй елу ,ай).
Сделав по, етановкуdx = _tdtVi -t 24. Интегрирование квадратичных иррационаЛЬНО4!тейпосредством ПО,П,становок ЭЙлеl"а. B'iТOM пункте ыы докаж! м интегрир\'! м' !сть в+ "мент!!рных функциях любой Функцн!fI1даR СУ,Vu:r 2 + Ьу + с) ,(7.66)Ь и с - нею!т! !рьг постоянные. Фуню шю т!!кого ВИ.'!" будем наЗЫ!fаТh nвадршrn'Ll~t'Ноu ·Llррш!!uо'Нлл'ь'Носmыо.
При '-)'Гомri\e+ !ХЕ + с н!иыео треХ'fЛе"а \!ожетi!blThконечно, считагм, что ква'!] '!!тный трехчлене'Г paв'ныx !<орне!] (иначе !<орен'-)1'01з !,ыенен рациональным выражениеы).l\lbl докажем, Ч'ГОн'Геграл01'!<ЦИI1(7.61i)нсегда рац!ю-н !лизир\ттсяиз так Ha:~ыВ!!,eыыx nO'}"Гn!!'!!O !Оn Э j.!!ep!!.Сначала рассыотриы случай. когда квадратный трехчлена:у21)Ьхс\!еет nо,мплеnс'ныe кор!! . IЗ'по:: слу !ае Зlla!< !<!fa-Паф"" ТИЙ Л "ю,шч Чеб!,Тf1!е,,!-В",'Л "!ИЙ русскиij мап матик (1821-ИНТЕГГlllUBAl237нидра1' юго 1'рех lлена сон lадает со :~Ha:o\'ПОС <О,Ъ ':у по С:1,lC-лу 1\1:адра1' 1l,lЙ 1'ре>член (Н: 1<О1'ОрО1 О н:~нле1\ае1'С:: кнадра1' fhTilкорень) поло: "'umеде'Н" то аTaK11M обраu,' мы ')ее\'ОC,'l: Л:\Тh сл: ,'l.JЮ П:'l',' 11О;\С1'а-1Ю1:КГ+ Ь.!:ОДС1'анош:уоб1)лера.
Докажем, чтоС+(7.67)и.но наЗЫ1:а::,т первой nодсmшновк;о'Й, 'NJ,ПО и'т:\новка рациона'ШЗЩiует интегралl\ЦИН01'(7.6Ii) для расс:'а1'риr:ае:cfОlО случая. !ОЗН ,lшая нобе части равенства ju:r 2 + Ьу + f = t - :rva. П iЛучимKBa,'lTf:\Tfl:rс = t2 -+2vat:r. т \К чтоЬст.=vaf'bt + cva2vat + Ь-'-----;=0------::---'--Таким образоы.J СУ, j ахR11раной,llбь.Jdx =R ( t'2 - с=IЗЬх с)2vat +'lacТf'под.
va t 2+ bt + cva) 22vat +зна1<О\'1штегралаva t'2 + bt + cva(Jva t + ь)2стоитdt.рационаш,наяРIН:СЫОТРИЫ Т1перь Iлучай, Ю;Г'l,а ква'l]II\ТНЫЙ трехчлен ах 2 +Ь;У+снмее1' неСО1шадающие ве'щесmве'Н'Ные корнВ TI\K Ibl случ \8 ау2 + Ьу +с =нПслучае Н1'еграл 01'ICpe;\CTBOM ПО u'тановкиtl\ЦИН= va;r"Х;Уl и Х2.- :Еl)(:Е - .12)' Д IK \жеы.
