Гоноровский И.С. Основы радиотехники (2-е издание, 1957) (1095421), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Модуль р(р) стремится к нулю (равномерно опюситес ,прн р-» 313 с„«12 '" сь В. И. Смирнов Курс высшей мвтвнатвкв т 111 ч. 2, 1949 Р" 304 обеспечивается при любом значении а> — а. Следовате интегрирования должен проходить правее точки вательно, 145 возрастаюшен „. 41с) с с л ненты е"', наобо пусь интегрирована 3 ~в должен прохода вж правее точки а=+а. р-6 сбс) Все вышензложен. д ьнье обобщается следу.
с с . ющим правилом: путь интегрированна дал. г-1' жен проходить правее с всех особых точек (нв. Рвс. 9.1 люсов) подинтеьраль ной функции. 1[ОбаВЛЕППЕМ К ПряМОЙ С вЂ” свв, С+1«а дуГН бЕСКОНЕЧНО бОЛЬ- шого радиуса можно, не изменяя величины интеграла (9.3), образовать замкнутый контур интегрирования.
Это позволя«1 использовать преимущества методов интегрирования на комплекс ной плоскости. Правила, определяющие способ замыкания контура интегрирования, вытекают из требования равенства нулю ннтегр' ла от заданной функции, взятого по добавленному участку 1'У" (дуга АВС на рнс. 9.2) при Л вЂ” ~. о, т. е. чтобы ,нпая часть показателя степени в множителе ев ПСЩЕСзтспп ',,л сьыть О Р ,ал" 1«е (рс) С О. Рвс. 9.3 У(1) Р(р) еюс(р В(р) еюсур= — тгсз (9 Т) 291 1 щс - гев — сумма вьшетов в полюсах подинтегральной функцни. т ПРн проведении дуги в правой полуплоскости, т, е.
Прп с>0 (ьрис 9 ЗО), полюсы функции В(р) ел' оказываются впе контура ЬН1ЕГ и е"Рнрования н, в соответствии с теоремой Коши, интеграл ло заик ~~м~ыутому копсуру равен пульо, ЛВ1Ег к'ьн образом, в зависимости от способа замыкания контура Рировання, получим НРИ 1~0 1«« У(с — 1 — В(р) Е' 1р= -'-. ~ В(р) е" с(р= В е; (9.8) ПР Рн с(0 «-1ъэ ,1лссн ~«а УО)= 1 Г '"*" =ь у "" " =' — «а АПСЛ ь, 3 Н Сьн,в Нвав. Курс высшей ввтенвтвкв, т.
П1, ч, 2, 1949, «тр 3« — ап 1в н ' 1.. Гш« «"вав«««вг« 303 е выполняется за редким исключением [напри- П Р ае единичного пмпульса Р (р) = )] дл51 Всех ветре ~лучае чер в '"в приложениях вающ' „ ихся в пв см „1 НКЦНй. л л Извтор ' . " в , Прото условия вы- ь что если функция 1«кает, чт 0 «' Ф«' С(1) Ф при с- О, с Ожительным зпачед 3 О ,а поло с должен отвечать ыьЬВ51 С контур р, лежащий в левой юлу нл плоскости (при Отря- с тьевьь ых а) а отргць юльныкь с — контур в пра„аьйь полуплоскостп (при воложительных а), 8 первом случае, т, е.
при проведении дуги в левой полу. влоскости (рис. 9.8а), контур ннтегрироващья охватывает все валк]сы подиытеграл1ПОЙ фуикьып1 (лежащие ль.;вес прнмОЙ с — 1««, стью) и, в соответствии с теорией вычетов", интеграл (9.5) алредсляется как (9.11) (о. ! 3') 2. Единссчной ижссульс (9. 15) с> О, Е(р) ~ 1 е ж Р о (9 О) с<О, (о 1й г: с (с) = — ! — 'ср — Ря / (9НО) ЗО7 Напомним важное свойство контурных ис(тетра интеграла не зависит от формы замкнутого конт, ' веп(ч рому производится интегрирование, если только р ' "о ко а подинтегральной функции остаются внутри контура 9 точа нии этого свойства коепур, образованный добавление, своем Ра На о бесконечно большого радиуса !! (Рис, '.).2) к пр ' !суси Айс Риной „.
