Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000) (1095420), страница 77
Текст из файла (страница 77)
В данном параграфе будет рассмотрена первая из поставленных проблем. Полученные выводы будут касаться не только устойчивости системы с обратной связью, но также устойчивости любой линейной динамической системы. Алгебраические критерии устойчивости. Предположим, что как основной элемент, так и элемент обратной связи являются цепями с сосредоточенными параметрами и, следовательно, передаточные функции )~(р) =Р (Р)Ю (Р). ()(Р) = РгЮIО. (Р) суть отношения многочленов по степеням То Подставив формулы (14.20) в (14,18), получим характеристическое уравнение системы: = О. Ю (Р)(4г(Р) Отсюда следует, что система с обратной связью устойчива, если все корни уравнения Н(Р) Дг (р) Яг (р) — Рг (р) Рг (р) = 0 многочлеиы Гурвица |г имеют отрицательные вещественные части.
В алгебре многочлены Н(р) с такими свойствами называют много- членами Гурации. Рассмотрим частный случай многочлена Гурвица Н(Р) = (р — рз)(р — рг)(р — рз), имеющего три корня, один из которых рг — а, вещественный и отрицательный, а два других Рг,з = — )) х /соо — комплексно-сопряженные с отрицательными вещественными частями.
Прямая подстановка показывает, что данный многочлен Н (р) = (р + а) [(р + б)г + озД = Рз» (а» 2й)рг 1 (йг+ 2а))» озог)р+ а())г 1 озог) 356 Глава 14. Активные цепи и аитоколвбательиые системы содержит все степени переменной р, начиная со старшей, и имеет коэффициенты одного знака.
Этот признак указывает лишь необходимые условия для того, чтобы многочлен был многочленом Гурвица. Полное решение задачи было получено в конце прошлого века и нашло отражение в известном критерии Рауса — Гурвиь)а. Доказательство критерия можно найти в [14). Приведем окончательную формулировку: для того чтобы уравнение а Р + аь-гр + '" + а|Р + ао = О критерий Рауса- Гурвица с вещественными коэффициентами имело корни, лежагцие лишь в левой полуплоскости переменной р, необходимо и достаточно, чтобы были положительными следующие величины: 1) коэффициенты а„и ао; 2) определитель Гурвица а„ , а„ О О ... О О а„ з а„ г а„ , а„ ... О О а„ з а„ 4 аь- з а„- г .. О О )У„ О О О О ".аоа, 3) все главные миноры этого определителя.
Пример 14.1. Проверить с ломопвью критерия Роуга— Гурвичи устойчивость системы, характвриситчвсков уровнвние которой имеет вид рз + 2р + бр+ 4 = О. Убеждаемся, что аз > О, ав > О. Составляем определительи Рг 1 ~ = 8 > О; единственный главный минор 2 > О. 14 б Таким образом, система устойчива. А решите задачу 6 и (р) =))(р)УС(р) (14.22) есть не что иное, как передаточная функция каскадного соединения двух звеньев — основного звена и звена обратной связи.
Обычно функцию ю(р) называют передаточной функций системы с разомкнутой обратной связью. Формула (14.22) описывает отображение комплексной плоскости р на другую комплексную плоскость в. Если Достоинство критерия Рауса — Гурвица — относительная простота вычислений. Недостаток заключается в том, что область применимости этого критерия ограничена цепями с сосредоточенными параметрами, поскольку только в этом случае передаточная функция является частным двух много- членов. Геометрические критерии устойчивости. Возвращаясь к характеристическому уравнению (14.18), заметим, что произведение 14.2. Устойчивость целей с обратной связмо 357 р,, рз,... — корни характеристического уравнения 1 — () (р) К (р) = = О, то, как легко видеть, на плоскости в всем этим точкам будет соответствовать единственная гочка и = 1.
Отсюда сразу вытекает принцип, позволяющий судить о возможности самовозбуящения системы с обратной связью: если образ правой полуплоскости переменной р при отображении вида (14.22) содержит точку зо = 1, то система с замкнутой обратной связью неустойчива. Важную роль и~рвет кривая иа плоскости зв, являющаяся образом мнимой оси на плоскости р.
Уравнение этой кривой в параметрической форме таково: -Ош) = Вове) К()ш) амплнтудно-фазо- ван характеристи- ка критерий Найквиста Пример 14.2. Исслвдоваггиг ' устойчивости однсстунвнчатого усилителя с резистивно-гмносгнноа нагрузкой, выход которого нвносрвдсныгнна соединен са входом. Здесь, очеввляо, б(р) = 1, в то время квк К(р) = -Ко/(1+ рз), гце Ко = Злз»; з = К Св (см.
