Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 33
Текст из файла (страница 33)
южите. fЬHЫX стезначениеуказанныхслагаеJ\1ЫХравное нулю. Первое слагаег,юе в правой частиflx(,.20)преде.fЬноеот flx не заfШСИТ. Стало быть. сущеСТft>ет ffредеЛf,ноешачение (при flxопредеfенш"правой частиffjЮИЗВОДНОЙ у}{азatffjЮИЗВОДНОЙrкциихn-(5.20),равное.Поюе преде. },ное значение ра}; ют. е.nx n -=1.Проведенные рассуждения справед швы дш любой точки хбесконечной пряг.юй.2. ПроИ"шодная функции у = sin х.
Пользуясь формулойприведения разности синусов к виду удоБНОГlУ для логаРИфl!Ирова !Ия,можем записаffly =Л)'- SlllXSilluXТа {им образом,flxCOS-(D.XХ + --:2 ).D.xSlll--:2'о. D.:!D.y( D . x ) --.-.SШ--:2~ - cos х + D.xD.x5.2Та}{ какrкция у COS х ~шшrетсялюбой точке хбесконечной ПРЯl юй 1), то су; lествует предельное шачениеD.x(CoSх+(5.22)1'О,} Х.2Да.fее, в СИfУ основного pe;y.fЬTaTa п.2 §6гл.существуетпредельное значение. D.xsш-lilll - ._2_6x-+i!сОх=1.(5.23)21) Это доказано в п. 6 § 5 л. 4. Впрочем, непрерывность функции у = cosле; 'ко доказать, испольразностную фор ..l1у У1ЛОВШ1 непрерывности.17ПТа}{существу; тзн;; }ен}епри 6.:гш},; пр!Д; л};ны--+О;зн;; }енитравное сов:гопр!Д;л!нию производной;;;е пр; д;л ;но! ЗШ1Ч; ни; });ШНО }}j)()ИШОДНОЙ Фун}{Уу}{аза}=}теделы н;е;,21) });Ш~О! пр; ;из}!;siп:гт,:г)'с;;в:г,-Проведенные рассуждения справед швы для}юбой точкибес}юне'}ной пршvIОЙ.Прокшодная ф'ункции у = cos х.!Ьзуясь фор: l\ЛОЙ}!едения разности коси }усов к }!иду, удоб юму дш3.мирования,;,ю:же;А;аписать:6.у = сов(.г + 6.хТа}{образом, при 6.х-;0;;#ох-2 ;;ill=.(г + 2) siп;Н;!::::.у2!::::.Х(;.24)!::::.;гТак как}кция уsiпх является нещерывной вточке х бесконечной прямой; то су} <ествует предельное,;;бойшачение·11т.6.х--+О.Вlll(х+ -!::::.х)2.ЮllХ.И; существования предельныхшачений(5.23)и(5.25)--+ет существование }!J!еделыюго з }ачения (при 6.хчасти(5.24),равногоопределению проишодной по(- ;;illX).С}8днее преде, };ное З }ачение ра}! ю-СОВХ,.вытекаО; }тавой}}jIO}зводной фую{цие.(сов х)'-юп Х.Проведенные рассуждения справедшвы для любой точки Х бес}юне'}ной==4.
Iш"роизводныеуtg х Уctg х. Та}{ какна;.ш уже вычислены производные функций у = Sill Х И у = с;;в Хи так какsinxt gx = --,cosx;'tgx}·о дш} вычислею};' ЩЮИЗ}IOд} };ТХcos= -.-,Slll}кций у-Х= ctgхможно вос}юш;зоватьс;} }'еоремой 5.:! (точнее, формулой,жающей проишодную частного; т.