что(7.6Ii)+ Ь;" + СХраЦ1юнаЛНЗ1lруется(7.68)Ю\ ъrвaeM Iй flбычно вmо] m'l nодсmа'Новк;оЛ Эй !!] а. В самоы ;\е:Тf~~;~~:~Д~о.~,>,~:~~~~Тр~В~В:С~~~~I\ {~:2:El )~~(~'~чиы ~~fy~ ;~~~ ~= t2;Уl). Ta1\ 'lTO;У={Х,+ 11t 2t2 -аdxJa(Xl - X'2)t d!(t 2 - а)2<1'ИГ! !1j\НИЕ ВТак 1М О !раюм,J СЕ.ау2 + f!:E + сRВправой<!!бь.JчастиПри мd:E =поды.аТ2tt2+знаком2а(!l!2)tt2-аинтеграла!2)t d/,(t 2астоита!рациональнаяJВычислить интеграл - :" + vx'2dx+ х + i .<!!тный трехчлен+ + 1 им!!т коыплексные1)П !ск !Льку ква<корн ,сделае\' [1ер !ую подстанон:у Э lлераt =J 2 +) +1+ .yВозвышая в квадрат обе части равенстваПОЛУ'fllМ :у2:у= t2:У2txхv:yХ2t - х1'Га[! ,[то1 = t2С -1= 1 + 2t' dxТаким !!бразом,1= 2х2J1t'2 + tdt =t(l + Jt)2J[:! + ~ +1 + Jtt(1С]dt+ 2t )<•Неощ !!)1!ленные ko'-)ффИЦIГНТЫ А.
В и С легко вычисляются: А2, В-3. С -3. Окончательно получим1 = 2 ln 1t 1- ~2 ln 11=+ 2t 1+ 2(3) +с =1 + 2tvх 2 + х: + 12 lп 1:У 1 :2 lп 112:У2 1 + 2;2)нсл пън'Гегралква<'!] !!тный трехчлен= -1!! 1Эйлераv2и :Е2+ 2V;2 + т + 1)J-;-:~c;=d=x;;===,1 =+v1 -1 - 2;2хС.ОС:ОЛh:У- химеет в! тттественньг корни= -1 -V2.!)\елаем вторую ПОi\становк'i'.68)t=V1«««««<2х«««««<;2x+1+V2Во !выш!Я В ква< 1)/!!Т обе ч н:ти равенства1чтоllMeT1<1)V2)/1 =2:Е -t 2 (:y1!2= t(.! +, та[!ИНТЕГГlf23')ни'()BAl2:[;11= ИНТ('lРНЛ пет1011редосга1шяе\скnтnро-ll'Гателю.IIнтегрированю( квадр~,тичпыIx5.другимиспособами. Хотя подстановки ЭЙс·,ера вп·гда рационализирсс ют ИНП'гралот функции(7.66),но обычно эти подстановки приво.
'ят к весьма громозс.'сКИ\,·ЮЖС\.смс,ладкам.этOl'Она"ракт \,едругими спосоfсами интегрирования функциисвящен настоящий пункт.М.Т мож,сс'М lllНiДставить Ф"н ,цию,,_частосюльзуют, яс/тим спосоfсам и поvaT 2 + !,х + симе, в С' 'iДcc , что Увсюд(( обоз сач'" _.с. у =собоii мносоч.m(7.66).ЧНiДС ,авс·, ·,есв ВР .с. "У" МС.Т(7.66)Н.(х)/у,R(x,y)=Rc \)Г.ссе(х) и R'2- некоторые рациональные функции О.'ноЙ переменной.ПОСКО" .1Сс инте1'ра·, о, R, \)(в Э.ш·ментар"Ф""кц,iЯ"), нам до-R 2 (x)/y.R 2 \) ·с.'шкноl\I,.T ссж,сс' зна"М ), что с',С ilС\Юрациональной дробиставить в виде суммы многочленаRз (Правильн-\ю рационасii.ную,'вою очеIНiД"ло i<IITb на сумму простейших дробей.
llмея этождать с что проблема интегрирования функции.т "ию инте1'ра ЮС',ви. су.(:r)/yмыможноможемразутверСВО.ШТСЯ к вы-шс-,едующих трех типаP(:r)1.в\)1'". •-·с.'С 'Ol'оч·,ен.у-;---,.,.-- dx,11.число.ш.J(х' +IVITгде-и Внекоторые постоянные,+ ;У) \ d:r, где Мс+q •ур:"натсс раль юе Ч,ii' Ю, Щ .,с,че'с.С q - (~натуральное()j -и q - некоторые постоянные, л -Nc> О.1.11в а ii·J'лъна-111сти.1.Для вы шсления1Р"НТР сю фор' с ССЛУ для инте1'рапрежде всего установим рекур-ra1т =J~ гдет=ОсуДля этого с предполагая, -сТО,ЮЧНiДс,вом?1с проинтегрируем сле. 'У" -щее проверяеiiШК."-'·ТСЮ:~"C'ту)' = тау) См.
