Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 63
Текст из файла (страница 63)
X ii=lс fe,JJ,ORaTe fЫ1О.f( !) Вf,ШG. шенынаПОЭТО>ifУ ,JJ,.Ш; таких разбffе iifЙ11S -f(x)G/ (Ь - а) (см.=i=l,JJ,.Ш; HeffpepbIR 1011 на се; \;енте [а, Ь] ф\ НКЦifИДОл таТОЧШ"lе у(ловия интегрируемости.1) См, З:1" '''1:1пие в Прi' 1Ыi1УЩ;'М ПУПКТi2; Мы берем интервалы (х /2, х +удобства дальнейших рассуждений,/2) вместо;1'+дляlН"lЙ lШТElТ,Интеl"рируеМОСТR, некоторых раьрывных4.IbТ будем ГО;(iР;Лточкащу,!"1,.;ТО ТО' ка хПРИН;]ДЛi'ЖИТу iа;аНШiМУщй.юкрыт;]ИНТfOрвалудую-TfOOPi"uТу;оре.муl. 10.;сиа02j)(Lji!{'ЧJ"u;!f;ЛОЖUПJелъ'Н';?о ;!uсла G.MOiJfCHO ук;азатnъ !;;OHC'iiHOC '!'UСЛО 'U'нmерваЛО;i, nОК;1J'ываюuj,'UХ всето'чхuэтойu.ЛМЮЩfiХ общую с J.MM!J д'!",fiе'Нъше ,m f ; (х) u'Нmегрuруе,Аiа 'На !e?/;ieHme [а, Ь].'Насег,Аiе'Нmедк аа т е л ь с т в о.ем то';ки разрьша ФУНКЦ1ШПустьI(x)тано любоеконечнымсумма длин !клторых меш·ше 2(М Е_ ш;О.
Покро-G;ис юм интеРf;а;юн;Г,те М и т -ТОЧШ·lеверхняя и нижняя грани I(x) на сегменте [а, Ь] (случай М = тMO(!fHO 1[СК;[ЮЧ1ПЪ., так как тог;а (х == сconst). 'ТО';ки Cer\ieHта;, не прина1l,лежащие указанным интервалам; образуют мншкеСТГ;О.COCTo'"iiieeизконе' ногочислаCer\ieHне[[ересекаютfТ'"Iтов. На кюк1I,0м из них <I;ункциянепрерывна и поэтомуl !авномерно непрерывна. Разо; ,ьем ка)К1I,!:'IЙ такой сегмент так,чтобы ко;[ебание Wi <I;ункциина люоом частичном сегменте, l)азбиени''.;,,!f!f;'2(b_a)'"'"е" ъ 'реО", ,е П1, [1' ,iЯ эти т, ;аз4"шения и, ' ;БЫ)10.интервалы, покрывающие точки разрыва функциилучим ра;биение Т всего сегментаnслагаеМ!,·lе суммы ~(равной10., Ь .s)S(х) мы по1ля этого разбиенияразделяются на две'i=lгруппы ~! Wi6.Xi и ~!! Wi6.Xi причем вперву" ; группу входятвсе слагаемые; отвечающие частям разбиения Т, ;;бра;; ;ваНШ·lМиз1[нтернаЛОJ;,юкрьша,;оОО"'то';киразрьша,ано[;тору,!";;стальные слагаемые.
Так как колебания Wi = Mi - ffii 1I,ля слааемых пеРJ;оij[ы'ТО J;лет f торя,!" , нераг;е [ст;у W'iМ - т,тоWi6.Ci ~ (МIля сла,ае\ъIX-(М - т) __Е__ш-,-)т)[ЫШ;<2(ЬЕ2ПоэтомуТаким о; ,разом,S-sЕ.Ита <;, 1I,ля у!ка ;анной в условии теорем!.! <I;ункции лх) выполненыт;;статочные ус;; ;вия интегрируемости. ТЕ:орема 1I,0казана.343С,ледст,{}гРШJ-m '!СН ЕЛ,;! ?ЕЛiue,сег,ме'НmеI (х),фу'Нr.:цuлI{,мсющалr.;ОНСЧЕЮ;1'!{'/11,;,р!!,;р'Ын{}"г-------;'Ч:llCiЮfj,н,mегрfjру('! и'?ЕЛ,;rnо,м ссг,МСНfi!' ) В 'чдсrnносrmiх:у(> !!!'Н!''НеnреРЪUi'НШЕсег,ме'Нmе'Нада'Н'Н!,!'и'Нmе;;рируе,мана "то,м ссг,мснтс,а м е ч а н и е,,то есш функцияОчевитН!!iiнте;риI(x)1"41зруема на сегменте], а функция g(x) ,Iтличается ,IT фУН!ЩИИГ(х) литттьконе',ном числе то1~х,21чек, то функция g (х также интегрируема на (егментеЬ, приьчемьJIdx=аJ g (х)аРа; (мотримпримеринтегрир 11',руе\юй функции, име;, !тттей бе, и)НСЧ1Ю,числофННКЦiiточек(х)рис,1(х)-11у ка, :аннаяках х nнанаiолусег\ ентахiолусег\ ен [ах=1]:атана=С1n 2n ~ 1]Сn+2' - ,71,= 1,71,= 1,О.ФУН!;, ;ия имеет71,на сегменте [О,ра :рыва,10,\\в точке= 1/71"О,ра :рывы3,.