е. третьей IГ; фОР;.lУЛ (5.гЛы ПОЛУЧИ.'.l, что всюду, кроме тех точек, в которых СО:; х =О,! t.; ,g Х)'-(sin х);х - (cos х); sin х"-----'-----c-o-s--,"-x-~--cos'хТЕОГЕМА ОfГОИЗВО'lЮ'"о(OSвсехЗН,i fени(itg ,()':г,=кромеХn,:г(СОБТ)' SШ ~-:;sm-(сш (с)' СОБ (сО,nгде1-.-0-'хSШ- ХИтак,1х.Slll< Х, I110жеГА записать:~y = log a (x + ~xХ-l,ig a Х = l,ig a~xТа i им образом,2~= l,ig a(1 + д.Х) .од.х(1 + ~x= ;:-log a3 §6В силу основного ре;у. fЬTaTa п.гл.(5.26)выражение в квадратны скоб}iах имеет~x --+ О (и ffрИ любом фffiiСИРО}iанномшачении х) предельноешачение равное е.
Тогда на основаниинепрерывности !I,ункции упредельное1ное- lOJ';aшачение (при ~xlog a хв точке х--+с. По о теделению произ ;од}Хзна'fение равно щюизводнойс существуетправой части- logaх,.е.е(ДfЯ всех шачений х, принад fежа, ;их по. fУПРЯ:;ОЙ х'faCTHOMС! <чае а->.вс по. fУЧИМ(lп§ 5, TeopelHHрав-указанное ffреде };ное,кции1(5.26),=l/х.о производноii обратноiiТеорема 5.4. Пф rnъносrnи rnО"l'Х;И Ха возрастаетрывной.1\.РО;iе m ого.е;;л в rnОЧ1\.е хu u nроuзвод iаяу - f(x) в01\.ресrnуб'Ыuает) и .нЛЛЛi'rnС;i непре-у - f(xоrnЛU"lна.f'сущгсrnву"rn обрurnнал ФУНi, i(ИЛ х= f-д!iффереН'И,!iР!/нуля.
Тогда(у), i,Ornop; л оnр; i;елеН;i172.1oк;p~' ,п НО!""д!iффереi!.'Ц iщ;е,ма вводную, ра туюк аil,1'той(:гоа тдля ФУНКf]Ии Уnроизь= .f(:T)П! +~Жiiвсего зам! т 1М, чтоВЫПi;ЛНiНЫ В i;крестности точки :го всеУСЛОВi1i i сл i iТiШЯ из Л!М]\;Ii;Т1 §4ГЛ,4С, ,гласноCjii;MYслед-ствию существует обратная ФУНКf]Ия х =(у) определеннаяiекоторой окрестности ТО'iКИ Уа - .f(xo) и iепрерi;i iaiiэтойокрестности, Придадим арГУiiенту У этой обратной ФУНКfjИи вi'O н!еЩЮИЗiЮ i;Hoe отЛ'l1'Ч,ное от НУЛЯ приращение 6.1/, Этому прираi iению отвечает приращениеобратной функции.причем в СИiУ ВQ;растания (и,ш убывания) ФУНКfjИи 6.х 'О,Tai!образом, ]\;Ii;T имеем iipaBo ia ii,1caTb следующее i'Оi!дество:1(;,2/)!::::.у/!::::.х'Пусть теперь в тождестверывности обратной(5,27)6.уТогда, в си,iYнепре.1iКЦИИ х1i'O н!е Уасогласнорашостной фОРi'iе усювия непрерывности, и--+ О.Но при 6.х --+ О ЗНaJ\;fенате,iЬ дроби, стоящей в правой части(5,27) по определению производной, ИГ,iеет преде,iЬное значение.равное Г(х)О, ('таю быть, правая часть;,2/) ИГiеет при1предельное значение, равное -/,()' Но тогда и леваяхочасть(5.27)ИГiеет при 6.уО преде, iЬHoe значение, По опре-делению производной указанное преде,iЬное шачение равно 1 ){.f-l(Уо)}i,уточке Уаu- (уа}' = //(1;0)'ахохложиг"(5.28)Теоре: ia 5.4 доказана.ДOi!аЗaI iaii i'eopeMa имеет простой геоi"iетрический Ci"ibIC .
