Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. Часть I (7-е изд., 2005) (1095443), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Мы 'токаже\' ;то на само\'гр ЕО нсльзя выбрать дНfO; ,ёШfOНСТГ;;! I (x f ' (x f ) Iе'ТИ1iстг;енно\' УСЛOf;иителе таже 1I,ля';юбого ЕФш;сируем ЕTieM х'>>~, х" = х''дтеорему+ . Тог таf')-f(x')1= 2~lx"~ заключено ме)I\ЛУ х' ипосле шего-д. ИСПО';ЬЗУ;'iх' = ~д,,то ~-x'lf-ипоэтомуи1> Е,' Таким образом, ФУНf;;;ИЯ f(x)равномерно непреРi,,1ВНОЙ на множестве х3)<2 'равенства вытекает не; ,авенствоIf(x")хотя;х" - х' =,Выбе-lагранжа, по';учим(xТакО нельзя выбрать ука,анн<>г<> выше д.О и рассмотрим любое пшшжите,';ьноеФункцияf(x)SiTi -?х 2 не яв,';яется1,пС ,я6л,яетс,я j.)(L61Ю,NtС? но нсnреР'Ы6-х'1-tOи на интерг;але (0,1).
!ока<е<ем, ;то 1I,Л;'i Лi;;(,ого , У1l,0RлеТRОряю пего усювиям ОЕ2, не,';ьзя Уi;юать д О гарантирую->щего выполнение не;,авенства(x f ' ) - f(x' < < 211,';Я всех х'и х" из интервала (0,1) при единственном условиид.Ix" - x'lЧтобы убе1l,И; ьсяэто\тостато' ноЮЛО<i<И;Ъ(4k+З)"Их" ишя JЩfБОi О д > О Rыбрать k соль ('ОЛЬТПИ\i, ч;о. - (4k + 1)"х" -х' < д.нказа тных TO'feK х'х" ;ри Лiiiбом k разность( х'') I=l'8111х " - 8111,1х'I= 2 >Дока<е<ем сле1l,Нi' 'П~Уii' fifHi i«НУЮ теоре< <-оТу;оре.муl. 10.2 (теору;,м.а о равн,о,м,ерн,оu н,у;nрерывн,о• Неnреръита,;< на {е; ,«енmе [а, Ь]неnреРЫ6нана эrnО,Nt(х ршf'}-t '«ерносе,<менrnе.Д о к аа т е лт вПре1l,ПО'ЮЖИМ, что непрерывная насегменте] функция l(х не яг;ляеТСi,i ранномерно не;;рерьшной на этом сегменте.
Тог та 1I,';я нсnоrrЮ?Ю20 ЕО не выполня;;'тся услоiiИЯ, сфОРМУ';ИРОRа тныеощ)е1l,е';еНi;ИнепреРi'1ВНОСТИ. Это означает, чтошя ука ,анного ЕО и;юfi020 ПOJюжите';ЬНfiГi' числа д на сегменте [а, Ь] найтутся точки>>fЙн <Ц!:1: f ' т( кис.. чтi'1/;му дл;·! К.ЖДi!ГО д =<д, но=1 2,{ЕО! \fEO {т(]. la.bl т(].кис. ;ТО Ix~?((К как {x~JG.то и-Ix~flсход;,!щн!, ;сясле1l,0RателыюстъHff II(x~Вс Йi ртптра fК·!ТСТОx~n} [см.
зю ечаниено,. П01l,после1l,0вательностъ)ке СХО.fИТiЯ(:1/) ?ПоCJТОнайтутся точю; х"I(~~f)l?ffiСЛЕО Тff!;((ТЕОЛЬНОСТЬ ТО';ЕОК СЕОГМЕО {т(( [а, Ь],НЕОЕО, fТ;fЛ(Н:НО ТЕО;ДЕОлить33')м;{'(]..;f!,С"!М;'нта§гл.3).х%n} после1l,0вательностино !;Ыподпо-О ;еffИx~} такС. Taf, как ФУШ,;iИЯI(x) непрерывна в точке С; то} и (х"} ранны I(c! и{.! (х%n) - I (X~n } является (;ескоfретелы после1l,0Rателыюстей {I(x~nпоэтом н после1l,0вательностънечно ма.