с+ 1 , можно произвольно деформировать, при условия, что все полюсы, расположенные левее пря „деви,', соблв ямой , с+1 остаются внутри контура. 1ее Итак, вычисление интеграла (9.5) сводится к опрея л „ ленив „ тов в полюсах подинтегральной функции, вьие. ПРедставим подинтегральиую функцию выражеш,я (9 -, ° 5) вви„, и Р(Р) . Г(р) е (9 19' Тогда вычет функции -,, имеющей в точке р= Р(Р) О(Р) * , полюс (первой кратности), определяетси формулойи '.ели функция .- имеет в точке р, полюс кратности о Р(Р) ЖР) (где ш — целое положительное число), то геа =- — — — — — ( — -- (р — рс) ~ ° (9.1с) и"'-~ ср(р) ( -1)1Ф 'Ы® Методику применения контурных интегралов для предстаые.
иия различных функций, играющих большую роль в теорев переходных пропессов, удобнее всего пояснить на примерах. 1, Едиссссчессс(1 скачок и экспонента В соответствии с ф-лой (9.4) изображение Е(р) длв Ф)жх' ции, заданной условием у(с) =1 при с) О, определяешя я сов(но шепнем Обратное преобразование (9.5) дает (Ю 1949, с с ес И В. И.
Смирнов. Курс высшей матемагиии, с. 1П, ч. З эчльтат можно волу(шть подста!!онс(оп 1(' =. о в т же РезУл аже"'е; альная функция в выражении (9,14) имеет простой "Па"н"'('ал"-'О. Вычет в этом полюсе согласно ф-ле (9.! 1) з точке рс= , люс раа"' ' ' ельне, прес с~-О Ел вдова те. 1 С' ео' С(с) =.— —. Оу -- с(р= !. "ее нас <О контур, образуемый прямой е — !о, с+! и гоостыо 40(' (Рпс.
9.3б), пРоведеппой в пРавой полУ- хуокру „не содержит полюсов. Таким образом, при с < 0 охоскостя 1 с' е" С(С) = —. С(1 . - с(р =- О, моа для функции, заданнои условием; у(с) =е "' при с~ О, Р(с) =О при с <О, аетрудно получить следующуео формулу для изображения Е(р) =-;+-„" 8 соответствии с определением (2Л8) изображение для единичного импульса выражается в виде Г (р) =- 1пп — е-" с(с = !1ш 1- 1 ! е — >О е-ео о з са ссрссосшчсскалс ((еункпи ч !(с) =- Б сов (во с+ Р) пРн Р(с) =О прн !(спольз я Уя подстапош(у соа((оос+15) 1 Пм: +р~ ! 1 -1(~о +9) ' "Рименяя выРа кение (9Л), находим !с, и е'З 1 д .-1РР— ' ъ й Р+1м, Это же выражение может быть записано в форме, которая по:П сае1ся, например, заменой (2. 59), Е(р) =Š— —,,+ —,„,— 'ос елсдователыто, нескол~ ько о (м на кчогс роз,с у(т) = 1: ~ Е(р) ЕО'пср =О, (й.!1Г! ' сс'о 1 / ( — оссз)п11-.
'Рсооз)ом 'го ро ' сзс (9. П1 Подннтегральпая функция имеет простые полюсь ° юсы в Р ==-тм н Р,=.- — !ото, ПРопзводпаа зпаменатела Равна ООЗ1'ЧНМ (9.48) Ф (р) — '-- =2р, у'(г) =-0 при 1<0, ( — оы осп З+ рс ооо Д еон — отп й + 1 сов сй !и 1 тезт = 2рс 21 о,деч иметь Е(р) =Е -;+--,. (9.!9) г — ооо!псо- роспуск) о О 11пй+!соо Π— 1п11 = — ' — -.— — е 11 =' 2ро = — '-2Г— Следователыю, при г>0 (путь интегрирования — против часо.