Расс,;,ютриг" в окрестюсти'Иi.5.4впо, iJiЧИ, iИ ДiЯ ее щюизводной со-отношениемy ol-----J1(рис.TaiiifM образом. мы доказалиЩЩ)\ емость обратной ФУНiщиточкихаграilшк_ .f(x) (И,iИ обралiКЦИИУФУНiщи!. Предпо-что точке ха на этOi" графике соответствует точка М5.4).Тогда, очевидно, производная г(хu) равна тангенсу угла накюна а касательной, проходЯi iей через точку Моси Ох. Производная обратной ФунКfjИИ {I- 1 (yo)кравна тан-1) СИМВОЛОМ {/-l(уо)}' МЫ оБОiначаем ПРОИiВОДНУЮ обратной ФУНКiiЯИВ точке уо.ВЬГIИСIEНИЕ про,!'\ ГШlгенсуlаl<ЛОШlУГЛ1,Ти j3 Воч;видный ф'lКТъпПОiКОЛЬКУтой жеПlС i',iВЛ~l "твыраЖ,l'Тtgf:! - 1 tg а§ 6.ВЬРIИСJlение ПРUИЗВU,11;НЫХ шж:аза'l'ельнuй фуню~иии обратных ТРИГОНОi\ffiетрических фу! ffiКЦИЙэтомопира~lС;,г,lыI ПРОДО,ТЖИГ,iэ;еме; lтарныфУНl<Цif<lаДOi<азar;[;,вне;'еоре-вычисление производных простейших5.4,j,lY=<.
Производная ноказательной функцииаХ (Оа ер 1). Ноказательная функция- аХ будучи определенана бесконечной пряг,юй, служит обратной для логарифгшческойlкции х - loga у, определе;lа ;ЮЛУl1рЯМОЙ уО. ПоCKO.lЬKY для логаРИфГlИческой фуню;ии в окрестности;юбой>у по.уто, согласно этойTeOpei,le,;'0';любой1'0ll<е х- 10J';aо выпо.lе; ;,т ;[се усю;шя теорем;,т=функ шя у;.4,аХ дифференцируеllа ви ДШl ее 11рОifЗ юд;с таведл паМУ1а)'-1(l,)ga1у)' -у1-lognуеlogaе.И; этой фОРГ'lУЛЫ, воспользовавшись известным из элеllентарН01 оl<ypcaСООТНОl lен 1ем1loga Ь - - -у lllТ;,т;;a~lчто-а'Т,аокончательно получиг,;(аХ);-аХ llla.Полученная фор Г <у. 1а справедлива дш всех точек х бесконечнойпрямой.
В частнOi,; случае= е эта фор.' lула ПРИНИГ,lает вид(е Х )'=еХ •1.1.Iюизводные обрат! ffiblX ТРИГОНОi\ffiетричеС\lИХций. Начнег,; с ВЫЧИС1ения ПРОИlВОДНОЙ функции У = arc;;ill Х.Эта функция, будучи опреде1ена на интерва.1е -1Х+1,С1УЖИТ обратной для фуню;ии Хslп у, определенной на инкк"Ф<=терва.1е- 2"<<у2"'1l0CKO.lЬKY дшункции=.вт у вокрестности любой точки у интервала - ~ < у < ; ВЫПО.ше1'еоремы 5.4, 1'0, СОГ1асно этой теореме,lКЦifЯу =Х дифференцируеllа В1юбой точке= slп у и дш ееПJоизводной справедлива1а.iГСSlll Х)'(sin у)';osyJl- sinу(5.иiю:~H{ к7гiИтыВ{,~[ТО2ОКОН'tС1lСЛЬ Ю пол\чtlлыПолу'tенная (Iюрмула, l<al< (же от\е'tаЛОСl в процессе ее l ывода"справе"lпива ДlЯ всех х из интервала -1х+1.