юЙ.(х"(х')-неравенствуЭТОГО не может быть; поскштьку все Э.'fемеНТf.·l) нказа(xf'){нойюсле1l,0Rателыюсти У1l,0RлеТRОР;·!";Т-Таким образом, предполож:е-? .)ние о том, что непрерывная на сегментеетсянепреРf . шноЙ.paBHoMepHf;юказана.С.Лif,дсmвuе.]. Т02да дл;!затъ таnое] 'f.штU'l'НО./;;>r.:олеба'Нuе w 1] фннкция не являпротиворечию. ТЕ:оремаBe1l,eTIПустъ Фу1tni, ;г.яНСnр;р'Ы6Н,; Н,! СС2.Aitсшn'люб;Ро f;,;ложuтелъ'Н;;ц) 'lUiла G .МОЖ'НО ух:аО.
'ЧЛЮ 'На паждом ltjnmадлежаще.Ait се,;меюnусе; ;";ieHrne [с d] длu'На d - с ];оm, ;Р02'; ;";iе'Нъше д.фУ'Н];'ЦUUО К аз а т ел(х) ;";iе'Нъше С.TOJIj·f'O ЧТОЮf,а (анной тео] функция I (х) равномернос т в О.ремы непрерывная на сегментенепрерf.шна на этом сегменте.ТЛЯ любог; с>Омшкноуказать д > О такое, ;тотля Лf' ;бых х' и х"Cer\ieHTa [а, Ь ]юВ'fетворяющих условию< Вf·lПштняется неравенствоIx" -лх')]II(x")с. 1о;,а.,жем. что на f,ажюм прина1l,лежащемсе!мент\ [а, Ь частично,;' сег\ е пе [с, d], 'улина d - с которо!омеш·ше указанногоКО'fебание w <lfУНКЦИИмеш·ше с.самомуеле, посколькн фннкция(х) непрерывна на сегментеIIIc, dl,. ;тото на этом сегменте мож:но(x f )= т, аверхняя граниIX'f - х' < д- I(x') I(х") = l'v1,Iс.
НоYf,a(aTbm ина сегменте,1]fl,JПfна се! ;;ента [с,I(x") - I(x') -3 а м е ч а н и е.миточные нижня;·! Итеорему 8.8). Так;;ень пе д), то II(x")d]m - w.с.wl\'Iножество {:г} точек числовой прямой называетсязам'I{;НУrnым, сеfИ ОН;;CO.!f; РЖ;j"Ш'" спои ПР;'.!f;'l{;олебанш;м(.<J.ff.HbleТОЧffИф;'нкции лх) наТОЧНОЙ Ш'рхнсйфункциитаf,ие ТОЧf,ИТОЧНОЙ2).Снр;mе. f.fИ·d]назы{р fНЯf;fИна,;том сегменте.2) Определение предельной точки множества дано в п.
6 § 4 гл. 3.1Ю,1Й 1ШТElТifen! '']Iъи;нар на ,;aM'I{;HyтnM ;;;рани н'ннпмpai;HOMi;PH;; неу реръи;на на 'том МНО'"ств!;,-lока;ательствоэтогоутвержденияаналогично дока:~ательству1)етеор:,'ое,Щiка,iатеJii;iТiJi тсорсу;уыХ множествасе iИ отта ттритп{:1'};;'Ж;;"Пi'K;;TOP;;Mi' иттт;'р Щ,1\',{ х }, l'vl Т1ОжсствосяOт'l{;! ытым,М;,;i'СЛИ пссОна;ывается ('ну ('Р:п У1 З ,шаст-ТОЧ;JИ Э'; ;;г;; МН;;Жi'ства ПНi'ТРСННШ'.говорил" что данное MHO:JICeCтBO {х} iiO'l{;PblтO сиi темойLOт'l{;PblтblX MHO:JICeCтB 2), сеJИ ка",' щя ТОЧ;Ji; Х этого iП1ОЖССТВJ1 приттаll,JСжит по крайней мере одному множеству системыL.Докажем следующуюлемму.Ле,м,ма Ге"Й:н,е-Вореля 3).