вой стрелки) у (г) =-. — —. ~ Е (р) ем т(р = Е В гео— 1 Г 1'ч(Р) =. У(à — Го) С-О' ат. ,Г 1!па Г 111,1 — 1осогт, сока Г тю,т — 1юасП 21 l+ 2 = Е ! — з!Псо ейпю,1+сок! сов мог) = Есоз(ю„т — ', У). ' 'Рнс. В.з Отсюда по ф-ле (9.! !) находим; Конт! р кнтегр17о' ванна для с > 0 кт кто бражен на рис, 9. , ййо Замена зтомс ко1 )' ра двумя контуром' оо.
охватывакнцнмк люсы рьт = -т. показана иа рнс, тоо. В соответствии ' " ремой Кожи 1 тпттегГо. этюг до! рованне по зм а ток ' контурам зкви оваккю ' по нптегриров' показ'и чпн. на 9.4п, и интеграл равен сумме вычетов опт)'р) о колы ~0 о 'Пп1 г( „ание и роизводится по часовой стрелке. нк ,тм пнтегрн сф лучае Р= — -'., т. е. ДлЯ 8 часп1"и У(г) =-Ез!насос пРи с) О, с(1) =.=0 при г < О, Е(р) =- Е'„-,, '"-рч Псов р=-О, т. е. д.та р(г) =Егозю,г п(тн т) О, По аналогии с выражением (2.38) нетрудно найти прямое и обратное преобразования Лапласа для функции у (т — го), запаздыооюнтей на вРемЯ го относительно 2 (1). Применение к 2" (г — г ) ф-лы (9.4) дает с, П РОВЗВЕДЯ ЗаМЕНУ ПЕРЕМЕП1Юй С На т = à — Го, ПОЛУЧИМ о Итак, сствиг (запаздывание) функции у(г) на 1„1рсбует умиочеввдно Дтп, даЛЕЕ, Чтп ВЫражепне У(г') е "огт'=е " Е(р), (г, 2(, ' 1 с ' соо , -тпо 21М Гс (р) Е сср = — Е (р) Егс с ) Стр (9 О!) с„о — соо гт" толкет ф „„ тчт~г фУнтцню У(т — г,), так как в пРеделах пРомежУтка "условие (9.0) требует проведения контура интегрирования | ф (с) й~ е д' й = — + е (9.
25) (9 е1) (9.29) (9,24') (9. 25') ( — ) с д' й = рР (р) — У(0), е (9.27) аы в правой полуплоскости (рис, 9.3б), где особых точе, довательно, выражение (9.21) обрасцается в нуль ет и, е, В вь>ражепяях (9.13) — (9.19) под д(с) подразумев функция (эдс, входной ток), а иод Р(р) комплекс,, входдд. ь'й си этой функции, получаемый пз спектральной плоьпюстн Р (о) и заменой 1ы на р. Росте,; Если под с (с) подразумевается выходная функция напряжение на выходе четырехиолюснпка, то по анап Р ке„. напра, огня с ' Р Ражесшем (2.37), можно написать о э~сО 7'(с) =Ь '(р) К(р) е" (Р. где К(р) — комплексный коэффициент передачи, полтч,„. из К(1се) заменой 1ы на р, Е(р) — комплексный спектр ной эдс. Таким образом, Р(р) =.- Е(р) К(р) люжно рассматривать как комплексный спектр выходного падре.