начало § 8.m1)-2Ь:r m-1-у+ (т - 1)-:r m-у2:"m-lБi'РЯ В р;шенстве=+ (rn - ),171/,а(7,69) rn = 1,(769\_,!н ,йдемЬ1(770)~1u2а-уаllолагая;атем в равенстве (7.69) m = 2 и исполь;уя уже вычисленное .шафор'.лу (7.7{})); наЙ,ii'М13Ь)у4а 2 ;2;х1+ - 2 (3Ь8аПро.юлжая аналоги шые рассу;;· ;ения- 4;;с) 10.;алее, мы придем к следую ';ейо; .щеЙ формуле:(7.71)l'д"-1 (х) - некоторы\;НOl'оч·;ен СП'пени т -1, ас· - н; ,<отора}! ,юстоянная. Если в интеграле типа 1 Р(х) представляет соfюй МНi;г!)·шен '···сnени п, то ИНП'грал типа б;·дет рав;.·Н ;'умме ИНП'гралов 10; 11, ... ,1n с некоторыми постоянными мно;;,;ителями (коэффициентами многочлена P(:r)).'тало быть.грала типа(7.71)ра;·;енст;·;а1 сле.'Т"'·ЩУ"'·Jм;.; о;<ончат;' ;;.но но.']'· ч"мформулу:'(х)~~dx+С О= Qn-1уJd,;(7.72)-'.ув этой формуле Qn-1(X) есть некоторый много·шен степени 11, а СО некот ;рая ш;стоянная.
Для опре.'.еления МНi;г;;·шена Q,.-l(X) и ш;стояннойиспо.·,ьз·, ;'тся метод неоnределенных"·оэффичиеюnо". l\IHOro '.Ш·НQn-1записывается как многочлен с буквенными коэффициентами-1ра ·;енст,юния на у.(7.72)и ',мно:;,ка" р; з" льта,получимIP(:r) = Qn- (х)(а:"2об; их ·;астях равенства1+ Ь:" + с) + -Qn-1(7.73))ах+ Ь) + Со.(7.;'тоят многоч ;ены стеш.·НИ п. Приравниваяих коэффициенты, полу':ИМ систему п+ линейных уравнений. из которыхонред" ,"ют;"А о , А 1 , ...
,А n - 1"0. РаЗI);'ТТТ"МОСТЬ lЮЛ'<Ч;"ШОЙ О\'те\,ывытекает и:~ справедливости формулы (7.7)), у,.;.;е дока:~анной нами. Остает;}! доба,·; ,т,., что"HTe1'l>a';,;'ТО"Щ";; В нравой частик табличному посредством линейной замены переменнойпомощи указанной замены интегралJd;;УtdtI.хЬ+ -.2;;Прис ТО'шосты\· до постоянного множителя сводится к одному и; сле.'.у""ЩИХ двух интегралов:илищ."вод"тс"(7.dt.
tvk'! - t'! = аrсsш kС+.ИНТЕГГlfP()BAl(Н72)V1 + 2х -241ниви'х"дш!нl)' реш", 'н'" ЭГ' фор ,'УЛ" И ус, ножа}! р,,'зультаfJ i + f:rна- :r 2 , получимkx ,(1 Сравнивая ко fффициенты при хЛ\'ЧИ\'сх:r 1 ,:r O-3А 2=х)+ Со.в правой и левой 'fастях, по\'иеге М"5,1" - 2:\1 =А1Реттта}! ЭТАоси,'те",у, най, "М А, =О,-Ао=О,2,1,,++ Со=-1/3, А 1 = -5/6, А о = -19/6'0 = 4.(7.74) вычисляем посре,f,СТВОМ заменыИнтеграл, стоящий в правой части1.t =ПО'f" ЧИМJJdxdt.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