..- гоФИКСiiрне\рода вовсехлюбое>точ-Покроем точ;у= о (в любой m;ре(тно(ти этой точ;;и находит;я беп;онечное число точе;; ра:рыва <I;ункции) интервалом(-с/4, /4). Вне этого интеРiта!;а нахо,Jl,И;С'; литтть коне' ное ч;;сло р 2крое\'точек разрьша фу iКЦИИ, кажi;нтернало\',JI,,'шны\!ень тте2риз кото; ,ЫХ мыумма,JI";i;H;о[;н ;ернаЛОI;,по;;рываю ттих в(е точ;;и ра :рыва рапматриваемой <I;ункции,меН!,ше ~1)2наЕ_Е. еле ;овател;,но, ФУН!;!!lIЯ; :егменте1);',СIИ Р -ЧИ!'Л!!разр ,ша, тора,]!ыва интервалом длины/2!2) Это число р,ависит, конечно, от Е,I(x) интегрируемамок отонныО; РННИЧ4'НIIЫХ'е.I.елеI [HOCТi'М','УНЮIПИ Г(:г)с,; ирои:~вольным ио. южите.'IЬНЫМ числом[ и ра:~обьем сегментна равные части,.
длины которых меньше f(b) ~ f(a) (слу-чай Ла) =) можно исключить, так как тогда (:г) = COl1st .nОценю) д'IЯ ЭI ого 'азбнею ,я раЗНОСI" S - s =ШiL:::.Хi. Имеем2:=i=lnS- snL ШiL:::.Хi < f(b) ~ f(a) L Шi·=,=11=1nфvнкцииНо для2:= Ш,) - f( а)иоэтому,=1S-[.§ 5.Теорема доказана.Основные свойства определек'авеДЛl,lЮСТIHOI'OинтеграласлеДУЮЩl,Х с юйств ОИ]fеделеююгоинтеграла:1О.ГоЛы будем счи [ать. ч [оа/1d;r =(10.6)должнаО.10.6]ьОтметим, что форму;а'ассматриваТЬС1 как соглашение. Ее Н'VЖНО рассматривать как естественное расироCI' 'анениеИОI IЯтня'еделеI ;ного интег] ,ала наcerMeI;T;улевойдлины.20.ГоЛы будем счи [ать.
что и]аа/<ЬЬЛх) dx =ь- /ЛХ) dx.0.7]аЭта фОР>.Iу';а Iакже до';жна 'accMaТi ;:аться как соглаI ;ение. Она иредставляет собо!! естественное обобiiiение ионятияинтеграла на С;Уlай, когда сеП.Iент [а. Ь]аЬ иробегается<1) Отметим, что если функция монотонна на cel'MeHTe [а, Ь], то ее значеf( иПОЭТf)""" оцреД1ше 1на"1ег".,,'нт(·]НиЯv,к,ю',ены междуМОн"онна" функция f)граНИЧ1'наЭТf)М ,ег,·,,'НТ1'.iiTв нап] ,ав. [еннЬ К(J,{в ЭТО\i случаеpa:~[ ЮС[ н ~x;нме·юти[кцнвсеинтегрир ;емысег ·с[ен['!![ЛХ) ± (х)] dx =,формулысе[ менте[С1;;приче\i! ЛХ) !dx±dx.gдокажем с[[а';ала интег] ,нруеЮСТli ФУl[Юведливостьн;;ЛХ)!!,g(;E)g[а этом.Шi[lцаельныйЛХ(10.8)± (X)ia-(10.8).i[юбом разбиениисе[ ментаи любом выборе точек ~; для интегральных ссмм справедл l[Ю соотношеннеn1=а поiTOM.'vnn1=1=из существоваНИi[ предела правой части слеДi ет с'vще±Сl [ю[,ar не пределаi[е[юй части.
