Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000) (1095420), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Поскольку й/й = с(//с)и с(и/й, запишем нелинейное дифференциальное уравнение (14.36), характеризующее поведение автогенератора при любых режимах, в виде /и 7 +1 — — + о~~и = О. й' 1, Ь ЬС асс,) й Способов точного решения таких уравнений при любой функции /'(и) не существует. Приходится использовать те или иные дополнительные соображения физического характера и отыскивать приближснныс решения. В данном случае следует принять во внимание, что автогенсратор содержит высокодобротный колебатсльный контур.
Поэтому, несмотря на присутствие нелинейного элемента, напряжение на контуре должно мало отличаться от гармонического колебания с частотой соо. Будем искать приближенное решение уравнения (14.52) в виде и(О = У(с) совсоос 14.5. Аатогенераторы а режиме большого сигнала 373 сохраним только второе сла~аемое: 11и 'оо П вгп шог. С)1 (14. 53) Таким же образом вторая производная ,12 а(1 е)() — = — сок озос — 2озо — ил шог — оаго У сов со о! с)гг = с)га с)г Производная с(ту/Ы мала в силу предположения о медленности изменения амплиту- дм с)У ге — 201о — 51п Оаог — ио (г сов шог. бт (! 4.54) Подставив выражения (!4.53) и (14,54) в уравнение (14.52), получим так называемое укороченное Дифференииальное уравнение ПУ 1 1г)( М И вЂ” + — — — — — (1=0, с)г 21 В !.С би) (14.55) ° укороченное диффСРЕНЦН4ЛЬНое уравнение автоге- исратора Поскольку выходной сигнал автогенератора лип1ь в малой степени отличается от гармонических колебаний с частотой ше, отбросив все высшие гармоники, получим приближенно ( ш (о+ 1, совсоог.
В то же время и(г) = Усовшог, поэтому гЦ ф' 111и 7, с)и с)1 с)1 У По определению, коэффициент пропорциональности 5, между амплитудой первой гармоники тока и амплитудой напряхссния на управляющем электроде есть среднлл крутизна или крутизна по первой гармонике: 1 бь((У) = 1, (П) (14.5б) Введя среднюю крутизну, запишем укороченное уравнение (14.55) в виде б(1 ! ГД Мб (и)1 — + — ! — — ' )!и=а (14.57) с)1 2~ В ВС Для аналитического рассмотрения удобен случай, когда вольт-амперная характеристика имеет форму степенного ряда: 1(и) = ао + а,и + азиз + ... средняя крутизна приближенно описывающее процессы в автогенераторс с высокодобротным колебательным контуром. Переход к укороченному уравнению значительно упрощает последующие этапы анализа, так как при этом порядок дифференциального уравнения снижается на единицу.
Средняя крутизна. Производная с)Дс)и, входящая во второе слагаемое уравнения (14.55), является дифференциальной проводимостью нелинейного элемента. Ток 1'(1) сеть периодическая функция времени, представляемая рядом Фурье 1 = Х(и) = 1о + 1а сов саог + (з соа 2ш„г + ... 374 Глава 14. Активные цепи в ввтоколвбвтввьвые системы Как известно (см. гл. 11), при этом 11 (1/) = а (/ + /лазУ + вал(/ + т решите задачу 14 так что 5, (и) = а, + з/вази г + з/вал(/' + ... (14.58) Подставляя данное выражение средней.крутизны в укороченное уравнение (14.57), получаем нелинейное дифференциальное уравнение 1-го порядка, которое всегда можно решить методом разделения переменных.
Стационарный режим автогенератора. По определению, в стационарном режиме амплитуда колебаний автогснсратора постоянна. Положив б(У/г)г = О, из (14.57) получаем уравнение Я,(У) = КС/М, (14.59) положительные корни которого определяют стационарные значения (/ амплитуды автоколсбаний, уравнение для определения стационарной амплитуды автоколебаний т решите задачу 15 Нв основании (14.59) стационарная амплитуда в данном случае удовлетворяет квадратному уравнению а, + '/лазу', = у, решив которое получаем (/ = 2 )/Д вЂ” а,)/(За,) = 1.97 В, В зависимости от того, в какой области ВАХ располагается рабочая точка нелинейного элемента, характеристика Яз ((/) имеет одну из двух форм, изображенных на рис.
