Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Рассютрк) случай аЬТогда<ьJЛ;;) JЛ;;)сd;;сd;;ааИСПОЛЬЗ'vV свонствою чим соотношениеэ; ого соо;; юше; ня(10.10).при сИ'ОРМ'vЛУ10. Тмы опять по-ЛеfКО уС;еДИТЬС'f В справедливости< а < Ь.Оценки интегрнлон. Формулы среднего значения§ 6.Оценки интегралов. В это); ПУ;fкте мы получи); неI;О1.торые оценки для определенных интеграловподынтеfральныеФуню fИИ которых подчинены тем rпи иным условиям.1о. Пу;инmегриру;"сегм,;'шnе [а, Ь]'НеотР1l'll;ател ','На 'На этом сег.ме'Нте. Тогдаt,цияf(;E)ьJлх)d;;?:а. Iейс;fште'fЬНО.каждаяннтегра'fЬнаянеотрицатешша, и поэтому предел1 =сул,;а;акойJ f (х) dxфункцнннтегральныхс! мм также неотрицате [ен3аие ч а?:и е1.Еслttfи'Нтегрируема 'Насегме'Нтетn, тоьJ?:т(Ь-а).а1) Донустим. что пре. (ел 1 интеграл'.ных сумм отрицателен. То; ;д согласно опредvоле;;ию прv·де ..
'" 1, Д .• СЯ ·ШСЛ;'. Е = 111 ;;;'йд"интvтр" ,ьна" С'n1)-1а1{Xi,~)}, для которо;', 11{x).~i} - 11 < 111. Из это; О неравенства вытекает. vтi' 11:1:С'n1ма<риц;'О. а..;'1 Ые ,ьна.. ;т"кажда,; интvтра ,ьна,;РИll1'е.. "н.в (а\" 'м де',е, функ, няСТ)-о и,тсгрируема ,а (егмент(ЬTnl iJX ~ О,JTj(i) аььfjd:J:ьjTnd:!а(см. С!юйствоп]30-(J,)d:!анз§ ).{','сли,: циярав'На тождест ,е'Н'Но 'НУЛЮ 'На сег.ме'Нте [а. Ь ],тоьj f(x) dxс О.так как фующия f(x) неотрицателы:а и не ,aB~на тождеств;нно ну':ю, то на сстмс'нте [а, Ь] наiiдется такая точ~ка ~ что f(~) = Jk > О. Тогда по теореме оС)vстойчивости знаканепреры:шой фующиию :ай!н та(;ой сегме,:т [р. q] содерточк'v ~ в пределах которого значения'Унк (ЛИ(х)>будут не мею,ше чиС!(аО.
Поэтому, в силу ,'0'(')то cдe~"ланно(о замечани~k(q -р)>рС'огласно свойствуопределенных интегралов6'qрjа=!Поэтому, посколькуь+!а+!qрО и.гf(x)сf(x) dxО, где с= k(p-q],рьj f(J)d;v~ > О.а30. {','сли Функци!) f (;Е)g (х) ш щи' 'уmруемы 'На сегм, нrnе[а, Ь] и fg(x) iiсюду 'На этом сег.ме'Нте, тоьj f(x) dx ~ jааgiJX.34')llНTEl Т.\Л()l;ФУ11КЦНЯ;тглнт' [а, Ь]Отсюда,СТ)СТ)лив'iсть ук l:~анн()й 'iценки3аа н и еменп n 'сегменте,1Е,и.t фун i'Ц!!,я2.11(х)п,оо и1Т( грируеман;!с lЛУ ;·вой;· па'ег-инт, грируемаПi·а[,;.'JIC" llНn "'Р1lрuец.аnptt'teMь.11di.а. I.окажем сначала IIНтегрирус'МОСТЬ МОДУЛil 11 СТ) 1 интегрируемой'УНКllПИ(:г). ОСю:~начим через М, и mi точные lрани1Ст) на ССТМС'нте [xi- ,;ri], аiезNI! и т~ TO'lНыe грани 11-1на том же сегменте.
ЛеlКОvбедиться в том. что М!т~ ~ M i -mi (достаточно рассмотреть трпвозможных СЛ'vчаil: 1 СJгvчаЙ.когдаNli и mi Ш'ОТ]Шllдте'lЬНЫ: 2) СЛУ'lаii, когда Nli и mi ш·иоложительны; 3) слvчаЙ. когда М( > О, mi ~ О).ИО'lученногонеравенства ВЫТС'кает, (то В' - з' ~ S - 3. Таким образом. "слидляHeKOTopOlOВ'з'-< Е.раз,V,иенияS -Е, ТО ДЛil3'того разбиеНИilт. е.