Еu!и сегметn [о, Ь] nO'l{;pblт беС'l{;оне'Ч,нойiистемойOт'l{;PblтblX MHO:JICeCтB, то из этой СИiтемы МО'" но выдеLлить 'l{;оне'Ч,нуlО nодiистему I: MHO:JICeCтB, 'l{;отОIЮя, тa'l{;:JICe nO'l{;pblBaeт сег-].Д о к а з а т е л ь с т в о 4).Пусть {:1'} -множество таких точек[о, Ь], что ССiИ Х приттаllЛС ;,'ит Э'; ;;мупокрывается некоторой конечной подсистемой;Ji1ЖСМ.iiПОЖССТВОтоу']"множеств системыСОШЩlli1i'"L.[о, Ь].
Т"к ЮLiJ Тii'iЮL Опокрыта некоторым множеством системыLи ,сто множество открытое, то;;тто ПiiiJpblB"i'"ПСiJОТ;;Р;,;i' сс;мптт [о,т], Ш'i' ТОЧiJИ суот;;рого, cor,iacно вышеска,;анному принадлежат множеству {х}. l\'Iножество {:1'}, очевидно, ограничено. Пусть 7sup {х}. Убедимся, что х принадлежит множеству7 = Ь.
вIlелс, х тт iiJрт,пi' ТН'К iTOPT,!i; iП1ОЖ;'СТВОi;=И, следовательно, этим же множеством покрыты все точки неко-TOP;;ii'итт ;СРВi1Ламножества{:1'},(7 -,ХЕ). Тас,у сУ"К ХприттаniС ;"i1щаявытекает, что сегмент !п,ПОiн:истемой= supj,как угодно бли,;кие к х, и поэтому найдется точка :г' ,стогоМН;;Ж i " тп СИСТi'МЫL.- Е. Х Е).
ИЗ ;;ПР<Л i ,iСТТИЯпокрывается некоторой конечнойПрис;;еllИНЯЯ кваюшее точку Х, мы получим конечную подсистемуко i;;Р"Я ПОКРi,шаст ссгм: нтIlОТТУГППЪ, что Х< Ь,сегмента [а, х''], где Х:.10[0,7].LМНiiЖi"'Тii;;, ПОКРi,rмножеств системыСлеllОВ П<;; п,н;;, Х принаllЛСЖИТL<ттокр:,ша,jii б:,;L,. ЕешТОЧ:JИ пеЮ:ТОР;;;i'и ПО,'iТОМУ точка х" принадлежала быэтогоможстта:у Ка:Умножества {х }. Таким образом, множество{:1'}7 -Тi;'ПЩЯ ш'рхттяя :р нтт,совпадает с сегментом [а, Ь.ЛСМiЩ Ilоказатп.1) Определение ограниченного множества дано в п. 6 § 4 гл. 3.2) Если множество {:1'} состоит и:~ одной точки, а системасодержитОiП1О О': : JРТ,п ;;С iiПОЖССТВО.
то11БУlli'"говор ПЪ,этi'i'l{;Р'blвшi'П! ука:~анную точку.3) Э. Гейне (1821-1881)немецкий математик. Эмиль Борель (1871-- фРiНТЦУЗСJИЙ iЩТi4) Э':;; IlоказаТi ,ibl:TBOматематику Анриi;iюснов"н;;;;Тi'l'рИрiiiЩiiИЯ.интеграла Лебега.lебегуiЩТИiJ.сйпс-l ;;;рi'ЛЯ ПрИП i ;(1875-1941).;;'Жi;" Фраm:узск;;муОтметим, что Лебегом был указан и,rй в этQi: г, "1Вс'.