14А5. Если средняя крутизна монотонно убывает с увеличением амплитуды управляющего напряжения, то говорят, что авто- генератор работает в мягком рвжи.нв самовозбуждгния. Соотвсгсгвующая зависимость изображена на рис. 14.15,а. Здесь жс проведена так называемая прямая обратной связи — горизонтальная линия с ординатой КС/М. Точка пересечения кривой 5, (П) и прямой обратной связи определяет единственную амплитуду стационарных авто- колебаний (7 . Сложнее обстоит дело, если автогенсратор работает в жестком режиме самовозбуждвния.
Здесь, как видно из рис. 14.15,6, возможны два стационарных режима с различными амплитудами (/т, и (/ з. мягкий и жесткий режимы самонозбуждения антоге- нератора Пример 14.6. В автогенвравюрв использован активный злгмвнт го средней ирупшзной Яз(17) = а, + '/лазй'з, где аз = Вл„4=15 ыА/В, аз = — 4 мА/Вз. Автогвнвратор имегт параметры: тв = 1Оз с Д = 30, М =! мкГи. Найти стационарную амплитуду ивтоволебаний. Вычислим прежде всего величину У, = КС/М = 1/(ювДМ) = 333 10 ' См. 375 14.5. Автогеиераторы в режиме большого сигнала ЛС/М ЛС/М нет а ог/ (г б Рис !4.15. Типичные зависимости средней крутизны от амплитуды управляющего напряжения: а — карактериотика мягкого режима; б — характеристика жесткого режима различие между понятиями устойчивости линейных и нелинейных автонолебательиых систем При этом 5, ((/) ав Яг ((/ ) + А )г, где А = Йбг/Й(7 — коэффициент наклона средней крутизны в стационарной точке.
Подставив равенство (14.60) в (14 57), находим с учетом (!4.59) дифференциальное уравнение относительно приращения амплитуды: г((/ АМ т АМ (/ = 2 г С ((/ + Р(/м) (14.61) Из этого простого линейного дифференциального уравнения следует, что знак производной сП//й зависит лишь от знака величины А. Так, если А < О, то Р и Й)//т(1 имеют разные знаки. Поэтому если по тем илн иным причинам амплитуда автоколебаний (/ стала больше (/, т. е.
Р > О, то в силу уравнения (14.61) производная 6Р/г)г < О. Это означает, что с течением времени авто- колебательная система вернется в стационарное состояние. критерий устойчивости стационарного режима Устойчивость стационарных режимов. Говорят, что стационарный режим автоколебательной системы усгойчнв, если при малых отклонениях амплитуды гармонических колебаний от стационарного значения система стремится вновь вернуться к состоянию с той же стационарной амплитудой.
Наоборот, система, оказавшаяся в неустойчивой стационарной точке, стремится так изменить свою амплитуду, чтобы перейти в ту нпи иную устойчивую стационарную точку. Устойчивость стационарного режима — понятие, специфическое для нелинейных автоколебательных систем. Напомним, что применительно к линейной динамической системе речь может идти только об устойчивости илн неустойчивости состояния покоя (режим малых колебаний). Рассмотрим укороченное уравнение автогенератора (14.57).
и предположим, что амплитуда автоколебаний (/ получила малое отклонение У от стационарной точки: (/=1/ +1'. (14.60) Глава ЬИ Активные цепи и автокевебатепьные системы Легко видеть, что описанным свойством устойчивости обладает автогенератор, работающий в мягком режиме самовозбуждепня. Пусть коэффициент взанмоиндукции М мал настолько, что прямая обратной связи 1 не пересекает кривую 5,(У). Единственное устойчивое состояние системы при этом — состояние покоя с нулевой амплитудой авто- колебаний. Если коэффициент М увеличивать, то при М„„ = г(С/Як„е (прямая 2) автогснератор самовозбудится при сколь угодно малой амплитуде стационарных автоколебаний.