Сi[едоватеifЬНО, функц ш f(x)g(x) инте[рируема и имеет место формула (10.8).Iокажем теперь, что произведение инте[рируемых функциii являеТСi[ инте[рируемой фvнкциеii. Так как фvнкции л;г)иg(x)интегрируемы на сегменте [а, Ь] то они и ограничены наiTOM се[менте (см.vтверждение п. 1 § 1 так что lf(x)1 ::;; А иIg(x)1 ::;; В.i[юбое задarшое iазбненне Т сегмеl[та[а- прои:~вольные точки частичного се[ мента. Иilее\i l'ождесп;о[Xi-l,f(;E")g (J") -Л;;')g (;г') == [f(.r") -(x')]g(x")- f(x')gШi,+ [g(x")-g(х').Та;; какIf(x")gIf(x") - f(x')1Wi,Ig(;i") - g(x')1 ::;;где ШiШi·f(;r) g'(X)ств! 1)соответственно колебанияна сегменте[xi- ,;ri],сункцийg,то, согласно указанному тождеПоэтомуnШi~Хi ::;; В1=L Wi~Xi +i=li=l1) в ,том тождестве точки ;0' и х" мо;с;но выб; ап, так. что левая частьбудет как ус'одно мало отличап,ся от ш,.П"сю ,лькуб, 'гоf(:1:)и.
,аданн< >г',Е;т( грируемыnС( Г.ННчтоi(],.;а сегмент( [а. Ь] дЛЯ лю-ю ую]зать таiшеL<Е'а,бнеi неэто;nИLW,'=11=для Эi "го ра:~биенияns--+A~ =Е.2П21=110ЭТОМУ произведение интегрируемыхгрируемой функцнеЙ.'Ункций являеТС;i инте4°. Есш Ф iНIЩИЯ (:г) интегрируема на сегменте [а, Ь] тофунк ш;i сЛх) с = const) интеiрируема на этом сегмент! . п)'и~чемььJ=еаJ(10.9)f(:E) d:E.аДеiiствительно интеi ральные суммы фvнкцин f(x) И ef(.!) OT~личаются iЮСТОЯННЫМ >.ШО кнтеле>.; с. Поэтому фую,ция с!интегрируема и справедлива5°.11YCTbфункцияf(;r),орм ,ла10.9).интеiрируема на сеПvlенте [а,Ь].
To~гдала 1,УНКЦИ;i интеiрируема на л {{,юм сегменте[;. (J]coдep~iКЮiiе>.iСЯ в сегменте [а, Ь].Так как 1,УНЮiП;i (:г) интеiрируема на ceiMeHTeто длялюбого Е > О CYiiieCi ;;ует тат,ое разбиение Т сегмента [а, Ь], ';тоS - sЕ {см. теоремс 10.1). ДоС,авим к точкам разбиеНИ;i Тi'ОЧi,И с Ип. 2§ 2)d.В силу свойсп;адля полученногонеравенство S -s2°;;ерх! нхннжни;: суммC>'i.'азб;iеi;Ш т* те>.; бо;;ее спра;;едливоЕ. Разбиение т* сегмента [а.
Ь] порожда~ет разбиение Т сеГ>.iента [с, d]. ~:слн8 - ;;ерхняяНИiКНЯЯссммы разбиеНИ;i т, то В - s ;( S поскольку каждое неотри~цательное слага;'мое Wit::.Xi в выраж! нии S - 8 =Wit::.Xi будеттакже слаiаемым в выражении ДЛ;i< Е,. и ПОЭТО>'iУ фующия f(x)S - s.('ледовательно.S -интег],ye>.ia на сегмеi;те [с, d].6°. Пусть 'УНКЦИ;i (:г) интегрируема на сегментах [а, ] и[с, Ь].
Тогда эта функ iП i интеiрируема на се! менте [а. Ь], ПрIП! М-8Сdx =аЬfаРассмотрим снача;а СЛУ'iаii, КОiда аf10.10)с< с < Ь.Так как функ ш;iинтегрир'vема на ceiMeHTax [а, е и [;'то с'vщеСТВУi{{Т Ta~i,ие 'азб;iеi;Ш эти;: cer>.ieHToB. что раЗiЮСТi S - s для каждогоиз них меньше Е/2. )бъеДИНЯ;i ;ти ра:~,;;иения. мы ПOJгvчим pa:~~f(:E)347бненне <егмента [а, Ь];Н, ,<ть S будz' меш,шеСлс'довательно,fт(;грирус'ма Н;1 [а, Ь]д( м включать точку в ЧИС.!lО дел щпх т чек сегмента [а Ь] прпра:~би(;никннт(;гр;] fЬная <умма для[и,<умм(; инт(;гр;шьных с'гмм для этой ф'vнкции наи [с,В пр(;д(;ш мы ;юлучнм формулу (1010)Ьсли ТО'ТЮl с лежит вне сегмента [а, Ь] то сегмент [а, Ь] естьчасть сегмента [а, ] (rпиЬ]) и ПОчТОМ'v, В СИJГv свойстваФункшш f(x) ннтегрируема [а [а, Ь].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