ПОiiХОii КттопятИi' ИТТТСiр"ла ттоситПi1иметт iiЩТТИСН<ЦffЙИf [ТЕГ; '[[ГУЕМЬГ;аеМож ю елеllС "'ЩИМ обра:~ом341,1еМС1УейпеБореЛЯ1ал,n'/-l,У'" ,е 1) ''''pa'/-l,'U, '1е1 'Ное М1 O:Jf{;i:C"'rJn {;1'} nm:рыто'/-I,(;'Г'/-l,Ой системойLотnр'ыт'ых M'/-I,O," "ств, то из этой систг:мъMO:Jf{;'/-I,ОПО'" 'рал ,,'ar:,:Jf{;e nm:рывае'"I:Ilока:зат:'лы:тпо ТСОР'оппосропрПРОДОЛЖИМ ((С,) па всю прямую, ПОЛОЖИП1'ераппой I(Ь) ПРИ;1'и равной /(n) ЩШ Х <' (~, Так как /(:1') ~епрерывна в каждой ;очке сегмента, ], то для любой точки;1' ,:того сегмента и любого ,;аданного Е > О можно> з:mисяс u "" вообщс говоря, от х,11ЛЯ n;'1,иудовлетворяющих условию- ;1' 1 < /,i, выполняется неравенство- /(х)1Е/2, Та1ГИМ образом, сс;мпт'г [а, Ь] п 11ГрТ,п ',СС1гопс ню"указат' та1ГО:' б'<ИПТ:'р,га,юв (Т-бi/2, х + б' /:г),изПОiН:И i тсм;"],-б'I:бLможпо ПЫiН\1И'; ;" в С 1,1У ,1СМ ,1ЫГейне-Бореля, конечную подсистемуСС1мепт [а, Ь], Пстт,1/ iинтервалов, также покрывающую/2зпа'1епие б i-И ПСРВ:1Л 11",," -удовлетворяющие условию11ЛЯ Э'; :1Й к 1печпоил ",'Ы:' ТОЧ1ГИ сс; Ш'ПТ:1и ;1' -центр того интервалас+б' /2), (У /2, системы I:, который покрывает точку :1", Так как< б' < б' и IT" - < б'.
то /(Т') - /(Т) Е/2 и I/(T")- Лх)1 < Е/2/2-р- /(;1')1+- /(;1')1< Ej2 + Е/2>= Е,>Итак, для любого;аданного ЕО мы ука:~али такоеО, что для лю',ЫХ ТОЧС1Г Х,," i'i'ГС1СП' а [о"Ь]. у ,m';;'Т1ГОРЯЮЩ11'С С'СЮВИ", ;х" б,выполняется неравенство 1/ хр:шн 1М:'РНО непреР;,IВН:1 Н:1') - /(;1")1<Е, Следовательно функция лх)i'i'rMeHTe [а, Ь], Т:'ОРСМ:1 ЮК:1З:1на,ИнтегриртеМОСIЪ непрерывных фу НКЦlltl,г;!н, ;{сную1uHme,ipupye 'iia3.теорему.(х)Непрерывна,;! на сег 'iieHmeна это,м!е!,'iieHme,о к а з а т е л ь с т в о.,JJ,аНО'fЮ(iоеfG>О.силуравномерной непрерывности фуш;; ;иина (егменте [а, Ь ]шя1Олог;сительно;о ;исла /(Ь - а) мог;сно указать такое 6О, ч!опри ра;биении Т сегмента [а, Ь] на ча(тичные (егменты [:Ci-l'шины6.X'iкоторых \;ень тте6">колебание W'i фУНКЦffИКЮК,JJ,ом та ;ом частичном (егменте бутут меш,шеСfе,JJ,СТRиетео;ie\ibI 10,2;.=nLw;6.x:< Ь-о, L6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