По ан ало<ги'шойCXe\le Bl.fiИСlЯС,ТС5l<lРОllзводнаяl<ЦЮl у= al'CCOS ,1;.<<Эта ФУНКliИя" будучи опреде"lена на интервале -1х+1сl(жит обратной ДФУНКliИиCOS У, Оllределенной на lШTepBa"le ОУК. ПОСКОlЬку ДlЯ функции ХCOS у в окрестно=< <=<сти любой точки у интерва"lа Ок выполнены все (сювияTeOpe\lbI ,.4, то, corlaCHo этой теореме, функ iИ\lal'CCOSlифференцируема впобой точке хCOS у и шя ее прои:~во==ноИ сщ аведливаlа(al'CCOS х\' = __1_ = - - - = -----г'==~(СОБ у)',j\,;IbI(Ч"iИ" чтотервале О<УК. i(lюРМУЛЫ (5.30) Ol<Ol(5.30)cos 2 УJ1 - cos 2 С! ибо sin у >Sln<Ji -sin уфинимая во внимание"всюдуCliS У =чтонаХ"ин-и:~tатеЛlШО найде\"1(al'CCOS ,1;у'1-х2 'IIолученная фОРМУ"lа как уже отмечалось в процессе ее выв о [а"с lравеДЛЮiа для все:с зна'tеliИЙ<из интеРliала-11.Перейдем к вычислению производной функции У = al'ctg х.б(ду'iИ опредеlеllа на беСl<ОllеЧlЮЙ lР\lМОЙ-ООх+00 служит обратной для функции х = tg У" определен-<ной на интеРliа" ,е;б ""В окреСТНОСТИlЮ он;.
ПОСКОlЬку ДШl фУНКliИиточки у интерва"lа71--<у7г< "2Увыполнены все условия теоремы 5. ,то" СО} ласно ,той теореме, функцияую"сtgдиФ(liереlЩllр(е\Ia впобой ТО' ,<е ,1; = tgи ДlЯ ее=произво" lНОИ справе" lпива фОРМУ"lа(al'ctg х)' = (tg1Учитывая" чтоtg У =х= 1+~gокончательно получимюсtgт)'=-1-2'l+хIIолученная формула справедлива для всех точек х бесконечнойпрямой.Jстается вы !Ислить пр, 'и шоднтю функ !ИИ У - f l'cctg :r;НШ, будтчtl определеtна бu:кош '!Н!С, служит !iбратной !ля функции = ctg у, опре t!ленн, ,йна интеРlШ,lеуп, Поскольку для функции :r; = ctgв<окрестности лю t 'ой точки у ИНТ\:РВfша Оуел, ,рия т!!сре\'< <У7r выполн\:ны всеПiГЛf.!,СШi этой теорем\:.
фТШ<ЦlШ(А,Х диzj"tференцируема в люоой тоттке х'.и ДiЯ еепрои:~во !Ной справе, !лив а формула/t)'iагсс,g:r;Учитывая, чтоctg У =1= (/tgij)' = -1+ctg2х, окончате,lЬНО получим1агссtg х1+Эта формула справеДlИва !ля всех точек х бесконечной прямой.Таким образом, мы вычислили iРОИЗlюдные Есе:; простб\шихЭ,lементарных функций, за исключением степенной функции слюбым В!tшествеш нмЮi<азате,lе\j.вычисление производной tТОЙ после, iней функllИИ до § 8, за(\оБОСlювание\ lравила ди<l;фереНllИРОЕаюшс южной функции.OTK,la, i.Ывая§ 7.Правило дифференцирования сложной функцииЦелью наСТОЯlнего параграiI;а является тстаНОВ,lение правила, позволяющеl о найти прои:~во, lНУЮ сюжной функции У == .t[<p(t)] еСЛll известныу = лх) их = <p(t).Теорема5.4.lpO lзводные состаЕЛjjЮЩИХ ее <1;ТШ<ЦllПустьmO"li.eto,со' !тветствую'Щеi1 тОЧ1'О:е хов.t[<p(t)]х = <р(Т) дифферен:цируе,ма ву =(;1;) дuффере'l-t'Ц'/tруе.ма!p(to . Тогда СЛО:JIC'I-tа.я. фую;;ци.я.np'/t"l''.M дЛ.t! nро-fа1):iJзвОi uо{1 эmлй, фу'l-t1'О:'ЦUiJ{Л<Р(то)]}' =f')<р' (to).(5.31)д о к а з а т е л ь с т в о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