для 11(х)ll:ЫИOJшено достаточ юе YC.'IOBHe ннтегрируемостн 1).Iокажем тсш])ь интересующую нас ощ·нку. Тю{ какь~ 1~ 11ь1,10 - JIf(x)ldxаdx ~ JIf(x)ldx, а этоJ1аи озна (ает. что IJ 1Ст) dxl ~ J11-11ьаdx.14 о. Пуст'ь фую;;'ЦttU 1 СТ) tt ." СТ) tmтегрttруе.МЫ на сегменте1l g(:E) ~ О. Тог,)а, если М 1l m - mU'ЧJ{ъtесегменте [а, Ь ], тоь~.1 f(:E)g (:г) d:; ~ М .1ааg(J ) d:E.(10.11)аiаведл llЮСТ1 (10.1 ) l:ытеlшет нз того, ·;ТО дЛЯ (:се: х нзсегмента [а,сиравед'Швы неравенства mg(x) ~ f(x)g(:E) ~I "е ;ш'дуеруемость, гообщ,' го;юря. и" егри-рацио,(алы(ых :с1(:1:) = { _11Например,Д,iЯ ИРР;ЩИi'на.,;ьны,;неинт,тр ;р' (·,·.(а на с,т,·.(е" еЭ 0'·.( ;ег,·.н'нт(· функция.[0.1],Тi'гда Ю;;;1==1 -инт,триру,'ма,; наСВОЙСТi'iмЛУЧИ\iч3н и е1д' ,полнениине, колью> ва}кшг: нср ШZНСi';к этой главе мы Пi ,-для су')исе iелеiШiГ,:инт, траловllервая формула среДШ'Гik знаЧk'Т/уст!с фУ'Н1\;'ЦUЛ'сттегр'аруе,ма 'На сегме'Нте [а, Ь , 'а пусть m 'а l'yl - то'сHыef(;E)сегм! нmе [а, Ь],iiffudernCif ш,аfi;ое 'Ч ff'ло fL, ydOfiJ!em iорлющее 'Не! aBeHcmfia,M mfL, 'Чтоf(x)ьл;г) d;E =/fL(b -а).(10.аьВ са\юм деле, полагая g(см.
пример п.1 § 1)= 1 и учитывая. ';тополучим шJ 1· dx =Ь-аа(10.11)ьт(Ь - а) ~ /~ М(Ь-а).а1)бознача;i через fL чис ю Ь _ аЬ.J j(J) d;;мы и ПОЛ,ЧИМ формул,а(10.fфующиянеп.реIНf;J-tа на cerMeiiTe [а, Ь], то cYffieств,ют такие точки р и qлого ceiMeHTa что лр) = m и (q) =поэтому, в сн, (У теоре\ыI 8.6, (а сег= М (ei. i'eopeiY 8.8),менте [р, q], а стало С;ыть" И на [а, 1;] наiiдется точка ~ такая, чтоЛО = fL· в этом случае формула (10.12) ПРЮiет внд/Лх) dx =f(O(b -а).(10.13)Эта формула называетсяФор,мулоu сред'Него з'На'fе'Нttл.3.
llерваясред! иего значения в обобщет иной форме. Докажем с iеДУfUffiее утверждение. ПУfФун'ЦttU Лх) 'С!МСТ) ttJ-tтегрttруе,м'Ы 'На сегме'Нте [а, Ь],Ш,О'ЧНЪ/'('f(;E)фУ'Н1\;'Цttл g(x),до iiffudemCif(шtUm-fL'Ч1М'uпуст!;m 'С!'На сегМf'нrnе [а,Ь]. Пусrn'ь, Гс.рпые rnи,"о,(х) ~ О) 'На всем сег,ме'Нте [а,Ь]. ТоiQшвамfL'';тоь/а(x)g(x) dx = fL / g(;E) dJа(10.14)llНTEl Г\Л()l;'iасm,'jfлсm,'(J"ее ,I,'iiэтом сегмен песу(;Т)ijeCmс, г,менm"'{уетта'КоеььJ(~)(х) diiаФОР\1ула(10,15)Ь],'imO'iUСЛОJ (х)Е)(1diiа1азы iается первой формулой среднего :mаче1-tuлв обобШi т{QЙ форме,, l,окажемСП] ,аведлjilOCTbфОР\1У'iЫ(10,14),ЕСЛi'jg (х) dx=аь= о то.
в силу н! рав! нствJ f(;r)g(x) dx = О и поэтому(10,11)ав качеСjiief..ldx >мыО,ьнато. разделив все части неравенств,[gаьImf(;r)g(x)dx~ а~ М.gllолага!if..l равныма,мы и получим формул;(1 ).14 .аЕслинепрерывна на сегменте [а, Ь]б1 шо чис.;-тозаjiлюченное \1еi+iДУmто, каково С;ы нии МiaэтомcerMe1iTeнайдеТС>i точка ~ така!! что Л~) = f..l т, е.