Дальнейший рост М приведет к плавному увеличению амплитуды генерируемых автоколебаннй, так как прямая 3 будет перемещаться вниз. По-иному протекают процессы в автогснераторе, работающем в жестком режиме самовозбуждення. Если система первоначально находится в состоянии покоя, а прямая обратной связи занимает положение 1, то автоколебання не возникают, несмотря на то, что имеются две точки стационарно~о режима — неустойчивая точка а и устойчивая точка б. Однако если с помощью каких-либо внешних источников в системе возбуждены гармонические колебания с резонансной частотой и амплитудой, соответствующей точке а, то, поскольку здесь А > 0 (средняя крутизна возрастает с увеличением амплитуды), возникшие автоколебания будут неустойчивыми.
Амплитуда их будет нарастать до тех пор, пока система не перейдет в устойчивую точку б, характеризующуюся постоянной стационарной амплитудой У„ь Автогснератор с такой характеристикой способен также и к самовозбуждению. Для этого прямая обратной связи должна занять положение 2, при котором неустойчивым является стационарный режим с бесконечно малой амплитудой колебаний. Как следует из сказанного ранее, возбужденные автоколебания будут нарастать до тех пор, пока их амплитуда ие достигнет в пределе стационарного уровня У ь Если жс теперь уменьшать М, то амплитуда автоколебаний будет плавно падать до тех пор, пока не станет равной У з и прямая обратной связи 3 не займет положение касательной к характеристике Я,(У).
Дальнейшее уменьшение М приводит к срыву автогенерации; амплитуда колебаний скачком падает до нуля. Таким образом, в автогенсраторе с жестким режимом самовозбуждения колебания возникают и исчезают при различных значениях коэффициента обратной связи. Говорят, что в таком автогенсраторе имеет место колгбательный гистереэис. Зависимость режима автогенератора от выбора рабочей точки. Как отмечалось, мягкий режим самовозбуждения отличается от жесткого тем, что в первом случае средняя крутизна 5,((У) при малых амплитудах падает с ростом У, а во втором — растет.
Пусть вольт-амперная характеристика нелинейного элемента описывается степенным рядом, н поэтому (см. формулу о и„ 16 решите задачу колебвтельиый гисгсрезис 3ут 14.5. Автогевереторм в режиме большого сигнале (14.58)3 при малых и имеет место зависимость 52 (и) = а, + з/дазиз, Очевидно, автогенсратор работает в мягком режиме самовозбуждсния, если а, с О, и в жестком режиме, если аз > О Как известно, !з; аз = — — з- 31 г(а причем производная вычисляется в точке, отвечающей начальному напряжению смещения, поданному на нелинейный элемент. Обычно зависимость !(и) представляется гладкой кривой, которая монотонно возрастает от нулевого ло некоторого постоянного уровня.
Проведя трехкратное дифференцирование этой зависимости графическим способом, убеждаемся, что мягкий режим самовозбуждсння будет реализован в тех случаях, когда рабочая точка выбрана в средней части характеристики. Процесс установления стационарной амплитуды. Метод укороченного уравнения позволяет не только находить стационарные режимы и исследовать их устойчивость, но также изучать динамику процесса установления стационарной амплитуды автоколсбаний. В качестве примера найдем закон изменения во времени амплитуды и(1) в автогенсраторс с мягким режимом самовозбуждсния, полагая, что при 1 = О в системе существуют гармонические колебания с резонансной частотой и.с некоторой известной амплитудой и,. Задача сводится к решению уравнения Определение границ мягкого и жесткого режимов самовозбуж- денин Лl ! ('й а,М ЗазМи''З вЂ” -+ — ( — — —— ~и=о г!г 2 (, С СС 4СС с начальным условием и(О) = ио.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