женин. Для составления выражения (9.22) не обязательно всегдс начинать с интеграла Фурье. В тех случаях, когда задень ннтегро-дифференциальное уравнение исследуемои линейной м. стемы, выражение типа (9.23) может быть получено путех алгебраизации уравнения с помощью преобразования Лапласе, применяемого как к самой функции 7(с) и ее производным н ид. тегралам, так и к вн щней силе (эдс), действуксщей на снстели Изображения производных и интегралов от Г(с) нетрудно выРсзить через изображение Р(р) для самой функции 7(с), Рассмотрим сначала производную — - . Применяя ф-лу ' еу(су (9 О й Р интегрируя ио пастям, полу им ее еэ е е е М Гас е-жс)с е-и с(у(с) — (е-деу(с))~+р с (с) е 'лес ) е е Учитывая, что е " ;', =О и е ")е=е=1, можем н -лы -ж, написать где д(0) — значение Функции 7'(с) прн с= О. е образом для )д(с) й можно получить ()рдобным явная С соответствует значению интеграла к моменту гд- ' , ностоян"а ,' 9, т.
е с дГд (с) й = | Яс) й + С. 1 георанзация иптегро-дифференциальных уравнений особенно длгеор *.. тся при „нулевых" начальных условиях, т. е. ири расудришает сяетрен „ян процессов, связанных с подклсочением в момент с=О электро ' „,Родвижущих сил сс „пустой" цепи (когда все токи через аа„-гивноств и напряжения на емкостях равны нулю). В этом случае Очевидно, что производной с" (с) д-го порядка соответствует дзебражение р'Р(р), 3 Р~~ультате применения преобразования (9.4) ко всем члеаея нсходного интегро-дифференциального уравнения последнее яе'кег быть приведено к виду д (ь) ' Р (р) = Е(р) р) — изображение для искомой функции г" (с), Е(р)— где р(, иееРа кение, "е сьля внешней силы е(с), действующей на расслсатри- мечую сне гел с~с,, с'ему а К(р) — функция от р, определяемая пара- 'Р'мн цепи, Таким оеде, ' ""Разом, изображение искомой фуигцни т"(с) опреде- '- 'ся в Явной форме Р(р) —. Е(р) К(р), гд е коэффицненг передачи цепи.
(9.32) обозначено гзе о г а=— 2Ь 11 г' (9. 33) рке. "..В ем ~ — аг е гез,=- - -: =е 2р+2 ч=м 2!м,з еР' ( — ас е 'моз 2р+2а р=м 21ойоз (9.34) Š— аг --. е мпыезг при г> О 'оз'Е (9,29) 1(г) =О при г<О 19.30) (9.5): о'(г) = — „' р- е" Нр = Г Е(р) ггйг / г(р) — с ее с Омео (9 3)) 1 1 ео' Д'2' / с сео 1. '1С р+ ' р+ 31В Озипшал искомой функции опредечяется с помо преобразован нг (9.22). мощью обр„ Поясним вышензлоскенное на примере. Пусть тре-, ток в контуре Л, С, г, при включении в контур в,„н требуется,, постоянной эдс е(г) =Е (рис.
9.5). в момен Исходим из уравнения сГ1 . 1 Г 1.,~) +™+ С / ггсг =е(г), (9. 23) Применяя к каждому из слагае "гаем |х з уравнения преобразование (9,4 , ' ~тоге ), находам м ~ ~ ~~ ~ ~ ~ | ~ 1 е (г) е р' с1г = Е (р) — е, р* е После алгебраизации ур-нис (9.28) принимает следуюпгнй зиз Отсюда по.чучаем изображение 1(р) для искомой функция 19) 1(р) = Е(р) гс(т) 1 2(р) Ср где л(е) = 1Р+г+ — — — сопротивление последовательного контур 1 Ср зшшсапное в операторной форме, Это сопротивление можно "ели чнгь непосредственно нз выражения (6.!) заменой (ы на р Оригинал 1(г) находим с помощью обратного преобразо"к"' „иая фчнкггия имеет два полюса в точках янтегра-ч — — — - /Г - — — 1 = — -Ь(ы 21 4т,о 1.С ео 1 „Рнсфм ,; прйдпо а ается, что ес=- 4ь ' „, полюсам соотвегствуют вычеты (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