,орм;ла 10,14) пере;однт в формулу (10.15).а м е ч а н и е 4. Если 'УНКiiП!i f(.l) не являеТС!i непрерьшной, то формула (10.15), ilOоб ii.e говоря, неве] ia. В само')деле, П';СТЬ. например,={f~ при О ~ х ~ -,2121 при '2 < х,g=1 при О ~{ 11-- <х~~ТОiда, как'нгко убi'ДИТЬСя, числов формуле (10.14) равноТаким образом. для любого ~ из сегмента [О, 1] (~)f..l.#4.С'iеду21.2/3.Вторая фОРМУiiа среднего значения.
Справедливоутверждение. f';слu на сегм; шnе [а, Ь] фунg(iE);;iii.eeм )'jштон ЕЛ,. аст (ует та'Коеf(nuлегрipy'"imO"iислоьI (:г)!!,=.g(a)М!'. тоьJJ16)iJX .аФо] '\iY'ia(10.16)назьшается ;(торой формуло;; среднего .mаче~1-ttt,яформулой Вонне 1). Сфо]доказывается в дополнении§ 7.+ g(b)iJXюванное(ждениек наСТО(iщей главе.Су} i.естnоnание перnообразной ДiiЯ непрерывной(I?ункции. Осноnные НРНnИЛН интегрироnнния1.i.ествовнние первообрнзной ДЛi1 непрерывнойФУНКП.ИИ.
llрежде чем перейти к доказательству теоремы о C(~ществовании первообраЗiЮЙ Д'iЯ неiiреРЫВiЮЙ фУiiКiiшедемПОН(iтпе инПусть фУНКiiП(ifnnерем(ш'ъtМ!(·делим.) интеiрпруема на'iюб~м ceiMeHTe,жащеМС(i в интерва'iе (а. Ь) и пусть с-ная ТОЧiiа этого интеi 'iiала. 'Тогда, каКОiЮ бы ни былоинтервала (а, Ь)содернекотора(! фикспрован~'У~КiiП(i ЛХ) пнтегрир(ема нансло х нзceiMeHTe [;.Х!.llоэтому на интерва [е (а. Ь) опреде'iена liУНКЦПii,rР(х) =Jj(t) dt 2),сiiОТОрУЮ назьшают интеграло.М с nеременны.М ;(epXHttM пpeдe~ЮМ.
Докажем слеД'vЮЩУiU теорему.Теорема 10.6. Люба,я неnрерывна,я на интер (але (а. Ь)f(:E)им;·;·'этим шtrnерв iлеО')'''iЙи.·( fiер;(ообразных ,я ut,яетс,я фун'К'Цtt,яJхР(х) =j(t) dt,сгде с - люба,я фи'Ксttрованна,я точ'Ка tt1-tтервалаЬ.Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно доказать. что для любогоФНКСИlJOiiЮШОГО х нз интеРiiала (а. Ь) сУiii.еСГiует предешшоезна "ение'l11'111..:'l,r-H'Г· + ,6,,6,:'1:)--F(i), п·.•;ем это предеш ное значение:1;1) Бонне (1819-1892) - французский математик.2 l\IbI 060З1"1 шЛи пеРi'1·,еiiН'(Ю иii еГРИРUВ1ШИЯв"й,наЧi'Н Вi'рХНИЙ преДi'Л ИНТiтрирова11И1i.t,пuС"О ..
iЫ;"·lECTB()iра!Нои "Л(\1,](:1:)§ 5) ),силу"АННЕ ПЕГВ()i JiУ\ЗНС""( iii'йства 60ОПРl:Дl:Ш нных1Т( граловJ:[:Р(.!+ 6.J)-Р(:г) =dt-с,r" c:'l,rJdt+(10. 3)dt -хсПо фо] ,муле,r" c:'l,rdt =сС] ,еднего значенияJdt.х1а"ОДl1Мх+.6.хР(:г+ 6.:г)Р(:г) =-J(t)1ft = Л~)6.:г,где ~ - число" :шключенное межд"v ЧИС1амии6.х.С1Ю'1фующия ](х) непрерьшна в ТО"1ке х, то при 6.х -t ОЛ) -t Лх). Поэтому из последней фОРМУШ 1 наХОДЮ 1~x) - !, Се) =lil11~;!:Теоре1а Д01,азана.3 а м е ч а н и е1.существовании пе]l;УНКЦШI.дела интег]lil11 ]= ](х).c:'lx ,оАнаЛОilIЧНО доказываетс,; теорема о'азной у 1епре] '1JВНОЙ на сегменте [а, Ь])тметим, что в этом сл'vчае в качестве нижнего преювания1;зятьс можноа м е ч а н и еа.доказате'1ьстве теоремы2.10.6мыустановили сущс'ствование производной от ИНТ1Т] ;ала С перемен":ным верхним иределоми доказаЛI"что эта ироизводная равнаПОД1IНтегральной ФУ11Юи! dl) ~ !(х).10.1)3 а м ч а н и е 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