гл. 3). Уравнение АФХ имеет вял Ко ~ОФ) = . ехр [)(к — агсгй ыз)). )гг1 + ыгг' Вцл амплитудно-фвзовой характеристики, построенной в соответствии с уравнением (14.24), показан ца рис. 14.5. Квк видно цз рисунка, АФХ рассматриваемой системы представляет собой окружность с диаметром Ко. Верхней полу- окружности соответствует цоложвтельцая часть оси рл; ло мере роста частоты модуль частотного коэффициента передачи уменьшается, а фазовый угол стремится к 90'.
Замкнутая кривая АФХ целиком находится в левой полу- плоскости и не охватывает точку зо = 1. При соединении выхода ленного усилителя со входом система устойчива. Роль параметра играет частота со, которая изменяется в пределах от — со до + со. Данная кривая называется амплитудна-фазаний характеристикой (АФХ) разомкнутой системы.
Во всех случаях, представляющих практический интерес, модули частотных коэффициентов передачи звеньев стремятся к нулю с ростом частоты. Поэтому АФХ проходит через точку зв = О. Кроме того, АФХ симметрична относительно вещественной оси на плоскости зв, поскольку в(-гсв) = зво(~гп). Ясно, что АФХ для рассматриваемых систем представляют собой замкнутые кривые в плоскости в. В теории функций комплексного переменного показывается [142, что при отображении вида (14.22) образом правой полуплоскости оказывается внутренняя область, охватываемая кривой АФХ.
Критерий устойчивости, вытекающий из описанного построения, известен под названием критерия Найквиста; если АФХ разомкнутой системы , охватывает точку с коордицатами (1, УО), то замкнутая система неустойчива. 358 Глава 14. Активные пепи и автоколебательные системы ()ы) Ой О2 Рис, 14.5. Амплитудно-фазовая характеристика одноступенчатого усилителя с резистивно-емкостной нагрузкой (номера указывают соответствие точек иа оси уы и на АФХ усилителя) Пример 14.3, Исследование устойчивости замкнутого кольца из двух усилительнык звеньев с ипериодическими нагрузками.
Перелаточная функция каскадного соединения звеньев К (Р) = Кз (Р) К з (Р) = Кь з Кьз!(! + Рт) . (14.25) Здесь для простоты считается, что постоянные времени обоих звеньев одинаковы," коэффициенты усиления на нулевой часТоте Кь, и Кьз в общем случае могут быть различными. Проведя замену переменной р =Ко в (14.25), получаем уравнение АФХ: н()се) = КезКьзз(! +)езт) з КснКез ехр ( — 52 агс!8 езт). 1+ ызтз (14.26) А Рис.
14.6. Амплитудно-фазовая характеристика двухступенчатого уси- лителя с апериодическнми нагрузками Вид амплитудно-фазовой характеристики данного усилителя рнццггц Зцднчу 7 показан на рис. 14.6. Если коэффициент усиления разомкнутой системы на нулевой частоте Ке Ке,Кьз > 1, то при замыкании цепи обратной связи система становится неустойчивой, так как точка зч = ! находится внутри замкнутой кривой АФХ. 14.3.
Активные ДСфнльтры 359 а решите задачу 8 Помимо критерия Найквиста известен ряд других геометрических методов исследования устойчивости линейных систем с обратной связью, например, критерий Михайлова и критерий пересечений. Они широко прнменвются при анализе систем автоматического регулирования. 14.3. Активные ЯС-фильтры ф> —" Операционный уси- литель Операционный усилитель — одна из наиболее широко применяемых аналоговых интегральных микросхем. Устойчивость смогем с операционными уснлителвми.
Если в системе, содержащей ОУ, имеется обратная связь, то возможно появление неустойчивых режимов. Рассмотрим, например, устройство, в котором выход ОУ соединен с неинвертирующим входом через резистор й. Пусть ф— паразитная емкость входа усилителя. Поскольку влияние На современном этапе развития радиотехники и радиоэлектроники многие схемные решения, ранее применявшиеся повсеместно, претерпели коренной пересмотр из-за широкого внедрения микроэлектронных устройств.
В значительной степени это коснулось теории и практики построения частотно- избирательных фильтров. Было выяснено, что создать катушку индуктивности в микроэлектронном исполнении практически невозможно. Однако ллл реализации обычных колебательных звеньев 2-го порядка необходимо располагать индуктивными элементами (см. гл. 13). Выходом из этого положения явилась разработка так называемых активных ВС-фильтров.
Они представляют собой комбинации пассивных КС-цепей и активных элементов — как правило, сложных транзисторных устройств, которые передают в пассивные цепи некоторую моп1ность от источника питания. В этом параграфе будет рассмотрен один нз возможных принципов построения активных КС-фильтров, когда в качестве активного элемента используется операционный усилитель.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
